A Forma da Terra

A maneira mais simples de saber que a Terra ´e um sistema de referˆencia n˜ao inercial ´e observando sua forma elipsoidal. Isto ´e, a Terra ´e achatada nos p´olos. Newton discutiu isto nas Props. 18 e 19 do Livro III doPrincipia:

Proposi¸c˜ao 18. Teorema 16

Os eixos dos planetas s˜ao menores do que os diˆametros perpendiculares aos eixos.

A gravita¸c˜ao igual das partes sobre todos os lados daria uma forma esf´erica aos planetas, n˜ao fosse por suas rev-olu¸c˜oes diurnas num c´ırculo. Devido a este movimento circular acontece de as partes que se afastam do eixo ten-tam subir ao redor do equador; e, portanto, se a mat´eria est´a em um estado flu´ıdo, por sua subida em dire¸c˜ao ao equador ela vai aumentar os diˆametros de l´a e por sua descida dos p´olos ela vai diminuir o eixo. Assim, o diˆametro de J´upiter (pelas observa¸c˜oes coincidentes dos astrˆonomos) ´e encontrado ser mais curto de p´olo a p´olo do que de Leste a Oeste. E, pelo mesmo argumento, se nossa Terra n˜ao fosse mais alta ao redor do equador do que nos p´olos, os mares abaixariam ao redor dos p´olos e, subindo em dire¸c˜ao ao equador, colocariam todas as coisas sob a ´agua.

Proposi¸c˜ao 19. Problema 3

Achar a propor¸c˜ao do eixo de um planeta para os diˆametros perpendiculares a ele.

(...); e, portanto, o diˆametro da Terra no equador est´a para seu diˆametro de p´olo a p´olo como 230 para 229. (...) E esta previs˜ao te´orica de Newton (at´e sua ´epoca n˜ao havia nen-huma determina¸c˜ao deste fato) ´e bem precisa quando comparada com as determina¸c˜oes experimentais modernas, [New34, p´ags. 427 e 664, nota 41] e [Mar89].

O motivo deste achatamento da Terra nos p´olos na mecˆanica new-toniana ´e a rota¸c˜ao da Terra em rela¸c˜ao ao espa¸co absoluto ou em rela¸c˜ao a um referencial inercial. A Terra e todos os sistemas de referˆencia que est˜ao em repouso em rela¸c˜ao a ela s˜ao n˜ao inerciais.

Por este motivo precisamos de introduzir no referencial da Terra uma for¸ca centr´ıfuga −ω_d²ρρˆpara poder aplicar as leis de Newton aqui e obter os resultados corretos. Aquiω_d ´e a rota¸c˜ao dinˆamica da Terra em rela¸c˜ao ao espa¸co absoluto ou em rela¸c˜ao a qualquer sistema i-nercial de referˆencia. Em princ´ıpio ela n˜ao tem nenhuma rela¸c˜ao com a rota¸c˜ao cinem´aticaω_kdiscutida anteriormente. No referencial terrestre ´e esta for¸ca centr´ıfuga a respons´avel pelo achatamento da Terra. Num sistema de referˆencia inercial, o achatamento da Terra

´e explicado por sua rota¸c˜ao dinˆamica em rela¸c˜ao a este sistema iner-cial. De acordo com a mecˆanica de Newton mesmo se as estrelas e gal´axias distantes desaparecessem ou n˜ao existissem, a Terra ainda seria achatada nos p´olos devido a sua rota¸c˜ao em rela¸c˜ao ao espa¸co absoluto. Veremos depois que a mecˆanica relacional d´a uma previs˜ao diferente neste caso.

Apresentamos aqui alguns resultados quantitativos para este caso.

Vamos supor o globo terrestre composto apenas de ´agua com uma densidade constante α em qualquer ponto de seu interior. Assumi-mos ainda que a Terra gira com uma velocidade angular constante

~

ω =ω_dzˆ em rela¸c˜ao a um referencial inercial, onde escolhemos para simplificar a an´alise o eixozcomo estando ao longo do eixo de rota¸c˜ao.

A equa¸c˜ao de movimento para um elemento de massa da ´agua dm com volume infinitesimaldV (dm=αdV) ´e dada por

dm~g−(∇p)dV =dm~a. (3.4) Nesta equa¸c˜ao~g´e o campo gravitacional ondedmest´a localizada devido a todo o restante de massa terrestre e −∇pdV ´e o empuxo devido ao gradiente da press˜ao p. Vamos resolver esta equa¸c˜ao uti-lizando coordenadas esf´ericas (r,θ,ϕ) com origem no centro da Terra.

Como o ´unico movimento de dm ´e uma ´orbita circular ao redor do eixoz vem que sua acelera¸c˜ao ´e simplesmente a centr´ıpeta dada por

~a = ~ω_d×(~ω_d×~r) = −ω_d²ρρˆ = −ω_d²ρ(ˆrsinθ+ ˆθcosθ), onde ρ ´e a distˆancia de dm ao eixo z (e n˜ao at´e a origem, sendo esta ´ultima distˆancia dada por r =ρ/sinθ). Al´em disto, ˆr, ˆθ e ˆρ s˜ao os vetores unit´arios ao longo das dire¸c˜oes r e θ(coordenadas esf´ericas) eρ (co-ordenadas cil´ındricas), respectivamente. O gradiente da press˜ao pode

ser expresso em coordenadas cil´ındricas ou esf´ericas, sem problemas.

Para resolver esta equa¸c˜ao precisa-se da express˜ao do campo gravi-tacional. Como uma primeira aproxima¸c˜ao (ver [Sym82, Exerc´ıcio 7.10]) pode-se usar o campo gravitacional de uma distribui¸c˜ao es-fericamente sim´etrica de mat´eria de raio R e massa M = 4πR³α/3.

Utilizando-se a Eq. (1.6) pode-se mostrar facilmente que o campo gravitacional num ponto ~r no interior desta casca esf´erica ´e dado por: ~g=−GM rr/Rˆ ³. Resolvendo-se a equa¸c˜ao acima como foi feito no caso do balde obt´em-se a press˜ao num ponto qualquer do flu´ıdo como sendo

As superf´ıcies de p constante s˜ao elips´oides. Fazendo-se p = P_o no equador θ =π/2 acha-se a maior distˆancia que a ´agua se afasta da origem (R_>), ou seja (supondo ω_d²R³/2GM ≪ 1 como acontece no caso da rota¸c˜ao diurna da Terra):

R_>

Este valor ´e aproximadamente metade do que se observa ao fazer as medidas sobre a Terra. O problema com este c´alculo ´e que dev-ido a rota¸c˜ao da Terra ela muda de forma, ficando aproximadamente elipsoidal. O campo gravitacional tanto dentro quanto fora da Terra n˜ao ´e mais ent˜ao aquele devido a uma esfera. Para se chegar num resultado mais preciso da Eq. (3.4) ´e necess´ario utilizar o campo gra-vitacional de um elips´oide. Este campo pode ser obtido seguindo, por exemplo, o caminho indicado nos exerc´ıcios 6.17 e 6.21 de [Sym82].

N˜ao vamos apresentar aqui todas as contas mas apenas os resulta-dos a que chegamos seguindo estes c´alculos. Seja ent˜ao um elips´oide centrado na origem e com semi-eixos a, b e c ao longos dos eixos x, y e z, respectivamente, tal que a =b =R_> e c = R_< = R_>(1−η)

com η ≪ 1. Vamos supor novamente uma densidade de mat´eria α constante em todos os pontos do elips´oide. SendoM a massa total do elips´oide e R seu raio m´edio temos: M = 4πR³α/3 = 4πR²_>R<α/3.

A energia potencial gravitacional U entre duas massasm1 e m2 sep-aradas por uma distˆancia r ´e dada porU =−Gm1m2/r=m1Φ(~r1), onde Φ(~r1) ´e o campo gravitacional no ponto onde est´a m1,~r1, dev-ido a massa m2 localizada em~r2. Analogamente, podemos calcular o potencial gravitacional num ponto qualquer do espa¸co devido a massa do elips´oide. O potencial gravitacional Φ que encontramos num ponto dentro do elips´oide ´e (at´e primeira ordem em η):

Φ =−GM

2R³(3R²−r²)−GM R³

ηr²

5 (1−3 cos²θ) . (3.7) J´a o potencial fora do elips´oide ´e dado por (novamente at´e primeira ordem emη):

A energia potencialdU de um elemento de massadminteragindo com este elips´oide ´e dada por dU = dmΦ. A for¸ca exercida pelo elips´oide sobre dm ´e dada por d ~F = −∇(dU) = −dm∇Φ = dm~g.

Aplicando isto nos resultados acima vem que o campo gravitacional no interior do elips´oide ´e dado por (novamente at´e primeira ordem emη): O fato de que a for¸ca gravitacional no interior de um elips´oide, ao longo de cada eixo, cresce linearmente com a distˆancia at´e a origem era bem conhecido de Newton (Principia, Livro I, Prop. 91, Prob.

45, Cor. III; ver tamb´em [Mar89]).

J´a fora do elips´oide vem:

O campo gravitacional na superf´ıcie do elips´oide ´e dado por:

Desta rela¸c˜ao vem que a for¸ca sobre um ponto na superf´ıcie do elips´oide no p´olo (r = R_<, θ = 0) para a for¸ca sobre um ponto na

At´e aqui foi suposto um corpo elipsoidal em repouso em rela¸c˜ao a um referencial inercial.

Pode-se agora aplicar a Eq. (3.9) na Eq. (3.4). Neste caso η vai ter de ser determinado mas pela an´alise do caso anterior de uma Terra esf´erica girando, espera-se que η seja da mesma ordem de grandeza que ω²_dR³/GM. Com (3.9) em (3.4) obt´em-se a seguinte express˜ao para a press˜ao p num ponto qualquer no interior da Terra flu´ıda:

p=−GαM r² E este ´e essencialmente o valor dado por Newton,R_>/R_<≈230/229≈ 1,0044.

E importante observar aqui duas coisas. A primeira ´e que para´ obtermos este resultado utilizamos conjuntamente a rota¸c˜ao da Terra e o campo gravitacional de um elips´oide (o resultado anterior (3.6) n˜ao deu algo preciso pois foi suposto um campo gravitacional devido a uma esfera). E o segundo ponto ´e que oω_d que aparece em (3.14)

´e a rota¸c˜ao da Terra em rela¸c˜ao ao espa¸co absoluto ou a um refe-rencial inercial. Em princ´ıpio este ω_d n˜ao tem nada a ver com a rota¸c˜ao cinem´atica da Terra ω_k que discutimos anteriormente. S´o que para chegarmos no valor correto do achatamento da Terra como observado atrav´es de medidas (R_>/R_< ≈1,004) ´e necess´ario que se tenha ω_d≈7,3×10⁻⁵/s⁻¹, que ´e o mesmo valor da rota¸c˜ao diurna cinem´atica da Terra em rela¸c˜ao `as estrelas fixas! Isto n˜ao deve ser uma coincidˆencia, a quest˜ao ´e encontrar uma liga¸c˜ao entre estes dois fatos.