Dois Globos

Consideramos agora dois globos ligados entre si por uma corda e rodando em rela¸c˜ao a um sistema inercial com uma velocidade angu-lar constante ω = ˙ϕ= v_t/ρ ao redor do centro de massa O, Figura 2.12.

A ´unica for¸ca sentida por cada globo ´e a exercida pela corda ten-sionada. Representando esta tens˜ao por T obtemos pela Eq. (2.14) aplicada ao globo 1:

T =m_i1a_c1=m_i1

v_t1² ρ1

=m_i1w²ρ1 , (2.15) Para o segundo globo vem, analogamente:

T =m_i2a_c2=m_i2v_t²₂ ρ2

=m_i2w²ρ2 . (2.16) Isto ´e, quanto maior for a rota¸c˜ao dos globos (quanto maior for ω), maior ser´a a tens˜ao na corda que suporta esta rota¸c˜ao. Se ao inv´es da corda tivermos uma mola de constante el´astica k, a tens˜ao poderia ser medida por T = k(l −l_o), onde l ´e o comprimento da mola distendida (l=ρ1+ρ2, ver a Figura 2.12) el_o seu comprimento natural. Medindol, dados k e l_o, podemos saber a tens˜ao. Sabendo m_i1,ω e ρ1 tamb´em podemos saber a tens˜ao aplicando a Eq. (2.15).

Figura 2.12: Dois globos girando.

Newton discutiu este problema dos dois corpos como uma poss´ı-vel maneira de distinguir o movimento relativo do absoluto (ou, mais especificamente, a rota¸c˜ao relativa da absoluta). Isto ´e, por esta experiˆencia poder´ıamos saber se os globos est˜ao ou n˜ao girando em rela¸c˜ao ao espa¸co absoluto (ou em rela¸c˜ao a um referencial inercial).

Sua discuss˜ao aparece no Esc´olio do come¸co do Livro I do Principia, ap´os as oito defini¸c˜oes iniciais e antes dos trˆes axiomas ou leis do movimento. Aqui vai toda a discuss˜ao, com nossa ˆenfase em it´alico:

E realmente uma quest˜´ ao de grande dificuldade descobrir, e efetivamente distinguir, os movimentos verdadeiros de corpos particulares daqueles aparentes; porque as partes daquele espa¸co im´ovel,no qual aqueles movimentos se rea-lizam,de modo algum s˜ao pass´ıveis de serem observados pelos nossos sentidos. No entanto, a coisa n˜ao ´e total-mente desesperadora, pois temos alguns argumentos para guiar-nos, parcialmente a partir dos movimentos aparen-tes, que s˜ao as diferen¸cas dos movimentos verdadeiros, e parcialmente a partir das for¸cas, que s˜ao as causas e os efeitos dos movimentos verdadeiros. Por exemplo, se dois globos, mantidos a uma dada distˆancia um do ou-tro por meio de uma corda que os ligue, forem girados em torno do seu centro comum de gravidade, poder´ıamos descobrir, a partir da tens˜ao da corda, a tendˆencia dos globos a se afastar do eixo de seu movimento, e a partir da´ı poder´ıamos calcular a quantidade de seus movimen-tos circulares. E ent˜ao se quaisquer for¸cas iguais fossem imprimidas de uma s´o vez nas faces alternadas dos globos para aumentar ou diminuir seus movimentos circulares, a partir do acr´escimo ou decr´escimo da tens˜ao na corda, poder´ıamos inferir o aumento ou diminui¸c˜ao de seus mo-vimentos; e assim seria encontrado em que faces aquelas for¸cas devem ser imprimidas, tal que os movimentos dos globos pudessem ser aumentados ao m´aximo, isto ´e, po-der´ıamos descobrir suas faces posteriores ou aquelas que, no movimento circular, realmente vˆem depois. Mas sendo conhecidas as faces que vem depois, e conseq¨uentemente as opostas que precedem, dever´ıamos da mesma forma conhecer a determina¸c˜ao dos seus movimentos. E, assim, poder´ıamos encontrar tanto a quantidade como a deter-mina¸c˜ao desse movimento circular, mesmo em um imenso v´acuo, onde n˜ao existisse nada externo ou sens´ıvel com o

qual os globos pudessem ser comparados. Por´em, se na-quele espa¸co fossem colocados alguns corpos remotos que mantivessem sempre uma dada posi¸c˜ao uns com rela¸c˜ao aos outros, como as estrelas fixas mantˆem nas nossas regi˜oes, n˜ao poder´ıamos realmente determinar a partir da transla¸c˜ao relativa dos globos entre aqueles corpos, se o movimento pertencia aos globos ou aos corpos. Mas, se observ´assemos a corda, e descobr´ıssemos que sua tens˜ao era aquela mesma tens˜ao que os movimentos dos corpos exigiam, poder´ıamos concluir que o movimento estava nos globos e que os corpos estavam em repouso; ent˜ao, final-mente, a partir da transla¸c˜ao dos globos entre os corpos, devemos obter a determina¸c˜ao dos seus movimentos. Mas as maneiras pelas quais vamos obter os movimentos ver-dadeiros a partir de suas causas, efeitos e diferen¸cas apa-rentes e o contr´ario, ser˜ao explicadas mais amplamente no pr´oximo tratado. Pois foi com este fim que o compus.

Suponha que as estrelas fixas estejam em repouso em rela¸c˜ao ao espa¸co absoluto. Girando os globos com uma velocidade angularω~ em rela¸c˜ao ao espa¸co absoluto (ou em rela¸c˜ao `as estrelas fixas neste caso) geraria, de acordo com Newton, uma tens˜ao na corda. Isto po-deria ser visualizado por um aumento no comprimento de uma mola substituindo a corda. Suponha agora a mesma situa¸c˜ao cinem´atica acima, ou seja, com os globos girando em rela¸c˜ao `as estrelas fixas com uma velocidade angular constante~ω. Mas agora, neste segundo caso, suponha que os globos estejam em repouso em rela¸c˜ao ao espa¸co absoluto e que as estrelas fixas estejam girando como um todo em rela¸c˜ao ao espa¸co absoluto, com uma velocidade angular constan-te −~ω. Neste segundo caso, de acordo com o que Newton escreveu acima, n˜ao haveria tens˜ao na corda (ou a mola n˜ao se distenderia nem ficaria tensionada). Desta forma poder´ıamos distinguir a rota¸c˜ao ver-dadeira ou absoluta dos globos (em rela¸c˜ao ao espa¸co absoluto) da rota¸c˜ao aparente ou relativa dos globos (em rela¸c˜ao as estrelas fixas).

Isto ´e, observando se h´a ou n˜ao uma tens˜ao na corda poder´ıamos sa-ber se os globos est˜ao girando ou n˜ao em rela¸c˜ao ao espa¸co absoluto ou em rela¸c˜ao a um referencial inercial, embora em ambos os casos

haja a mesma rota¸c˜ao aparente ou relativa dos globos em rela¸c˜ao `as estrelas fixas. Mais tarde voltaremos a discutir esta experiˆencia.