Pˆendulo de Foucault

A demonstra¸c˜ao mais impressionante da rota¸c˜ao da Terra foi obtida em 1851 por Foucault (1819-1868). A referˆencia original em francˆes ´e [Fou51a] e sua tradu¸c˜ao para o inglˆes se encontra em [Fou51b].

A importˆancia desta experiˆencia ´e que ela pode ser realizada numa sala fechada de tal forma que podemos obter a rota¸c˜ao da Terra sem olhar para o c´eu.

A experiˆencia consiste simplesmente em um longo pˆendulo que oscila para frente e para tr´as muitas vezes com um grande per´ıodo.

Ele utilizou inicialmente um pˆendulo com um comprimento de 2 met-ros com uma esfera de 5 kg oscilando harmonicamente. Depois ele utilizou um outro pˆendulo com um fio de comprimento 11 metros. O per´ıodo de um pˆendulo simples de comprimentol´eT = 2π^pl/g, onde g ≈ 9,8 m/s². Desprezando a resistˆencia do ar, se todas as for¸cas agindo sobre o pˆendulo fossem a atra¸c˜ao gravitacional da Terra (o peso P~ = −mgˆr) e a tens˜ao no fio, o pˆendulo oscilaria sempre no mesmo plano. Mas n˜ao ´e isto o que acontece. O plano de oscila¸c˜ao muda lentamente com o tempo em rela¸c˜ao `a superf´ıcie da Terra, com uma velocidade angular Ω. Na mecˆanica newtoniana isto ´e explicado com uma outra for¸ca fict´ıcia, a for¸ca de Coriolis dada por−2mi~ω_d×~v, onde~ω_d´e a rota¸c˜ao angular da Terra em rela¸c˜ao a um sistema de re-ferˆencia inercial (a for¸ca centr´ıfuga n˜ao muda o plano de oscila¸c˜ao e assim n˜ao a consideramos aqui para simplificar a an´alise). Corio-lis (1792-1843) descobriu esta for¸ca em 1831 enquanto realizava seu doutoramento sob a orienta¸c˜ao de Poisson, [Cra90].

A maneira mais simples de entender este comportamento ´e consi-derar um pˆendulo oscilando no p´olo Norte. O pˆendulo vai manter seu plano de oscila¸c˜ao fixo em rela¸c˜ao a um sistema de referˆencia inercial (ou em rela¸c˜ao ao espa¸co, como em geral se afirma). Como a Terra est´a girando embaixo dele, o plano de oscila¸c˜ao vai mudar em rela¸c˜ao

`

a Terra com uma velocidade angular−~ω_d=−ω_dz, j´ˆ a que a Terra est´a girando em rela¸c˜ao ao sistema inercial com uma velocidade angular

~

ω_d = ω_dz. No equador, o pˆendulo de Foucault n˜ˆ ao precessa j´a que ent˜ao~ω_d×~v´e nulo (quando~v=±vz) ou ent˜ˆ ao aponta verticalmente ao longo do comprimento do fio (quando h´a uma componente da velocidade perpendicular a ˆz e ˆr). Em geral a precess˜ao do pˆendulo em rela¸c˜ao `a Terra ´e dada por −ω_dcosθ, onde θ ´e o ˆangulo entre a dire¸c˜ao radial ˆr (a dire¸c˜ao na qual o pˆendulo permanece em repouso sem oscilar) e o eixo de rota¸c˜ao da Terra ~ω_d/ω_d= ˆz, Figura 3.10.

Figura 3.10: Pˆendulo de Foucault.

Derivamos este resultado aqui utilizando algumas aproxima¸c˜oes que s˜ao v´alidas no problema. Em primeiro lugar desprezamos a re-sistˆencia do ar e a for¸ca centr´ıfuga. A equa¸c˜ao de movimento no referencial n˜ao inercial da Terra ´e ent˜ao dada por:

T~ +m_g~g−2m_i~ω_d×~v=m_i~a .

AquiT~ ´e a tens˜ao no fio. A novidade comparada com a equa¸c˜ao de movimento do pˆendulo simples num referencial inercial ´e a introdu¸c˜ao da for¸ca de Coriolis−2mi~ω_d×~v, onde~ω_d´e a rota¸c˜ao angular dinˆamica da Terra em rela¸c˜ao ao espa¸co absoluto ou a um referencial inercial.

Escolhemos um novo sistema de coordenadas (x^′, y^′, z^′) com sua origem O^′ diretamente abaixo do ponto de apoio, no ponto de equil´ıbrio da massa do pˆendulo, com o eixo z^′ apontando vertical-mente para cima: ˆz^′ = ˆr. O eixo x^′ ´e escolhido de tal forma que o pˆendulo oscilaria completamente no plano x^′z^′ n˜ao fosse a for¸ca de Coriolis, Figura 3.11.

Figura 3.11: For¸cas no pˆendulo de Foucault.

Neste sistema de coordenadas temos~ω_d=ω_dsinθxˆ^′+ω_dcosθˆz^′. O ˆ

angulo de oscila¸c˜ao do pˆendulo com a vertical a partir do ponto de

su-porte ´e chamado deβ. Paraβ ≪π/2 podemos usar a aproxima¸c˜ao de pequenas amplitudes de oscila¸c˜ao de tal forma que a equa¸c˜ao de movi-mento gera a solu¸c˜ao aproximada (n˜ao levando em conta por hora a for¸ca de Coriolis): β = β_ocosω_ot, onde ω_o = ^pg/l ´e a freq¨uˆencia natural de oscila¸c˜ao do pˆendulo eβ_o´e o ˆangulo no qual o pˆendulo foi solto do repouso. Como temos pequenas amplitudes de oscila¸c˜ao, o movimento do pˆendulo ´e essencialmente horizontal com x^′ = lβ, de tal forma que~v ≈ −x˙^′xˆ^′ = lβ_oω_osinω_otˆx^′. A ´unica componente da for¸ca na dire¸c˜aoy^′´e dada pela for¸ca de Coriolis −2mi~ω_d×~v. Com os valores anteriores para~ω_d e~v obtemos que a equa¸c˜ao de movimento na dire¸c˜ao y^′ fica na forma: que o plano de oscila¸c˜ao do pˆendulo moveu-se por um ˆangulo de

△y/△x=−ω_dcosθπ/ω_o. A rota¸c˜ao angular Ω do plano de oscila¸c˜ao

´e esta quantidade dividida pelo intervalo de tempo △t=T /2−0 = π/ω_o, de tal forma que:

Ω =−ω_dcosθ .

Foucault chegou num resultado an´alogo a este mas n˜ao apresen-tou os c´alculos para isto. Ele o apresenapresen-tou dizendo que a rota¸c˜ao angular do plano de oscila¸c˜ao ´e igual a rota¸c˜ao angular da Terra multiplicada pelo seno da latitude, [Fou51a] e [Fou51b]. No caso de Paris, onde Foucault realizou suas experiˆencias, temos uma latitude α = 48^o51^′. Como o ˆangulo da latitude ´e dado por α = π/2−θ obtemos o resultado de Foucault:

Ω =−ω_dcos(π/2−α) =ω_dsinα .

Figura 3.12: Rota¸c˜ao do plano de oscila¸c˜ao.

E curioso observar Foucault descrevendo sua experiˆencia pois, `´ as vezes, fala da rota¸c˜ao da Terra em rela¸c˜ao ao espa¸co e, `as vezes, em rela¸c˜ao `as estrelas fixas (esfera celeste). Ou seja, ele n˜ao distingue es-tas duas rota¸c˜oes ou os dois conceitos (rota¸c˜ao dinˆamica em rela¸c˜ao ao espa¸co absoluto e rota¸c˜ao cinem´atica em rela¸c˜ao aos corpos celestes).

Por exemplo, ele come¸ca afirmando que a precess˜ao do plano de os-cila¸c˜ao do pˆendulo prova a rota¸c˜ao di´aria da Terra. Para justificar esta interpreta¸c˜ao do resultado experimental ele imagina um pˆendulo colocado exatamente sobre o p´olo norte oscilando para frente e para tr´as num plano fixo, enquanto a Terra gira embaixo do pˆendulo. Ele ent˜ao afirma (nossas ˆenfases em negrito, [Fou51a] e [Fou51b]): “As-sim ´e gerado um movimento de oscila¸c˜ao num arco de c´ırculo cujo

plano ´e determinado claramente, ao qual a in´ercia da massa fornece uma posi¸c˜ao invari´avel no espa¸co. Caso estas oscila¸c˜oes continuem por um certo tempo, o movimento da Terra, que n˜ao p´ara de girar de oeste para leste, vai se tornar percept´ıvel por uma compara¸c˜ao com a imobilidade do plano de oscila¸c˜ao, cujo tra¸cado sobre o solo vai aparecer como tendo um movimento em conformidade com o movimento aparente da esfera celeste; e se as oscila¸c˜oes pudessem continuar por vinte e quatro horas, o tra¸cado de seu plano executaria neste tempo uma revolu¸c˜ao completa ao redor da proje¸c˜ao vertical de seu ponto de suspens˜ao.”

As contas da precess˜ao do plano de oscila¸c˜ao do pˆendulo de Fou-cault gerando ΩF =−ω_dcosθforam an´alogas `as contas da precess˜ao do plano de oscila¸c˜ao de um pˆendulo carregado eletricamente na pre-sen¸ca de um ´ım˜a gerando Ω_B = −qB/2m. A diferen¸ca ´e que neste

´

ultimo caso est´avamos em um referencial inercial e a precess˜ao foi de-vido a intera¸c˜ao do pˆendulo carregado com o ´ım˜a. Por outro lado, no pˆendulo de Foucault temos um pˆendulo neutro eletricamente e n˜ao encontramos o agente material (an´alogo ao ´ım˜a do outro exemplo) que causou a precess˜ao do plano de oscila¸c˜ao. A for¸ca de Coriolis

−2m_i~ω_d×~v´e chamada de fict´ıcia pois s´o aparece em referenciais n˜ao inerciais que giram em rela¸c˜ao ao espa¸co absoluto. Por outro lado, a for¸ca magn´eticaq~v×B~ ´e devido a uma intera¸c˜ao real entre a carga q e a fonte deB~ (´ım˜a, solen´oide, casca esf´erica carregada eletricamente girando, etc.) No referencial terrestre vemos o conjunto de estrelas e gal´axias distantes girando ao nosso redor com um per´ıodo de um dia em rela¸c˜ao ao eixo norte-sul, isto ´e, na dire¸c˜ao da estrela polar norte.

Na mecˆanica newtoniana este conjunto de cascas esf´ericas girando ao redor da Terra n˜ao gera nenhuma for¸ca resultante sobre o pˆendulo, esteja ele parado ou em movimento em rela¸c˜ao `a Terra. Poderia-se pensar que este conjunto de cascas esf´ericas compostas de estrelas e gal´axias, ao girarem ao redor da Terra, gerariam uma esp´ecie de campo magn´etico-gravitacional B~_g que explicaria a for¸ca de Corio-lis por uma intera¸c˜ao gravitacional an´aloga a for¸ca magn´etica, isto

´e, com uma for¸ca do tipo mg~v ×B~g. Por´em, isto n˜ao acontece na mecˆanica newtoniana. Veremos que h´a algo an´alogo a m_g~v×B~_g na teoria da relatividade geral de Einstein, mas que n˜ao tem o mesmo

valor que a for¸ca de Coriolis. Por outro lado, na mecˆanica relacional vai aparecer este termo com o valor preciso da for¸ca de Coriolis.

Max Born discutiu diversos exemplos de corpos em rota¸c˜ao e os efeitos dinˆamicos que aparecem, apresentando a conclus˜ao fundamen-tal da mecˆanica newtoniana em termos bem simples e claros: “Parece assim que a ocorrˆencia das for¸cas centr´ıfugas ´e universal e n˜ao pode ser devido a intera¸c˜oes” [Bor65, p´ags. 78-85], ver especialmente a p´ag. 84.

3.3.4 Compara¸c˜ao entre as Rota¸c˜oes Cinem´atica e Dinˆamica