A Experiˆencia do Balde de Newton

Analisamos agora a experiˆencia do balde de Newton. Infelizmente poucos livros did´aticos tratam deste assunto e uma exce¸c˜ao ´e o de Nussenzveig, [Nus81, p´ags. 504-507]. Esta ´e uma das experiˆencias mais simples e mais importantes dentre todas aquelas realizadas por Newton. Ela est´a descrita logo antes da experiˆencia dos dois globos descrita acima, no Esc´olio ap´os as oito defini¸c˜oes no in´ıcio do Livro I doPrincipia, antes dos axiomas ou leis do movimento (nossa ˆenfase):

Os efeitos que distinguem movimento absoluto de relativo s˜ao as for¸cas que agem no sentido de provocar um afasta-mento a partir do eixo do moviafasta-mento circular. Pois n˜ao h´a tais for¸cas em um movimento circular puramente rela-tivo; mas em um movimento circular verdadeiro ou abso-luto elas s˜ao maiores ou menores, dependendo da quanti-dade do movimento. Se um recipiente, suspenso por uma longa corda, ´e tantas vezes girado, a ponto de a corda ficar fortemente torcida, e ent˜ao enchido com ´agua e sus-penso em repouso junto com a ´agua; a seguir, pela a¸c˜ao repentina de outra for¸ca, ´e girado para o lado contr´ario e, enquanto a corda desenrola-se, o recipiente continua no seu movimento por algum tempo; a superf´ıcie da ´agua, de in´ıcio, ser´a plana, como antes de o recipiente come¸car a se mover; mas depois disso, o recipiente, por comunicar gradualmente o seu movimento a ´agua, far´a com que ela comece nitidamente a girar e a afastar-se pouco a pouco do meio e a subir pelos lados do recipiente, transformando-se em uma figura cˆoncava (conforme eu mesmo exper-imentei), e quanto mais r´apido se torna o movimento, mais a ´agua vai subir, at´e que, finalmente, realizando suas rota¸c˜oes nos mesmos tempos que o recipiente, ela fica em repouso relativo nele. Essa subida da ´agua mostra sua tendˆencia a se afastar do eixo de seu movimento; e

o movimento circular verdadeiro e absoluto da ´agua, que aqui ´e diretamente contr´ario ao relativo, torna-se conhe-cido e pode ser medido por esta tendˆencia. De in´ıcio, quando o movimento relativo da ´agua no recipiente era m´aximo, n˜ao havia nenhum esfor¸co para afastar-se do eixo; a ´agua n˜ao mostrava nenhuma tendˆencia a circun-ferˆencia, nem nenhuma subida na dire¸c˜ao dos lados do recipiente, mas mantinha uma superf´ıcie plana, e, por-tanto, seu movimento circular verdadeiro ainda n˜ao havia come¸cado. Mas, posteriormente, quando o movimento relativo da ´agua havia diminu´ıdo, a subida em dire¸c˜ao aos lados do recipiente mostrou o esfor¸co dessa para se afastar do eixo; e esse esfor¸co mostrou o movimento cir-cular real da ´agua aumentando continuamente, at´e ter adquirido sua maior quantidade, quando a ´agua ficou em repouso relativo no recipiente. E, portanto, esse esfor¸co n˜ao depende de qualquer transla¸c˜ao da ´agua com rela¸c˜ao aos corpos do ambiente, nem pode o movimento circular verdadeiro ser definido por tal transla¸c˜ao. H´a somente um movimento circular real de qualquer corpo em rota¸c˜ao, correspondendo a um ´unico poder de tendˆencia de afas-tamento a partir de seu eixo de movimento, como efeito pr´oprio e adequado; mas movimentos relativos, em um mesmo e ´unico corpo, s˜ao inumer´aveis, de acordo com as diferentes rela¸c˜oes que ele mant´em com corpos externos e, como outras rela¸c˜oes, s˜ao completamente destitu´ıdas de qualquer efeito real, embora eles possam talvez compar-tilhar daquele ´unico movimento verdadeiro. (...)

Vamos obter a forma da superf´ıcie da ´agua e a press˜ao num ponto qualquer do l´ıquido no interior do balde que gira. Consideramos a

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agua como um flu´ıdo incompress´ıvel homogˆeneo ideal com densidade ρ.

Na primeira situa¸c˜ao o balde e a ´agua est˜ao em repouso em rela¸c˜ao a um referencial inercial, Figura 2.13. A Terra ´e um bom referen-cial inerreferen-cial para esta experiˆencia. A superf´ıcie da ´agua ´e plana e a press˜ao dentro dela cresce em fun¸c˜ao da profundidade h de acordo

comp(h) =p_o+ρgh, ondep_o = 1atm= 760mm Hg= 1×10⁵N/m²

´e a press˜ao atmosf´erica e g ≈9,8 m/s² ´e o campo gravitacional da Terra. Desta express˜ao podemos obter o princ´ıpio de Arquimedes (287-212 a. C.): A for¸ca para cima (empuxo) exercida pela ´agua em qualquer corpo submerso de volume V ´e dada por ρgV. Esta for¸ca n˜ao depende da massa do corpo mas apenas do volume submerso e da densidade do l´ıquido que o circunda.

Figura 2.13: Balde e ´agua em repouso em rela¸c˜ao a Terra.

Consideramos agora o balde e a ´agua girando juntos com uma velocidade angular constante ω em rela¸c˜ao a um sistema inercial. A superf´ıcie da ´agua fica cˆoncava como representada na Figura 2.14.

Figura 2.14: Balde e ´agua girando juntos em rela¸c˜ao a Terra.

A maneira mais simples de obter a forma da superf´ıcie quando o balde e a ´agua giram com uma velocidade angular constante em rela¸c˜ao `a Terra ´e considerar um sistema de referˆencia centrado na parte mais baixa da ´agua girando, com o eixoz apontando vertical-mente para cima, Figura 2.15.

Figura 2.15: ´Agua girando em rela¸c˜ao a Terra.

Vamos considerar um pequeno volume de l´ıquido com massadm_i= ρdV logo abaixo da superf´ıcie. Ele sofre a for¸ca gravitacional para baixodP =dmgg e uma for¸ca normal `a superf´ıcie do l´ıquido devido ao gradiente de press˜ao, dE. Como esta pequena por¸c˜ao de ´agua move-se num c´ırculo centrado no eixo z, n˜ao h´a uma for¸ca vertical resultante. S´o vai haver uma for¸ca centr´ıpeta resultante apontando em dire¸c˜ao ao eixo z que muda a dire¸c˜ao do movimento, mas n˜ao o m´odulo da velocidade tangencial. Da Figura 2.15 obtemos neste caso (x sendo a distˆancia dedm_i ao eixo z):

dEcosα=dP =dm_gg ,

dEsinα=dm_ia_c =dm_iv²_t

x =dm_iω²x .

Destas duas equa¸c˜oes e utilizando quedm_i =dm_g resulta:

tanα= ω² g x .

Utilizando que tanα=dz/dx, ondedz/dx´e a inclina¸c˜ao da curva em cada ponto e o fato de que queremos a equa¸c˜ao da curva que cont´em a origemx=z= 0 resulta:

z= ω²

2gx² . (2.17)

Isto ´e, a curva ´e um parabol´oide de revolu¸c˜ao. Quanto maior for o valor deω, maior ser´a a concavidade da curva.

Podemos tamb´em calcular a press˜ao num ponto qualquer do l´ıquido utilizando um racioc´ınio similar. Considere a Figura 2.16.

Figura 2.16: Press˜ao no interior de um l´ıquido que gira junto com o balde.

A equa¸c˜ao de movimento de uma pequena quantidade de ´agua dmi ´e d ~P +d ~E = dmi~a, onde d ~E ´e a for¸ca devido ao gradiente de

press˜ao. Isto ´e, para o elemento de massa representado na Figura

Utilizando que h´a apenas uma acelera¸c˜ao centr´ıpeta, ~a =

−(v²/x)ˆx=−ω²xˆx, qued ~P =−dm_ggˆz e quedm_i =dm_g resulta: onde f1(x) ´e uma fun¸c˜ao arbitr´aria de x. A integra¸c˜ao da segunda equa¸c˜ao gera: p =ρω²x²/2 +f2(z), onde f2(z) ´e uma outra fun¸c˜ao arbitr´aria dez. Igualando estas duas solu¸c˜oes e utilizando quep(x= 0, z= 0) =p_o resulta na solu¸c˜ao final para a press˜ao no interior do l´ıquido, a saber:

p(x, z) = ρω²

2 x²−ρgz+po .

Em toda a superf´ıcie do l´ıquido temos p(x, z) =p_o. Utilizando isto obtemos mais uma vez a equa¸c˜ao da superf´ıcie cˆoncava, ou seja, z = ω²x²/2g. Isto completa a solu¸c˜ao do problema na mecˆanica cl´assica.

A importˆancia desta experiˆencia de Newton reside no fato de que ela mostra, para ele, como distinguir entre uma rota¸c˜ao absoluta e uma relativa. De acordo com Newton, a superf´ıcie da ´agua ser´a cˆoncava apenas quando ela est´a girando em rela¸c˜ao ao espa¸co abso-luto. Isto significa que para ele o ω que aparece na Eq. (2.17) ´e a rota¸c˜ao angular da ´agua em rela¸c˜ao ao espa¸co absoluto e n˜ao a rota¸c˜ao da ´agua em rela¸c˜ao aos “corpos do ambiente.” Isto ´e, este ω n˜ao representa a rota¸c˜ao da ´agua em rela¸c˜ao ao balde, nem em rela¸c˜ao a Terra e nem mesmo a rota¸c˜ao em rela¸c˜ao ao universo dis-tante como as estrelas fixas. Lembre-se de que, para Newton, o espa¸co

absoluto n˜ao tem “rela¸c˜ao com qualquer coisa externa,” n˜ao estando, portanto, relacionado com a Terra nem com as estrelas fixas.

Mostramos aqui que Newton n˜ao tinha outra alternativa em sua

´epoca sen˜ao chegar a esta conclus˜ao: Como a rota¸c˜ao angular do balde na experiˆencia de Newton ´e muito maior do que a rota¸c˜ao diurna da Terra ou do que a rota¸c˜ao anual da Terra ao redor do Sol, podemos considerar a Terra como n˜ao estando acelerada em rela¸c˜ao ao referencial das estrelas fixas e como um bom sistema inercial. Na primeira situa¸c˜ao, o balde e a ´agua est˜ao em repouso em rela¸c˜ao `a Terra e, portanto, praticamente com velocidade constante em rela¸c˜ao ao referencial das estrelas fixas. A superf´ıcie da ´agua ´e plana e n˜ao h´a problemas em derivar esta conclus˜ao. Agora consideramos a segunda situa¸c˜ao na qual o balde e a ´agua giram juntos em rela¸c˜ao `a Terra (o que ´e praticamente o mesmo que em rela¸c˜ao `as estrelas fixas) com uma velocidade angular constante ~ω<sub>be</sub> = ~ωwe ≡ ~ω = ωz, onde oˆ eixo z aponta verticalmente para cima naquele local (ˆz = ˆr, onde ˆr aponta radialmente para fora a partir do centro da Terra, ~ω<sub>be</sub> ´e a velocidade do balde em rela¸c˜ao `a Terra e~ω_we ´e a rota¸c˜ao da ´agua em rela¸c˜ao `a Terra). Neste caso a superf´ıcie da ´agua ´e cˆoncava, subindo em dire¸c˜ao `as paredes do balde. As principais quest˜oes que precisam ser respondidas e bem compreendidas s˜ao: Por que a superf´ıcie da

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agua ´e plana na primeira situa¸c˜ao e cˆoncava na segunda? Qual ´e o respons´avel por este comportamento diferente? Este comportamento

´e devido `a rota¸c˜ao da ´agua com rela¸c˜ao a quˆe?

Vamos responder a isto do ponto de vista newtoniano, analisando todas as possibilidades plaus´ıveis. H´a trˆes suspeitos naturais princi-pais para a concavidade da ´agua: Sua rota¸c˜ao em rela¸c˜ao ao balde, em rela¸c˜ao `a Terra, ou em rela¸c˜ao `as estrelas fixas. Que o balde n˜ao ´e o respons´avel pelo comportamento diferente da superf´ıcie da ´agua pode ser percebido imediatamente observando que n˜ao h´a movimento rela-tivo entre a ´agua e o balde em ambas as situa¸c˜oes enfatizadas acima.

Isto significa que qualquer que seja a for¸ca exercida pelo balde so-bre cada mol´ecula da ´agua na primeira situa¸c˜ao, ela vai continuar a mesma na segunda situa¸c˜ao, j´a que o balde ainda vai estar em repouso com rela¸c˜ao `a ´agua.

O segundo suspeito ´e a rota¸c˜ao da ´agua com rela¸c˜ao `a Terra.

Afinal de contas, na primeira situa¸c˜ao a ´agua estava em repouso com rela¸c˜ao `a Terra e a superf´ıcie da ´agua era plana, mas quando a ´agua estava girando com rela¸c˜ao `a Terra na segunda situa¸c˜ao sua superf´ıcie ficou cˆoncava. Logo, poderia ser esta rota¸c˜ao relativa en-tre a ´agua e a Terra a respons´avel pela concavidade da superf´ıcie da

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agua. Newton argumentou que este n˜ao ´e o motivo da concavidade (“E, portanto, esse esfor¸co [de se afastar do eixo do movimento cir-cular] n˜ao depende de qualquer transla¸c˜ao da ´agua com rela¸c˜ao aos corpos do ambiente, nem pode o movimento circular verdadeiro ser definido por tal transla¸c˜ao”). Mostramos aqui que Newton foi co-erente e estava correto nesta conclus˜ao utilizando sua pr´opria lei da gravita¸c˜ao. Na primeira situa¸c˜ao, a ´unica for¸ca relevante exercida pela Terra sobre cada mol´ecula da ´agua ´e de origem gravitacional.

Como vimos no Cap´ıtulo 1, utilizando a Eq. (1.4) e o teorema 31 de Newton obtemos que a Terra atrai qualquer mol´ecula da ´agua como se toda a Terra estivesse concentrada em seu centro, Eqs. (1.6) e (1.5):

P~ = m_g~g = −m_ggˆz. Na segunda situa¸c˜ao a ´agua est´a girando em rela¸c˜ao `a Terra, mas a for¸ca exercida pela Terra sobre cada mol´ecula da ´agua ainda ´e dada simplesmente porP~ =−m_ggzˆapontando ver-ticalmente para baixo. Isto ´e devido ao fato de que a lei de Newton da gravita¸c˜ao (1.4) n˜ao depende da velocidade ou da acelera¸c˜ao entre os corpos interagentes. Isto significa que na mecˆanica newtoniana a Terra n˜ao pode ser a respons´avel pela concavidade da superf´ıcie da

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agua. Estando a ´agua em repouso ou girando em rela¸c˜ao `a Terra, ela vai sentir a mesma for¸ca gravitacional devido a Terra, a saber, o peso P~ apontando para baixo, sem qualquer componente tangencial per-pendicular `a dire¸c˜ao z que dependa da velocidade ou da acelera¸c˜ao da ´agua.

O terceiro suspeito ´e o conjunto das estrelas fixas. Na primeira situa¸c˜ao a ´agua est´a essencialmente em repouso ou com velocidade constante em rela¸c˜ao a elas e sua superf´ıcie ´e plana. J´a na segunda situa¸c˜ao, a ´agua est´a girando com rela¸c˜ao a elas e sua superf´ıcie ´e cˆoncava. Poderia ser esta rota¸c˜ao relativa entre a ´agua e as estrelas fixas a respons´avel pela concavidade da ´agua. Mas na mecˆanica new-toniana este tamb´em n˜ao ´e o caso. A ´unica intera¸c˜ao relevante da

´

agua com as estrelas fixas ´e de origem gravitacional. Vamos

anali-sar esta influˆencia das estrelas na primeira situa¸c˜ao. Como vimos no Cap´ıtulo 1, utilizando a Eq. (1.4) e o teorema 30 de Newton obtemos que a for¸ca resultante exercida por todas as estrelas fixas em qualquer mol´ecula de ´agua ´e essencialmente nula, supondo as estrelas fixas dis-tribu´ıdas mais ou menos homogeneamente no c´eu e desprezando as pequenas anisotropias em suas distribui¸c˜oes. Este ´e o motivo pelo qual as estrelas fixas raramente s˜ao mencionadas na mecˆanica newto-niana. Isto vai permanecer v´alido n˜ao apenas quando a ´agua est´a em repouso com rela¸c˜ao `as estrelas fixas, mas tamb´em quando ela est´a girando com rela¸c˜ao a elas. Mais uma vez isto ´e devido ao fato de que a lei de Newton da gravita¸c˜ao (1.4) n˜ao depende da velocidade ou da acelera¸c˜ao entre os corpos. Logo, seu resultado (1.6) vai per-manecer v´alido n˜ao importando a velocidade ou acelera¸c˜ao do corpo 1 em rela¸c˜ao `a casca esf´erica.

Como vimos anteriormente, Newton estava ciente de que podemos desprezar a influˆencia gravitacional do conjunto das estrelas fixas na maior parte das situa¸c˜oes. Lembre-se de que ele afirmou noPrincipia que “as estrelas fixas, estando dispersas promiscuamente por todo o c´eu, destroem suas a¸c˜oes m´utuas devido a suas atra¸c˜oes contr´arias, pela Prop. 70, Livro I.” A conclus˜ao ´e ent˜ao a de que a rota¸c˜ao relativa entre a ´agua e as estrelas fixas tamb´em n˜ao ´e a respons´avel pela concavidade da ´agua. Mesmo introduzindo as gal´axias externas (que n˜ao eram conhecidas por Newton) n˜ao ajuda, pois sabe-se que elas est˜ao distribu´ıdas mais ou menos uniformemente no c´eu. Logo, a mesma conclus˜ao a que Newton chegou com rela¸c˜ao `as estrelas fixas (que elas n˜ao exercem qualquer for¸ca resultante apreci´avel em outros corpos) ´e obtida com as gal´axias distantes.

Uma conseq¨uˆencia importante disto ´e que mesmo que as estre-las fixas e as gal´axias distantes desaparecessem (fossem literalmente aniquiladas do universo) ou dobrassem de n´umero e massa, isto n˜ao iria alterar a concavidade da ´agua nesta experiˆencia do balde. Elas n˜ao tˆem nenhuma rela¸c˜ao com esta concavidade, pelo menos de acordo com a mecˆanica newtoniana.

Como o efeito da concavidade da ´agua ´e real pois se pode medir o quanto a ´agua sobe pelas paredes do balde (a ´agua girando pode chegar at´e mesmo a entornar do balde seωfor muito grande), Newton

n˜ao tinha outra escolha sen˜ao apontar um outro respons´avel para este efeito, ou seja, a rota¸c˜ao da ´agua em rela¸c˜ao ao espa¸co absoluto. Esta era sua ´unica alternativa, supondo a validade de sua lei da gravita¸c˜ao universal que ele estava propondo no mesmo livro onde apresentou a experiˆencia do balde. Al´em disto, este espa¸co absoluto newtoniano n˜ao pode ter nenhuma rela¸c˜ao com a massa ou quantidade de mat´eria da ´agua, do balde, da Terra, das estrelas fixas, nem de qualquer outro corpo material, pois como acabamos de ver todas estas outras poss´ıveis influˆencias j´a foram eliminadas.

A explica¸c˜ao quantitativa desta experiˆencia chave, sem introduzir o conceito de espa¸co absoluto, ´e uma das principais caracter´ısticas da mecˆanica relacional desenvolvida neste livro.