Pˆendulo Simples

x_o =Asinθ_o .

2.3.2 Pˆendulo Simples

O segundo exemplo, o mais importante a ser discutido nesta Se¸c˜ao, ´e o de um pˆendulo simples, Figura 2.7. Um corpo pequeno de dimens˜ao t´ıpica d (tamanho, raio ou diˆametro m´aximo) oscila num plano vertical preso a um fio de comprimento fixoℓ, tal que d≪ℓ.

Figura 2.7: Pˆendulo simples.

Desprezando a resistˆencia do ar, h´a duas for¸cas agindo no corpo:

seu peso P~ = m_g~g = −m_ggzˆ e a tens˜ao no fio T~. A equa¸c˜ao de movimento ´e simplesmenteP~ +T~ =mi~a. Utilizando o ˆangulo repre-sentado nesta Figura, o fato de que o comprimento do fio ´e constante

e um sistema de coordenadas polares com origem no ponto de fixa¸c˜ao

Se considerarmos apenas pequenas oscila¸c˜oes do pˆendulo (θ ≪ π/2) ent˜ao sinθ ≈ θ e esta ´ultima equa¸c˜ao pode ser simpli-ficada, ficando na forma:

m_iθ¨+m_gg ℓθ= 0 .

Esta equa¸c˜ao tem a mesma forma que a Eq. (2.10). Sua solu¸c˜ao

´e

A constanteA´e a amplitude de oscila¸c˜ao paraθ,B´e a fase inicial eω ´e a frequˆencia de oscila¸c˜ao.

Comparamos agora as freq¨uˆencias de oscila¸c˜ao ω para a mola e para o pˆendulo simples, Eqs. (2.11) e (2.13). Os per´ıodos de oscila¸c˜ao s˜ao dados porT = 2π/ω. A diferen¸ca mais marcante ´e que enquanto a freq¨uˆencia de oscila¸c˜ao da mola depende apenas dem_i mas n˜ao de m_g, no pˆendulo a freq¨uˆencia de oscila¸c˜ao depende da raz˜ao m_g/m_i. Suponha agora que temos um corpo de prova com uma massa inercial m_ie uma massa gravitacionalm_g. Se ele oscila horizontalmente preso a uma mola com constante el´astica k sua freq¨uˆencia de oscila¸c˜ao ´e dada porω1 =^pk/m_i. Se ligamos dois destes corpos `a mesma mola, a nova freq¨uˆencia de oscila¸c˜ao ´e dada por ω2 = ^pk/2m_i = ω1/√

2, Figura 2.8.

Figura 2.8: Duas massas diferentes, m e 2m, ligadas na mesma mola.

Por outro lado, se o primeiro corpo estivesse ligado a um fio de comprimentoℓe sofresse pequenas oscila¸c˜oes num plano vertical como o pˆendulo descrito acima, sua freq¨uˆencia de oscila¸c˜ao seria dada por:

ω1 = ^qm_gg/m_iℓ. Ligando dois destes corpos ao mesmo fio, a nova freq¨uˆencia de oscila¸c˜ao do pˆendulo ´e dada por ω2 =^q2m_gg/2m_iℓ= ω1, Figura 2.9.

Figura 2.9: Duas massas diferentes, m e 2m, ligadas no mesmo pˆendulo.

O mesmo vai acontecer qualquer que seja a composi¸c˜ao qu´ımica do corpo. Isto ´e, em pˆendulos de mesmo comprimentoℓe na mesma localiza¸c˜ao sobre a Terra (mesmo g) todos os corpos oscilam com a

mesma freq¨uˆencia no v´acuo, n˜ao importando seu peso, sua forma, sua composi¸c˜ao qu´ımica etc. Isto ´e um fato experimental que n˜ao pode ser deduzido das leis do movimento de Newton j´a que delas n˜ao se tira que m_i = m_g (ou que m_i = αm_g). Apenas a experiˆencia pode nos dizer que a freq¨uˆencia de oscila¸c˜ao de um pˆendulo no v´acuo n˜ao depende do peso ou da composi¸c˜ao qu´ımica dos corpos, enquanto que a freq¨uˆencia de oscila¸c˜ao de uma mola na horizontal ´e inversamente proporcional `a raiz quadrada da massa do corpo.

Este fato experimental mostra que podemos cancelar as massas na Eq. (2.13) e com isto escrever a freq¨uˆencia de oscila¸c˜aoωdo pˆendulo e seu per´ıodoT como:

ω= rg

ℓ = 2π T .

Na Se¸c˜ao 2.2.2 vimos que a massa inercial de um corpo ´e pro-porcional `a massa gravitacional ou ao peso do corpo, mas que n˜ao ´e proporcional `a sua carga ou a propriedades el´etricas do corpo. Aqui vemos que a massa inercial do corpo n˜ao ´e proporcional a qualquer propriedade el´astica do corpo ou do meio que o circunda (a mola neste caso). Analogamente pode ser mostrado que a massa inercial ou in´ercia de um corpo n˜ao est´a relacionada com nenhuma propriedada magn´etica, nuclear ou de qualquer outro tipo, seja do corpo de prova ou do meio que o circunda. Newton expressou isto no Corol´ario V, Proposi¸c˜ao 6 do Livro III do Principia (entre colchetes v˜ao nossas palavras): “O poder da gravidade ´e de uma natureza diferente do poder do magnetismo; pois a atra¸c˜ao magn´etica n˜ao ´e como a mat´eria atra´ıda [isto ´e, a for¸ca magn´etica n˜ao ´e proporcional `a massa inercial do corpo sendo atra´ıdo]. Alguns corpos s˜ao mais atra´ıdos pelo ´ım˜a, outros menos, a maior parte dos corpos n˜ao ´e atra´ıda. O poder do magnetismo num mesmo corpo pode ser aumentado e diminu´ıdo e algumas vezes ´e muito mais forte, pela quantidade de mat´eria [em rela¸c˜ao `a quantidade de mat´eria que cont´em], do que o poder da gravidade e ao afastar-se do ´ım˜a n˜ao cai como o quadrado mas quase como o cubo da distˆancia, t˜ao aproximadamente quanto pude julgar a partir de algumas observa¸c˜oes grosseiras.”

A massa inercial s´o ´e proporcional `a massa gravitacional ou ao peso do corpo. Por que a natureza se comporta assim? N˜ao h´a uma

resposta a esta pergunta na mecˆanica newtoniana. Poderia acontecer que um peda¸co de ouro ca´ısse no v´acuo em dire¸c˜ao `a Terra com uma acelera¸c˜ao maior do que um peda¸co de ferro ou de prata com o mesmo peso, mas isto n˜ao se observa. Tamb´em poderia acontecer que um peda¸co mais pesado de ouro ca´ısse no v´acuo em dire¸c˜ao `a Terra com uma acelera¸c˜ao maior do que um peda¸co mais leve tamb´em de ouro, ou do que um outro peda¸co de ouro com uma forma diferente. Mais uma vez isto n˜ao se observa. Caso acontecesse qualquer um destes casos todos os resultados da mecˆanica newtoniana continuariam a valer, com a ´unica diferen¸ca de que n˜ao mais cancelar´ıamos m_i com m_g. Dir´ıamos ent˜ao quem_idepende da composi¸c˜ao qu´ımica do corpo, ou de sua forma, ou que n˜ao ´e linearmente proporcional amg, ou ...

dependendo do que se observasse experimentalmente.

Embora esta proporcionalidade impressionante entre a in´ercia e o peso (ou, mais especificamente, entre mi e mg) n˜ao prove nada, ela ´e altamente sugestiva indicando que a in´ercia de um corpo (sua resistˆencia em sofrer acelera¸c˜oes) pode ter uma origem gravitacional.

Mais para a frente mostraremos que este ´e realmente o caso.

Por hora apresentamos aqui as experiˆencias precisas de Newton com pˆendulos para chegar na proporcionalidade entre a in´ercia (ou quantidade de mat´eria como Newton a chamava) e o peso (ou propor-cionalidade entre m_i e m_g, como dizemos hoje em dia). Na primeira defini¸c˜ao do Principia, aquela de quantidade de mat´eria, Eq. (1.1), Newton disse: “´E essa quantidade que doravante sempre denominarei pelo nome de corpo ou massa. A qual ´e conhecida atrav´es do peso de cada corpo, pois ´e proporcional ao peso, como encontrei em ex-perimentos com pˆendulos, realizados muito rigorosamente, os quais ser˜ao mostrados mais adiante.” Estes experimentos est˜ao contidos na Proposi¸c˜ao 6, Teorema 6 do Livro III doPrincipia, j´a mencionada anteriormente:

Que todos os corpos gravitam em dire¸c˜ao a cada planeta e que os pesos dos corpos em dire¸c˜ao a qualquer planeta, a distˆancias iguais do centro do planeta, s˜ao proporcionais

`

as quantidades de mat´eria que eles contˆem.

Tem sido observado por outros, por um longo tempo, que todos os tipos de corpos pesados (descontando-se a

desi-gualdade de atraso que eles sofrem de um pequeno poder de resistˆencia no ar) descem para a Terrade alturas iguais em tempos iguais; e podemos distinguir esta igualdade de tempos com uma grande precis˜ao com a ajuda de pˆendulos. Tentei experiˆencias com ouro, prata, chumbo, vidro, areia, sal comum, madeira, ´agua e trigo. Fiz dois recipientes de madeira, redondos e iguais; enchi um com madeira e suspendi um peso igual de ouro (t˜ao exatamente quanto pude) no centro de oscila¸c˜ao do outro. Os recipien-tes, suspensos por fios iguais de 11 p´es [3,35 metros] eram um par de pˆendulos perfeitamente iguais em peso, forma e recebendo igualmente a resistˆencia do ar. E, colocando um ao lado do outro, os observei movimentar-se juntos para frente e para tr´as, por um longo tempo, com vi-bra¸c˜oes iguais. E, portanto, a quantidade de mat´eria no ouro (pelo Cor. I e VI, Prop. XXIV, Livro II) estava para a quantidade de mat´eria na madeira como a a¸c˜ao da for¸ca motriz (ou vis motrix) sobre todo o ouro para a a¸c˜ao da mesma for¸ca sobre toda a madeira; isto ´e, como o peso de um para o peso do outro e o mesmo aconteceu nos out-ros corpos. Por estes experimentos, em corpos do mesmo peso, podia claramente ter descoberto uma diferen¸ca de mat´eria menor do que a mil´esima parte do todo, se tal diferen¸ca tivesse existido. (...)

Deste experimento Newton obteve que m_i =m_g com uma parte em mil, isto ´e:

m_i−m_g

mi ≤ ±10⁻³ .

Com as experiˆencias de E¨otvos no come¸co deste s´eculo a precis˜ao desta rela¸c˜ao foi melhorada para uma parte em 10⁸, sendo que hoje em dia a precis˜ao ´e de uma parte em 10¹². Para as referˆencias ver [WE82].

Discuss˜oes did´aticas sobre a proporcionalidade entre a massa iner-cial e gravitacional podem ser encontradas em [Gol68, p´ags. 162-172], [Luc79, p´ags. 103-108 e 516-525] e [Nus81, p´ags. 497-504].