Carga Movendo-se no Interior de um Capacitor Ideal 26

Au-gustin Coulomb (1738-1806) obteve em 1784-1785 a lei de for¸ca entre duas cargas pontuaisq1 eq2. Na nota¸c˜ao vetorial moderna e no Sis-tema Internacional de Unidades a for¸ca exercida porq2emq1, quando ambas est˜ao separadas por uma distˆanciar´e dada por (sendo ˆro ver-sor unit´ario apontando de 2 para 1):

F~21= q1q2

4πεo

ˆ r

r² . (2.4)

Esta for¸ca ´e muito similar `a lei de Newton para a gravita¸c˜ao: ´e direcionada ao longo da linha reta ligando os corpos, segue a lei de a¸c˜ao e rea¸c˜ao e cai com o quadrado da distˆancia. Al´em do mais, ela depende do produto de duas cargas, enquanto que na for¸ca gra-vitacional temos o produto de duas massas. Parece que Coulomb foi levado a esta express˜ao mais por analogia com a lei de Newton para a gravita¸c˜ao do que como resultado de suas poucas experiˆencias, [Hee92]. A similaridade entre a for¸ca de Coulomb (2.4) e a for¸ca de Newton para a gravita¸c˜ao, Eq. (1.4), mostra que as massas gravita-cionais tˆem o mesmo papel que as cargas el´etricas: ambas geram e sentem algum tipo de intera¸c˜ao com corpos equivalentes, sejam eles gravitacionais ou el´etricos. A forma da intera¸c˜ao ´e essencialmente a mesma.

Um capacitor plano ideal ´e representado na Figura 2.3.

Nele, temos duas placas planas grandes de lado l separadas por uma pequena distˆancia d, onded≪l. As placas situadas em z=z_o e em z = −z_o est˜ao uniformente carregadas com cargas totais Q e

−Q, respectivamente. Em cada placa temos uma densidade de carga constante dada porσ =Q/l² e−σ, respectivamente. Se integramos a for¸ca exercida pelo capacitor atuando sobre uma part´ıcula carregada movendo-se em seu interior utilizando a express˜ao de Coulomb e des-prezando os efeitos de borda obtemos o resultado bem conhecido dado por:

F~ =−qσzˆ

ε_o =q ~E . (2.5)

Aqui ˆz ´e o vetor unit´ario apontando da placa negativa para a positiva e E~ =−σz/εˆ _o ´e o campo el´etrico gerado pelo capacitor na regi˜ao entre as placas. Fora do capacitor ideal n˜ao h´a campo el´etrico.

Figura 2.3: Capacitor plano ideal.

Na eletrodinˆamica de Weber vai haver ainda uma componente da for¸ca exercida pelo capacitor sobre a cargaq movendo-se em seu inte-rior que depende da velocidade da carga em rela¸c˜ao as placas do ca-pacitor ([Ass89b], [AC91], [AC92], [Ass92b, Se¸c˜ao 5.6], [Ass94, Se¸c˜oes 6.7 e 7.2] e [Ass95b, Se¸c˜ao 5.5]). Mas supondo velocidades baixas da carga q (em compara¸c˜ao com a velocidade da luz, v²/c² ≪ 1), como podemos supor nesta experiˆencia, vem que vai valer a Eq. (2.5).

Na eletrodinˆamica cl´assica (equa¸c˜oes de Maxwell mais for¸ca de Lorentz) esta ´e a for¸ca total exercida pelo capacitor em qualquer carga interna a ele, n˜ao interessando sua posi¸c˜ao, velocidade ou ace-lera¸c˜ao em rela¸c˜ao `as placas, supondo cargas fixas sobre as placas do capacitor. Isto pode ser obtido supondo um capacitor feito de placas diel´etricas carregadas (havendo v´acuo entre as placas) que n˜ao per-mitem um movimento livre das cargas sobre a superf´ıcie das placas.

Neste caso o capacitor gera apenas um campo el´etrico constante no interior das placas e nenhum campo magn´etico.

Figura 2.4: Duas part´ıculas sendo aceleradas num capacitor.

Igualando as Eqs. (2.5) e (2.1) resulta:

~a= q mi

E .~

O campo el´etrico depende apenas da densidade superficial de carga sobre as placas do capacitor e ´e independente deq ou de mi. Ele ´e an´alogo ao campo gravitacional na superf´ıcie da Terra no nosso

exemplo anterior. A diferen¸ca agora ´e que num mesmo campo el´etrico podemos ter corpos sofrendo acelera¸c˜oes diferentes. Por exemplo, um pr´oton (p) sendo acelerado no interior de um capacitor vai ter uma acelera¸c˜ao duas vezes maior do que a acelera¸c˜ao de uma part´ıcula alfa (α) (n´ucleo do ´atomo de h´elio, com dois pr´otons e dois neutrons) sendo acelerada no mesmo capacitor: ~ap = 2~aα, Figura 2.4. Isto ´e devido ao fato de que a carga de uma part´ıcula alfa ´e duas vezes a de um pr´oton, enquanto sua massa ´e quatro vezes a do pr´oton dev-ido aos dois neutrons e dois pr´otons que possui. Isto j´a n˜ao ocorre na queda livre, j´a que todos os corpos (n˜ao interessando seu peso, forma, composi¸c˜ao qu´ımica, carga el´etrica, etc.) caem com a mesma acelera¸c˜ao no v´acuo na superf´ıcie da Terra.

Isto ´e um fato extremamente importante. Comparando estes dois exemplos (ver Figuras 2.2 e 2.4) vemos que a massa inercial de um corpo ´e proporcional `a sua massa gravitacional, mas n˜ao ´e propor-cional `a sua carga. Este fato sugere que a in´ercia de um corpo est´a relacionada com seu peso ou com sua massa gravitacional m_g, mas n˜ao com suas propriedades el´etricas. Voltaremos a este ponto depois.

2.2.3 Trem Acelerado

O terceiro exemplo discutido aqui ´e o de um trem acelerado em rela¸c˜ao a Terra movendo-se em linha reta. No teto de um dos vag˜oes h´a um pequeno corpo suspenso por uma corda, Figura 2.5.

Figura 2.5: Trem acelerado.

Analisamos aqui a situa¸c˜ao de equil´ıbrio na qual o corpo est´a em repouso em rela¸c˜ao ao trem. H´a duas for¸cas agindo no corpo: a for¸ca gravitacional da Terra (o peso P~ = mg~g) e a for¸ca exercida pela corda devido a tens˜ao T~. A equa¸c˜ao de movimento ´e da dada por:

P~ +T~ =m_i~a .

Usando o ˆangulo θ da Figura 2.5 vem:

P =Tcosθ, (2.6)

Tsinθ=m_ia. (2.7)

Destas express˜oes e de P =m_gg obtemos:

tanθ= m_i m_g

a

g . (2.8)

Do fato experimental de que θ ´e o mesmo para todos os corpos independente de seus pesos, composi¸c˜oes qu´ımicas etc. obtemos mais uma vez quem_i=αm_g, ou que a in´ercia do corpo ´e proporcional ao seu peso.