A primeira atividade

A Base Nacional Comum Curricular (BNCC) ressalta a importância das experimentações para aprendizagem:

Apesar de a Matemática ser, por excelência, uma ciência hipotético- dedutiva, porque suas demonstrações se apoiam sobre um sistema de axiomas e postulados, é de fundamental importância também considerar o papel heurístico das experimentações na aprendizagem da Matemática. (BRASIL, 2017, p. 261).

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Assim, em nossa primeira atividade os alunos deveriam com o auxílio do Google

Maps localizar a escola no mapa, em seguida medir a distância entre a escola e o ponto de

ônibus que fica localizado na entrada do Parque Bosque das Mangueiras; após isso, os estudantes deveriam comparar os valores encontrados com três de seus colegas, por último, deveriam encontrar a distância táxi (representada por DT) e a Distância Euclidiana (DE). Com essa atividade pretendíamos que os alunos tivessem um primeiro contato com o Google Maps, e que realizassem uma exploração inicial das ferramentas para que, após esse momento, conseguissem visualizar os locais desejados e realizar as medições necessárias. Uma de nossas expectativas era sobre a forma como a distância entre os dois lugares seria verificada, se ela ocorreria em linha reta (um pensamento euclidiano) ou seguindo a dinâmica das ruas, tendo em vista que estávamos em um contexto que envolvia deslocamentos urbanos. A utilização de uma métrica euclidiana indicaria o resultado DE = 540m. Por outro lado, a utilização da métrica táxi indicaria que DT = 710m. A comparação das respostas permitiria que os participantes: discutissem os diferentes resultados encontrados, observassem que os valores informados pelo Google Maps são aproximados e decidissem a forma mais adequada para realização da medição.

Os estudantes não demonstraram dificuldades para utilizar o Google Maps. Nos primeiros minutos de aula eles realizaram a exploração de alguns recursos, como: a visualização de imagens de satélite, o street view13, o zoom e o campo pesquisa.

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Recurso do Google Maps que permite a visão panorâmica em 360 graus na horizontal e 290 graus na vertical.

Figura 11 – Imagem da escola a partir do Street view

Fonte: Elaborado pelo autor (2020),adaptada de Google Maps (2019).

Durante esse momento de livre exploração foi observado que os alunos realizaram buscas por locais de seu interesse como: o shopping localizado próximo a escola e suas residências, o que podemos verificar através da fala da professora: “Tem gente que está

olhando onde está a casa dele.”

Quando compararam suas respostas, os alunos perceberam que os valores informados eram parecidos, nesse momento um dos discentes diz: “Esse negócio não dá exato, não.” Outro aluno complementa relatando que: “Cada um deu um valor diferente.” Quando perguntados sobre os valores que haviam encontrado, um aluno responde: “543,87”, outro: “538”, uma estudante diz: “700”. Dentre todos os participantes apenas uma aluna informou o valor de 700m como resultado, o que pode indicar a utilização da métrica táxi, porém, depois de ouvir os valores informados por seus colegas, ela decidiu alterar sua resposta e informou “538” como o resultado encontrado. Percebemos que nas respostas apresentadas raramente eles mencionavam a unidade de medida. Após a explicação realizada pela docente um dos alunos se refere a DE com a seguinte expressão: “aquela por cima de tudo?”, explicitando que o segmento que representava a DE passou sobre as casas. Outro aluno ao fazer referência a DT relata que: “essa daqui é aquela pela rua.” Quando questionados pela docente sobre qual das distâncias não estava correta, a maioria dos alunos informou como resposta: “a euclidiana.”

Um aluno disse: “a euclidiana, por que vai por cima das casas.” Um terceiro aluno afirmou: “as duas estão certas.” Nesse momento a professora esclareceu que ambas estão corretas, e que é preciso avaliar qual a forma mais adequada para se calcular a distância em determinada situação.

4.1.2 A segunda atividade

A partir da atividade número dois iniciamos uma série de três atividades que simulariam e analisariam trajetos urbanos, para tanto, utilizamos a ferramenta Rotas disponível no Google Maps. Após o usuário informar os locais de seu interesse, a ferramenta fornece uma sugestão de itinerário, e possíveis formas de deslocamento para o percurso pretendido. Os lugares que deveriam ser percorridos pelos alunos eram os mesmos da primeira atividade (a escola e o bosque). Os estudantes deveriam encontrar um trajeto com início na escola e término no bosque, também deveriam verificar qual a estimativa da distância e o tempo previsto para realização do trajeto, além de apontar quais meios de locomoção seriam mais indicados. Precisariam, ainda, simular o percurso inverso (com início no bosque e término na escola); comparar os resultados obtidos (no percurso de ida e volta); identificar possíveis alterações na distância percorrida, no itinerário, no tempo estimado e no meio de locomoção utilizado. Segundo a Base Nacional Comum Curricular (BNCC), durante o Ensino Médio os estudantes devem desenvolver e mobilizar habilidades para a resolução de problemas, ressaltando ainda que,

[...] os problemas cotidianos têm papel fundamental na escola para o aprendizado e a aplicação de conceitos matemáticos, considerando que o cotidiano não se refere apenas às atividades do dia a dia dos estudantes, mas também às questões da comunidade mais ampla e do mundo do trabalho. (BRASIL, 2018, p. 527).

Durante as simulações esperávamos que: os estudantes encontrassem um itinerário para os endereços propostos, realizassem análise crítica das informações apresentadas pelo

Google Maps. Além disso, que constatassem que o simples fato de inverter o ponto de partida

com o de destino, causaria mudanças significativas caso os meios de locomoção escolhidos fossem a bicicleta ou o carro. As implicações seriam: aumento de 40% na distância a ser percorrida, acréscimo de tempo e alteração no itinerário. Por outro lado, se o modo de deslocamento escolhido for a pé, não haveria alterações significativas: apenas o acréscimo de

um minuto no tempo estimado. Esperávamos também que os alunos conseguissem elaborar uma argumentação consistente sobre o motivo de tantas alterações.

Uma das primeiras indagações efetuadas pela professora foi sobre a viabilidade de utilizar o ônibus como forma de deslocamento entre os dois pontos. Um dos alunos respondeu: “Não. O tempo que você espera o ônibus é o tempo de chegar lá.” Outro aluno complementa dizendo: “Não tem ônibus.” Um terceiro aluno incentiva o colega a verificar qual seria o percurso sugerido se optassem por utilizar o avião como meio de transporte: “Olha de avião pra ver quanto dá.” E ele ouve como resposta: “De avião não tem, não.” Os participantes concluíram que a distância entre a escola e o bosque seria de aproximadamente 700m e que as três formas mais eficientes para realização do deslocamento seriam: caminhando, de carro e de bicicleta. Os alunos demonstraram certa dificuldade para explicar por que o percurso inverso (partindo do bosque até a escola) foi acrescido em cerca de 300m, quando utilizados o carro ou a bicicleta como meio de transporte. Esse incremento na distância ocorreu pelo fato que o itinerário sugerido na ida foi diferente do caminho proposto para a volta. A avenida em que o bosque está localizado é de sentido único, e segundo as normas de trânsito os veículos, inclusive os ciclistas, não podem transitar no sentido contrário, sendo assim não seria possível retornar à escola utilizando o carro ou a bicicleta pelo mesmo itinerário. Em suas falas os estudantes sugerem que o aumento da distância ocorreu apenas devido ao fato de os carros serem obrigados a respeitar as normas de trânsito. Um dos alunos comenta que: “O carro precisa fazer o trajeto correto.” Em sua fala um dos alunos diz que: “No percurso a pé não existe normas de trânsito.” Um segundo aluno comenta que existem normas de trânsito para os pedestres: “Ter, tem!” Quando questionados sobre qual meio de locomoção não sofreu alterações tanto no trajeto de ida quanto no trajeto de volta, um dos alunos responde: “a pé”, e complementa dizendo: “por que você pode andar na contramão.” Se referindo ao fato de poder caminhar pela calçada em ambos os sentidos.

4.1.3 A terceira atividade

A Base Nacional Comum Curricular (BNCC) ao discorrer sobre Movimento e Posição (um dos pares de ideias fundamentais para o ensino de Matemática segundo este documento) declara que, “atividades investigativas com softwares dinâmicos que inter-relacionem movimento e posição podem também promover o desenvolvimento dessas ideias, importantes em cartografia e na movimentação diária do cidadão comum.” (BRASIL, 2018, p. 521).

Assim, na terceira atividade, os participantes deveriam criar dois roteiros que permitissem percorrer três lugares distintos, de forma que a distância fosse sempre a menor possível. O primeiro roteiro deveria utilizar o carro como único meio de locomoção, já para o segundo os estudantes obrigatoriamente deveriam utilizar dois meios diferentes de locomoção para visitar os três locais.

Contudo uma das limitações do Google Maps é a impossibilidade de combinar diferentes formas de deslocamento, por exemplo, simular um itinerário que inicia com uma caminhada, em seguida utiliza o transporte público. Uma forma de superar essa limitação é simular separadamente o itinerário desejado, por exemplo, simular primeiro a parte do percurso que será realizada a pé, em seguida o trecho que será percorrido de ônibus. Nossa expectativa era que os estudantes inserissem os endereços desejados no Google Maps, escolhessem como forma de deslocamento o carro, em seguida, realizassem a testagem das possibilidades, reordenando os locais desejados de forma que conseguissem encontrar o menor trajeto possível (que seria um percurso de aproximadamente 1,3Km), construindo, assim, um roteiro que utilizasse exclusivamente o carro. Para construir o segundo roteiro, os alunos poderiam optar por realizar pequenos percursos caminhando ou de bicicleta14, evitando congestionamentos e problemas com estacionamento, e a parte mais longa poderia ser realizada de carro, um itinerário que seria de aproximadamente 980m.

Para essa atividade especificamente, os áudios capturados não apresentaram grandes contribuições sobre as conclusões obtidas pelos alunos, o fato de a verbalização dos resultados por parte dos alunos não ter sido muito estimulada, pode ter contribuído para isso. Ficou evidente nos áudios que os participantes enfrentaram dificuldades para compreender a atividade; a maior delas ocorreu no momento em que deveriam combinar formas diferentes de deslocamento. Diante disso, optamos por inserir um comentário na versão do aluno que até então estava presente apenas na versão destinada ao professor. É possível que a dificuldade enfrentada pela turma tenha ocorrido pela falta de clareza durante a redação da atividade. Diante do tempo excessivo desprendido para essa atividade, inserimos na versão do professor uma sugestão (optar pela não realização dela, ou solicitar que os discentes construam apenas uma das duas estratégias), tal decisão deve ser tomada com base no tempo disponível para a realização das atividades.

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É importante lembrar que de acordo com o código de trânsito brasileiro o ciclista que se encontra sobre a bicicleta, está sujeito as mesmas regras que os veículos automotores; por outro lado, quando o ciclista está empurrando a bicicleta o mesmo está sujeito as mesmas normas que os pedestres.

4.1.4 A quarta atividade

Na quarta atividade os estudantes deveriam elaborar um roteiro turístico que percorresse sete lugares previamente determinados, de forma que o itinerário proposto propiciasse a um turista economia de tempo e dinheiro, além de desfrutar de um agradável passeio pela cidade. Uma das exigências era que durante o passeio pelo menos três formas distintas de locomoção fossem utilizadas. Os alunos deveriam ainda argumentar sobre a ordem de visitação escolhida e a forma de deslocamento sugerida. A elaboração do roteiro turístico deveria ter início com a escolha do carro como forma de deslocamento para todos os estudantes, isso permitiria comparar a distância percorrida em cada um dos roteiros elaborados, caso a padronização da forma de deslocamento não ocorresse. Os alunos que escolhessem a opção a pé como forma de deslocamento apresentariam melhores resultados. Essa atividade foi pensada como uma estratégia de promoção da cidadania considerando, como indicam os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), que

[...] a Matemática pode dar sua contribuição à formação do cidadão ao desenvolver metodologias que enfatizem a construção de estratégias, a comprovação e justificativa de resultados, a criatividade, a iniciativa pessoal, o trabalho coletivo e a autonomia advinda da confiança na própria capacidade para enfrentar desafios. (BRASIL, 1998, p. 27).

Inicialmente esperávamos que os participantes inserissem os lugares previamente estabelecidos e realizassem uma reorganização da ordem de visitação, em busca do menor percurso possível. Nossa expectativa era que os alunos observassem todos os pontos desejados no mapa e percebessem que existiam dois pontos extremos, a Ponte Newton15 Navarro e o Morro do Careca16 - um desses locais deveria ser escolhido como ponto inicial, e o outro final. Após a escolha do primeiro ponto, os estudantes deveriam verificar qual dos lugares desejados estava mais perto do ponto de início, esse seria o segundo ponto do roteiro, o terceiro ponto seria escolhido de forma análoga até chegar ao penúltimo ponto. A estratégia consiste em partindo do ponto de início se aproximar do último destino, à medida que percorre os lugares que estão entre os pontos extremos. Depois de escolher a ordem de visitação, os participantes deveriam sugerir como os deslocamentos poderiam ser realizados, uma opção é que: percursos mais longos sejam realizados de carro ou de ônibus, distâncias

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Localizada na cidade de Natal/RN, possui 103m de altura e uma extensão de 2714m. 16

intermediárias poderiam ser percorridas de bicicleta e trechos curtos poderiam ser realizados a pé. Nessa atividade um roteiro ruim pode sugerir um percurso de aproximadamente 60km, porém um roteiro eficiente percorreria cerca de 23km, como pode ser observado na figura que segue.

Figura 12 - Roteiro turístico

Fonte: Elaborado pelo autor (2020), adaptada de Google Maps (2020).

Após realizar explicações sobre a atividade, a docente pediu aos participantes que sugiram um ponto de início para o roteiro, um dos estudantes diz: “Eu começaria pelo Morro

do careca, e depois para o Arena.” Uma sugestão coerente tendo em vista que o primeiro

ponto escolhido por ele é um dos dois lugares considerados como extremos, e o segundo local sugerido é o mais próximo do primeiro destino escolhido. Os alunos então iniciam uma série de testagens reorganizando os lugares desejados, um dos participantes comenta: “O meu ficou

30, estava em 38.” Fazendo referência à distância, em quilômetros. Quando perguntado sobre

o que ele fez para reduzir o percurso ele fala: “Eu coloquei o centro (da cidade) no meio,

comecei pela ponte Newton Navarro, e por último o Morro do Careca.” Entusiasmado com

seu progresso o aluno ainda comenta: “Ficou 23 agora. Eu estava em 38 e agora estou em

23(km). Acho que ainda dá para ficar menor.”

Quando idealizamos essa atividade a menor distância encontrada para o roteiro foi de 25km, o que foi aperfeiçoado pelos alunos, que conseguiram encontrar um valor ainda menor:

22,9km. Ao descrever a estratégia utilizada durante a elaboração do roteiro um dos alunos relata que: “Primeiro a gente escolheu o ponto de início e o final.” Outro aluno diz: “Eu fui

pelo ponto mais perto do início, depois o mais próximo, depois o mais próximo...” As formas

de deslocamento mais utilizadas foram: o carro, a bicicleta e a pé. Quando perguntados se a primeira informação apresentada pelo Google Maps é sempre a mais correta, um dos participantes responde: “Não, vai depender.” Indicando a necessidade de analisar criticamente as informações apresentadas, a testagem de hipóteses foi fundamental para a formulação da resposta apresentada (“Não, vai depender.”), pois durante as simulações os discentes perceberam que existiam opções mais eficientes do que aquelas apresentadas pelo Google

Maps.

4.1.5 A quinta atividade

A partir da quinta atividade, utilizamos um recurso do Google Maps que permite a criação de mapas, realizamos a construção de algumas figuras que permitiram abordar questões mais conceituais da Geometria do Taxista. Para tanto, escolhemos como plano de fundo para essas atividades uma região da cidade de Belo Horizonte (MG), cujo mapa se assemelha a uma cidade ideal (que possui ruas verticais e horizontais equidistantes), similar à malha quadriculada empregada pela Geometria do Taxista. Na atividade número cinco os estudantes deveriam inserir pontos em determinados locais de um mapa, logo após verificar quantos caminhos possíveis existem para se dirigir de um ponto até o outro, de forma que a distância percorrida seja sempre a menor possível. Também deveriam escolher outros dois pontos quaisquer do mapa e encontrar a DT e a DE entre eles. Sobre o ensino de Geometria, as Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN+), declaram que: “a Geometria, na perspectiva das medidas, pode se estruturar de modo a garantir que os alunos aprendam a efetuar medições em situações reais com a precisão requerida ou estimando a margem de erro.” (BRASIL, 2007, p. 124).

Esperávamos que os alunos conseguissem perceber que, diferente do que ocorre na Geometria Euclidiana, em que a menor distância entre dois pontos é única, um segmento de reta que liga os dois pontos; na Geometria do Taxista pode existir vários menores caminhos entre dois pontos. Além disso, concluir que a DT é sempre maior ou igual a DE.

Inicialmente os estudantes inseriram os pontos solicitados, e encontraram três caminhos que saiam de um ponto A para um ponto B. Quando perguntados sobre qual dos

caminhos possuía a menor distância, um dos alunos respondeu espantado: “É esse! Eu acho

que é a mesma coisa.” Concluindo que diferente do que ocorre na Geometria Euclidiana

existe mais de um menor caminho que liga dois pontos. A professora questionou a turma se a

DT era sempre maior que a DE, a turma respondeu que sim, porém um dos alunos respondeu: “Nem sempre, eu encontrei um exemplo aqui.” O aluno havia posicionado dois pontos sobre o mapa, e realizou a medição da distância entre os pontos; e verificou que tanto a DT quanto a

DE mediam 222m. Tal fato se explica, pois os dois pontos possuíam a mesma coordenada horizontal. Novamente indagados sobre a relação entre a DT e a DE, os alunos responderam que: “A distância táxi é sempre maior ou igual a distância euclidiana.”

4.1.6 A sexta atividade

Na sexta atividade os participantes deveriam seguir os passos indicados para construir uma figura, que sob uma perspectiva euclidiana se tratava de um quadrado, e para Geometria do Taxista era na verdade uma circunferência táxi (CT) com raio igual a um. Logo após deveriam classificar a figura construída (quadrado, retângulo, losango, círculo e/ou triângulo). Deveriam ainda seguir as orientações para realizar a construção de dois segmentos (o raio e o diâmetro da figura). Por último, precisariam medir o perímetro da CT e encontrar a razão entre o comprimento da CT e o seu diâmetro. Sobre a importância dos conceitos geométricos os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) afirmam que:

Os conceitos geométricos constituem parte importante do currículo de Matemática no ensino fundamental, porque, por meio deles, o aluno desenvolve um tipo especial de pensamento que lhe permite compreender, descrever e representar, de forma organizada, o mundo em que vive. (BRASIL, 1998, p. 51).

Nossas expectativas eram que os alunos conseguissem construir e classificar a figura proposta, ela pode ser (na Geometria Euclidiana) classificada como: um quadrado (pois possui os quatro lados iguais e quatro ângulos retos), um retângulo (visto que apresenta quatro ângulos retos) e um losango (dado que possui quatro lados iguais). Após a apresentação dos conceitos de raio e diâmetro, seguida da construção de dois segmentos distintos que estavam de acordo com os conceitos anteriormente mencionados, esperávamos que os alunos concluíssem que a figura construída se tratava de uma CT; e que essa forma inusitada da circunferência, ocorreu devido ao emprego da métrica táxi a conceitos da Geometria de

Euclides. Por fim, queríamos que os participantes descobrissem que na Geometria do Taxista o número π assume o valor 4 (quatro).

Após a construção da figura os discentes foram questionados sobre a aparência da figura construída, um deles respondeu: “parece um quadrado.” Outro declarou: “Losango.” Após o professor mencionar todas as características do quadrado, do retângulo e do losango; os alunos concluíram que a construção poderia ser classificada como qualquer uma das três formas geométricas. Após a construção de um segmento que atende ao conceito de raio, a turma foi questionada se ele era o raio de uma circunferência, um dos alunos respondeu: “sim.” Quando indagados se o outro segmento construído era o diâmetro de uma circunferência, um aluno respondeu: “É, professor.” O docente então pergunta a turma se seria possível afirmar que a figura construída, que possui raio e diâmetro, pode ser considerada uma CT; depois de alguns instantes de silêncio a resposta foi unânime: “Não.” Depois de repetir a explicação e a pergunta pela segunda vez, de maneira tímida os alunos afirmaram que se tratava de uma CT. A impressão foi que em um primeiro momento os alunos apenas aceitaram que a figura se tratava de uma Circunferência Taxi. Os alunos construíram