UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO DE CIÊNCIAS NATURAIS E MATEMÁTICA
JANILSON ANANIAS DE AMARANTE
A MATEMÁTICA DOS TRAJETOS URBANOS: ATIVIDADES COM UMA GEOMETRIA NÃO EUCLIDIANA USANDO O GOOGLE MAPS
NATAL 2020
A MATEMÁTICA DOS TRAJETOS URBANOS: ATIVIDADES COM UMA GEOMETRIA NÃO EUCLIDIANA USANDO O GOOGLE MAPS
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências Naturais e Matemática, da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, como requisito para à obtenção do título de Mestre em Ensino de Ciências Naturais e Matemática.
Orientador: Prof. Dr. Fernando Guedes Cury.
NATAL 2020
Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN Sistema de Bibliotecas - SISBI
Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Setorial Prof. Ronaldo Xavier de Arruda - CCET
Amarante, Janilson Ananias de.
A matemática dos trajetos urbanos: atividades com uma
geometria não euclidiana usando o google maps / Janilson Ananias de Amarante. - 2020.
123f.: il.
Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Centro de Ciências Exatas e da Terra, Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências Naturais e Matemática. Natal, 2020.
Orientador: Fernando Guedes Cury.
1. Matemática - Dissertação. 2. Ensino de geometria - Dissertação. 3. Geometria do taxista - Dissertação. 4.
Tecnologias digitais no ensino de matemática - Dissertação. 5. Google maps - Dissertação. I. Cury, Fernando Guedes. II. Título. RN/UF/CCET CDU 51
A MATEMÁTICA DOS TRAJETOS URBANOS: ATIVIDADES COM UMA GEOMETRIA NÃO EUCLIDIANA USANDO O GOOGLE MAPS
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências Naturais e Matemática, da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, como requisito para à obtenção do título de Mestre em Ensino de Ciências Naturais e Matemática.
Aprovada em: ______/______/______
BANCA EXAMINADORA
______________________________________ Prof. Dr. Fernando Guedes Cury
Orientador
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
______________________________________ Profa. Dra. Giselle Costa de Sousa
Membro interno
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
______________________________________ Prof. Dr. Fabian Arley Posada Balvin
Membro interno
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
______________________________________ Prof. Dr. Jamur André Venturin
Membro externo
Dedico este trabalho ao Senhor Deus, criador dos céus e da terra, de quem dependo todos os dias, aquele que: me ama, me alimenta, me protege, me guarda e me fortalece.
Agradeço a Deus, por colocar ao meu lado pessoas que durante toda a minha vida me ajudaram, partilharam comigo momentos difíceis e alegres. Agradeço aos meus pais, pelo esforço e carinho, em especial a minha querida mãe. Também não poderia deixar de citar a minha querida irmã, que muito me ajudou.
Em especial, quero agradecer a minha amada esposa, Débora, que sempre me apoiou, sem a qual não conseguiria alcançar o êxito na vida acadêmica. Ela que por vezes abriu mão de minha presença, para que eu conseguisse me dedicar aos estudos, assumindo a árdua tarefa de cuidar sozinha do nosso filho pequeno, Baruque.
Sou grato a cada um dos meus professores, que certamente de alguma forma contribuíram para a realização desse trabalho. Especialmente ao meu orientador, professor Fernando Guedes, por quem tenho grande respeito e admiração. Agradeço ainda a cada um dos meus amigos e colegas, que compreenderam a minha ausência e me incentivaram a continuar.
O conhecimento é sempre uma construção do sujeito epistemológico e, portanto, embora feita dentro de um mileau social, é uma construção individual e, consequentemente, não é possível transmiti-lo de uma forma acabada de uma pessoa para outra como comumente se supõe. É necessário, ao contrário, levar o aprendiz a construir para si mesmo o conhecimento a ser aprendido, o que pode parecer paradoxal, mas que é de fato a base para um ensino eficaz.
Este trabalho é o resultado de uma pesquisa de mestrado profissional do Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências Naturais e Matemática (PPGCENM) da Universidade Federal do Rio Grande do Norte (UFRN) que teve como objetivo discutir possibilidades para se trabalhar em sala de aula uma Geometria que se adapta muito bem ao ambiente urbano, por meio de atividades que utilizaram o Google Maps para simular e analisar percursos e distâncias. O seguinte questionamento norteou nossa pesquisa: como abordar em sala de aula de Matemática a Geometria envolvida nos trajetos urbanos utilizando o Google Maps? Discutimos, para respondê-la, a utilização das Tecnologias Digitais da Informação e da Comunicação (TDIC) em aulas de Matemática pensando no ensino de conteúdos e como forma de promoção da cidadania. Conforme a exigência do mestrado profissional, elaboramos um produto educacional – uma sequência didática – que permite o docente abordar a Geometria do Taxista mediante a simulação e análise de deslocamentos por meio do software citado. O produto educacional foi aplicado em uma escola da rede estadual de ensino norte-rio-grandense, com uma turma da terceira série do Ensino Médio, o que nos permitiu testar e avaliar as atividades propostas. A coleta de dados ocorreu por meio de registros escritos e em áudio obtidos durante a aplicação da sequência didática. A análise dos dados nos revelou que o emprego de conceitos da Geometria Euclidiana na Geometria do Taxista permitiu que os alunos refletissem sobre distâncias e deslocamentos e sobre as aplicações de diferentes geometrias. As simulações propostas pelas atividades possibilitaram aos alunos uma aprendizagem que utilizava seus conhecimentos matemáticos e sobre as tecnologias digitais utilizadas para validar estratégias e resolver problemas.
Palavras-chave: Ensino de Geometria; Geometria do Taxista; Tecnologias Digitais no Ensino de Matemática; Google Maps.
This work is the result of a research of the professional master's degree in the Postgraduate Program in Teaching of Natural Sciences and Mathematics (PPGCENM) at the Federal University of Rio Grande do Norte (UFRN) which aimed to discuss possibilities for working in the classroom a Geometry that adapts very well to the urban environment, through activities that used Google Maps to simulate and analyze routes and distances. The following question guided our research: how to approach the Geometry involved in urban paths in the Mathematics classroom using Google Maps? In order to answer it, we discussed the use of Digital Information and Communication Technologies (DICT) in Mathematics classes with a view to teaching content and as a way of promoting citizenship. As required by the professional master's degree, we developed an educational product - a didactic sequence - that allows the teacher to approach the Taxi Driver's Geometry through the simulation and analysis of displacements through the aforementioned software. The educational product was applied in a school in Rio Grande do Norte the state education system, with a class from the third grade of high school, which allowed us to test and evaluate the proposed activities. Data collection occurred through written and audio records collected during the application of the didactic sequence. Data analysis revealed that the use of Euclidean Geometry concepts in Taxi Driver Geometry allowed students to reflect on distances and displacements, also on the applications of different geometries. The simulations proposed by the activities enabled students to learn using their mathematical knowledge and the digital technologies used to validate strategies and solve problems.
Keywords: Geometry teaching. Táxicab Geometry. Digital Technologies in Mathematics Education. Google Maps.
Figura 1 – Reta na Geometria do Taxista... 22
Figura 2 – Negação do quinto postulado de Euclides... 22
Figura 3 – Distância Euclidiana... 23
Figura 4 – Distância Táxi... 24
Figura 5 – Circunferência Táxi com raio = 3 unidades de comprimento... 26
Figura 6 – O valor de π na Geometria do Taxista... 27
Figura 7 – Triângulo Táxi... 28
Figura 8 – Região entorno da Praça Geraldo Torres... 42
Figura 9 – Laboratório de informática da escola... 46
Figura 10 – Posicionamento dos aparelhos para captura de áudio... 51
Figura 11 – Imagem da escola a partir do Street view... 53
Figura 12 – Roteiro turístico... 58
Figura 13 – Triângulo táxi sobre o mapa... 62
Figura 14 – Uma das possíveis soluções para a atividade 8... 64
Figura 15 – Resposta compatível com a DT entre os dois endereços... 65
Figura 16 – Aluno afirma que os pedestres não estão sujeitos as normas de trânsito. 66 Figura 17 – Roteiro turístico elaborado por um dos discentes... 67
Figura 18 – Estratégia utilizada pelo aluno para construir o roteiro turístico... 68
Figura 19 – Conclusão apresentada por um dos discentes sobre a relação entre a DT e a DE... 68
BNCC Base Nacional Comum Curricular
FIFA Fédération Internationale de Football Association
GD Geometria Dinâmica
GPS Global Positioning System
INEP Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira PCN Parâmetros Curriculares Nacionais
PCN+ Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais
PIBID Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência
PPGECNM Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências Naturais e Matemática TD Tecnologias Digitais
TDIC Tecnologias Digitais da Informação e da Comunicação TI Tecnologias Informáticas
TIC Tecnologias da Informação e Comunicação UFRGS Universidade Federal do Rio Grande do Sul UFRJ Universidade Federal do Rio de Janeiro UFRN Universidade Federal do Rio Grande do Norte UNICAMP Universidade Estadual de Campinas
1 INTRODUÇÃO ... 11
2 ASPECTOS TEÓRICOS DO TRABALHO ... 20
2.1 A Geometria não euclidiana ... 20
2.2 Tecnologias digitais de informação e comunicação no ensino de Matemática ... 28
2.3 Tecnologias digitais, educação e cidadania ... 35
3 ASPECTOS METODOLÓGICOS DO TRABALHO ... 38
3.1 O Produto educacional ... 38
3.2 O contexto da aplicação da sequência didática proposta ... 43
4 ANÁLISE DOS RESULTADOS ... 50
4.1 Discussão dos áudios coletados ... 50
4.1.1 A primeira atividade ... 51 4.1.2 A segunda atividade ... 54 4.1.3 A terceira atividade ... 55 4.1.4 A quarta atividade ... 57 4.1.5 A quinta atividade ... 59 4.1.6 A sexta atividade ... 60
4.1.7 A sétima e a oitava atividades ... 62
4.2 As respostas escritas ... 64
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS... 72
REFERÊNCIAS ... 78
APÊNDICE A – MAPA DA ESCOLA ... 81
APÊNDICE B – PRODUTO EDUCACIONAL ... 82
APÊNDICE C – LISTA PARA COLETAR DADOS DOS ESTUDANTES ... 122
1 INTRODUÇÃO
A necessidade do ser humano de se deslocar de um lugar para outro é bastante antiga. Segundo Vicentino (2002, p. 12), durante o período Paleolítico a subsistência ocorria por meio da coleta de frutos e raízes, além da caça e da pesca, porém, nem sempre a região em que esses grupos humanos habitavam oferecia alimento em abundância, o que obrigava esses povos a se deslocarem para uma outra região em busca de melhores condições de sobrevivência. Em nosso cotidiano realizamos diversos deslocamentos, alguns de curta duração, por trajetos já bastante conhecidos e outros de maior duração ou por caminhos, às vezes, desconhecidos. Surge, então, a necessidade de saber se localizar no espaço e, até mais que isso, a necessidade de estimar distâncias e realizar a correta interpretação das informações que nos são fornecidas para percorrer um determinado itinerário. Essas informações podem ser apresentadas de diversas formas: nossa memória, um mapa, placas de trânsito, uma bússola, informações fornecidas por terceiros e, recentemente, também por intermédio de aparelhos de Global Positioning System (GPS).
Quem nunca se perdeu durante um deslocamento? Por vezes nos deparamos com pessoas perdidas que pedem orientação sobre como chegar a um determinado local. Em alguns casos essas pessoas já estão utilizando algum artifício para conseguirem chegar ao destino pretendido. Porém, às vezes, não conseguem interpretar todas as informações que lhes foram fornecidas de maneira correta ou eficiente. Considerando a importância de tratar esse contexto no âmbito educacional, documentos oficiais que regem a Educação Básica como os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), evidenciam a necessidade de desenvolvimento da percepção espacial,
A respeito do desenvolvimento das habilidades de percepção espacial, a leitura e a utilização efetiva de mapas e de plantas, nas situações cotidianas, são fonte de numerosas dificuldades para muitas pessoas. Por exemplo, localizar um escritório num grande edifício, deslocar-se numa cidade, encontrar um caminho numa montanha são procedimentos que muitas vezes solicitam uma certa sistematização dos conhecimentos espaciais. Porém, essas habilidades não têm objeto de aprendizagem nas aulas de Matemática. (BRASIL, 1998, p. 123).
O simples fato de saber encontrar no mapa sua localização atual e o seu local de destino certamente auxiliará bastante aquele que está se deslocando. De acordo com a Base Nacional Comum Curricular,
[...] espera-se que os alunos identifiquem e estabeleçam pontos de referência para a localização e o deslocamento de objetos, construam representações de espaços conhecidos e estimem distâncias, usando, como suporte, mapas (em papel, tablets ou smartphones), croquis e outras representações. (BRASIL, 2017, p. 268).
Pensando nisso, surgiu a ideia de desenvolver uma sequência didática que pudesse ser aplicada a alunos da Educação Básica para desenvolver as habilidades necessárias para transitar com uma maior facilidade pelas ruas e, além disso, problematizar conceitos matemáticos relevantes envolvidos na atividade de localização para o dia a dia. De acordo com Cabral (2017), uma sequência didática para o ensino de Matemática constitui-se de,
[...] um conjunto articulado de dispositivos comunicacionais de natureza escrita ou oral que sistematiza as intervenções de ensino com a intencionalidade objetiva de estimular a aprendizagem de algum conteúdo disciplinar de Matemática a partir da percepção de regularidades e do estabelecimento de generalizações adotando-se uma dinâmica de interações empírico-indutivas. (CABRAL, 2017, p. 12).
Propomos então uma sequência didática que possibilite ao discente a oportunidade de desenvolver a capacidade de deslocar-se por áreas urbanas com maior facilidade, por meio da utilização de uma ferramenta bastante útil para uma correta localização e que, com o passar do tempo, vem se popularizando, o Google Maps1.
Esse recurso é uma ótima ferramenta para se trabalhar Geometria, que durante muitos anos foi tratada com certa desvalorização. Para Lorenzato (1995, p. 3), vários fatores contribuíram para o abandono2 do ensino de Geometria nas últimas décadas, sendo alguns deles: a insegurança de muitos professores sobre os conteúdos geométricos; a importância exagerada concedida ao livro didático, que apresenta a Geometria apenas como um agrupamento de propriedades e definições sem qualquer aplicação, além de ocupar as últimas páginas do livro; o currículo dos cursos de formação de professores, dentre outros. Contudo, já há iniciativas de mudar esse cenário, mas na maioria das vezes em que esse conteúdo é abordado, apresenta-se aos alunos apenas a Geometria Euclidiana, ficando de fora as
1
É um serviço gratuito de pesquisa e visualização de mapas e imagens de satélite, que permite ainda simular deslocamentos e a construção de mapas, pode ser acessado a partir de smartphones e computadores. Disponível em: https://www.google.com.br/maps.
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Gostaríamos de destacar que já existem várias ações que buscam melhorar o ensino de Geometria no Brasil, porém não encontramos pesquisas que evidenciem o impacto dessas ações e uma alteração significativa no ensino de Geometria.
Geometrias não euclidianas3 e dentre estas está a Geometria do Taxista, assim chamada pela primeira vez em 1952, por Karl Menger. Ela é de grande utilidade devido a sua aplicação no cotidiano das pessoas, também chamada de Geometria Táxi, Geometria Urbana e Geometria de Manhattan. Pode ser ilustrada, segundo Fernandes (2017, p. 23), como um plano cartesiano coberto por uma malha quadriculada, com linhas verticais e horizontais paralelas aos eixos coordenados, podendo ser associada a ideia de uma cidade ideal (que possui ruas verticais e horizontais equidistantes). Nossa proposta não pretende provocar um afastamento da Geometria Euclidiana, mas apresentar ao aluno também uma outra Geometria que se adapta de maneira adequada à realidade das cidades.
Através dos mapas e imagens de satélite disponíveis no Google Maps é possível analisar os trajetos urbanos de forma bem dinâmica, possibilitando a simulação de deslocamentos utilizando diferentes meios de locomoção como: o carro, o ônibus, a bicicleta ou até mesmo a pé. Além de permitir o estudo dos trajetos escolhidos, o recurso proporciona a abordagem da Geometria do Taxista de modo bastante interativo, oportuniza ao professor apresentar as semelhanças e diferenças entre aquela e a Geometria de Euclides e, ainda, expor a utilidade da Geometria do Taxista na tomada de decisão sobre qual percurso realizar.
Para a Geometria Euclidiana, a menor distância entre dois pontos é uma linha reta. Porém, quando estamos falando de trajetos urbanos, nem sempre isso é verdade, pois, na maioria das vezes, o deslocamento em linha reta não é possível de ser percorrido, devido a presença de edificações, cercas, vegetação densa, lagoas de captação, vias de sentido único para veículos, além de outros motivos. Sendo exigido, portanto, transitar por ruas e avenidas que contornam os obstáculos que formam as cidades.
Nossa proposta foi a de abordar a Matemática presente nos percursos urbanos, de modo investigativo, por meio da utilização do Google Maps para realizar atividades de exploração de áreas urbanas mediante a simulação e análise de deslocamentos, abordando, para isso, uma Geometria não euclidiana, que se adapta ao ambiente das cidades: a Geometria do Taxista. Propusemos nas atividades a discussão de conceitos nas duas Geometrias, por utilizarem métricas diferentes e destacamos que várias figuras geométricas assumem formas surpreendentes na Geometria do Taxista. As atividades propostas pretenderam ampliar as habilidades necessárias para: interpretar informações fornecidas por mapas e imagens de
3
Surgiu ainda na primeira metade do século XIX, para Ribeiro (2012, p. 29) “[...] uma geometria não-euclidiana é qualquer geometria que possua algum axioma em contradição a qualquer axioma euclidiano.”
satélite, localização no ambiente urbano, tomar decisões embasadas na análise de dados, desenvolver a capacidade argumentativa, elaborar e testar de hipóteses, resolver problemas, criar soluções e estimar distâncias. Essas atividades foram realizadas, portanto, com o auxílio das Tecnologias Digitais da Informação e da Comunicação (TDIC) e fizeram parte de uma sequência didática que é apresentada como um produto educacional conforme solicitado pelo mestrado profissional.
Para Fossa (2001, p. 90), o ensino de Geometria deve ser exposto como um processo vivo objetivando a construção do raciocínio geométrico por parte do aluno, o que permitirá ao estudante perceber a proficuidade do conhecimento geométrico. A terceira competência específica para Matemática da Base Nacional Comum Curricular (BNCC), menciona a necessidade de:
Utilizar estratégias, conceitos e procedimentos matemáticos, em seus campos – Aritmética, Álgebra, Grandezas e Medidas, Geometria, Probabilidade e Estatística –, para interpretar, construir modelos e resolver problemas em diversos contextos, analisando a plausibilidade dos resultados e a adequação das soluções propostas, de modo a construir argumentação consistente. (BRASIL, 2018, p. 523).
O campo da Geometria pode ser ricamente explorado a partir da resolução de problemas cotidianos, inclusive aqueles que envolvem deslocamentos urbanos.
Especificamente sobre o conteúdo de Geometria, os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) dizem que é imprescindível desenvolver atividades que estimulem a investigação. De fato:
O estudo da Geometria é um campo fértil para trabalhar com situações-problema e é um tema pelo qual os alunos costumam se interessar naturalmente. O trabalho com noções geométricas contribui para a aprendizagem de números e medidas, pois estimula o aluno a observar, perceber semelhanças e diferenças, identificar regularidades etc. (BRASIL, 1998, p. 51).
Diante do aparente abismo existente entre o conhecimento matemático tratado durante a Educação Básica e as situações do dia a dia de um cidadão comum, julgamos ser oportuno a utilização de Geometrias distintas que apresentem utilidades na mobilidade urbana dos estudantes. Essa pretensão é corroborada pelas Orientações Curriculares para o Ensino Médio, que dizem que:
O estudo da Geometria deve possibilitar aos alunos o desenvolvimento da capacidade de resolver problemas práticos do quotidiano, como, por exemplo, orientar-se no espaço, ler mapas, estimar e comparar distâncias percorridas, reconhecer propriedades de formas geométricas básicas, saber usar diferentes unidades de medida. (BRASIL, 2006, p. 75).
Possibilitando ao estudante ser capaz de: elaborar e testar hipóteses, aplicar conhecimentos para resolver problemas do cotidiano e tomar decisões acertadas com base na análise crítica de informações.
É importante que os conteúdos trabalhados em sala de aula gerem um conhecimento significativo para o aluno. De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN),
O conceito de aprendizagem significativa, central na perspectiva construtivista, implica, necessariamente, o trabalho simbólico de “significar” a parcela da realidade que se conhece. As aprendizagens que os alunos realizam na escola serão significativas à medida que conseguirem estabelecer relações substantivas e não-arbitrárias entre os conteúdos escolares e os conhecimentos previamente construídos por eles, num processo de articulação de novos significados. (BRASIL, 1997, p. 38).
O documento menciona ainda que, cabe aos docentes por meio de intervenções pedagógicas, proporcionar a realização de aprendizagens com o maior grau de significado possível.
Atualmente tem se popularizado o emprego de aplicativos que fornecem informações sobre a localização de seus usuários, sendo indispensável que estes consigam compreender os dados e, além de compreender, possuir a capacidade de realizar uma análise crítica das informações que lhes são apresentadas, tendo em vista que as tecnologias são passiveis de erros, para, só então, utilizando os dados disponíveis, tomar decisões acertadas. Tendo em vista esses aspectos, os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) têm como um de seus objetivos que os alunos tenham a capacidade de:
[...] desenvolver o conhecimento ajustado de si mesmo e o sentimento de confiança em suas capacidades afetiva, física, cognitiva, ética, estética, de inter-relação pessoal e de inserção social, para agir com perseverança na busca de conhecimento e no exercício da cidadania (BRASIL, 1998, p. 7).
As tecnologias digitais estão presentes nos mais diversos lugares (supermercados, bancos, clínicas médicas, dentre outros) de modo que, saber utilizá-las é fundamental para o exercício da cidadania.
A cada dia um número maior de informações, dos mais diversos tipos, circula de variadas formas, expondo os indivíduos a uma tempestade de informações, surgindo assim a necessidade de analisá-las. De acordo com a Base Nacional Comum Curricular (BNCC),
[...] todos os cidadãos precisam desenvolver habilidades para coletar, organizar, representar, interpretar e analisar dados em uma variedade de contextos, de maneira a fazer julgamentos bem fundamentados e tomar as decisões adequadas. (BRASIL, 2017, p. 270).
É imprescindível que o cidadão consiga lidar com as informações as quais está submetido todos os dias (jornais, revistas, redes sociais, dentre outras), após serem selecionadas e analisadas podem ser bastante úteis para fundamentar uma decisão.
Durante a adolescência, participei (o autor deste trabalho) do 16º Grupo de Escoteiros Olavo Bilac, sediado em Natal (RN). O escotismo é um movimento educacional que incentiva os jovens a assumirem o seu próprio desenvolvimento, além de promover a interação com a comunidade e com questões ambientais e sociais. Essa interação ocorre por meio de diversos tipos de eventos e oficinas. Participei de várias atividades e as que mais atraiam minha atenção eram aquelas que envolviam noções de orientação espacial: nelas utilizamos mapas, bússolas e GPS. Após encontrar o caminho correto, era necessário converter as medidas encontradas no mapa para descobrir a distância que precisávamos caminhar, utilizávamos o comprimento de nossos passos para estimar a distância percorrida.
Junto com outros colegas, também escoteiros, participei, no início dos anos 2000, de uma competição denominada Grande Jogo da Cidade. Ela consistia em percorrer a pé vários pontos históricos e turísticos da cidade de Natal, cada equipe deveria descobrir, mediante a resolução de algumas charadas, quais locais da cidade precisavam ser visitados. As equipes participantes deveriam elaborar um roteiro que permitisse percorrer todos os pontos no menor intervalo de tempo possível. Após descobrir quais locais precisavam ser visitados, saíamos correndo pelas ruas da cidade em direção aos locais desejados. Quando não sabíamos o endereço de um ponto histórico, solicitávamos a ajuda dos pedestres que transitavam pelas ruas. Além de contribuir para aguçar nosso senso de orientação espacial, esse evento permitiu conhecer mais sobre a história e a cultura de nossa cidade.
Posteriormente, durante a graduação, tive a oportunidade de participar do Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência (PIBID/UFRN), que desenvolveu ações na Escola Estadual Nestor Lima, em Natal (RN). Naquela época, anualmente o PIBID realizava nas escolas atendidas pelo projeto um evento denominado Torneio da Matemática e nele os
alunos do colégio eram convidados a participar de diversas atividades. No ano de 2015, uma das atividades sugeridas foi inspirada naquelas experiências vividas no escotismo: uma imagem de satélite da escola foi impressa sobre uma malha quadriculada de forma que sobre ela poderíamos observar um plano cartesiano (APÊNDICE A). A tarefa, que contou com a participação de professores de outras áreas, consistia em resolver algumas expressões algébricas que forneciam as coordenadas de alguns pontos, os alunos deveriam localizar esses pontos no mapa e em seguida se dirigir até o local informado e realizar o recolhimento de um objeto que havia ali.
Percebi, no decorrer da atividade, que os estudantes estavam enfrentando muita dificuldade para interpretar as informações fornecidas pelo mapa, mesmo conseguindo identificar corretamente os pontos no mapa e conhecendo a escola, eles levavam muito tempo para chegar até o local desejado. Posteriormente discuti essa situação com o orientador desse trabalho sobre a possibilidade de reavaliar aquela atividade, tendo em vista o grau de dificuldade apresentado pelos discentes. Nessa conversa surgiu a ideia de pensar na Geometria do Taxista como possibilidade para se trabalhar os deslocamentos urbanos.
Nesse cenário, acreditamos que as TDIC podem ser empregadas como um instrumento na construção do conhecimento por parte do aluno, tendo em vista que as mesmas atuam como um agente facilitador da aprendizagem. Uma das recomendações da Base Nacional Comum Curricular (BNCC) é:
Utilizar processos e ferramentas Matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados. (BRASIL, 2017, p. 263).
Logo, consideramos oportuno utilizar o Google Maps como ferramenta para a análise dos trajetos urbanos, devido ao seu fácil uso, ser bastante dinâmico e indicar um grande número de informações. Segundo Kenski (2007, p. 21) a presença das tecnologias media culturalmente a vida dos seres humanos, transformando sua forma de pensar, agir e sentir.
Consideramos que a escola exerce um papel fundamental na transformação social e oportunizar o contato dos alunos com as TDIC possibilita que os estudantes consigam incorporar as tecnologias as suas tarefas cotidianas. Para Belloni (2009, p. 10), “[...] a escola deve integrar as tecnologias de informação e comunicação por que elas já estão presentes e influentes em todas as esferas da vida social [...]”. Algumas tarefas simples do dia a dia sofreram profundas transformações, por exemplo, os serviços bancários, a tarefa de pagar
contas vem sendo realizada de forma diferente nos últimos anos, muitas pessoas já não se dirigem aos caixas de instituições financeiras, realizam seus pagamentos por intermédio de aplicativos bancários; sem sair de casa, sem enfrentar filas e sem precisar de dinheiro físico para isso.
Nossos objetivos neste trabalho foram, portanto, discutir com os estudantes conceitos geométricos envolvidos no cálculo de distâncias e análise de deslocamentos urbanos a partir do uso do Google Maps. Além disso, desenvolver atividades que permitissem os alunos analisar criticamente as informações obtidas por um popular recurso, o Google Maps, aproveitando-se do que se conhece por Geometria do Taxista.
As atividades propostas foram organizadas de forma a compor uma sequência didática que, em sua primeira parte, realiza a simulação e propõe a análise de trajetos urbanos, e, em um segundo momento, realiza uma abordagem mais conceitual da Geometria do Taxista. Como dito, elas formam o nosso produto educacional (APÊNDICE B), conforme solicitado pelo Mestrado Profissional em Ensino de Ciências Naturais e Matemática da UFRN.
Todo o processo foi conduzido tentando responder ao seguinte questionamento: como
abordar em sala de aula de Matemática a Geometria envolvida nos trajetos urbanos utilizando o Google Maps? Nosso trabalho está dividido em cinco capítulos. No primeiro, a
presente introdução, apresentamos nossas motivações para o desenvolvimento dessa pesquisa, realizamos também uma breve explanação sobre Geometria não euclidiana, especialmente a do Taxista; discorremos sobre como utilizamos o Google Maps em nossa proposta didática; realizamos uma rápida exposição sobre as atividades que compõem a sequência didática; além de destacar a importância da utilização das TDIC em sala de aula e discorrer sobre a estrutura dessa dissertação.
O segundo capítulo apresenta os aspectos teóricos e está dividido em três seções: a primeira delas dedicada a Geometria, a segunda às TDIC no ensino de Matemática e a última seção dedicada à tríade: tecnologias digitais – educação – cidadania.
Os aspectos metodológicos do trabalho compõem o terceiro capítulo, nele realizamos a apresentação do produto educacional desenvolvido, como também o contexto de sua aplicação. O quarto capítulo foi dedicado à análise dos resultados da aplicação do produto educacional, de modo que, inicialmente, apresentamos e comentamos alguns trechos dos dados coletados em áudio em cada uma das atividades e, em seguida, tratamos dos dados coletados a partir dos registros escritos produzidos pelos alunos, por fim, realizamos algumas considerações sobre os dados obtidos.
O último capítulo deste trabalho está reservado as nossas considerações finais sobre nossa pesquisa e, também, à apresentação de alguns desdobramentos resultantes desse trabalho. Nos Apêndices, o destaque é o Produto Educacional no formato de um caderno de atividades composto por uma sequência didática.
2 ASPECTOS TEÓRICOS DO TRABALHO
2.1 A Geometria não euclidiana
O surgimento da Geometria não euclidiana ocorreu ainda na primeira metade do século XIX. Para Mol (2013, p.127), “a criação das geometrias não euclidianas marcou a própria essência da Matemática, proporcionando a ela uma libertação do mundo físico a partir da aceitação de objetos coerentemente concebidos pela mente humana.” Segundo Ribeiro (2012, p. 28), ela decorre da contraposição à Geometria proposta por Euclides, o que causou uma grande agitação entre os estudiosos. A principal característica dessa contraposição era o fato dessa nova Geometria negar o quinto postulado da obra Os Elementos, de Euclides. Isso ocorreu após inúmeras tentativas para construção de uma demonstração rigorosa desse postulado, assim expresso:
Que, se uma reta cortando duas retas faz os ângulos internos de um mesmo lado menores que dois ângulos retos, as duas retas, se prolongadas indefinidamente, se encontram desse lado em que os ângulos são menores que dois ângulos retos. (BOYER, 1974, p. 77).
Esse postulado ficou conhecido como postulado das paralelas, e também pode ser enunciado da seguinte forma: “Por um ponto fora de uma reta m pode-se traçar uma única reta paralela à reta m.” (BARBOSA, 2012, p. 99).
O jovem Nicolai Lobachevski (1793-1856) foi um dos que empreenderam esforços para apresentar uma prova formal para o quinto postulado de Euclides. Segundo Boyer (1974, p. 397), no ano de 1829, com a publicação de um artigo intitulado de On the Principles of
Geometry (Os princípios da Geometria), Lobachevski estava inteiramente convencido de que
não era possível provar o quinto postulado com base nos outros quatro postulados, marcando assim oficialmente o surgimento da Geometria não euclidiana. Sobre o trabalho publicado por Lobachevski, Boyer (1974) ressalta que:
[...] no artigo de 1829 ele se tornou o primeiro matemático a dar o passo revolucionário de publicar uma geometria especificamente construída sobre uma hipótese em conflito direto com o postulado das paralelas: Por um ponto C fora de uma reta AB pode-se traçar mais de uma reta do plano que não encontra AB. (BOYER, 1974, p. 397).
Com isso Lobachevski conseguiu estabelecer uma estrutura geométrica coesa, que apesar de sua coerência, era vista com descrédito por muitos, nos anos que se seguiram ele realizou mais três exposições sobre essa nova Geometria.
Outros trabalhos, além daqueles apresentados por Lobachevski, foram proeminentes na época, a exemplo podemos citar os trabalhos desenvolvidos por Friedrich Gauss (1777-1855) e Janos Bolyai (1802-1860). A esse respeito Fernandes (2017) destaca que,
[...] alguns matemáticos como Lobachevski (1792-1856), Bolyai (1802-1860), Gauss (1777-1855) e Riemann (1826-1866) obtiveram grande destaque no desenvolvimento das Geometrias não euclidianas, mesmo recebendo críticas, por seus pares. Os motivos que levaram esses grandes matemáticos a iniciar um trabalho nesta área foi o fato de não considerarem o quinto postulado de Euclides como verdade absoluta. (FERNANDES, 2017, p. 22).
Esses trabalhos permitiram o surgimento de duas Geometrias não euclidianas: a Hiperbólica4 e a Elíptica5, ou Esférica.
Segundo Krause (1986), um conjunto de métricas alternativas, inclusive a utilizada na Geometria do Taxista, foi publicado pelo russo Hermann Mikowski (1864-1909). De acordo com Noronha (2006, p. 26) o termo Táxicab Geometry (Geometria do Taxista) foi apresentado pela primeira vez por Karl Menger (1902-1985), no ano de 1952 durante uma exposição no museu de ciência de Chicago, em um trabalho intitulado You Will Like
Geometry (Você vai gostar de Geometria). Outras nomenclaturas utilizadas para fazer
referência a Geometria do Taxista são: Geometria do Táxi, Geometria Urbana, Geometria de Manhattan, Geometria do Quarteirão dentre outras.
Para Ribeiro (2012, p. 29), “[...] uma geometria não-euclidiana é qualquer geometria que possua algum axioma em contradição a qualquer axioma euclidiano.” A reta na Geometria do Taxista pode ser entendida como o percurso (horizontal e/ou vertical) mais curto entre dois pontos de uma malha quadriculada. Vejamos isso na figura a seguir.
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Na Geometria Hiperbólica o quinto postulado pode ser formulado da seguinte forma: por um ponto
P, fora da reta r, existe mais de uma paralela à reta r.
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Para a Geometria Elíptica, uma possível enunciação do quinto postulado é: por um ponto P, fora da reta r, não existe reta paralela à reta r.
Figura 1 – Reta na Geometria do Taxista
Fonte: Elaborado pelo autor (2020).
Legenda: Um exemplo de reta na Geometria do Taxista.
A Geometria do Taxista contraria o quinto postulado de Euclides, e afirma que “[...] por um ponto dado P, exterior à reta r, ambos em um mesmo plano, existem mais de uma reta paralela à reta r.” (CRUZ, 2015, p. 17).
Figura 2 - Negação do quinto postulado de Euclides
Fonte: Elaborado pelo autor (2020),adaptada de Fernandes (2017). Legenda: As retas s e t passam pelo ponto E e são paralelas a reta r.
Segundo Fernandes (2017, p. 23), uma ilustração possível para a Geometria do Taxista é: um plano cartesiano sobre o qual existe uma malha quadriculada, em que as linhas horizontais e verticais podem ser associadas a ideia de uma cidade ideal (que possui ruas
verticais e horizontais equidistantes). Ao descrever a Geometria do Taxista, Irineu (2013) nos mostra que,
Essa geometria trabalha com o plano cartesiano totalmente coberto por quadrados e nos mostra que o caminho mais curto entre dois pontos nem sempre é uma linha reta. Podemos utilizar essa Geometria para modelar uma cidade bem planejada com quadras perfeitas. Nesta para irmos de um ponto ao outro do plano, teremos que percorrer segmentos horizontais e/ou verticais. Assim, o caminho de menor comprimento entre dois pontos será um segmento de reta apenas se estes se encontrarem em uma mesma vertical (ou horizontal). Para calcular a distância entre dois pontos que não estão na mesma vertical (ou na mesma horizontal) teremos que somar as medidas dos segmentos horizontais e verticais percorridos. (IRINEU, 2013, p. 10).
A principal diferença entre a Geometria do Taxista e a Geometria de Euclides está na métrica (noção de distância) utilizada por cada uma delas. A função distância é definida de forma diferente nessas duas Geometrias.
Talvez o principal conceito usado no deslocamento urbano é o de distância. Podemos chamar de distância euclidiana (representada por dE) entre dois pontos, a medida do segmento de reta formado por esses pontos, (IRINEU, 2013, p. 15). Vejamos a figura a seguir.
Figura 3 – Distância Euclidiana
Fonte: Elaborado pelo autor (2020),adaptada de Fernandes (2017).
A função distância euclidiana de acordo com Rodrigues (201-, p. 10), pode ser definida da seguinte forma:
Sejam os pontos, e
A função dE atende as seguintes propriedades:
I) ;
II) Se então ;
III) ;
IV) , para quaisquer pontos A, B e C.
(Desigualdade triangular).
Ainda segundo o autor, chamamos métrica a uma função que atenda as quatro propriedades antes mencionadas. A métrica utilizada pela Geometria do Taxista também atende as quatro propriedades anteriormente expostas.
Por outro lado, para facilitar a compreensão sobre a distância na Geometria do Taxista podemos imaginar que o plano cartesiano é o mapa de uma cidade ideal, em que as ruas são retas paralelas aos eixos coordenados, dispostas de maneira equidistante; e que os trajetos só podem ocorrer horizontal e/ou verticalmente. Dessa forma “[...] a distância táxi é o comprimento do menor caminho que liga dois pontos dessa cidade através das ruas.” (IRINEU, 2013, p. 19). Somando as unidades de medida horizontais e verticais para ir de A até B podemos quantificar a distância.
Figura 4 – Distância Táxi
Segundo Rodrigues (201-, p. 11) podemos definir a função distância táxi (representada por dT) da seguinte forma:
Sejam os pontos, e
A função dT atende as seguintes propriedades:
I) ;
II) Se então ;
III) ;
IV) , para quaisquer pontos e . (Desigualdade
triangular).
A função que define a distância na Geometria do Taxista é uma métrica, tendo em vista que satisfaz as quatro propriedades anteriormente mencionadas. O fato dessa Geometria usar uma métrica diferente, faz com que algumas figuras geométricas adotem formatos diferentes daqueles que estamos acostumados a observar na Geometria Euclidiana. “Devido ao uso de uma definição de distância diferente, figuras como as cônicas, que também dependem de uma expressão de distância apresentam algumas diferenças quando estudadas na GQ6.” (NORONHA, 2006, p. 30), a circunferência é um ótimo exemplo dessa transformação.
Chamamos de circunferência ao conjunto de pontos do plano equidistantes, de um ponto H, o centro da circunferência. De acordo com Fossa (2003, p. 25) podemos representar a circunferência da seguinte forma:
Utilizando a definição de circunferência e empregando a métrica do taxista, podemos construir uma circunferência táxi (representada por CT).
Na figura a seguir, a distância de H até qualquer ponto sobre a linha verde, deslocando-se sempre na horizontal ou na vertical, é constante. Essa distância é o raio da
circunferência taxi indicada pela poligonal verde (linhas mais grossas).
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Figura 5 – Circunferência Táxi com raio = 3 unidades de comprimento
Fonte: Elaborado pelo autor (2020),adaptada de Fossa (2003).
Como podemos perceber, sob uma perspectiva euclidiana a circunferência táxi tem a forma de um quadrado. Outro fato que nos interessa sobre a Geometria do Taxista está relacionado ao valor de Pi (π) e o comprimento da circunferência.
O número irracional Pi (simbolizado pela letra grega π) representa a razão constante entre o perímetro da circunferência e o diâmetro dela. Na Geometria de Euclides temos que π = 3,141592... aproximadamente. Representaremos o valor de Pi na Geometria do Taxista por
πT.
Chamamos de perímetro a soma do comprimento dos lados de uma figura. Como podemos observar na figura a seguir cada lado da CT mede seis unidades de comprimento.
Figura 6 - O valor de π na Geometria do Taxista
Fonte: Elaborado pelo autor (2020),adaptada de Fernandes (2017).
Vejamos que, e
Portanto,
Chegamos assim a mais um resultado surpreendente, a constante Pi na Geometria do Taxista vale quatro. Mais uma vez a descoberta está relacionada ao fato da utilização de uma métrica diferente.
Diversas figuras geométricas podem ser exploradas a partir da métrica táxi. César (2010, p. 49), aborda em sua pesquisa algumas figuras, dentre elas está o triângulo, definido por ele da seguinte forma: “O triângulo táxi é formado pela união de 3 viagens diretas7
e essa união é uma viagem redonda8.” (CÉSAR, 2010, p. 49 apud MIRANDA, 1999, p. 103).
Na imagem a seguir podemos observar um triângulo táxi ABC, com as seguintes medidas: AB medindo 5 unidades, BC medindo 5 unidades e AC medindo 4 unidades.
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César (2010) adota o termo viagem direta para representar a distância táxi entre dois pontos. 8
O termo viagem redonda, é utilizado por César (2010) para representar um conjunto de viagens diretas, que juntas formam a figura na Geometria do Taxista.
Figura 7 – Triângulo Táxi
Fonte: Elaborado pelo autor (2020),adaptada de César (2010).
Em um primeiro momento o triângulo táxi da figura anterior pode parecer estranho. É importante que o leitor tente identificar os lados, os vértices e associar os valores já informados aos lados do triângulo; isso pode facilitar a visualização do triângulo. De maneira análoga ao que ocorre na Geometria Euclidiana, os ângulos na Geometria do Taxista são formados pelo encontro entre dois lados adjacentes de uma figura, o que ocorre nos vértices dela.
2.2 Tecnologias digitais de informação e comunicação no ensino de Matemática
Os inúmeros artefatos tecnológicos que nos cercam, mostram o quanto as tecnologias estão presentes em nosso dia a dia, não estamos falando apenas de tecnologias digitais, como: televisores, smartphones e computadores. Para Almeida (2016, p. 226) a presença maciça das tecnologias digitais em nosso cotidiano e as mudanças sociais por elas causadas, nos remetem quase que instantaneamente a associar tecnologia a aparelhos eletroeletrônicos. Segundo Kenski (2007, p. 15) as tecnologias são tão antigas quanto o ser humano, as necessidades encontradas pelo homem em todos os tempos fizeram surgir as mais diversas tecnologias. Ao discorrer sobre a faculdade de projetar da espécie humana, Pinto (2005, p. 54) destaca que a essência do projeto repousa sobre a forma como o homem se propõe a desenvolver novas possibilidades de existência para si. Enquanto as espécies animais irracionais promovem a sua adaptação biológica como forma de sobrevivência, o ser humano realiza a transformação do
ambiente ao seu redor, em busca de novas condições que possam garantir a sua existência. Segundo Pinto (2005), é importante observar que:
O poder da ação que o homem manifesta sobre a natureza distingue-se do possuído pelos demais seres vivos por se exercer em consequência da capacidade de projetar. Mas, ao contrário do que julgam as doutrinas idealistas, que transformam essa atividade num mistério existencial, o projeto na origem é pura e simplesmente a percepção mental das possibilidades de conexão entre as coisas. Cada conexão não é imediatamente dada, mas sugerida, pensada antecipadamente pelo organismo que adquiriu a faculdade da representação abstrativa em grau suficiente para se destacar do contato sensível, atual e direto com o mundo e para manejar as ideias às coisas, de forma a estabelecer entre elas relações tais que as fazem configurar imediatamente um corpo, um maquinismo, uma instituição ou um artefato ainda não existente, a ser fabricado, em consequência, de acordo com o “projeto”. (PINTO, 2005, p. 55).
Desta forma, o homem altera a realidade ao seu redor, por intermédio da construção intencional de produtos, que anteriormente projetados, passam a existir graças a habilidade humana de transformar o meio em que vive.
De acordo com Kenski (2007, p. 15), a sobrevivência humana durante a Idade da Pedra só foi possível graças a sua engenhosidade e astúcia, tendo em vista, a inferioridade física do homem quando comparada aos grandes animais e as manifestações da natureza. A capacidade de raciocinar permitiu a espécie humana identificar novas possibilidades, que aliadas ao conhecimento adquirido deram origem a diversos equipamentos, recursos, processos, que podemos chamar de tecnologias. Kenski (2007) mostra que,
Na relação com a natureza, a espécie humana modificou-se e criou formas de adaptação aos ambientes mais inóspitos. Para garantir a sobrevivência, roupas, habitações, alimentos e armas foram sendo criados, descobertos, utilizados e transformados. Organizados em tribos nômades, os homens primitivos dominavam as técnicas de caça e de criação de objetos de pedra. (KENSKI, 2007, p. 20).
O desenvolvimento tecnológico propicia a elaboração e construção de novas técnicas e produtos que contribuem para melhorar a qualidade de vida do ser humano, mais do que isso, ele altera o comportamento individual e coletivo. Ainda segundo Kenski (2007, p. 21) “o homem transita culturalmente mediado pelas tecnologias que lhe são contemporâneas. Elas transformam sua maneira de pensar, sentir, agir.” O que é exemplificado pela autora ao analisar as implicações sociais resultantes da invenção da roda, dentre elas podemos citar: a
transformação na forma de deslocamento, a redefinição da produção, a comercialização, o armazenamento de produtos além de outras descobertas.
As tecnologias não se resumem a equipamentos e aparelhos, a linguagem, por exemplo, é um tipo específico de tecnologia, que não se apresenta necessariamente por meio de uma máquina. Segundo Kenski, (2007, p. 23), “a linguagem é uma construção criada pela inteligência humana para possibilitar a comunicação entre os membros de um determinado grupo social.” Essa mesma autora conceitua tecnologia como o “conjunto de conhecimentos e princípios científicos que se aplicam ao planejamento, à construção e à utilização de um equipamento em um determinado tipo de atividade [...]” (Idem, 2007, p. 24). Para ela, a presença das tecnologias é tão intensa em nosso cotidiano, que nem se percebe mais que não são coisas naturais, a título de exemplo, podemos citar alguns como: lápis, cadernos e canetas; itens que foram projetados para nos auxiliar durante a aprendizagem.
As tecnologias atualmente se referem principalmente a produtos e processos que se relacionam com os conhecimentos da eletrônica, da microeletrônica e das telecomunicações (Idem). Os artefatos tecnológicos interferem em nossa forma de: pensar, agir, sentir, relacionar socialmente e adquirir conhecimentos; essa nova sociedade “[...] caracteriza-se pela personalização das interações com a informação e as ações comunicativas.” (KENSKI, 2012, p. 24).
De acordo com Valente (1993, p. 4), a utilização de computadores na educação tem suas origens no ensino por meio de máquinas quando, em 1924, Sidney Pressey desenvolveu uma máquina para corrigir testes de múltipla escolha. Em 1950, Burrhus Frederic Skinner, professor da Universidade de Havard, nos Estados Unidos, apresentou um aparelho para ensinar utilizando o conceito de instrução programada. Houve, por parte do governo Norte Americano, durante a década de 1960, um investimento significativo de recursos para o desenvolvimento de diversos programas fazendo surgir a instrução auxiliada por computador:
Computer-aided instruction (CAI). O custo de um computador ainda era bastante elevado, o
que inviabilizava a aquisição dessas máquinas pelas escolas, o que só veio a ocorrer com o surgimento dos microcomputadores. De acordo com Valente (1993),
Além da diversidade de CAIs9 a ideia de ensino pelo computador permitiu a elaboração de outras abordagens, onde o computador é usado como ferramenta no auxílio de resolução de problemas, na produção de textos,
9
Sigla para Computer-aidedinstruction, traduzido por Valente (1993) como instrução auxiliada por
manipulação de banco de dados e controle de processos em tempo real. (VALENTE, 1993, p. 5).
Essas novas modalidades de uso do computador indicavam uma nova direção, diferente daquela que tinha suas raízes na máquina de ensinar; ele passa agora a ser visto como uma ferramenta educacional, que pode aperfeiçoar e permitir mudanças na qualidade do ensino.
Segundo Valente e Almeida (1997, p. 1), foi ainda na década de 1970 que teve início a história da informática no Brasil, o que ocorreu por meio de algumas experiências ocorridas na UFRJ, UFRGS e UNICAMP. Em sua obra, Borba, Silva e Gadanidis (2018, p. 17) apresentam o uso das tecnologias digitais na Educação Matemática no Brasil sobre uma perspectiva que aponta quatro fases, expondo as particularidades e semelhanças entre elas.
A primeira fase ocorreu na década de 1980, expressões como Tecnologias
Informáticas (TI) e tecnologias computacionais eram utilizadas para se referir ao uso do
computador e de softwares. De acordo com Borba, Silva e Gadanidis (2018, p. 22), essa fase é caracterizada basicamente pela utilização do software LOGO10, que ocorreu em meados da década de 80, o uso pedagógico do LOGO ressaltava as relações entre pensamento matemático e linguagem de programação. Durante a mesma década pesquisadores se dedicavam em busca de novas possibilidades de uso das TI na alteração de práticas didáticas e pedagógicas. A busca por essas mudanças fica evidente em Valente (1993), quando nos diz que:
A mudança da função do computador como meio educacional acontece juntamente com um questionamento da função da escola e do papel do professor. A função do aparato educacional não deve ser a de ensinar mas sim a de promover o aprendizado. Isto significa que o professor deixa de ser o repassador do conhecimento – o computador pode fazer isso e o faz muito mais eficientemente do que o professor – para ser o criador de ambientes de aprendizado e facilitador do processo pelo qual o aluno adquire conhecimento. (VALENTE, 1993, p. 5).
A proposta era que a utilização dos computadores em sala de aula permitisse novas abordagens para educação, o que contribuiria para a formação de sujeitos reflexivos, capazes de utilizar as tecnologias em diversas situações. Borba, Silva e Gadanidis, (2018, p. 25) destacam que durante essa fase “[...] o papel atribuído as tecnologias era o de catalisador para a mudança pedagógica.”
10
A segunda fase iniciou-se ainda na primeira metade da década de 1990, quando ocorreu a popularização do uso dos computadores, nesse período também surgem inúmeros programas para computadores voltados para educação (Winplot, Fun, Cabri Géomètre, dentre outros) e também cursos de capacitação para docentes; esses softwares tinham como principal característica: o caráter experimental, os aspectos visuais e o dinamismo. De acordo com Borba, Silva e Gadanidis, (2018, p. 27), “em geometria dinâmica (GD), o dinamismo pode ser atribuído às possibilidades em podermos utilizar, manipular, combinar, visualizar e construir virtualmente objetos geométricos, permitindo traçar novos caminhos de investigação.” Diferenciar desenho de construção geométrica não fazia sentido, a partir de elaborações que utilizavam lápis e papel, a utilização dos softwares para o ensino de geometria permitiu que essa distinção ocorresse. Por meio deles era possível visualizar que uma construção geométrica mantinha suas propriedades inalteradas, mesmo quando era movimentada, fato que não se repetia quando desenhos geométricos eram submetidos a mesma situação. Utilizar
softwares de geometria dinâmica para construir objetos geométricos proporciona um ambiente
favorável a investigação Matemática.
A terceira fase ocorreu no fim do século XX, por volta do ano de 1999, com a chegada da internet, sua utilização na educação se deu principalmente como fonte de informação, canal de comunicação entre alunos e professores, para a formação continuada de alunos e professores, por meio de cursos a distância (BORBA; SILVA; GADANIDIS 2018, p. 35). Nesse período surgem expressões como tecnologias da informação e Tecnologias da
Informação e Comunicação (TIC). Em sua obra Borba, Silva e Gadanidis (2018), ressaltam
que:
Pesquisas sugerem que diferentes interfaces moldam a natureza de comunicação e da interação entre os usuários (estudantes e/ou professores e pesquisadores) e, consequentemente, a natureza das ideias matemáticas é transformada em ambientes online ou ambientes virtuais de aprendizagem [...] (BORBA; SILVA; GADANIDIS, 2018, p. 36).
Propiciar um ambiente que permite a interação entre os participantes favorece a aprendizagem. Borba e Penteado (2012, p. 76) alertam sobre a importância de que os cursos a distância superem as barreiras físicas que separam seus participantes, e consigam pensar coletivamente sobre determinados problemas, os autores ainda criticam os cursos a distância que utilizam a internet apenas como um banco de dados, e não oportunizam uma relação síncrona entre os estudantes.
Atualmente vivenciamos a quarta fase das tecnologias digitais em Educação Matemática. Segundo Borba, Silva e Gadanidis (2018, p. 39), o início desse período ocorreu no ano de 2004, com o surgimento da internet rápida, o que proporcionou uma melhor qualidade na conexão, o aumento dos recursos disponíveis via internet e o aperfeiçoamento da comunicação online. Nessa fase a expressão Tecnologias Digitais (TD) é bastante empregada para tratar dos recursos tecnológicos utilizados, algumas características que se destacam nesse momento são: a utilização de plataformas e repositórios, o uso de tecnologias móveis, maior interatividade, utilização das redes sociais, além da produção e do compartilhamento online de vídeos. De acordo com Borba, Silva e Gadanidis (2018), existe uma continuidade entre as fases:
É importante destacarmos que o surgimento de cada fase não exclui ou substitui a anterior. Há certa „sobreposição‟ entre as fases, elas vão se integrando. Ou seja, muito dos aspectos que surgiram nas três primeiras fases são ainda fundamentais dentro da quarta fase. Muitas das tecnologias „antigas‟ ainda são utilizadas. (BORBA; SILVA; GADANIDIS, 2018, p. 41).
A integração e a sobreposição mencionadas anteriormente torna-se mais evidente quando analisamos a terceira e a quarta fase; de forma que, estabelecer um marco que consiga realizar a separação entre as duas fases é algo bastante arriscado.
Ao discutir a posição que o computador deve ocupar nas práticas educativas, Borba, Silva e Gadanidis (2018, p. 45) destacam que, “[...] uma nova mídia, como a informática, abre possibilidades de mudanças dentro do próprio conhecimento e que é possível haver uma ressonância entre uma dada pedagogia, uma mídia e uma visão de conhecimento.” Sobre a informática, os autores entendem que:
Ela é uma nova extensão de memória, com diferenças qualitativas em relação às outras tecnologias da inteligência e permite que a linearidade de raciocínios seja desafiada por modos de pensar, baseados na simulação, na experimentação e em uma „nova linguagem‟ que envolve escrita, oralidade, imagens e comunicação instantânea. (BORBA; PENTEADO, 2012, p. 48).
Para aqueles autores, a utilização do computador em sala de aula permite a superação de antigas práticas, de forma que a perspectiva de construção do conhecimento priorize o processo e não o produto. Para alguns professores, a utilização de tecnologias digitais durante suas aulas ainda é algo desconfortável. Segundo Borba e Penteado (2012, p. 56), alguns
professores durante sua prática docente procuram permanecer em uma área denominada pelo autor de zona de conforto, neste ambiente tudo é previsível e controlável, não existe nessa zona uma preocupação por parte do docente de se movimentar em direção a novas possibilidades de aperfeiçoamento de sua prática educativa. De acordo com os mesmos autores, a utilização da informática em sala de aula pode ser encarada como uma zona de
risco, ambiente cercado por desafios e aonde paira a imprevisibilidade, a título de exemplo
podemos citar: problemas de ordem técnica, diversidade de caminhos para realização de uma tarefa e dúvidas que surgem nos alunos durante a utilização do computador.
Borba, Silva e Gadanidis (2018, p. 21) destacam ainda que as diversas inovações tecnológicas têm possibilitado o surgimento e a exploração de situações alternativas para a educação, com destaque para o ensino e a aprendizagem da Matemática. Os docentes estão diante de um grande desafio, conseguir se apropriar das tecnologias digitais e utilizá-las em sala de aula. Kenski (2012), por sua vez, ao discorrer sobre a atividade docente destaca que,
[...] É preciso que esse profissional tenha tempo e oportunidades de familiarização com as novas tecnologias educativas, suas possibilidades e seus limites, para que, na prática, faça escolhas conscientes sobre o uso das formas mais adequadas ao ensino de um determinado tipo de conhecimento, em um determinado nível de complexidade, para um grupo específicos de alunos e no tempo disponível. (KENSKI, 2012, p. 48).
Não basta, portanto, fazer o uso de uma determinada tecnologia digital, é necessário analisar a forma como suas potencialidades são exploradas em sala de aula. Borba e Penteado (2012, p. 88) alertam ainda sobre o risco de domesticação de uma mídia, os autores citam como exemplo dessa domesticação, uma aula expositiva que utiliza o computador apenas para apresentar exemplos. Segundo ele o uso do computador poderia ocorre para promover: a experimentação, a visualização dentre outras possibilidades. Ainda sobre a domesticação:
Entendemos que domesticar uma tecnologia significa utilizá-la de forma a manter intacta práticas que eram desenvolvidas com uma mídia que é predominante em um determinado momento da produção de conhecimento. Manter tais práticas de forma acrítica, como por exemplo usar ambientes virtuais de aprendizagem apenas para enviar um PDF é o que chamamos de domesticação. O envio substitui o correio usual que entregava um texto, mas não incorpora o que pode ser feito com uma nova mídia. (BORBA; SILVA; GADANIDIS, 2018, p. 29).
Para os autores, uma forma de evitar essa domesticação é buscar novos tipos de problemas e diferentes tipos de soluções e encarar a zona de risco como local de possibilidades.
2.3 Tecnologias digitais, educação e cidadania
Quando se fala em inclusão social pressupõe-se a formação para a cidadania. De acordo com Takahashi (2000, p. 45) as tecnologias digitais da informação e da comunicação devem ser empregadas para a democratização dos processos sociais, para promover a transparência nas ações governamentais e para fomentar a mobilização dos cidadãos e a sua atuação nas transformações sociais.
A escola exerce um papel fundamental nas constantes transformações ocorridas na sociedade. Para Kenski (2007, p. 64), a contribuição da escola para essa transformação social não se resume a preparação de consumidores ou ao treinamento de indivíduos capazes de utilizar as novas tecnologias, ela precisa proporcionar aos seus estudantes o desenvolvimento de novas habilidades e atitudes que os permitam conviver e participar dessa transformação. Ainda sobre o papel desempenhado pela escola, Kenski (2007) ressalta que,
A escola precisa assumir o papel de formar cidadãos para a complexidade do mundo e dos desafios que ele propõe. Preparar cidadãos conscientes, para analisar criticamente o excesso de informações e as transformações sucessivas dos conhecimentos em todas as áreas. (KENSKI, 2007, p. 64).
O acesso as tecnologias digitais no ambiente escolar, deve ser visto não apenas como forma de ensinar conteúdo, mas também como forma de promoção da cidadania.
Para Borba e Penteado (2012, p. 16), “[...] o acesso à informática na educação deve ser visto não apenas como um direito, mas como parte de um projeto coletivo que prevê a democratização de acessos a tecnologias desenvolvidas por essa mesma sociedade.” As alterações sociais causadas pelo uso das tecnologias digitais são enormes, de acordo com Belloni (2009):
O impacto do avanço tecnológico (entendido como um processo social) sobre processos e instituições sociais (educação, comunicação, trabalho, lazer, relações pessoais e familiares, cultura, imaginário e identidades etc.) tem sido muito forte, embora percebido de modos diversos e estudado a partir de diferentes abordagens.
A penetração destas „máquinas inteligentes‟ em todas as esferas da vida social é incontestável: no trabalho e no lazer; nas esferas públicas e privadas. Do cinema mudo às redes telemáticas as principais instituições sociais foram sendo transformadas por estas tecnologias [...] (BELLONI, 2009, p. 7).
As tecnologias digitais estão a cada dia mais presentes em nosso cotidiano: nas instituições financeiras, nos supermercados, no cinema, até mesmo nos serviços de saúde. Os bancos foram um dos pioneiros a oferecer aos seus clientes a opção do autosserviço, que foi bem aceito e incorporada ao cotidiano das pessoas. O autoatendimento está presente até mesmo nos serviços de saúde, os pacientes podem realizar a marcação de consultas e exames por meio da internet; mais do que isso, ao procurar a urgência de um hospital o usuário pode através de máquinas de autoatendimento realizar a identificação biométrica, escolher a especialidade desejada e aguardar o atendimento médico, tudo isso sem necessitar da presença de um funcionário do plano de saúde.
Não se trata de ministrar cursos de informática nas escolas, mas sim permitir que os alunos consigam utilizar as tecnologias digitais disponíveis para realizar suas tarefas diárias. De acordo com Borba e Penteado (2012),
O acesso à informática deve ser visto como um direito e, portanto, nas escolas públicas e particulares o estudante deve poder usufruir de uma educação que no momento atual inclua, no mínimo, uma “alfabetização tecnológica”. Tal alfabetização deve ser vista não como um Curso de Informática, mas, sim, como um aprender a ler essa nova mídia. Assim, o computador deve estar inserido em atividades essenciais, tais como aprender a ler, escrever, compreender textos, entender gráficos, contar, desenvolver noções espaciais etc. E, nesse sentido, a informática na escola passa a ser parte da resposta a questões ligadas à cidadania. (BORBA; PENTEADO, 2012, p. 17).
É importante que a escola oportunize aos seus alunos o contato com as tecnologias, para que eles consigam utilizá-las durante a realização de suas tarefas cotidianas. Segundo Belloni (2009, p. 10) as tecnologias digitais da informação e comunicação devem ser integradas ao cotidiano escolar de forma crítica, criativa e competente; pois, já podemos perceber a presença e a influência delas em cada uma das esferas da sociedade.
Ao discorrer sobre os desafios da educação em uma sociedade da informação,
Takahashi (2000, p. 45) destaca que, não se trata apenas de ensinar aos alunos como operar as tecnologias da informação e comunicação, para ele:
