Análise dos conhecimentos mobilizados pelos alunos em situações de comparação de áreas e de perímetros sem unidades de medidas

no pós-teste

Situações de comparação de área e/ou perímetros de figuras desenhadas em papel branco, sem unidade de medida, são apresentadas nas atividades 1, 2 e 3. A atividade 1 envolve duas situações de comparação de áreas: no item a, com duas figuras poligonais, no item b, com duas figuras não poligonais. A atividade 2 apresenta uma situação contextualizada de comparação de áreas e de perímetros de figuras poligonais não usuais. E a atividade 3 tem como suporte figuras construídas com o recurso Tangram.

Uma visão do desempenho do grupo de alunos nessas três atividades, como apresentado no Gráfico 1, pode auxiliar nossas considerações iniciais.

Na atividade 1, a mudança de variável tipo de figura, de figuras poligonais sempre presentes no cotidiano escolar como quadrados e retângulos no item a, para figuras não poligonais, formadas por curvas fechadas ou composição de curvas e segmentos de reta no item b, parece ter sido um elemento desestabilizador para os alunos com relação ao conceito de área.

Gráfico 1 – Análise quantitativa das respostas dos alunos para as atividades 1, 2, e 3 do pós-teste

Fonte: Elaborado pela autora, 2018. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 1a 1b 2a 2b 3a 3b 3c 3d Qu an ti ta ti vo d e a lu n o s

Itens por Atividade PÓS-TESTE

Situações de comparação de áreas / perímetros

A atividade 2, apesar de apresentar um menor índice de erros que a atividade 1, deixou implícita nas justificativas a dificuldade em dissociar a grandeza do objeto a ele associado, e neste caso, mesmo com uma situação contextualizada. O fato de as figuras poligonais serem não convexas revelou a confusão entre os conceitos de área e perímetro, diante dos procedimentos inadequados utilizados pelos alunos.

Na terceira atividade, para os itens a e b associados à comparação de áreas de figuras a partir da representação com peças do Tangram, os alunos apresentaram um bom desempenho, o que não se refletiu quando passamos a explorar o conceito de perímetro, nos itens c e d, reforçando o uso de teoremas-em- ação falsos, como poderemos observar nos protocolos a seguir.

5.1.1.1 Conhecimentos mobilizados pelos alunos na atividade 1 do pós-teste

Na atividade 1, nove dos 10 alunos que acertaram o item a fizeram uso da malha quadriculada, recurso presente no ambiente escolar, e desses, apenas uma aluna usou a combinação do recurso papel decalque para transportar as figuras da atividade, sobrepor a malha quadriculada e realizar a contagem, conforme mostrado na Figura 25 e na Figura 26.

Figura 25 - Situação de comparação de áreas com solução correta (extrato de protocolo PT_7A6_Ativ1a)

Figura 26 – Recursos utilizados para resolução correta (extrato de protocolo PT_7A6_Ativ1a)

Fonte: Acervo da autora, 2018.

Os conhecimentos da aluna sobre a grandeza área e os recursos disponibilizados contribuíram para a mobilização correta do teorema-em-ação verdadeiro «TAContq – A quantidade de quadradinhos necessários para recobrir uma superfície corresponde à medida de sua área».

Dentre os alunos que acertaram o item a, apenas um não fez uso da malha quadriculada, mas usou o barbante para “criar uma medida hipotética” (Figura 27) e estabelecer relações algébricas entre as medidas dos lados das figuras.

Figura 27 - Situação de comparação de áreas com resolução correta no quadro algébrico (extrato de protocolo PT_7A4_Ativ1a)

Fonte: Acervo da autora, 2018.

O aluno 7A4 adotou o lado do quadrado como sua unidade de medida padrão x e, a partir dela, estabeleceu relações para cada um dos comprimentos dos demais lados das figuras A, B e C. O barbante foi utilizado, então, como instrumento de medida para verificar a operação de comparação com os demais comprimentos. Por exemplo, a medida do lado menor da Figura B equivale à terça parte da unidade

padrão x, representada pelo aluno com a expressão algébrica y = x : 3. Da mesma maneira, foram estabelecidas para os outros lados das figuras as expressões algébricas associadas à unidade padrão, em destaque na Figura 27 (linha vermelha).

Após a determinação das relações entre os lados das figuras, o aluno passou para o quadro numérico, ao estabelecer um valor para a unidade padrão x (seta azul), realizou as operações para determinar a área de cada uma das figuras de acordo com as expressões obtidas e registrou no interior de cada figura a medida da respectiva área (valores em destaque com contorno), sem considerar nesse momento a unidade padrão adotada.

Percebemos que o aluno tem um domínio mais amplo do campo conceitual das grandezas diante da álgebra das grandezas que foi utilizada, superando os conhecimentos exigidos para alunos que estão iniciando o 7º ano do ensino fundamental. E manifesta também uma compreensão do caráter teoricamente arbitrário da unidade de medida.

Os erros cometidos pelos cinco alunos no item a dessa atividade foram provenientes do cálculo relacional incorreto: quatro alunos usaram o conceito de perímetro e um aluno, o conceito de comprimento, e o procedimento utilizado por todos envolveu o barbante enquanto recurso. Trazemos a seguir o protocolo da aluna 7A14 (Figura 28), que utilizou o conceito de comprimento para determinar a figura que apresentava a maior área.

Figura 28 – Situação de comparação de áreas com solução incorreta associada ao conceito de perímetro (extrato de protocolo e recurso PT_7A14_Ativ1a)

Fonte: Acervo da autora, 2018.

O procedimento utilizado pela aluna foi a comparação dos comprimentos das bases das figuras. Considerando as marcas realizadas no barbante, inferimos que a

aluna não sentiu necessidade de realizar a medição da base da Figura C, já que visualmente é a menor entre as três, realizando apenas as medições para a base das Figuras A e B. Na sua justificativa, observamos o uso do termo “ponta” enquanto sinônimo de vértice, para indicar os pontos inicial e final da medição, no barbante marcado por pontos azuis (destaque com setas).A resposta foi baseada no teorema- em-ação errôneo, «TAAlt – A superfície “mais alta” (ou “mais larga”) tem maior área», o que caracteriza a incompreensão do conceito de área.

As respostas associadas a acertos parciais envolveram erro no cálculo numérico, na contagem dos quadradinhos, por exemplo, o que levou à resposta de outra figura que não a Figura A, ou ainda comparações visuais sem justificativa. Uma aluna, no entanto, ao realizar a comparação visual das figuras justificou sua resposta associada ao conceito de quadrado, como apresentado na Figura 29, a seguir.

Figura 29 - Situação de comparação de áreas com acerto parcial por erro de cálculo numérico (extrato de protocolo PT_7A11_Ativ1a)

Fonte: Acervo da autora, 2018.

A justificativa está baseada na afirmação que, dentre as figuras apresentadas, o quadrado é o que tem maior área porque “todas as suas áreas são iguais”. Interpretamos essa resposta como o uso da palavra “área” erroneamente no sentido de “lado” de quadrado. Somos ainda levados a pensar sobre quais situações foram experienciadas por essa aluna para garantir que a maior área entre quadrado e retângulos é do quadrado.

Na atividade 1, item b, 19 alunos, entre os que erraram e os que acertaram parcialmente, todos mobilizaram o conceito de perímetro. A diferença entre eles foi a figura dada como resposta, o que mostra a fragilidade conceitual da grandeza diante da variável didática tipo de figura, em situação com figuras não poligonais. Trazemos um exemplo de acerto parcial com o protocolo do aluno 7B13 (Figura 30), a seguir, considerando que a observação visual foi utilizada como justificativa por cinco alunos.

Figura 30 – Situação de comparação de áreas com acerto parcial associado à observação visual das figuras (extrato de protocolo PT_7B13_Ativ1b)

Fonte: Acervo da autora, 2018.

O aluno 7B13 não faz uso dos recursos disponibilizados e sua percepção é visual, que pode estar associada à imagem mental da inclusão da Figura D na Figura E, ou ao perímetro das figuras, quando se refere ao “tamanho das curvas”. Diante da justificativa dada, não ficou claro se o aluno observou outras características comuns às duas figuras, como possuírem “mesma largura” e “mesma altura”.

Nessa atividade, apenas dois alunos acertam a questão, sendo que um deles fez uso do recurso malha quadriculada associada ao papel decalque, como consta no protocolo do aluno 7A4 (Figura 31), a seguir, o que reforça a necessidade do aluno em mobilizar o quadro numérico.

Figura 31 – Recursos utilizados para solução correta (extrato de protocolo PT_7A4_Ativ1b)

Fonte: Acervo da autora, 2018.

O aluno apresenta sua justificativa descrevendo o procedimento realizado: “usei a folha transparente e a quadriculada para medir quantos quadrados cabiam

em cada uma” (extrato de protocolo PT_7A4_Ativ1b), mobilizando, assim, o teorema-em-ação verdadeiro «TAContq – A quantidade de quadradinhos necessários para recobrir uma superfície corresponde à medida de sua área».

5.1.1.2 Conhecimentos mobilizados pelos alunos na atividade 2 do pós-teste

Nessa atividade, item a, 13 alunos acertam parcialmente, e, desses, oito realizam a observação visual para afirmar que a figura de Sérgio é maior que a de Vandréia, e justificativas como “eu percebi pelo tamanho” ou “pois ela é maior” foram dadas.

O protocolo do aluno 7A12, a seguir, chama a nossa atenção ao associar a sua justificativa à quantidade de lados da figura de Sérgio.

Figura 32 – Situação de comparação de áreas com solução incorreta associada ao conceito de lado de polígono (extrato de protocolo PT_7A12_Ativ2a)

Fonte: Acervo da autora, 2018.

O aluno tem domínio do conceito de lado de figura, no entanto estabelece uma relação incorreta, mobilizando outro teorema-em-ação falso «TMQLadosMA – A figura com maior quantidade de lados tem a maior área», não previsto em nossas análises a priori, mas evidenciado nas pesquisas de Duarte (2002) e Anderson Silva (2016). Elementos associados às figuras, polígonos não convexos, podem estar relacionados ao argumento do aluno, assim como a necessidade do quadro

numérico se fazer presente diante da relação de comparação com o uso do termo “maior”.

Dentre os alunos que erraram a questão, todos realizaram o cálculo relacional incorreto, por associar a figura com maior quantidade de cartolina ao conceito de perímetro, como apresentado na figura a seguir.

Figura 33 – Situação de comparação de áreas com solução incorreta associada ao conceito de perímetro (extrato de protocolo PT_7B8_Ativ2a)

Fonte: Acervo da autora, 2018.

A aluna 7B8 realiza o cálculo operacional correto, faz uso do recurso do barbante, porém determina o maior perímetro entre as figuras, quando o solicitado no item a foi a área.

Todos os cinco alunos que acertaram esse item afirmam ter utilizado o papel decalque. No entanto, apenas um aluno decalca as duas figuras (Figura 34). Os demais decalcam apenas a figura de Vandréia, sem deixar mais elementos para nossa análise.

Figura 34 - Recursos utilizados para solução correta (extrato de protocolo PT_7B4_Ativ2a)

Diante dos registros realizados pelo aluno 7B4, o primeiro procedimento foi realizar o decalque das duas figuras no papel decalque, seguido da sobreposição desse recurso na malha quadriculada. Inferimos serem os traços registrados pelo aluno no papel decalque (setas azuis), paralelos a dois dos lados da figura de Sérgio, como apoio ao coincidirem com as linhas da malha quadriculada para delimitar a figura e facilitar a contagem. Nesse caso, o aluno não fez registros numéricos, mas também tem como base o teorema-em-ação TAContq verdadeiro.

Na atividade 2, no item b, para a determinação da figura de maior perímetro, dos 20 alunos que acertam ou acertam parcialmente, 12 deles utilizam o barbante como recurso, mobilizando o teorema-em-ação verdadeiro «TMContMP – A figura de maior contorno tem o maior perímetro». Os demais justificam a observação visual, percepção realizada mentalmente e um deles (Figura 35) associa os lados da figura.

Destacamos nesse item que a contextualização da atividade ao perguntar diretamente “quem gastou mais cordão” pode estar associada ao fato do aluno responder corretamente à questão sem precisar saber que o contorno se associa ao perímetro.

Figura 35 – Situação de comparação de perímetros com acerto parcial associado ao comprimento dos lados da figura (extrato de protocolo PT_7A12_Ativ2b)

Fonte: Acervo da autora, 2018.

O aluno 7A12 permanece associando o conceito de lados de uma figura poligonal aos conceitos de área e perímetro, como foi apresentado na Figura 35 para o item a, mobilizando agora outro teorema-em-ação «TACompL – Dadas duas figuras F e F’ que possuem diferentes quantidades de lados, se os lados de uma figura F possuem comprimentos maiores do que os comprimentos dos lados de uma figura F’, então F tem maior perímetro», também falso.

Dois alunos erram a questão por associar o teorema-em-ação falso «TAVAP – A área e o perímetro variam no mesmo sentido», como apresentado no protocolo a seguir (Figura 36).

Figura 36 – Situação de comparação de perímetros com solução incorreta associada à variação de área e perímetro no mesmo sentido (extrato de protocolo PT_7A1_ativ2b)

Fonte: Acervo da autora, 2018.

Observamos que nessa atividade o recurso do barbante foi mais utilizado, o que podemos associar ao tipo de figura, um polígono não convexo, nem sempre presente no cotidiano escolar para as situações do domínio das grandezas e medidas.

5.1.1.3 Conhecimentos mobilizados pelos alunos na atividade 3 do pós-teste

Na atividade 3, iremos analisar as respostas dos alunos associando os itens a e b, relacionados à comparação das áreas, e os itens c e d, à comparação dos perímetros.

O número de acertos dos itens associados à comparação das áreas foi superior à comparação dos perímetros, como podemos observar no Gráfico 1.

Ao realizar a comparação das áreas nos dois primeiros itens, os alunos que acertam justificam suas respostas com afirmações associadas ao Tangram: “Resposta de André (os dois usaram as mesmas peças)”, “As duas figuras têm sete peças, então as suas áreas são iguais”, “eles usaram os mesmos materiais” ou “pois eles usavam a mesma quantidade de peças”.

Dentre os 15 alunos que erram esses dois itens, os alunos associam suas justificativas à organização das peças do Tangram como no item a, para a afirmação de que a área da figura de Rosa é menor que a área da figura de Pedro: “concorda, a figura dela é mais fechada” ou “Porque a figura de Pedro é ‘maior’, tem mais curvas etc.”, ou ainda “Porque o de Pedro é um gato e o de Rosa um quadrado”. Trazemos na Figura 37, a seguir, um exemplo dessa interpretação associada à “extensão da figura” construída.

Figura 37 – Situação de comparação de áreas com solução incorreta associada à extensão da figura (extrato de protocolo PT_7A2_Ativ3a e b)

Fonte: Acervo da autora, 2018.

Apesar de os alunos realizarem o cálculo relacionado ao conceito correto, conceito de área enquanto espaço ocupado, o fazem associado à figura e mobilizam o teorema-em-ação falso «TAAlt – A superfície “mais alta” (“mais larga” ou “mais espalhada”) tem maior área», ao associar a grandeza área ao “espaço ocupado” pela figura. Não percebem que as duas figuras estão formadas pelas mesmas peças, garantia da invariância da área.

Os itens c e d dessa terceira atividade estão associados à comparação dos perímetros das figuras de Rosa e Pedro. Dos 22 alunos, seis respondem corretamente, mas apenas dois deles aos dois itens. Dentre as 24 respostas consideradas parcialmente corretas para um dos dois itens, sendo 12 do item c e 12 do item d, oito apenas indicam a concordância que os perímetros são diferentes, mas não estão justificadas; cinco estão apoiadas no teorema-em-ação falso «TAVAP – A área e o perímetro variam no mesmo sentido»; 10 associam o perímetro à diferença entre as figuras; e uma delas associa o perímetro à quantidade de lados das figuras.

Dentre aqueles que acertam parcialmente aos dois itens, 3 alunos apenas assinalam a alternativa que os perímetros são diferentes, mas não justificam suas respostas; e 6 alunos associam o perímetro ao formato das figuras, alegando que as

figuras são diferentes e a figura de Pedro é maior que a de Rosa, como pode ser observado na Figura 38, a seguir.

Figura 38 – Situação de comparação de perímetros com acerto parcial associado à diferença entre as figuras (extrato de protocolo PT_7A12_Ativ3c e d)

Fonte: Acervo da autora, 2018.

A fragilidade conceitual ganha destaque quando 10 justificativas para um dos itens c ou d estão associadas ao teorema-em-ação falso «TAPSup – Dadas duas superfícies S e S’ equidecompostas, de modo que S’ é mais “compacta” que S, P(S’) < P(S)», quando o perímetro está associado à representação espacial da figura. Como constatado por Souza (2004), a dificuldade pode ser provocada pelo efeito visual das figuras, quando a forma interfere na interpretação das grandezas. Esse item nos leva a buscar na análise dos LD e das aulas observadas como a decomposição e composição de figuras têm sido objeto de estudo no domínio das grandezas e medidas.

Uma aluna acerta parcialmente por reconhecer que o perímetro da figura de Rosa é menor que o da figura de Pedro, mas a relação estabelecida está associada à quantidade de lados de cada figura, como podemos observar na Figura 39, a seguir.

Figura 39 – Situação de comparação de perímetros com acerto parcial associado à quantidade de lados da figura (extrato de protocolo PT_7B7_Ativ3d)

O uso do teorema-em-ação falso «TMQLadosMP – A figura com maior quantidade de lados tem o maior perímetro» reforça a importância a ser dada na articulação entre o quadro geométrico e das grandezas, enquanto necessidade de reconhecer as figuras com suas características e propriedades, mas também buscar compreender que conhecimentos associados ao campo conceitual das grandezas são ensinados para os alunos dos 6º anos.

Um erro recorrente nas pesquisas sobre área e perímetro, como observado em Baltar (1996), Melo (2003), D’Amore e Fandiño (2007) e Ferreira (2010), (Cap. 2, item 2.1.2) também foi observado em sete justificativas a um dos itens, associadas à comparação com as áreas, e ao teorema-em-ação falso «TAmAmP – Figuras com áreas iguais têm perímetros iguais». Trazemos no protocolo a seguir a resposta de um aluno para os dois itens.

Figura 40 – Situação de comparação de perímetros com solução incorreta associada à comparação com as áreas (extrato de protocolo PT_7B10_Ativ3c e d)

Fonte: Acervo da autora, 2018.

Os resultados obtidos nas respostas às atividades desse bloco corroboram a necessidade de compreender quais situações foram oportunizadas para esses alunos nos anos anteriores, em particular, no 5º e 6º anos, e de que maneira a decomposição de figuras foi explorada para a abordagem dos conceitos de área e perímetro.

5.1.2 Análise dos conhecimentos mobilizados pelos alunos em situações