5.2.1.1 Conhecimentos mobilizados pelos alunos na atividade 1 da sondagem
Na atividade 1 da sondagem, dos 22 alunos participantes, nove acertaram o
item a, e o procedimento utilizado por todos eles envolveu o recurso da malha
quadriculada, mobilizando assim o quadro numérico. Procedimentos como decalcar as figuras na malha e contar os quadradinhos ou utilizar o lado do quadradinho da malha como unidade de medida, determinar a quantidade de lados de quadradinho para cada lado de cada uma das figuras e utilizar a fórmula para o cálculo da área de retângulos foram utilizados.
Figura 73 – Situação de comparação de áreas com solução correta (extrato de protocolo S_5B12_Ativ1a)
Fonte: Acervo da autora, 2018.
Observamos que a combinação do recurso malha quadriculada com as figuras poligonais, elementos presentes no contexto escolar, tanto nos LD quanto nas práticas de sala de aula, contribuiu para a mobilização do teorema-em-ação verdadeiro «TAContq – A quantidade de quadradinhos necessários para recobrir uma superfície corresponde à medida de sua área».
Alguns alunos utilizaram uma combinação de recursos como o barbante, enquanto uma régua não graduada, e a malha quadriculada, para o estabelecimento de uma unidade de medida, lado de quadradinho, obtendo, assim, um número.
Podemos observar um momento de reorganização dos esquemas segundo Vergnaud (2001), quando os alunos utilizaram o recurso da malha quadriculada, já conhecido, juntamente com o barbante, recurso desconhecido por eles no meio escolar do 5º ano, diante das situações propostas na sondagem.
Alguns alunos colocaram o barbante sobre o lado da malha quadriculada e estabeleceram para o lado do quadradinho como equivalente a unidade de comprimento com o barbante, representado por alguns apenas com o número, 1, e por outros, com o número e a unidade de medida, 1cm.
Dentre os nove alunos que erraram o item a, sete deles utilizaram o conceito de perímetro e apresentaram dificuldade em verificar uma medição com quantidade não inteira (Figura 74) do retângulo da figura C, cuja base mede 1,5 lado de quadradinho e foi aproximado por alguns alunos para 2 lado de quadradinho.
Figura 74 – Situação de comparação de áreas com solução incorreta associada ao conceito de perímetro (extrato de protocolo S_5A2_Ativ1a)
Fonte: Acervo da autora, 2018.
Podemos observar que o conceito mobilizado pelo aluno 5A2 foi o de perímetro, associado ao teorema-em-ação falso «TAMContMA – A figura de maior contorno tem maior área». Apesar de ter utilizado o recurso do barbante “como régua”, não conseguiu estabelecer uma relação de comparação sem a interferência do quadro numérico, visto recorrer à malha quadriculada para estabelecer a unidade de comprimento lado de quadradinho associada ao barbante.
No item b da atividade 1, nove alunos acertaram que a figura E possui maior área, com o uso do conceito de área e a utilização de recursos como a malha quadriculada, a malha triangular ou a comparação das áreas por sobreposição das figuras e verificação da possibilidade de inclusão. Acertaram parcialmente onze alunos por também fazerem a mesma afirmação, porém desses três alunos utilizaram o conceito de perímetro, mobilizando o teorema-em-ação falso TAMContMA,
procedimento mantido pelo aluno 5A2 (Figura 75) e dois alunos realizam a comparação de comprimentos (Figura 77). Nesse item, a figura E possui maior área e maior perímetro que a figura D. Os dois alunos que erram o item também associaram ao conceito de perímetro e marcaram a figura D.
Figura 75 – Situação de comparação de áreas com acerto parcial associado ao conceito de perímetro (extrato de protocolo S_5A2_Ativ1b)
Fonte: Acervo da autora, 2018.
O fato de apresentar duas figuras que não são retângulos foi intencional, para verificar se os alunos iriam comparar a partir do comprimento e da largura e concluir que as figuras tinham mesma área. A comparação de comprimentos está associada à ideia de que uma figura plana tem apenas um comprimento e uma largura, o que não ocorre com as figuras propostas, como pode ser observado na Figura 76 a seguir.
Figura 76 - Enquadramento de figuras não poligonais em retângulos de mesmos comprimentos e mesmas larguras
As duas figuras não poligonais foram construídas no interior de retângulos que possuem mesmos comprimentos e mesmas larguras. Esse raciocínio foi utilizado pelo aluno 5B10, conforme protocolo na Figura 77, a seguir.
Figura 77 - Situação de comparação de áreas com acerto parcial associado à comparação de comprimentos (extrato de protocolo S_5B10_Ativ1b)
Fonte: Acervo da autora, 2018.
O aluno 5B10 percebeu visualmente que a bandeja E é maior nas suas laterais, mas utilizou da comparação de comprimentos como apresentamos na Figura 77.
Nessa situação de comparação, temos a possibilidade de verificar se o aluno utiliza o mesmo esquema do item a, ao realizar as comparações com a malha quadriculada, ou se o aluno muda a sua conduta ao perceber a necessidade de uma ampliação, como sinaliza Vergnaud:
Não se pode esperar que tal processo intervenha sem que sejam reconhecidas pelo sujeito analogias e parentescos (semelhanças em certos critérios, diferenças em outros) entre a classe de situações em que o esquema já é operatório para o sujeito e as novas situações a vencer. O reconhecimento de invariantes é, pois, a chave da generalização do esquema (1993, p. 5).
A mudança de valor da variável possibilita observar com um mesmo enunciado a mudança das figuras com outra tomada de informação – figuras não poligonais. A necessidade de buscar informações, regras de ação com os materiais disponibilizados, favorece a construção de novos esquemas pelos alunos. Se era preciso contar quadradinhos, agora será necessária a mudança para a malha triangular, por exemplo, e a possibilidade de realizar a estimativa das áreas, ou, ainda, a possibilidade de realizar um procedimento não numérico, com a sobreposição das figuras.
Por outro lado, o fato de as duas figuras terem mesmos comprimentos e mesmas alturas considerando o enquadramento a partir de um retângulo tomado como referência (Figura 76), não é suficiente para garantir que tenham as mesmas áreas, considerando a função linear: A(x,y) = x.y para figuras não retangulares, o que exige daqueles que fizeram uso da fórmula para o cálculo da área de figuras retangulares novas adaptações.
5.2.1.2 Conhecimentos mobilizados pelos alunos na atividade 2 da sondagem
Na atividade 2 item a, dos 17 alunos que afirmaram ser a figura de Sérgio que gasta mais cartolina que a figura de Vandréia, apenas quatro deles utilizaram o conceito de área, acertando o item (Figura 78). Os demais utilizaram o conceito de perímetro associado ao teorema-em-ação falso «TAMContMA – A figura de maior contorno tem maior área».
Figura 78 – Situação de comparação de áreas com solução correta (extrato de protocolo S_5A5_Ativ2a)
Fonte: Acervo da autora, 2018.
Um procedimento percebido na análise do pós-teste de um aluno foi utilizado por cinco alunos na sondagem, com a mobilização de teoremas-em-ação falsos como «TMQLadosMA – A figura com maior quantidade de lados tem a maior área» e
«TMQVérticeMP – A figura com maior quantidade de vértices tem o maior perímetro», como podem ser observados na Figura 79 a seguir.
Os alunos buscaram nos conceitos-em-ação, categorias do pensamento associadas à situação: objetos, propriedades, relações, etc. As figuras associadas a polígonos e as propriedades de nomeação de polígonos a partir da quantidade de lados, de vértices, foram os elementos selecionados e considerados importantes para as ações, assim como relações foram estabelecidas entre a quantidade de lados e as grandezas área e comprimento, para responder à situação proposta.
A conceituação orientou a conduta desses alunos que ainda estão em processo, não apenas das grandezas comprimento e área, mas com relação à articulação entre conceitos nos diferentes domínios da matemática. Na comparação do resultado das análises da sondagem com o pós-teste, observamos um avanço diante da redução da utilização do teorema-em-ação falso «TMQLadosMA – A figura com maior quantidade de lados tem a maior área».
Figura 79 – Situação de comparação de áreas com solução incorreta associada ao conceito de perímetro (extrato de protocolo S_5A2_Ativ2)
Fonte: Acervo da autora, 2018.
A escolha das figuras nessa atividade, como justificado na análise a priori, pode ter contribuído para a utilização desses procedimentos, se considerarmos que as figuras poligonais não convexas, quando presentes nos LD sem o apoio das malhas, apresentam-se no domínio da geometria. Na continuidade das nossas análises, vamos mostrar que no ensino de área e perímetro não foram abordadas figuras poligonais não convexas.
5.2.1.3 Conhecimentos mobilizados pelos alunos na atividade 3 da sondagem
Nas respostas aos itens a e b da atividade 3, que abordam a comparação de áreas de figuras construídas com todas as peças do Tangram, sete alunos acertaram os dois itens, mobilizando os teoremas-em-ação verdadeiros «TAEq –
Duas superfícies equidecompostas (compostas de partes duas a duas congruentes) têm áreas iguais», e «TADec-rec – A decomposição de uma figura seguida da composição de uma nova figura, sem perda nem sobreposição conserva a área».
Figura 80 – Situação de comparação de áreas com solução correta associada à decomposição – composição (extrato de protocolo S_5A6_Ativ3a e b)
Fonte: Acervo da autora, 2018.
A justificativa da aluna 5A6 está apoiada no teorema-em-ação TADec-rec.
Dentre os oito alunos que erram os itens a e b dessa atividade, sete associam a ideia de área à figura que “ocupa mais espaço” ou que “está mais espalhada”, como observado por Souza (2004), conforme exemplo de protocolo na Figura 81, a seguir.
Figura 81 – Situação de áreas com solução incorreta associada à figura (extrato de protocolo S_5B12_Ativ3a e b)
Fonte: Acervo da autora, 2018.
A primeira observação da aluna 5B12 foi visual, ao perceber que a figura de Pedro tem maior área. Mas, ao dizer “depois eu usei a malha quadriculada e confirmei”, a aluna comprova a percepção operada mentalmente, desconsiderando a
quantidade de quadradinhos que cabe dentro de cada uma das figuras, mobilizando o teorema-em-ação falso «TAAlt – A superfície ‘mais alta’ (‘mais larga’ ou ‘mais espalhada’) tem maior área».
Um outro aluno que errou os itens a e b e concordou com a afirmação de que a área da figura de Rosa é menor que a área da figura de Pedro, justificou suas respostas associando as áreas das figuras aos seus comprimentos, largura e altura, de acordo com o teorema-em-ação falso TAAlt, como podemos observar no extrato do protocolo na Figura 82, a seguir.
Figura 82 – Situação de comparação de áreas com solução incorreta associada às projeções da figura (extrato de protocolo S_5B1_Ativ3a e b)
Fonte: Acervo da autora, 2018.
Para os itens c e d da atividade 3 que tratam da comparação de perímetros, dentre os alunos que acertam os itens, apenas um aluno justifica com o teorema- em-ação verdadeiro «TMContMP – A figura de maior contorno tem o maior perímetro», conforme protocolo a seguir.
Figura 83 – Situação de comparação de perímetros com solução correta associada ao maior contorno (extrato de protocolo S_5A3_Ativ3c e d)
O aluno S5A3 estabeleceu uma relação correta ao observar as peças e que mais de um lado das peças do Tangram compõe o contorno da figura de Pedro e, consequentemente, aumenta o perímetro dela.
Dentre as 18 respostas consideradas parcialmente corretas para um dos dois itens, sendo dez para o item c e oito para o item d, ou seja, esses alunos entenderam que os perímetros são diferentes: cinco apenas assinalaram a discordância sem apresentar justificativas; três alunos repetiram na justificativa a diferença, sem mais elementos para a nossa análise; três alunos estavam apoiados no teorema-em-ação falso «TAVAP – A área e o perímetro variam no mesmo sentido» (Figura 84); e sete associaram o perímetro à diferença entre as figuras.
A interferência das figuras representadas aparece nas justificativas, inclusive porque alguns alunos consideraram que a figura de Pedro, representada pelo formato de um gato, não pode ser considerada uma figura geométrica, conforme apresentamos na Figura 85.
Figura 84 – Situação de comparação de perímetros com solução incorreta associada à variação das áreas (extrato de protocolo S_5B12_Ativ3c e d)
Fonte: Acervo da autora, 2018.
A aluna 5B12 responde corretamente aos itens c e d por discordar da afirmação de Joana e concordar com a afirmação de Luiz. No entanto, a justificativa nos mostra a incompreensão da aluna quanto à dissociação entre os conceitos de área e perímetro ao tomar como verdade o teorema-em-ação falso TAmAmP.
No protocolo a seguir, temos outro aluno que acerta parcialmente aos dois itens, por ter concordado com as afirmações, mas a sua justificativa está associada às figuras.
Figura 85 – Situação de comparação de perímetros com acerto parcial associada às figuras (extrato de protocolo S_5A10_Ativ3c e d)
Fonte: Acervo da autora, 2018.
A compreensão do aluno 5A10 está associada ao tipo de figura. Para esse aluno, o quadrado, por ser uma figura geométrica, tem lados que podem estar relacionados a determinados comprimentos e a unidades de medidas convencionais como o centímetro. Já a figura de Pedro, que está associada à ideia de um gato, não é considerada por ele como uma figura geométrica, que ora não tem lados, ora tem lados, mas sem comprimentos. Levantamos a hipótese de que a ausência de atividades com figuras convexas pode ter levado o aluno a essa incerteza.
A dificuldade em perceber relações entre diferentes figuras também esteve presente no pós-teste, o que nos sugere observar nos LD e nas aulas observadas a presença de atividades com o Tangram, que propiciam a articulação e a exploração de conceitos que permeiam os domínios da geometria e das grandezas e medidas.
Como procedimento errôneo, seis alunos consideraram que o perímetro da figura de Rosa é igual ao perímetro da figura de Pedro, por entenderem que, se duas figuras possuem mesma área, então possuem o mesmo perímetro (Figura 86), que pode ser representado pelo teorema-em-ação falso «TAmAmP – Figuras com áreas iguais têm perímetros iguais».
Figura 86 – Situação de comparação de perímetros com solução incorreta associada ao conceito de área (extrato de protocolo S_5B2_Ativ3c e d)
Fonte: Acervo da autora, 2018.
Ao compararmos os resultados do pós-teste com a sondagem para esse bloco de atividades, constatamos que, mesmo com alguns avanços, dificuldades apresentadas no 5º ano persistem no início do 7º ano, confirmando indicações das pesquisas (Cap. 2, item 2.1.2) como a não dissociação entre área e perímetro, a persistência na utilização do quadro numérico, a ausência de conhecimento de algumas propriedades de figuras e a compreensão das ações de decomposição e composição de figuras.
Entendemos ser fundamental para o professor compreender quais os conhecimentos mobilizados pelos alunos, o que ajudará na retomada dos conceitos trabalhados, seja enquanto revisão, seja na introdução de um novo conhecimento, segundo Larguier (2009). Não menos importante será para os alunos compreenderem a forma operatória utilizada em situação de resolução, o que os ajudará na construção da forma predicativa das suas respostas e, consequentemente, na construção conceitual (VERGNAUD, 2007).
5.2.2 Análise dos conhecimentos mobilizados pelos alunos em situações de medição de áreas com unidades de medidas convencionais na sondagem
Esse bloco, na sondagem, foi composto pela atividade 4, que apresenta três itens associados a situações cotidianas de medição de áreas de figuras retangulares, com unidades de medidas convencionais.
A análise quantitativa das respostas dos alunos para essas atividades demonstra um desempenho inferior a 50% em todos os itens. O item a apresentou
melhor desempenho por ser uma situação sempre presente no LD do 5º ano62, abordada na inter-relação entre os domínios de números e operações e das grandezas e medidas, em temas como multiplicação de números naturais e sistema monetário.
Gráfico 5 – Análise quantitativa das respostas dos alunos para a atividade 4 da sondagem
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
No caso dos itens b e c, por estarem presentes a partir do 6º ano do EF63, o índice de acertos já era esperado, mas nosso objetivo era verificar quais esquemas seriam mobilizados pelos alunos, a partir do item a, e ampliados para o item c, por envolver uma situação de decomposição de figuras, tema em geral abordado no domínio das grandezas e medidas a partir do 6º ano.
Na atividade 4, item a, 10 alunos deram respostas corretas, na sua maioria com as representações das operações com o cálculo da área da parede, e, em seguida, o valor a ser pago considerando o preço cobrado por metro quadrado. Sete alunos mobilizaram em sua resolução o teorema-em-ação verdadeiro «TAAfigRet – A área de uma figura retangular é obtida pelo produto do comprimento pela altura».
Apenas três alunos fizeram a representação da parede por meio de um retângulo e realizaram a contagem. O esquema mobilizado pela aluna 5A1 (Figura 87) foi a compreensão da parede como uma superfície retangular, representada pelo esboço de um retângulo, com suas respectivas dimensões sinalizadas pela divisão
62 Como será abordado no capítulo seguinte. 63 Como veremos no capítulo seguinte.
0 5 10 15 20 4a 4b 4c Qu an ti ta ti vo d e al u n o s Itens da Atividade