Análise a priori da Atividade

A atividade 4 apresenta uma situação de medição de áreas com o uso de unidades de medidas convencionais. Mesmo sem ter sido objeto de estudo no LD do 5º ano, situações com o uso implícito da fórmula são propostas em problemas dessa natureza (IMENES; LELLIS; MILANI, 2015e, p.155) (Figura 154).

Figura 20 – Atividade 4 da sondagem e do pós-teste

Fonte: Elaborada pela autora, 2018.

Na atividade 4, item a, temos um problema sem a presença da figura, que coloca em jogo dois tipos de estrutura multiplicativa, a função bilinear para o cálculo da área de um retângulo, sendo dados apenas os comprimentos de seus lados, e a proporcionalidade para calcular o custo em função da área e do preço por metro quadrado. Essa é uma atividade presente na maioria dos LD de 5º ano59_{, com} quantidades inteiras. Os itens b e c apresentam uma situação com uma figura retangular para o cálculo de áreas, estando presentes em LD do 6º ano60_.

59 _{No capítulo 6, apresentaremos as análises dos LD de 1º ao 6º ano.} 60 _{Idem item acima.}

No item a, o aluno pode calcular a área da parede por meio do uso da organização retangular, ou utilizar a malha quadriculada para representar a parede e realizar a contagem dos quadradinhos. Em seguida, para ambos os casos, deve multiplicar o número obtido, ou a quantidade de quadradinhos, pelo valor monetário indicado. Os teoremas-em-ação verdadeiros que podem ser mobilizados são «TAAfigRet – A área de uma figura retangular é obtida pelo produto do comprimento pela altura» e «TAContq – A quantidade de quadradinhos necessários para recobrir uma superfície corresponde à medida de sua área».

Segundo Vergnaud (2009, p. 253), essa é “[...] uma relação ternária entre três quantidades, das quais uma é o produto das duas outras ao mesmo tempo no plano numérico e no plano dimensional”.

Nos itens b e c, o aluno pode utilizar dos mesmos procedimentos do item anterior para a determinação das duas áreas solicitadas. No item c, o aluno também pode decompor a região do jardim em dois retângulos, calcular suas áreas e, em seguida, realizar a adição delas, apoiado no teorema-em-ação verdadeiro «TAAditA – Se S e S’ são superfícies quase disjuntas (que possuem no máximo pontos de fronteira em comum), então A(SUS’) = A(S) + A(S’)».

Como procedimento errôneo, os alunos podem operar com todos os comprimentos fornecidos para determinar as áreas, associado ao teorema-em-ação falso «TAScompA – A soma de todos os comprimentos dos lados da figura determina sua área».

Essa é uma atividade que se apresenta frequentemente nos LD do 6º ano e foi considerada na sondagem com o objetivo de verificarmos se o aluno, mesmo antes de vivenciá-la em sala de aula, possui esquemas que possam ser mobilizados para resolvê-la. Em particular, no item c, por se tratar de uma situação que envolve a decomposição da figura, e que será objeto de análise, tanto do LD quanto das aulas observadas nas turmas dos 6º anos, no cap. 5. A técnica de resolução apresentada nesses dois casos coincide com a apresentada acima.

4.1.4 Análise a priori da atividade 5

Figura 21) apresenta uma situação de medição de áreas e comparação de

áreas com o uso de unidades de medidas não convencionais, apoiadas em malha quadriculada e malha triangular. A malha quadriculada, em geral, é apresentada nos LD, com a articulação entre os domínios da geometria, grandezas e medidas e números e operações, como será detalhado no capítulo 6. A malha isométrica, embora com menos frequência, também está presente nas coleções, o que não acontece com a malha triangular proposta nessa atividade.

Figura 21 – Atividade 5 da sondagem e do pós-teste

Fonte: Elaborada pela autora, 2018.

Ao determinar a área de cada figura, o procedimento esperado para o item a é a contagem de quadradinhos que, para a figura B, precisa ser considerado que

dois triângulos equivalem a um quadradinho, e, para a figura C, que duas metades de quadradinhos equivalem a um quadradinho inteiro. No item b, o aluno precisa observar na figura F que os triângulos da malha se apresentam em posições diferentes.

Para a comparação das áreas, no item c, o aluno precisa considerar que cada quadradinho da malha quadrada equivale a dois triângulos da malha triangular e de acordo com o par (número, unidade de medida) equivalente, mobilizando o teorema- em-ação verdadeiro «TAEUmdMnumMA – Escolhida uma unidade de medida, duas superfícies de mesma medida têm mesma área».

Como procedimentos errôneos, o aluno poderá determinar os perímetros de cada figura, considerando as medidas do lado e da diagonal do quadradinho como iguais, mobilizando, assim, o teorema-em-ação falso «TALdq – O lado e a diagonal de um quadrado têm comprimentos iguais», como observado em Ferreira (2010). Além disso, as áreas poderão ser comparadas apenas pelos valores numéricos, sem que as unidades de medidas sejam consideradas, procedimento associado ao teorema- em-ação falso «TAMnumMA – Se duas superfícies ao serem medidas são representadas pelo mesmo número, então elas têm a mesma área».

4.1.5 Análise a priori da atividade 6

A Atividade 6 (

Figura 22) aborda uma situação de medição de área e de conversão de unidades de medidas não convencionais, com os dois primeiros itens a e b presentes nos LD, por serem unidades de medidas mais utilizadas, com a presença da malha quadriculada, o que não acontece com os itens c e d. Essa atividade oferece a oportunidade de avaliar se os alunos aceitam ou não expressar a área de uma superfície usando certa unidade quando não é possível ladrilhar efetivamente a superfície com a superfície unitária dada. Com a presença da figura construída sobre uma malha quadriculada, os três quadros (numérico, geométrico e das grandezas) são destacados e articulados.

No item a, a superfície unitária é um quadradinho A, e são necessários 36 A para cobrir totalmente o quadrado Q; no item b, a superfície unitária é o quadradinho B, no entanto, quatro vezes maior que o quadradinho A, o que justifica a

necessidade de apenas nove dessas unidades de medida para cobrir Q. Essa técnica coincide com a apresentada nos LD analisados.

No item c, a superfície unitária passa a ser um triângulo retângulo isósceles T1, construído dentro de um quadradinho, sendo necessários dezoito deles para recobrir o quadrado Q; e o item d, com a unidade de medida triângulo isósceles T2, sendo necessários doze desse triângulo para cobrir Q totalmente. Caso o aluno perceba essa relação de proporcionalidade, estaria mobilizando os seguintes teoremas-em-ação verdadeiros: «TAMAUmd – A uma mesma superfície podem corresponder números diferentes de acordo com a unidade de medida escolhida, mas a área não se altera» e «TAMUmmN – Quanto maior a superfície unitária, menor a quantidade de peças necessárias para recobrir uma superfície».

Fonte: Adaptado de Ferreira (2010, p. 74).

Um dos procedimentos corretos esperado é que o aluno consiga perceber que por pavimentação é possível recobrir o quadrado Q com qualquer uma das peças, mobilizando conhecimentos de rotação e translação de figuras e simetria. O aluno pode não utilizar desses conhecimentos e mobilizar um teorema-em-ação falso: «TARot-Trans – Se uma superfície unitária é rotacionada, as suas características não são mantidas».

Outra possibilidade é o uso da fórmula para calcular a área do quadrado Q e, usando proporcionalidade, verificar para cada item quantas unidades de cada são necessárias para completar trinta e seis quadradinhos A. Os teoremas-em-ação verdadeiros mobilizados podem ser «TAANq – A quantidade de quadradinhos

necessários para recobrir uma superfície corresponde à medida de sua área» e «TAFAq – A área de um quadrado pode ser obtida pela fórmula Q=l x l».

Como procedimentos errôneos, principalmente nos itens c e d, o aluno pode considerar não ser possível cobrir um quadrado com triângulos, devido às diferentes formas das figuras.

4.2 ANÁLISE A PRIORI DAS ATIVIDADES 7 E 8 DO PÓS-TESTE

No pós-teste, como anunciado no início deste capítulo, foram mantidas todas as questões da sondagem e inseridas duas atividades que, além de envolverem os conceitos de comprimento, área e perímetro, são próximas às questões presentes no LD e trabalhadas em classe pelo prof. 6º anos, e presentes na avaliação elaborada e aplicada por ele.

Apresentamos um quadro com as atividades propostas inseridas no pós-teste, atividade 7 e 8, e sua respectiva classe de situação associada, o tipo de tarefa e as variáveis didáticas consideradas.

Quadro 7 – Atividades acrescentadas à sondagem para composição do pós-teste ATIVIDADE CLASSE DE

SITUAÇÃO

TIPO DE

TAREFA VARIÁVEIS DIDÁTICAS LD