Apresentamos alguns conceitos e resultados clássicos de análise funcional. Para uma leitura mais profunda e completa, o leitor pode consultar as referênciasBREZISeKREYSZIG.
Definição 1.5.1. Seja X um espaço vetorial real. Uma norma em X é uma função ∏︁ ⋅ ∏︁ ∶ X → R que satisfaz o seguinte
- Se ∏︁x∏︁ = 0, então x = 0.
- ∏︁ax∏︁ = ⋃︀a⋃︀∏︁x∏︁, para quaisquer a ∈ R e x ∈ X. - ∏︁x + y∏︁ ≤ ∏︁x∏︁ + ∏︁y∏︁, para quaisquer x, y ∈ X .
Definição 1.5.2. Um espaço normado é dito espaço de Banach se é um espaço métrico completo com a métrica induzida pela norma.
Definição 1.5.3. Uma função linear T ∶ X → Y entre espaços normados é dita limitada se existe C >0 tal que ∏︁T (x)∏︁ ≤ C∏︁x∏︁ para todo x ∈ X .
Proposição 1.5.4. Seja T ∶ X → Y uma função linear entre espaços normados. São equivalentes
a) T é limitada.
b) T é contínua.
c) T é contínua em algum ponto x0∈X.
Demonstração. Não é difícil ver que (a) implica (b) e (b) implica (c). Basta provar que (c) implica (a). Existe δ > 0 tal que ∏︁T (w) − T (x0)∏︁ <1, para todo w ∈ B(x0, δ ). Dado x ∈ X ∖ {0}, sabemos que x0+ δ x
2∏︁x∏︁∈B(x0, δ ). Logo ∏︁T (x)∏︁ ≤ 2
δ∏︁x∏︁. Portanto, T é limitada.
Definição 1.5.5. Sejam X ,Y dois espaços normados. Denotamos por ℬ(X ,Y ) o espaço vetorial formado pelas funções lineares limitadas de X a Y .
No caso particular Y = R, dizemos que ℬ(X,R) é o espaço dual de X e será denotado por X∗.
Em seguida veremos que ℬ(X ,Y ) é um espaço normado, inclusive de Banach se Y for de Banach.
Proposição 1.5.6. Sejam X ,Y dois espaços normados.
a) A função ∏︁ ⋅ ∏︁ ∶ ℬ(X ,Y ) → R definida por ∏︁T ∏︁ = sup{∏︁T (x)∏︁
∏︁x∏︁ ⨄︀x ∈ X ∖ {0}(︀ é uma norma.
b) Para todo T ∈ ℬ(X ,Y ), ∏︁T ∏︁ = sup
∏︁x∏︁≤1
∏︁T (x)∏︁ = sup
∏︁x∏︁=1
∏︁T (x)∏︁.
c) Se Y é de Banach, então ℬ(X ,Y ) é de Banach.
Demonstração. Uma prova desta proposição pode ser encontrada emKREYSZIG(Teoremas 1 e 2 da Seção 10 do Capítulo 2, páginas 118-119).
Em particular o espaço dual de todo espaço normado é um espaço de Banach.
Definição 1.5.7. Seja X um espaço vetorial real. Diz-se que uma função p ∶ X → R é sublinear se satisfaz as seguintes propriedades
- p(x + y) ≤ p(x) + p(y), para todos x, y ∈ X .
Exemplo 1.5.8. Toda norma é uma função sublinear.
Proposição 1.5.9. Seja p ∶ X → R uma função sublinear. a) p é linear se, e só se, −p(−x) = p(x) para todo x ∈ X .
b) p é contínua se, e só se, existe M > 0 tal que ⋃︀p(x)⋃︀ ≤ M∏︁x∏︁ para todo x ∈ X .
Demonstração.
a) Basta provar a necessidade. Sejam x, y ∈ X , sabemos que p(x + y) ≤ p(x) + p(y). Pelo enunciado obtemos p(x) + p(y) = −(p(−x) + p(−y)) ≤ −p(−x − y) = p(x + y).
Ou seja, p(x + y) = p(x) + p(y). Sejam z ∈ X e λ ∈ R. Basta provar p(λ z) = λ p(z) para o caso λ < 0. De fato, p(λ z) = −λ p(λ z)
−λ
=λ (− p(−z)) = λ p(z). Concluímos que p é linear.
b) Basta provar a suficiência. Como p é contínua em 0, existe δ > 0 tal que ⋃︀p(w) − p(0)⋃︀ < 1 para todo w ∈ B(0, δ ). Dado x ∈ X ∖ {0}, e considerando w′= δ x
2∏︁x∏︁, obtemos que ⋃︀p(w ′)⋃︀ − ⋃︀p(0)⋃︀ ≤ ⋃︀p(w′) −p(0)⋃︀ < 1. Logo δ 2∏︁x∏︁⋃︀p(x)⋃︀ <1 + ⋃︀p(0)⋃︀. Ou seja, ⋃︀p(x)⋃︀ < 2 + 2⋃︀p(0)⋃︀ δ ∏︁x∏︁.
Teorema 1.5.10 (Teorema de Hahn-Banach). Sejam E ⊆ X um subespaço vetorial e p ∶ X → R uma função sublinear. Se f ∶ E → R é uma função linear tal que f (x) ≤ p(x), para todo x ∈ E, então existe uma função linear F ∶ X → R tal que F estende a f e F(x) ≤ p(x) para todo x ∈ X. Demonstração. Uma demonstração desta teorema pode ser encontrada emBREZIS(Teorema 1.1 da Seção 1 do Capítulo 1, página 1).
Corolário 1.5.11. Seja V ⊆ X um subespaço vetorial. Dada uma função linear contínua f ∶ V → R, existe F ∈ X∗tal que F estende a f e ∏︁F∏︁ = ∏︁ f ∏︁.
Demonstração. Definamos a função p ∶ X → R por p(x) = ∏︁ f ∏︁∏︁x∏︁, a qual é sublinear. É claro que f (x) ≤ p(x), para todo x ∈ V . Em virtude do Teorema de Hahn-Banach, existe uma função linear F ∶ X → R tal que F estende a f e F(x) ≤ p(x) para todo x ∈ X. Logo ⋃︀F(x)⋃︀ ≤ ∏︁ f ∏︁∏︁x∏︁, para todo x ∈ X . Ou seja, F é limitada e ∏︁F∏︁ ≤ ∏︁ f ∏︁. Ademais, ⋃︀ f (z)⋃︀ = ⋃︀F(z)⋃︀ ≤ ∏︁F∏︁∏︁z∏︁, para todo z ∈ V . Então ∏︁ f ∏︁ ≤ ∏︁F∏︁. Portanto, F ∈ X∗estende a f e ∏︁F∏︁ = ∏︁ f ∏︁.
Proposição 1.5.12. Seja p ∶ X → R uma função sublinear contínua. Se existe um único f ∈ X∗
tal que f (x) ≤ p(x), para todo x ∈ X , então p é linear.
Demonstração. Sejam x0∈X e V o subespaço gerado por {x0}. Sabemos que −p(−z) ≤ p(z) para todo z ∈ X . Definamos f1, f2∶V → R por f1(α x0) =α p(x0)e f2(α x0) = −α p(−x0). Não
é difícil ver que f1 e f2são funcionais lineares tais que f1(x) ≤ p(x)e f2(x) ≤ p(x)para todo
x ∈ V. Logo, pelo Teorema de Hahn-Banach, existem funcionais lineares F1, F2∶X → R tais que f1=F1⋃︀V, f2=F2⋃︀V, F1(x) ≤ p(x)e F2(x) ≤ p(x), para todo x ∈ X . Além disso, F1, F2∈X∗ pois pé contínua. Pela hipóteses sobre a unicidade de f , temos que F1=F2= f. Logo −p(−x0) = F2(x0) =F1(x0) =p(x0). Portanto, p é linear.
Teorema 1.5.13 (Teorema do gráfico fechado). Seja T ∶ X → Y uma função linear entre espaços de Banach. Se o gráfico de T é fechado em X ×Y , então T é contínua.
Demonstração. Uma demonstração deste teorema pode ser encontrada emBREZIS(Teorema 2.9 da Seção 3 do Capítulo 2, página 37).
Definição 1.5.14. Seja T ∶ X → Y uma função entre espaços vetoriais normados. Dizemos que T é uma isometria se ∏︁T (x)∏︁ = ∏︁x∏︁ para todo x ∈ X .
Proposição 1.5.15. Seja L ∶ X → Y uma função linear. Se L é uma isometria, então L é contínua e injectiva. Mais ainda, se L é uma isometria sobrejetora, então L é um isomorfismo.
Demonstração. É claro que L é injetora por ser uma isometria. Seja (xn)n∈N uma sequência em X que converge a 0. Como ∏︁xn∏︁ = ∏︁L(xn)∏︁, para qualquer n ∈ N, temos que (L(xn))n∈N também converge a 0. Ou seja, L é contínua.
Mais ainda, se L é uma isometria sobrejetora, pelo argumento acima, L é contínua e bijetora. Além disso, L−1 é uma isometria e, em consequência, L−1 é contínua. Portanto, L é em um isomorfismo.
A seguir introduzimos uma nova topologia sobre espaços normados, a menor possível de forma que cada função linear limitada seja contínua.
Definição 1.5.16. Seja E um espaço normado. A topologia fraca em E é a topologia gerada por {ϕ−1(U ) ⋃︀ ϕ ∈ E∗e U é um aberto de R}. Denotaremos por (E, f raca).
Se uma sequência (xn)n∈N converge a x em (E, f raca), dizemos que (xn)n∈N converge fraca- mente a x e denotamos por xn⇀x.
Proposição 1.5.17. Seja E um espaço normado.
a) (E, f raca) é Hausdorff.
b) Dado x0∈E, a família {V (x0; f1, ⋯, fn; ε) ⋃︀ f1, ⋯, fn∈E∗, n ∈ N,ε > 0} é uma base de vizi- nhanças para x0 na topologia fraca, onde V (x0; f1, ⋯, fn; ε) = {x ∈ E ⋃︀ ⋃︀ fi(x) − fi(x0)⋃︀ <ε , para todo i ∈ {1, ⋯, n}}.
Demonstração. Uma demonstração desta proposição pode ser encontrada emBREZIS(Proposi- ções 3.3, 3.4 e 3.5 da Seção 2 do Capítulo 3, páginas 57-58).
Definição 1.5.18. Seja E um espaço normado. Dado x ∈ E, definamos função Jx∶E∗→R por Jx(f ) = f (x). A topologia fraca∗ em E∗ é a topologia gerada por {Jx−1(U ) ⋃︀ x ∈ E e U é um aberto de R}. Denotaremos por (E∗, f raca∗).
Se uma sequência ( fn)n∈N converge a f em (E∗, f raca∗), dizemos que ( fn)n∈N converge fraca- mente∗a f e denotamos por f
n ∗
Ð→ f.
Proposição 1.5.19. Seja E um espaço normado.
a) (E∗, f raca∗
)é Hausdorff.
b) Dado f0∈E∗, a família {V ( f0; x1, ⋯, xn; ε) ⋃︀x1, ⋯, xn∈E, n ∈ N,ε > 0} é uma base de vizi- nhanças para f0na topologia fraca∗, onde V ( f0; x1, ⋯, xn; ε) = { f ∈ E∗⋃︀ ⋃︀f (xi) −f0(xi)⋃︀ <ε , para todo i ∈ {1, ⋯, n}}.
c) fn ∗
Ð→ f se, e só se, fn(x) → f (x)para todo x ∈ E.
Demonstração. Uma demonstração desta proposição pode ser encontrada emBREZIS(Proposi- ções 3.11, 3.12 e 3.13 da Seção 4 do Capítulo 3, página 63).
Proposição 1.5.20. Sejam E e F dois espaços vetoriais normados. Se E e F são isomorfos, então E∗e F∗também são isomorfos. Mais ainda, (E∗, f raca∗
)e (F∗, f raca∗)são homeomorfos. Demonstração. Seja T ∶ E → F um isomorfismo. Definimos ϕ ∶ E∗
→F∗como ϕ(x∗) =x∗○T−1, a qual é linear e limitada. Não é difícil verificar que ϕ é um isomorfismo.
Além disso, provaremos que ϕ é um homeomorfismo entre E∗ e F∗ com suas topologias
fracas∗. De fato, sejam U um aberto de (F∗, f raca∗)e x∗∈ϕ−1(U ). Como ϕ(x∗) ∈U, existem
y1, ..., yn∈F e r > 0 tais que V (ϕ(x∗); y1, ..., yn, r) ⊆ U . Considerando xi=T−1(yi), para cada i, temos que V (x∗; x
1, ..., xn; r) ⊆ ϕ−1(U ). Ou seja, ϕ−1(U )é aberto. Analogamente, ϕ−1é contínua.
Portanto, (E∗, f raca∗
)e (F∗, f raca∗)são homeomorfos.
Teorema 1.5.21 (Teorema de Banach-Alaoglu). A bola fechada unitária BE∗ = {f ∈ E∗⋃︀ ∏︁f ∏︁ ≤1} é compacta na topologia f raca∗.
Demonstração. Uma demonstração desta teorema pode ser encontrada emBREZIS(Teorema 3.16 da Seção 4 do Capítulo 3, página 66).