Como já vimos no Teorema4.1.10, precisamos de espaços da forma C(K). Por isso, na presente seção vamos estudar um tipo especial de espaços compactos Hausdorff, que foram introduzidos porKalenda(1999), e suas propriedades básicas.
Definição 4.2.1. Sejam E ⊆ R um conjunto sem pontos isolados e x0∈E. Dizemos que x0é um ponto isolado pela esquerda de E se existe δ > 0 tal que (x0−δ , x0) ∩E = ∅. Analogamente, x0 é um ponto isolado pela direita de E se existe r > 0 tal que (x0, x0+r) ∩ E = ∅. Os conjuntos dos pontos isolados pela esquerda e direita de E serão denotados por El e Er, respectivamente, e Ed=E ∖ (El∪Er).
Exemplo 4.2.2. Se E = (︀0, 1⌋︀, então El= {0}, Er= {1} e Ed= (0, 1).
Proposição 4.2.3. Dado E ⊆ R um conjunto sem pontos isolados, os conjuntos Er e El são
enumeráveis.
Demonstração. Para cada x ∈ Er, existe rx>0 tal que (x, x + rx) ∩E = ∅. Em consequência a família {(︀x, x + rx)}x∈Er é disjunta dois a dois. Pela densidade dos racionais concluímos que Er é
Definição 4.2.4. Sejam K ⊆ R um conjunto compacto perfeito2e A ⊆ Kd. Definimos o espaço
de Kalenda como KA= ((K ∖ Kl) × {0}) ∪ ((A ∪ Kl) × {1}). Para cada (t, s) ∈ KA definimos uma
base local ℬ(t, s) do seguinte modo
(i) {((t − r,t + r) × {0, 1}) ∩ KA⋃︀r >0}, se t ∈ Kd∖Ae s = 0.
(ii) {((t − r,t⌋︀ × {0} ∪ (t − r,t) × {1}) ∩ KA⋃︀r >0}, se t ∈ A ∪ Kr e s = 0. (iii) {((t,t + r) × {0} ∪ (︀t,t + r) × {1}) ∩ KA⋃︀r >0}, se t ∈ A ∪ Kl e s = 1.
Sobre KA consideramos a topologia gerada pelas bases locais acima, em virtude da
Proposição1.2.11, denotada por τKA.
Proposição 4.2.5. O espaço (KA, τKA) é Hausdorff, primeiro-contável, perfeito, compacto e
hereditariamente de Lindelöf.
Demonstração. Da definição de τKA obtemos que KA é primeiro-contável e perfeito. Sejam
(a, s1), (b, s2) ∈KA distintos. Se a = b, então a ∈ A. Logo os abertos básicos ((a −12, a⌋︀ × {0} ∪ (a −12, a) × {1}) ∩ KAe ((a, a +12) × {0} ∪ (︀a, a +1
2) × {1}) ∩ KAseparam (a, 0) e (a, 1). No caso
que a ≠ b, basta tomar seus abertos básicos correspondentes com r =⋃︀a − b⋃︀ 3 .
Seja 𝒰 uma cobertura aberta de KA. Ou seja, para cada x ∈ KAexiste Ux∈ 𝒰 tal que x ∈ Ux. A partir de 𝒰 vamos obter um recobrimento para o conjunto K do seguinte modo. Para cada t ∈ K existe δt>0 tal que - ((t − δt,t + δt) × {0, 1}) ∩ KA⊆U(t,0), se t ∈ Kd∖A. - ((t − δt,t⌋︀ × {0} ∪ (t − δt,t) × {1}) ∩ KA⊆U(t,0), se t ∈ Kr. - ((t,t + δt) × {0} ∪ (︀t,t + δt) × {1}) ∩ KA⊆U(t,1), se t ∈ Kl. - ((t − δt,t⌋︀ × {0} ∪ (t − δt,t) × {1}) ∩ KA⊆U(t,0)e ((t,t + δt) × {0} ∪ (︀t,t + δt) × {1}) ∩ KA⊆ U(t,1), se t ∈ A.
Assim, {(t − δt,t + δt)}t∈K é uma cobertura aberta de K e, por consequência, existe F ⊆ K finito tal que K ⊆ ⋃
t∈F (t − δt,t + δt). Logo KA⊆ ⋃ t∈F0 U(t,0)∪ ⋃ t∈F1 U(t,1), onde F0=F ∩ (K ∖ Kl) e
F1=F ∩ (Kl∪A). Portanto, KAé compacto.
Agora mostraremos que KA é hereditariamente de Lindelöf usando a Proposição1.2.37. Sejam
M um subespaço aberto de KA e 𝒢 um recobrimento aberto dele. Definimos os conjuntos
A0= {t ∈ A ⋃︀ (t, 0) ∈ M e (t, 1) ∉ M} e A1= {t ∈ A ⋃︀ (t, 1) ∈ M e (t, 0) ∉ M}. Para cada t ∈ A0, existe εt>0 tal que ((t − εt,t⌋︀ × {0} ∪ (t − εt,t) × {1}) ∩ KA⊆U(t,0). A família {(t − εt,t⌋︀}t∈A0 é disjunta dois a dois e, portanto, A0é enumerável. Do mesmo jeito, A1é enumerável. Assim, obtemos uma
subcobertura enumerável 𝒢1de 𝒢 que cobrem M ∩ (A0× {0}), M ∩ (A1× {1}), M ∩ (Kr× {0}) e
M ∩ (Kl× {1}).
Sejam N0= {t ∈ Kd∖A ⋃︀ (t, 0) ∈ M} e B = {t ∈ A ⋃︀ (t, 0), (t, 1) ∈ M}. Para todo t ∈ N0, existem
U(t,0)∈ 𝒢 e δt>0 tais que (t, 0) ∈ ((t − δt,t + δt) × {0, 1}) ∩ KA⊆U(t,0). Assim também, para cada
t ∈ B existem U(t,0),U(t,1)∈ 𝒢 e δt>0 tais que (t, 0) ∈ ((t − δt,t⌋︀ × {0} ∪ (t − δt,t) × {1}) ∩ KA⊆
U(t,0) e (t, 1) ∈ ((t,t + δt) × {0} ∪ (︀t,t + δt) × {1}) ∩ KA⊆U(t,1). Obtendo assim o recobrimento
{(t − δt,t + δt)}t∈N0∪Be, dado que R é hereditariamente de Lindelöf, existe P ⊆ N0∪Benumerável tal que N0∪B ⊆ ⋃ t∈P (t − δt,t + δt). Logo, M ∩ (︀(Kd∖A × {0}) ∪ (B × {0, 1})⌋︀ ⊆ ⋃ t∈P U(t,0)∪ ⋃ t∈P U(t,1).
Concluímos que M possui uma subcobertura enumerável de 𝒢. Portanto, KA é hereditariamente
de Lindelöf.
Observação 4.2.6. Como KA é compacto e Hausdorff, temos que também é regular e de Baire.
Ademais, no caso particular em que A é vazio, K∅é homeomorfo a K. De fato, pela Proposição
1.2.24, basta ver que a função bijetora T ∶ K∅→K, definida por T (t, s) = t, é contínua.
Proposição 4.2.7. Dado um subconjunto P ⊆ K compacto perfeito, o espaço PPd∩Aé homeomorfo
a um subespaço fechado de KA.
Demonstração. Notemos que Pd⊆Kd, Pr⊆K ∖ Kl e Pl⊆K ∖ Kr. Seja H = (Pd× {0, 1} ∪ (Pl∩
A) × {1} ∪ (Pr∪Pl∖A) × {0}) ∩ K
Ae definamos ϕ ∶ PPd∩A→H como ϕ (t, s) = )︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌋︀ ⌉︀ ⌉︀ ]︀ (t, s), se (t, s) ∈ PPd∩A∖ (Pl∖A × {1}). (t, 0), se (t, s) ∈ Pl∖A × {1}.
Não é difícil verificar que ϕ é bijetora. Agora, pela Proposição1.2.24, só falta provar que ela é contínua. De fato, sejam U um aberto de H e (t, s) ∈ ϕ−1(U ). Se (t, s) ∈ Pl∖A×{1}, existe r > 0 tal que (t, 0) ∈ ((t − r,t + r) × {0, 1}) ∩ H ⊆ U . Logo (t, 1) ∈ ((t,t + r) × {0} ∪ (︀t,t + r) × {1}) ∩ PPd∩A⊆ ϕ−1(U ). Nos demais casos é ainda mais natural. Então ϕ é um homeomorfismo. Além disso, H é compacto e, em consequência, é um fechado de KA.
Proposição 4.2.8. Seja B um subconjunto de Kdque contém A. Definindo F ∶ K
B→KA por F(t, s) = )︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌋︀ ⌉︀ ⌉︀ ]︀ (t, s), se (t, s) ∈ KA. (t, 0), se (t, s) ∈ B ∖ A × {1}. obtemos o seguinte
(1) F é sobrejetora, contínua e fechada. Ademais, para cada x ∈ KA, F−1(x)é finito.
(2) Se G ⊆ KBpossui interior não vazio em KBentão F(G) possui interior não vazio em KA.
(3) Para todo M Boreliano de KBtemos que F(M) é um Boreliano de KAe F−1(F(M)) ∖ M é
enumerável.
Demonstração. Notemos que F(P) = (P ∩ KA) ∪ {t ∈ B ∖ A ⋃︀ (t, 1) ∈ P e (t, 0) ∉ P} × {0} para qual-
quer P ⊆ KBe F−1(R) = R ∪ {t ∈ B ∖ A ⋃︀ (t, 0) ∈ R} × {1} para todo R ⊆ KA.
Seja M ⊆ KB, e definindo os conjuntos M0= {t ∈ B ∖ A ⋃︀ (t, 0) ∉ M e (t, 1) ∈ M} e M1 = {t ∈
B ∖ A ⋃︀ (t, 0) ∈ M e (t, 1) ∉ M}, obtemos F−1(F(M)) = F−1(M ∩ KA) ∪F−1(M0× {0}) = (M ∩ KA) ∪ {t ∈ B ∖ A ⋃︀ (t, 0) ∈ M ∩ KA} × {1} ∪ M0× {0} ∪ (M ∩ B ∖ A × {1}) ∖ {t ∈ B ∖ A ⋃︀ (t, 0) ∈ M} × {1} = (M ∩ KA) ∪M0× {0} ∪ (M ∩ B ∖ A × {1}) ∪ M1× {1} = M ∪ M0× {0} ∪ M1× {1}.
(1) A partir da definição de F, ela é sobrejetora. Sejam L um aberto de KA e (t, s) ∈ F−1(L).
No primeiro caso em que (t, s) ∈ L, temos os seguintes subcasos:
- Se (t, s) ∈ L ∩ ((Kd∖A) × {0}), existe δ > 0 tal que ((t − δ ,t + δ ) × {0, 1}) ∩ KA⊆L. Se (x, 1) ∈ ((t − δ ,t + δ ) ∩ B ∖ A) × {1}, então x ∈ B ∖ A ⊆ Kd∖Ae (x, 0) ∈ L. Ou seja, ((t − δ ,t + δ ) × {0, 1}) ∩ B ∖ A × {1} ⊆ {t ∈ B ∖ A ⋃︀ (t, 0) ∈ L} × {1} e, em consequência, (t, s) ∈ ((t − δ ,t + δ ) × {0, 1}) ∩ KB⊆F−1(L).
- Se (t, s) ∈ L ∩ ((Kr∪A) × {0}), existe δ > 0 tal que ((t − δ ,t⌋︀ × {0} ∪ (t − δ ,t) × {1}) ∩
KA⊆L. Se (x, 1) ∈ ((t − δ ,t) ∩ B ∖ A) × {1}, então (x, 0) ∈ L. Assim, ((t − δ ,t) ∩ B ∖ A) × {1} ⊆ {t ∈ B ∖ A ⋃︀ (t, 0) ∈ L} × {1}. Então ((t − δ ,t⌋︀ × {0} ∪ (t − δ ,t) × {1}) ∩ KB⊆ F−1(L).
- Se (t, s) ∈ L ∩ ((Kl∪A) × {1}), existe δ > 0 tal que ((t,t + δ ) × {0} ∪ (︀t,t + δ ) × {1}) ∩
KA⊆L. Se (x, 1) ∈ ((︀t,t + δ ) ∩ B ∖ A) × {1}, então (x, 0) ∈ L. Assim, ((︀t,t + δ ) ∩ B ∖ A) × {1} ⊆ {t ∈ B ∖ A ⋃︀ (t, 0) ∈ L} × {1}. Então ((t,t + δ ) × {0} ∪ (︀t,t + δ ) × {1}) ∩ KB⊆ F−1(L).
No segundo caso, se (t, s) ∈ {t ∈ B ∖ A ⋃︀ (t, 0) ∈ L} × {1} temos que (t, 0) ∈ L ∩ (Kd∖A × {0}),
então existe r > 0 tal que (t, 0) ∈ ((t − r,t + r) × {0, 1}) ∩ KA⊆L. Logo, analogamente ao primeiro caso, ((t − r,t + r) × {0, 1}) ∩ KB⊆L ∪ {t ∈ B ∖ A ⋃︀ (t, 0) ∈ L} × {1}. Portanto, F−1(L) é aberto em KB.
Além disso, F é fechada a partir da Proposição1.2.24. Por último, seja x ∈ KA. Se x ∈ B ∖ A ×
{0}, existe t ∈ B∖A tal que x = (t, 0). Logo F−1(x) = {(t, 0), (t, 1)}. Se x ∈ KA∖ (B∖A×{0}), então F−1(x) = {x}.
(2) Seja G ⊆ KB tal que G possui interior não vazio em KB. Logo existe (t, s) ∈ int(G). Se
(t, s) ∈ Kd∖A × {0}, então existe r > 0 tal que (t, 0) ∈ ((t − r,t + r) × {0, 1}) ∩ K
B⊆int(G). Logo ((t − r,t + r) × {0, 1}) ∩ KA⊆F(((t − r,t + r) × {0, 1}) ∩ KB) ⊆F(G). Os outros casos são análogos. Portanto, o interior do F(G) é não vazio em KA.
(3) Denotemos por ℱ a família de subconjuntos de KBque satisfazem a propriedade desejada,
demonstraremos que ℱ é uma σ −álgebra que contém a topologia τKB.
i) Seja (An)n∈N uma sequência de elementos de ℱ , logo F ( ⋃
n∈N
An) = ⋃
n∈N
F(An) é Boreliano e ademais o conjunto
F−1(F ( ⋃ n∈N An)) ∖ ⋃ n∈N An= ⋃ n∈N F−1(F(An)) ∖ ⋃ n∈N An⊆ ⋃ n∈N F−1(F(An)) ∖An é enumerável.
ii) Dado D ⊆ KB, mostraremos que F(KB∖D) = (KA∖F(D)) ∪ F(F−1(F(D)) ∖ D). De fato, como F−1(F(D)) ∖ D ⊆ K
B∖Me KA∖F(D) ⊆ F(KB∖D), vale que (KA∖ F(D)) ∪ F(F−1(F(D)) ∖ D) ⊆ F(K
B∖D). Seja y ∈ F(KB∖D), existe x ∈ KB∖Dtal que y = F(x). Se y ∈ F(D), então x ∈ F−1(F(D)) ∩ (K
B∖D) e, em consequência, y ∈ F(F−1(F(D)) ∖ D).
Seja M ∈ ℱ , logo F(F−1(F(M)) ∖ M)é um conjunto Fσ pois é enumerável e, em
consequência, é um Boreliano de KA. Então F(KB∖M)é um Boreliano de KA.
Além disso, dado que P = F(F−1(F(KB∖M)) ∖ (KB∖M)) = F(F−1(F(M)) ∖ M)é enumerável, F−1(P) = ⋃
x∈P
F−1(x)também o é. Assim, F−1(F(K
B∖M)) ∖ (KB∖M) é enumerável. Portanto, KB∖M ∈ ℱ.
iii) Se E é um aberto de KB, então E ∩ KA é um aberto de KA. Agora mostraremos que
os conjuntos E0e E1, como foram definidos no começo, são enumeráveis. De fato,
para cada t ∈ E0existe δt>0 tal que (t, 1) ∈ ((t,t + δt) × {0} ∪ (︀t,t + δt) × {1}) ∩ KB⊆ E. A família {(︀t,t + δt)}t∈E0 é disjunta dois a dois e, portanto, Eo é enumerável. Com o mesmo raciocínio, E1também é enumerável. Ademais, os conjuntos E0× {0} e E1× {1} são Fσ. Logo F(E) = (E ∩ KA) ∪E0× {0} é um Boreliano de KA e F−1(F(E)) ∖ E = E0× {0} ∪ E1× {1} é enumerável. Portanto, E ∈ ℱ .
(4) Seja M ⊆ KB. Primeiro mostraremos a equivalência para o caso particular dos conjuntos
raros. Se M é raro em KB, M também o é. Suponhamos que F(M) contém um aberto G de
KA, logo F−1(G)é um aberto não vazio de K
Be, portanto, é de segunda categoria em KB.
Pelo item (3), F−1(G) ∖ M ⊆ F−1(F(M)) ∖ Mé enumerável e, em consequência, é magro
em KB. Logo F−1(G) ∩ Mé de segunda categoria, mas isso não pode ser verdade porque
ele é um subconjunto de M. Então F(M) ⊆ F(M) é raro. Reciprocamente, se F(M) é raro em KA, F(M) também o é. Se o interior de F−1(F(M))é não vazio em KB, então pelo
item (2), o interior de F(M) = F(F−1(F(M)))é não vazio em KA, mas isso contradiz o
fato que ele seja raro em KA. Portanto, M ⊆ F−1(F(M))é raro em K
A.
Agora vamos ao caso geral dos conjuntos magros. Se M é magro em KB, existe uma
sequência (Mn)n∈Nde conjuntos raros em KBtal que M = ⋃
n∈N
Mn. Logo F(Mn)é raro em KA, para cada n ∈ N, e F(M) = ⋃
n∈N
em KA, existe uma sequência (Tn)n∈N de conjuntos raros em KA tal que F(M) = ⋃
n∈N
Tn.
Logo F−1(F(M)) = ⋃
n∈N
F−1(Tn)é magro em KB, porque cada F−1(Tn)é raro em KB. Então M é magro em KB.
Lema 4.2.9. Para que um subespaço M ⊆ KA seja metrizável é necessário e suficiente que
M ∩ (A × {0, 1}) seja enumerável.
Demonstração. Se M é metrizável, então ele possui uma base enumerável ℬ, em virtude do Corolário1.2.36e do fato que KA é hereditariamente de Lindelöf. Para cada (t, 1) ∈ M ∩ (A ×
{1}), existe B(t,1)∈ ℬ que contém (t, 1) e B(t,1)⊆ {(t,t +12) × {0} ∪ (︀t,t +12) × {1}} ∩ M. Se (t1, 1), (t2, 1) ∈ M ∩ (A × {1}) são distintos, mais ainda suponhamos que t1<t2, então (t1, 1) ∉ B(t
2,1). Ou seja, B(t1,1)e B(t1,0)são diferentes e, em consequência, M ∩ (A × {1}) é enumerável.
Do mesmo jeito, M ∩ (A × {0}) é enumerável, então M ∩ (A × {0, 1}) é enumerável.
Reciprocamente, suponhamos que M ∩ (A × {0, 1}) seja enumerável. Como o conjunto N = {x ∈ Kd∖A⋃︀(x, 0) ∈ M} é separável, existe um subconjunto D ⊆ N enumerável e denso nele. Denotemos
por ℬM(x)a base local enumerável de cada x ∈ M. Logo ⋃
x∈M1∪M2
ℬM(x)é uma base enumerável para M, onde M1=D × {0} e M2=M ∖ (M ∩ (Kd∖A × {0})) são enumeráveis. Finalmente, dado que M é regular e possui base enumerável, concluímos que M é metrizável.
Definição 4.2.10. Dizemos que E ⊆ R é perfeitamente magro se, para cada P subconjunto perfeito, P ∩ E é magro em P.
Observação 4.2.11. Todo conjunto perfeitamente magro é, em particular, um conjunto magro.
O seguinte teorema fornece uma condição necessária sobre o espaço KA para que o
conjunto A seja perfeitamente magro.
Teorema 4.2.12. Sejam K ⊆ R compacto perfeito e A ⊆ Kd. Se cada conjunto fechado de K A
contém um subespaço Gδ completamente metrizável denso nele, então A é perfeitamente magro. Demonstração. Provaremos o resultado pela contra-positiva. Se A não é perfeitamente magro, existe P ⊆ K perfeito tal que P ∩ A é de segunda categoria em P. Em consequência, Pd∩Aé de
segunda categoria em P. Logo, como P é homeomorfo a P∅, (Pd∩A)×{0} é de segunda categoria
em P∅. Então, pelo item (4) da Proposição4.2.8, (Pd∩A) × {0, 1} é de segunda categoria em
PPd∩A. Em virtude da Proposição 4.2.7, e seguindo com a notação dela, o espaço PPd∩A é
homeomorfo ao subespaço fechado H = (Pd× {0, 1} ∪ (Pl∩A) × {1} ∪ (Pr∪Pl∖A) × {0}) ∩ KA. Se H contém um subespaço M completamente metrizável Gδ denso nele, temos que M é residual em H. Logo, M ∩ (Pd∩A) × {0, 1} é de segunda categoria em H e, portanto, é não enumerável. Mas, dado que M é metrizável e utilizando o Lema4.2.9, M ∩ (Pd∩A) × {0, 1} é enumerável,
o qual é absurdo. Portanto, H não contém subespaços Gδ completamente metrizáveis densos nele.
O seguinte resultado é uma consequência imediata dos Teoremas4.1.10e4.2.12.
Corolário 4.2.13. Sejam K ⊆ R compacto perfeito e A ⊆ Kd. Se (C(K
A), ∏︁ ⋅ ∏︁∞)é Asplund fraco,
então A é perfeitamente magro.