Nesta seção vamos caracterizar o espaço dual de C(KA), no caso particular K = (︀0, 1⌋︀ e A ⊆ (0, 1), por meio de um tipo de espaço de funções de variação limitada3.
Definição 4.3.1. Denotemos por D(0,1)o espaço vetorial real formado por funções f ∶ (0, 1⌋︀ → R que são contínuas pela esquerda em (0, 1⌋︀ e possuem limite pela direita em (︀0, 1).
Seja A um subconjunto de (0, 1). Definimos o subespaço vetorial DA= {f ∈ D(0,1)⋃︀f é contínua em (0, 1) ∖ A}.
Proposição 4.3.2. Se f ∈ D(0,1), então f é limitada.
Demonstração. Como f possui limite pela direita em 0, existe a > 0 tal que ⋃︀ f (w) − f (0+)⋃︀ <
1, 4 para todo w ∈ (0, a). Dado que f é contínua pela esquerda em 1, existe b > 0 tal que ⋃︀f (s) − f (1)⋃︀ < 1, para todo s ∈ (1 − b, 1). Do mesmo jeito, se x ∈ (0, 1), então existe rx>0 tal que ⋃︀f (p) − f (x+)⋃︀ <1 e ⋃︀ f (q) − f (x)⋃︀ < 1 para quaisquer p ∈ (x, x + rx)e q ∈ (x − rx, x).
Assim, {(x − rx, x + rx)}x∈(0,1), (−a, a) e (1 − b, 1 + b) formam um recobrimento aberto de (︀0, 1⌋︀ e, portanto, existem x1, ..., xn∈ (0, 1) tais que (︀0, 1⌋︀ ⊆ (−a, a) ∪
n ⋃ i=1 (xi−rxi, xi+rxi) ∪ (1 − b, 1 + b). Considerando K = max{⋃︀ f (1)⋃︀ + 1, ⋃︀ f (0+ )⋃︀ +1, ⋃︀ f (x+i)⋃︀ + ⋃︀f (xi)⋃︀ +1 ⋃︀ i = 1, ..., n}, obtemos que ⋃︀f (y)⋃︀ ≤ K, para todo y ∈ (0, 1⌋︀.
Em seguida veremos a relação entre os espaços DAe C(KA), ambos dotados com a norma do supremo.
Teorema 4.3.3. Para todo A ⊆ (0, 1), DAé isometricamente isomorfo a C(KA).
Demonstração. Definamos ϕ ∶ DA→C(KA)da seguinte maneira. Para cada f ∈ DA, a função ϕ ( f ) ∶ KA→R é dada por (︀ϕ ( f )⌋︀(t, s) = )︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌋︀ ⌉︀ ⌉︀ ]︀ f (t), se t ∈ (0, 1⌋︀ e s = 0. f (t+), se t ∈ A ∪ {0} e s = 1.
3 Uma função f ∶ (︀a,b⌋︀ → R é de variação limitada se
Var( f ) = sup{
n
∑
i=1
⋃︀ f (ti)− f (ti−1)⋃︀ ⨄︀ n ∈ N>0e t0= a ≤ t1≤ ... ≤ tn= b(︀ < ∞. 4 Notação de limite pela direita (ver Lista de Símbolos).
Vejamos que ϕ está bem definida. Isto é, dado f ∈ DA, precisamos mostrar que ϕ( f ) ∈ C(KA).
De fato, sejam U um aberto de R e (t,s) ∈ (︀ϕ( f )⌋︀−1(U ). Existe r > 0 tal que ((︀ϕ( f )⌋︀(t, s) −
r, (︀ϕ( f )⌋︀(t, s) + r) ⊆ U. No primeiro caso (t, s) ∈ (0, 1⌋︀ × {0}, temos (︀ϕ( f )⌋︀(t, s) = f (t). Se t ∈ (0, 1) ∖ A, pela continuidade de f em t, existe δ1>0 tal que ⋃︀ f (w) − f (t)⋃︀ < r
2, para todo w ∈
(t − δ1,t + δ1). Logo (t, 0) ∈ ((t − δ1,t + δ1) × {0, 1}) ∩ KA⊆ (︀ϕ ( f )⌋︀−1(U ). Se t ∈ A ∪ {1}, como f é contínua pela esquerda em t, existe δ2>0 tal que ⋃︀ f (w) − f (t)⋃︀ < r
2, para todo w ∈ (t − δ2,t).
Logo (t, 0) ∈ ((t − δ2,t⌋︀ × {0} ∪ (t − δ2,t) × {1}) ∩ KA⊆ (︀ϕ ( f )⌋︀−1(U ).
No segundo caso (t, s) ∈ (A ∪ {0}) × {1}, temos que (︀ϕ( f )⌋︀(t, s) = f (t+). Existe ε > 0 tal que
⋃︀f (w)− f (t+)⋃︀ <2r, para qualquer w ∈ (t,t +ε). Logo (t, 1) ∈ ((t,t +ε)×{0}∪(︀t,t +ε)×{1})∩KA⊆ (︀ϕ ( f )⌋︀−1(U ).
Além disso, não é difícil ver que ϕ é linear, injetora e que ∏︁ f ∏︁∞≤ ∏︁ϕ ( f )∏︁∞, para todo f ∈ DA.
Sejam h ∈ DAe (t, s) ∈ KA, logo ⋃︀(︀ϕ(h)⌋︀(t, 1)⋃︀ = lim
a→t+
⋃︀h(a)⋃︀ ≤ ∏︁h∏︁∞e ⋃︀(︀ϕ(h)⌋︀(t, 0)⋃︀ = ⋃︀h(t)⋃︀ ≤ ∏︁h∏︁∞,
para qualquer h ∈ DA. Ou seja, ∏︁ϕ(h)∏︁∞≤ ∏︁h∏︁∞. Assim, ϕ é uma isometria e só falta provar que
é sobrejetora.
Seja G ∈ C(KA), definimos g ∶ (0, 1⌋︀ → R como g(t) = G(t,0). Mostraremos que g ∈ DAe ϕ(g) = G. De fato, sejam a ∈ (0, 1⌋︀ e ε > 0. Se a ∈ (0, 1) ∖ A, existe r1>0 tal que ((a − r1, a + r1) × {0, 1}) ∩ KA⊆G−1(g(a) − ε, g(a) + ε). Logo, g é contínua em a. Se a ∈ A ∪ {1}, existe r2>0 tal que ((a − r2, a⌋︀ × {0} ∪ (a − r2, a) × {1}) ∩ KA⊆G−1(g(a) − ε, g(a) + ε). Logo, g é contínua pela esquerda em a. Sejam b ∈ A ∪ {0} e ε > 0. Existe p > 0 tal que ((b, b + p) × {0} ∪ (︀b, b + p) × {1}) ∩ KA⊆G−1(G(b, 1) − ε, G(b, 1) + ε). Em consequência, g(b+) =G(b, 1). Finalmente, g é contínua em (0, 1) ∖ A, ela é contínua pela esquerda em (0, 1⌋︀, e possui limite pela direita em (︀0, 1). Então, g ∈ DAe ϕ(g) = G. Pela Proposição1.5.15, concluímos que ϕ é um isomorfismo.
Definição 4.3.4. Sejam f ∶ (0, 1⌋︀ → R, α ∶ (︀0,1⌋︀ → R funções limitadas e P = {tk⋃︀0 ≤ k ≤ n} uma partição de (︀0, 1⌋︀. Definimos S(P, f , α) =
n
∑
k=1
f (tk)(︀α (tk) −α (tk−1)⌋︀. Dizemos que f é Riemann - Stieltjes integrável com respeito a α se existe um numero real I satisfazendo que, para todo ε > 0, existe uma partição P0tal que ⋃︀S(P, f , α) − I⋃︀ < ε, para qualquer partição P que refina P0.
Nesse caso, I é chamado de integral de Riemann - Stieltjes de f com respeito a α e será denotado por I =∫
(︀0,1⌋︀f dα.
Exemplo 4.3.5. Seja t ∈ (0, 1⌋︀. Dada uma função de variação limitada α ∶ (︀0, 1⌋︀ → R, a função
χ(0,t⌋︀∈D(0,1) é integrável com respeito a α. De fato, se P é uma partição que refina P0= {0,t, 1},
então S(P, χ(0,t⌋︀, α) = α(t). Isto é,∫
(︀0,1⌋︀χ(0,t⌋︀dα = α(t).
Proposição 4.3.6. Sejam f ∶ (0, 1⌋︀ → R e α ∶ (︀0,1⌋︀ → R funções limitadas. Então f é Riemann - Stieltjes integrável com respeito a α se, e só se, para cada ε > 0, existe uma partição P0de (︀0, 1⌋︀
tal que ⋃︀S(P, f , α) − S(P0, f , α)⋃︀ < ε, para qualquer partição P que refina P0.
Demonstração. Basta provar a recíproca. Para ε = 1, existe uma partição P0 de (︀0, 1⌋︀ tal que
uma partição P′
1 de (︀0, 1⌋︀ tal que ⋃︀S(P, f , α) − S(P1′, f , α)⋃︀ < 1
4, para qualquer P que refina P1′.
Considerando P1=P0∪P1′, temos que ⋃︀S(P1, f , α) − S(P0, f , α)⋃︀ < 1. Do mesmo jeito, para ε = 18, existe uma partição P′
2de (︀0, 1⌋︀ tal que ⋃︀S(P, f , α) − S(P ′
2, f , α)⋃︀ < 1
8, para qualquer P que refina
P′
2. Considerando P2=P1∪P ′
2, temos que ⋃︀S(P2, f , α) − S(P1, f , α)⋃︀ < 1
2. Suponhamos que temos
as partições Pne Pn′ tais que ⋃︀S(P, f , α) − S(Pn′, f , α)⋃︀ < 2n+11 , para qualquer partição P que refina
P′
n. Do mesmo jeito, para ε =2n+21 , existe um partição Pn+1′ tal que ⋃︀S(P, f , α) − S(Pn+1′ , f , α)⋃︀ <
1
2n+2, para toda partição P que refina Pn+1′ . Fazendo Pn+1=P′
n+1∪Pn, temos que ⋃︀S(Pn+1, f , α) −
S(Pn, f , α)⋃︀ <21n.
Assim, indutivamente, obtemos uma sequência não decrescente de partições (Pn)n∈N, no sentido da inclusão, tal que ⋃︀S(Pn+1, f , α) − S(Pn, f , α)⋃︀ < 21n, para todo n ∈ N. Logo (S(Pn, f , α))n∈N é
uma sequência de Cauchy e, em consequência, existe I ∈ R, o qual é o limite de tal sequência. Mostraremos que I é a integral de f com respeito a α. De fato, dado ε > 0, existe n0∈N tal que ⋃︀S(Pn, f , α) − I⋃︀ <ε
2 e
1
2n <ε2, para todo n ≥ n0. Se Q é uma partição que refina Pn0, então ⋃︀S(Q, f , α) − I⋃︀ ≤ ⋃︀S(Q, f , α) − S(Pn0, f , α)⋃︀ + ⋃︀S(Pn0, f , α) − I⋃︀ ≤ ⋃︀S(Q, f , α) − S(Pn′ 0, f , α)⋃︀ + ⋃︀S(P ′ n0, f , α) − S(Pn0, f , α)⋃︀ + ⋃︀S(Pn0, f , α) − I⋃︀ ≤ 1 2n0+ ε 2 <ε .
Proposição 4.3.7. Sejam f , g ∶ (0, 1⌋︀ → R funções limitadas e α ∶ (︀0,1⌋︀ → R uma função de variação limitada.
i) ⋃︀S(P, f , α) − S(P, g, α)⋃︀ ≤ ∏︁ f − g∏︁∞Var(α), para qualquer partição P de (︀0, 1⌋︀.
ii) ⋃︀S(P, f , α)⋃︀ ≤ ∏︁ f ∏︁∞Var(α), para toda partição P de (︀0, 1⌋︀.
iii) Se f é integrável com respeito a α, então ⋁︀∫
(︀0,1⌋︀f dα⋁︀ ≤ ∏︁ f ∏︁∞Var(α).
Demonstração. Os items (i) e (ii) são evidentes. No item (iii), como f é integrável com respeito a α, existe uma sequência de partições (Pn)n∈Ntal que (S(Pn, f , α))n∈N converge para a integral de f . Pelo item (ii), ⋃︀S(Pn, f , α)⋃︀ ≤ ∏︁ f ∏︁∞Var(α), para cada n ∈ N. Então ⋁︀∫
(︀0,1⌋︀f dα⋁︀ ≤
∏︁f ∏︁∞Var(α).
A integral de Riemann - Stieltjes possui propriedades de linearidade como veremos a seguir.
Proposição 4.3.8. Seja λ ∈ R e sejam f ,g,h ∈ R(0,1⌋︀e α, β , γ ∈ R(︀0,1⌋︀funções limitadas.
i) Se f , g são integráveis com respeito a γ, então f + g e λ f são integráveis com respeito a γ. Mais ainda,∫
ii) Se h é integrável com respeito a α e β , então h é integrável com respeito a α + β e λ α. Mais ainda,∫
(︀0,1⌋︀hd(α + β ) = ∫(︀0,1⌋︀hdα + ∫(︀0,1⌋︀hdβ e ∫(︀0,1⌋︀hd(λ α) = λ ∫(︀0,1⌋︀hdα.
Demonstração. Para o primeiro item basta apenas verificar que, fixando uma partição P, te- mos que S(P, f + g, γ) = S(P, f , γ) + S(P, g, γ) e S(P, λ f , γ) = λ .S(P, f , γ). Analogamente para o segundo item, fixando uma partição P, obtemos que S(P, h, α + β ) = S(P, h, α) + S(P, h, β ) e S(P, h, λ α) = λ S(P, h, α).
O seguinte lema nos diz que, no caso que A for um subconjunto denso de (0, 1), o subespaço vetorial gerado pelas funções χ(0,t⌋︀, com t ∈ A, é denso em DA.
Lema 4.3.9. Seja A um subconjunto denso de (0, 1). Dados f ∈ DAe ε > 0, existe uma partição Pε= {ti⋃︀0 ≤ i ≤ n} de (︀0, 1⌋︀, com ti∈Apara todo 1 ≤ i < n, tal que ∏︁ f − fP
ε∏︁∞<ε , onde fPε∶ (0, 1⌋︀ → R é dada por fPε(t) = n ∑ k=1 f (tk)χ(tk−1,tk⌋︀(t).
Demonstração. Sejam f ∈ DA e ε > 0. Como f possui limite pela direita em 0, existe r1>0 tal que se w ∈ (0, r1), então ⋃︀ f (w) − f (0+)⋃︀ < ε
2. Dado que f é contínua pela esquerda em 1,
existe também r2>0 tal que se q ∈ (1 − r2, 1), então ⋃︀ f (q) − f (1)⋃︀ < ε2. Analogamente, se x ∈ A, existe δx>0 tal que ⋃︀ f (w1) −f (x)⋃︀ < ε2 e ⋃︀ f (w2) −f (x+)⋃︀ < ε2, para quaisquer w1∈ (x − δx, x) e w2∈ (x, x + δx). Pela continuidade em x ∈ (0, 1) ∖ A, existe δx>0 tal que ⋃︀ f (x) − f (y)⋃︀ <ε2, para qualquer y ∈ (x − δx, x + δx). Assim, os abertos {(x − δx, x + δx)}x∈(0,1), (−r1, r1)e (1 − r2, 1 + r2) cobrem (︀0, 1⌋︀. Pela compacidade de (︀0, 1⌋︀, existem x1, ..., xn∈ (0, 1) tais que (︀0, 1⌋︀ ⊆ (−r1, r1) ∪ (1−r2, 1+r2) ∪
n
⋃
i=1
(xi−δxi, xi+δxi). Sem perda de generalidade podemos considerar que os pontos
xiestão ordenados em forma crescente e, portanto, os abertos de dois pontos consecutivos são não disjuntos. Pela densidade de A, existem t1,tn+1∈Atais que t1∈ (0, r1) ∩ (x1−δx1, x1+δx1)e
tn+1∈ (xn−δxn, xn+δxn) ∩ (1 − r2, 1). Assim também, para cada i ∈ {2, ..., n}, existe ti∈Atal que
ti∈ (xi−1−δxi−1, xi−1+δxi−1) ∩ (xi−δxi, xi+δxi). Seja Pε a partição de (︀0, 1⌋︀ formada por {tj}n+1j=1 e
aqueles xique estejam em A. Ou seja, Pε= {ak⋃︀0 ≤ k ≤ m+n+2}, onde m = Card(A∩{x1, ..., xn}), e
definimos fPε=
m+n+2
∑
k=1
f (ak)χ(ak−1,ak⌋︀. Seja z ∈ (0, 1⌋︀, existe k ∈ {1, ..., n+m+2} tal que z ∈ (tj−1,tj⌋︀.
Mais ainda, no caso geral, suponhamos que 1 < j < m + n + 2 e tj−1,tj∉ {x1, ..., xn}. Logo existe xi∈ (0, 1) ∖ A tal que xi∈ (tj−1,tj). Então ⋃︀ f (z) − fP
ε(z)⋃︀ = ⋃︀ f (z) − f (tj)⋃︀ ≤ ⋃︀f (z) − f (xi)⋃︀ + ⋃︀f (xi) −
f (tj)⋃︀ <ε . Portanto, ∏︁ f − fPε∏︁∞<ε .
Em D∗
Adenotaremos por f racaAa topologia gerada pelas funções χ(0,t⌋︀, onde t ∈ A ∪ {1}.
Uma consequência do lema anterior, como veremos a seguir, é que nas bolas fechadas de D∗
A, a topologia fraca∗ relativa coincide com a topologia f racaA relativa. Por simplicidade,
mostraremos tal resultado para o caso particular da bola fechada unitária de D∗
A, a qual será
denotada por BD∗ A.
Proposição 4.3.10. Se A é um subconjunto denso de (0, 1), então em BD∗
A as topologias relativas
f raca∗e f raca
A coincidem.
Demonstração. Sejam U um aberto de (BD∗
A, f raca
∗)e x∗∈U. Existem f
1, ..., fn∈DA e r > 0 tais que V (x∗; f
1, ..., fn; r) ∩ BD∗
A⊆U. Em virtude do Lema4.3.9, para cada fi, existe uma partição
Pi= {t(i)
k ⋃︀0 ≤ k ≤ mi}, com t (i)
k ∈Apara qualquer 0 < k < mi, tal que ∏︁ fi−fPi∏︁∞< r 4. Mais ainda, fPi= mi ∑ j=1
a(i)j χ(0,tj⌋︀. Considerando a = sup {⋂︀a (i) j ⋂︀ ⋃︀j ∈ {1, ..., mi}ei ∈ {1, ..., n}} e n ⋃ i=1 Pi= {t′ 0,t ′ 1, ...,t ′ p}. Se y∗∈V (x∗; χ (0,t′ 1⌋︀, ..., χ(0,t ′ p⌋︀; r
2ap) ∩BD∗A, então, para cada i ∈ {1, ..., n}, temos que
⋃︀(y∗−x∗ )(fi)⋃︀ ≤ ⋃︀(y∗−x∗)(fi−fPi)⋃︀ + ⋃︀(y∗−x∗)(fPi)⋃︀ ≤ ∏︁y∗−x∗∏︁∏︁fi−fPi∏︁∞+ ⋁︀ mi ∑ j=1 a(i)j (y∗−x∗ )(χ(0,tj⌋︀)⋁︀ ≤ 2∏︁ fi−fPi∏︁∞+ mi ∑ j=1
⋂︀a(i)j ⋂︀⋂︀(y∗−x∗
)(χ(0,tj⌋︀)⋂︀ ≤ r 2+ mi ∑ j=1 a r 2ap ≤ r 2+ rmi 2p ≤r. Ou seja, V (x∗; χ (0,t′ 1⌋︀, ..., χ(0,t ′ p⌋︀; r 2ap) ∩BD∗
A ⊆U. Então U ∈ f racaA. Portanto, f racaA= f raca
∗
em BD∗ A.
Observação 4.3.11. Notemos que, dadas uma função f ∈ D(0,1) e uma partição P de (︀0, 1⌋︀, podemos definir uma função fP∈D(0,1) como no lema anterior. Mais ainda, se P′é uma partição que refina P, então S(P′, f
P, α) = S(P, f , α).
Os elementos de D(0,1) são funções Riemann - Stieltjes integráveis com respeito as funções de variação limitada, como veremos em seguida.
Teorema 4.3.12. Seja α ∶ (︀0, 1⌋︀ → R de variação limitada. Se f ∈ D(0,1), então f é Riemann -
Stieltjes integrável com respeito a α.
Demonstração. Seja f ∈ D(0,1). Dado ε > 0, pelo Lema 4.3.9, existe uma partição Pε tal que ∏︁f − fPε∏︁∞<
ε
Var(α) + 1. Se Q é uma partição que refina Pε, então
⋃︀S(Q, f , α) − S(Pε, f , α)⋃︀ = ⋃︀S(Q, f , α) − S(Q, fPε, α)⋃︀ ≤ ∏︁ f − fPε∏︁∞Var(α) < ε.
Em virtude da Proposição4.3.6concluímos que f é Riemann - Stieltjes integrável com respeito a α.
Definição 4.3.13. Denotemos por BV (︀0, 1⌋︀ o espaço vetorial real formado pelas funções f ∶ (︀0, 1⌋︀ → R, com f (0) = 0, que são de variação limitada.
Dado um subconjunto A ⊆ (0, 1), definimos o subespaço vetorial BVA(︀0, 1⌋︀ = { f ∈ BV (︀0, 1⌋︀ ⋃︀ f é contínua pela direita em (0, 1) ∖ A}.
Observação 4.3.14. Em BV (︀0, 1⌋︀ se define a norma da variação total. Isto é, ∏︁f ∏︁var=sup { n ∑ i=1 ⋃︀f (ti) −f (ti−1)⋃︀ ⨄︀n ∈ N>0e t0=0 ≤ t1≤... ≤ tn=1(︀ . Ademais, se h ∈ BV (︀0, 1⌋︀, então ⋃︀h(x)⋃︀ ≤ ∏︁h∏︁var, para todo x ∈ (︀0, 1⌋︀.
Em BVA(︀0, 1⌋︀ denotaremos por τAa topologia herdada de (R(︀0,1⌋︀, τA)5, τvara topologia gerada pela norma da variação total, e τpa topologia herdada de (R(︀0,1⌋︀, τp). Note que τA⊆τp⊆ τvar.
Proposição 4.3.15. Se A é um subconjunto denso de (0, 1), então o espaço (BVA(︀0, 1⌋︀, τA)é Hausdorff.
Demonstração. Primeiro mostraremos que dados f , g ∈ BVA(︀0, 1⌋︀ tais que f (x) = g(x), para todo
x ∈ A ∪ {1}, obtemos que f = g. De fato, se x ∈ (0, 1) ∖ A, então existe uma sequência decrescente (xn)n∈Nem A tal que converge a x. Como f e g são contínuas pela direita em (0, 1) ∖ A, obtemos
f (x) = g(x). Logo f = g.
Sejam f , g ∈ BVA(︀0, 1⌋︀ distintos, pelo parágrafo anterior, existe x0∈A ∪ {1} tal que f (x0) ≠ g(x0). Ademais existem U,V abertos disjuntos de R tais que f (x0) ∈U e g(x0) ∈V. Então S(x0,U ) ∩ BVA(︀0, 1⌋︀ e S(x0,V ) ∩ BVA(︀0, 1⌋︀ são abertos disjuntos tais que f ∈ S(x0,U ) ∩ BVA(︀0, 1⌋︀
e g ∈ S(x0,V ) ∩ BVA(︀0, 1⌋︀.
Denotemos por B(︀0, r⌋︀ a bola fechada de raio r > 0 do espaço (BVA(︀0, 1⌋︀, τvar). Ainda
vale que toda bola fechada é homeomorfa à bola fechada unitária, ambas com a topologia τp.
Em seguida veremos que as bolas fechadas de BVA(︀0, 1⌋︀ são τA−compactas.
Proposição 4.3.16. A bola fechada unitária B(︀0, 1⌋︀ é τp−compacta em BVA(︀0, 1⌋︀. Em consequên-
cia, B(︀0, 1⌋︀ é um subconjunto compacto de (BVA(︀0, 1⌋︀, τA).
Demonstração. Basta provar que B(︀0, 1⌋︀ é τp−compacto em R(︀0,1⌋︀. Segundo a Proposição1.2.38, vejamos que B(︀0, 1⌋︀ é τp−fechada. Dado f ∈ B(︀0, 1⌋︀, é claro que f (0) = 0. Seja t0=0 ≤ t1≤... ≤ tn= 1 uma partição e δ > 0 arbitrário. Como f ∈
n ⋂ i=0 S(xi,Ui), onde Ui= (f (xi) − δ 2i+1, f (xi) + δ 2i+1)
para cada i = 0, 1, ..., n; existe ϕ ∈ B(︀0, 1⌋︀ ∩
n ⋂ i=0 S(xi,Ui). Logo n ∑ i=1 ⋃︀f (ti) −f (ti−1)⋃︀ ≤ ⋃︀f (t0) −ϕ (t0)⋃︀ + ⋃︀f (tn) −ϕ (tn)⋃︀ + n ∑ i=1 ⋃︀ϕ (ti) −ϕ (ti−1)⋃︀ + n−1 ∑ i=1 2⋃︀ f (ti) −ϕ (ti)⋃︀ ≤ ∏︁ϕ ∏︁ + δ n ∑ i=1 1 2i ≤ ∏︁ϕ ∏︁ + δ ∑ n∈N 1 2n ≤ ∏︁ϕ ∏︁ + δ ≤ 1 + δ . 5 Ver Exemplo1.2.9
Assim, f é de variação limitada. Mais ainda, como δ era arbitrário, obtemos que ∏︁ f ∏︁var≤1. Agora mostraremos que f é continua pela direita em (0, 1) ∖ A. Sejam x0∈ (0, 1) ∖ A e ε > 0.
Dado que B(︀0, 1⌋︀ também é fechado em τvar, existe ψ ∈ B( f ,ε3) ∩B(︀0, 1⌋︀. Como ψ é continua pela direita em x0, existe r > 0 tal que ⋃︀ψ(t) − ψ(x0)⋃︀ <ε
3, para qualquer t ∈ (x0, x0+r). Então,
⋃︀f (x0) −f (t)⋃︀ ≤ ⋃︀ f (x0) −ψ (x0)⋃︀ + ⋃︀ψ (x0) −ψ (t)⋃︀ + ⋃︀ψ (t) − f (t)⋃︀ < ε ,
para todo t ∈ (x0, x0+r). Logo, f é contínua pela direita em (0, 1) ∖ A e, portanto, f ∈ B(︀0, 1⌋︀. Por outro lado, temos que π0(B(︀0, 1⌋︀) = {0}. Seja x ∈ (︀0, 1⌋︀∖{0}, é claro que πx(B(︀0, 1⌋︀) ⊆ (︀−1, 1⌋︀.
Se a ∈ (︀−1, 1⌋︀, definimos ϕa(t) = )︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌋︀ ⌉︀ ⌉︀ ]︀ a, se 0 < t ≤ 1 0, se t = 0.
Claramente ϕa∈B(︀0, 1⌋︀ e πx(ϕa) =a. Isto é, πx(B(︀0, 1⌋︀) = (︀−1, 1⌋︀. Finalmente concluímos que B(︀0, 1⌋︀ é τp−compacta.
A seguir veremos a relação entre os espaços D(0,1)e BV (︀0, 1⌋︀. Proposição 4.3.17. O espaço D∗
(0,1)é isometricamente isomorfo a BV (︀0, 1⌋︀.
Demonstração. Definimos L ∶ D∗
(0,1) →BV (︀0, 1⌋︀ do seguinte modo. Para cada x
∗∈D∗
(0,1), a
função L(x∗) ∶ (︀0, 1⌋︀ → R é dada por
(︀L(x∗)⌋︀(t) = )︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌋︀ ⌉︀ ⌉︀ ]︀ x∗(χ (0,t⌋︀), se 0 < t ≤ 1 0, se t = 0.
Seja P = {ti⋃︀0 ≤ i ≤ n} uma partição de (︀0, 1⌋︀ e consideremos ai=sgn(︀x∗(χ(0,ti⌋︀) −x
∗(χ
(0,ti−1⌋︀)⌋︀
6, para cada 1 ≤ i ≤ n. Logo
n ∑ i=1 ⨄︀(︀L(x∗)⌋︀(t i) − (︀L(x∗)⌋︀(ti−1)⨄︀ = n ∑ i=1 ⨄︀x∗ (χ(0,ti⌋︀) −x ∗ (χ(0,ti−1⌋︀)⨄︀ = n ∑ i=1 aix∗(χ(ti−1,ti⌋︀) = x∗( n ∑ i=1 aiχ(ti−1,ti⌋︀) ≤ ∏︁x∗∏︁⨄︁ n ∑ i=1 aiχ(ti−1,ti⌋︀⨄︁ ∞ = ∏︁x∗∏︁. Então L(x∗ ) ∈BV (︀0, 1⌋︀ e ∏︁L(x∗)∏︁var≤ ∏︁x∗∏︁. É claro que L é linear. Dado x∗
∈D∗
(0,1), mostraremos que ⋃︀x
∗
(f )⋃︀ ≤ ∏︁ f ∏︁∞∏︁L(x∗)∏︁var, para todo
f ∈ D(0,1). No caso particular que f =
n
∑
i=1
aiχ(0,ti⌋︀, onde ai∈R e ti∈ (0, 1⌋︀, para qualquer 1 ≤ i ≤ n,
temos que∫ (︀0,1⌋︀f dL(x ∗ ) = n ∑ i=1 ai(︀L(x∗)⌋︀(t i). Logo ⋃︀x∗ (f )⋃︀ = ⋁︀ n ∑ i=1 aix∗ (χ(0,ti⌋︀)⋁︀ = ⋁︀ ∫ (︀0,1⌋︀ f dL(x∗ )⋁︀ ≤ ∏︁f ∏︁∞∏︁L(x∗)∏︁var.
6 A função sgn∶ R → R é definida como sgn(x) = ⋃︀x⋃︀
No caso geral, em virtude do Lema4.3.9, existe uma sequência de funções ( fn)n∈N que converge a f . Pelo caso anterior, sabemos que ⋃︀x∗
(fn)⋃︀ ≤ ∏︁fn∏︁∞∏︁L(x∗)∏︁var, para todo n ∈ N. Então ⋃︀x∗(f )⋃︀ ≤
∏︁f ∏︁∞∏︁L(x∗)∏︁var. Ou seja, ∏︁x∗∏︁ ≤ ∏︁L(x∗)∏︁var. Portanto, L é uma isometria.
Por último, de acordo com a Proposição1.5.15, mostraremos que L é sobrejetora. De fato, seja α ∈ BV (︀0, 1⌋︀, definimos z∗∶D(0, 1) → R por z∗(f ) =
∫
(︀0,1⌋︀f dα. A partir das Proposições4.3.7e
4.3.8, z∗∈D∗
(0,1)e ⋃︀z
∗(f )⋃︀ ≤ ∏︁ f ∏︁
∞∏︁α ∏︁var, para todo f ∈ D(0,1). Logo L(z∗) =α . Concluímos que
Lé um isomorfismo.
Para estabelecer a relação entre os espaços D∗
Ae BVA(︀0, 1⌋︀ precisamos do seguinte lema.
Lema 4.3.18. Dado α ∈ BV (︀0, 1⌋︀, existe β ∈ BVA(︀0, 1⌋︀ tal que ∏︁β ∏︁var≤ ∏︁α ∏︁var e ∫
(︀0,1⌋︀f dβ =
∫
(︀0,1⌋︀f dα, para todo f ∈ DA.
Demonstração. Dado α ∈ BV (︀0, 1⌋︀, definimos β ∶ (︀0, 1⌋︀ → R como
β (t) = )︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌋︀ ⌉︀ ⌉︀ ]︀ α (t), se t ∈ A ∪ {0, 1}. α (t+), se t ∈ (0, 1) ∖ A.
Sejam P = {ti⋃︀0 ≤ i ≤ n} uma partição e m = card(I), onde I = {i ⋃︀ ti∈ (0, 1) ∖ A}. Dado ε > 0, para cada k ∈ I, existe δk>0 tal que ⋃︀α(w) − α(t+
k)⋃︀ < ε
2m, para todo w ∈ (tk,tk+δk)e, além disso, tk+1∉ (tk,tk+δk). Fixando wk∈ (tk,tk+δk), para cada k ∈ I, obtemos
n ∑ i=1 ⋂︀β (ti) −β (ti−1)⋂︀ ≤ n ∑ i=1 ⋂︀α (zi) −α (zi−1)⋂︀ + ∑ i∈I 2⋂︀α(t+ i ) −α (wi)⋂︀ ≤ ∏︁α ∏︁var+ε , onde zi=wi, se i ∈ I, e zi=tino outro caso. Então β ∈ BVA(︀0, 1⌋︀ e ∏︁β ∏︁var≤ ∏︁α ∏︁var.
Seja f ∈ DA. Provaremos que dada uma partição P = {ti⋃︀0 ≤ i ≤ n} de (︀0, 1⌋︀, existe uma partição Q que refina P e S(P, f , β ) = S(Q, f , α). De fato, dado ε > 0, sejam I = {i ⋃︀ ti∈ (0, 1) ∖ A} e m = card(I). Pela continuidade de f em (0, 1) ∖ A, para cada i ∈ I, existe δi>0 tal que ⋃︀ f (ti) −
f (a)⋃︀ < ε 2m∏︁α∏︁var e ⋃︀α(t + i ) −α (w)⋃︀ < ε 4m∏︁ f ∏︁∞, para quaisquer a ∈ (ti −δi,ti+δi) e w ∈ (ti,ti+δi). Fixando xi∈ (ti,ti+δi), para cada i ∈ I, e considerando Q = P ∪ {xi⋃︀i ∈ I}, obtemos
⋂︀S(P, f , β ) − S(Q, f , α)⋂︀ ≤ ∑ i∈I ⋂︀f (ti) −f (ti+1)⋂︀⋂︀α (ti+) −α (xi)⋂︀ + ∑ i∈I ⋂︀f (ti) −f (xi)⋂︀⋂︀α (xi) −α (ti)⋂︀ ≤ ∑ i∈I 2∏︁ f ∏︁∞⋂︀α (t + i ) −α (xi)⋂︀ + ∑ i∈I ⋂︀f (ti) −f (xi)⋂︀∏︁α ∏︁var<ε . Em consequência,∫ (︀0,1⌋︀f dβ = ∫(︀0,1⌋︀f dα, para todo f ∈ DA.
Teorema 4.3.19. Para todo A ⊆ (0, 1), D∗
Aé isometricamente isomorfo a BVA(︀0, 1⌋︀.
Demonstração. Seja T ∶ BVA(︀0, 1⌋︀ → D∗A definido do seguinte modo. Dado α ∈ BVA(︀0, 1⌋︀, de-
finimos T (α) ∶ DA→R como (︀T (α )⌋︀( f ) = ∫
(︀0,1⌋︀f dα. Das Proposições 4.3.7e 4.3.8, temos
que T é linear e ∏︁T (α)∏︁ ≤ ∏︁α∏︁var. Dado z∗∈D∗
A, pelo Teorema1.5.10, existe x∗∈D ∗
(0,1) tal que
x∗⋂︀
DA=z
∗e ∏︁x∗∏︁ = ∏︁z∗∏︁. Pela Proposição4.3.17, existe α ∈ BV (︀0, 1⌋︀ tal que x∗
(f ) =∫
(︀0,1⌋︀f dα,
para qualquer f ∈ D(0,1). Em virtude do Lema4.3.18, existe β ∈ BVA(︀0, 1⌋︀ tal que ∏︁β ∏︁var≤ ∏︁α ∏︁var
e∫
(︀0,1⌋︀f dβ = ∫(︀0,1⌋︀f dα, para todo f ∈ DA. Então T (β ) = z
∗e ∏︁β ∏︁
var≤ ∏︁α ∏︁var= ∏︁x∗∏︁ = ∏︁T (β )∏︁.
Em consequência, T é uma isometria sobrejetora e, pela Proposição1.5.15, concluímos que T é um isomorfismo.
Até agora, baseado nos Teoremas4.3.3e4.3.19, podemos concluir que C(KA)∗é isome- tricamente isomorfo a BVA(︀0, 1⌋︀. Denotemos por BC(KA)∗ a bola fechada unitária de C(KA)
∗
. O seguinte corolário nos diz que, no caso que A seja denso em (0, 1), (B(︀0,1⌋︀, τA)é homeomorfa a (BC(K
A)∗, f raca
∗).
Corolário 4.3.20. Para todo A ⊆ (0, 1), (BVA(︀0, 1⌋︀, τA)é homeomorfo a (D∗
A, f racaA). Em parti-
cular, se A é um subconjunto denso de (0, 1), então (B(︀0,1⌋︀, τA)é homeomorfa a (BD∗
A, f raca
∗).
Demonstração. Seja A ⊆ (0, 1). Consideremos a função bijetora T ∶ BVA(︀0, 1⌋︀ → D∗
A definida
anteriormente no Teorema4.3.19. Sejam U um aberto de (D∗
A, f racaA)e α ∈ T−1(U ). Como
T (α) ∈ U , existem t1, ...,tn∈A ∪ {1} e r > 0 tais que V (T (α); χ(0,t
1⌋︀, ..., χ(0,tn⌋︀; r) ⊆ U . Se β ∈ n ⋂ i=1 S(ti, (α(ti) −r, α(ti) +r)), então ⋂︀(T (α) − T (β ))(χ(0,t i⌋︀)⋂︀ = ⋂︀α (ti) −β (ti)⋂︀ <r, para cada i ∈ {1, ..., n}. Logo α ∈ n ⋂ i=1
S(ti, (α(ti) −r, α(ti) +r)) ⊆ T−1(U ). Assim, T é contínua. Agora só falta provar que T é aberta. De fato, sejam V um aberto de (BVA(︀0, 1⌋︀, τA)e y∗∈T (V ). Existem γ ∈ V e, em consequência, a1, ..., am∈Ae U1, ...,Umabertos de R tais que γ ∈
m
⋂
i=1
S(ai,Ui) ⊆V. Para cada i ∈ {1, ..., m}, existe δi>0 tal que (ai−δi, ai+δi) ⊆Ui. Seja δ = min{δi⋃︀i ∈ {1, ..., m}}. Se z∗∈V (y∗; χ
(0,a1⌋︀, ..., χ(0,am⌋︀; δ ), existe α0∈BVA(︀0, 1⌋︀ tal que T (α0) =z
∗. Logo ⋂︀α
0(ai) −γ (ai)⋂︀ = ⋂︀(T (α0) −T (γ))(χ(0,a
i⌋︀)⋂︀ <δ , para cada i ∈ {1, ..., m}. Ou seja, α0∈V e z
∗∈T (V ). Então T (V )
é aberta em f racaA.
Em particular, T ⋃︀B(︀0,1⌋︀é um homeomorfismo entre os espaços (B(︀0,1⌋︀, τA)e (BD∗
A, f racaA). No
caso que A seja denso em (0, 1), pela Proposição4.3.10, obtemos que (B(︀0,1⌋︀, τA)é homeomorfa a (BD∗
A, f raca