Nesta seção vamos mostrar que, dados um subconjunto A denso de (0, 1) e um σ −ideal próprio 𝒜, sob certas hipóteses, o espaço BVA(︀0, 1⌋︀ é aproximadamente Stegall com respeito a
𝒜. Baseado nisto, de acordo comMoors e Somasundaram(2006), construímos um espaço quase Asplund fraco que não é Asplund fraco.
Definição 4.5.1. Dado A ⊆ (0, 1), denotaremos por MA(︀0, 1⌋︀ o conjunto das funções não decres- centes de B(︀0, 1⌋︀, onde B(︀0, 1⌋︀ = { f ∈ BVA(︀0, 1⌋︀ ⋃︀ ∏︁ f ∏︁var≤1}.
Proposição 4.5.2. O espaço (MA(︀0, 1⌋︀, τA)é compacto.
Demonstração. Basta provar que MA(︀0, 1⌋︀ é τp−fechado em R(︀0,1⌋︀. De fato, sejam α ∈ MA(︀0, 1⌋︀ e t1,t2∈ (︀0, 1⌋︀ tais que t1<t2. Se α(t1) >α (t2), tomemos dois intervalos abertos disjuntos U1,U2
de R tais que α(t1) ∈U1 e α(t2) ∈U2. Assim, existe β ∈ MA(︀0, 1⌋︀ ∩ (S(t1,U1) ∩S(t2,U2)) e, em consequência, β (t1) >β (t2), mas isso contradiz o fato que β seja não decrescente. Então
α (t1) ≤α (t2)e, portanto, α ∈ MA(︀0, 1⌋︀.
Daqui em diante só utilizaremos sobre MA(︀0, 1⌋︀ a topologia τA, salvo indicação contrária. Note que, pela Proposição1.2.25, no caso que A seja denso em (0, 1), as topologias τAe τpsão
iguais em MA(︀0, 1⌋︀.
Proposição 4.5.3. Se A é um subconjunto denso de (0, 1), então a função H ∶ (MA(︀0, 1⌋︀ × MA(︀0, 1⌋︀, τprod) → (BVA(︀0, 1⌋︀, τA)definida por H( f , g) = f − g é contínua, fechada e, para cada ϕ ∈ BVA(︀0, 1⌋︀, H−1(ϕ ) é τprod−compacta. Além disso, B(︀0, 1⌋︀ ⊆ H(MA(︀0, 1⌋︀ × MA(︀0, 1⌋︀).
Demonstração. Sejam C um τA−aberto de BVA(︀0, 1⌋︀ e ( f , g) ∈ H−1(C). Existem xi∈A e Ui abertos de R, onde i ∈ {1,⋯,n}, tais que H( f ,g) ∈
n
⋂
i=1
ri>0 tal que (( f (xi) −g(xi)) −r, ( f (xi) −g(xi)) +r) ⊆ Ui.
Então, definindo Vi= (f (xi) −r2, f (xi) +2r)e Wi= (g(xi) −r2, g(xi) +r2), obtemos que (f, g) ∈ ( n ⋂ i=1 S(xi,Vi) ∩MA(︀0, 1⌋︀) × ( n ⋂ i=1 S(xi,Wi) ∩MA(︀0, 1⌋︀) ⊆ H−1(C).
Assim, H−1(C)é τprod−aberto. As demais propriedades são obtidas a partir do fato que H é contínua e que o espaço MA(︀0, 1⌋︀ × MA(︀0, 1⌋︀ é compacto Hausdorff.
Por último, se ϕ ∈ B(︀0, 1⌋︀, existem duas funções não decrescentes ϕ1, ϕ2∶ (︀0, 1⌋︀ → R tais que ϕ = ϕ1−ϕ2. Sem perda de generalidade podemos considerar que ϕ1(0) = ϕ2(0) = 0. Ademais, ϕ1, ϕ2∈ BVA(︀0, 1⌋︀. Logo ϕ1(1) ≤ ϕ(1) ≤ 1 e, assim também, ϕ2(1) = ϕ1(1) − ϕ(1) ≤ ϕ1(1) ≤ 1. Ou seja,
ϕ1, ϕ2∈MA(︀0, 1⌋︀ tais que H(ϕ1, ϕ2) =ϕ . Em conclusão, B(︀0, 1⌋︀ ⊆ H(MA(︀0, 1⌋︀ × MA(︀0, 1⌋︀).
Observação 4.5.4. Com as mesmas hipóteses, a função H ∶ MA(︀0, 1⌋︀ × MA(︀0, 1⌋︀ → H(MA(︀0, 1⌋︀ ×
MA(︀0, 1⌋︀) é perfeita.
Definição 4.5.5. Sejam α ∈ MA(︀0, 1⌋︀ e n ∈ N>0. Definimos L1(α , n) = ∑
t∈S(α,n)
α (t+) −α (t−), onde S(α, n) = {t ∈ (︀0, 1⌋︀ ⋃︀ α(t+) −α (t−) ≥1
n}. Denotaremos por S(α, ∞) o conjunto dos pontos onde
α não seja contínua e definimos L1(α , ∞) = ∑
t∈S(α,∞)
α (t+) −α (t−). Observação 4.5.6. Para os extremos consideramos α(1+
) =1 e α(0−) =0. Por outro lado, é claro que {S(α, n)}n∈N>0 é uma sequência não decrescente, no sentido da inclusão, e S(α, ∞) =
∞
⋃
n=1
S(α, n). Assim também, {L1(α , n)}n∈N>0 é uma sequência não decrescente que converge a L1(α , ∞). Por outro lado, cada S(α , n) é um conjunto finito.
Proposição 4.5.7. Sejam A um subconjunto denso de (0, 1) e {an⋃︀n ∈ N>0}um subconjunto denso enumerável de A. Se ρI, ρJ∶MA(︀0, 1⌋︀ × MA(︀0, 1⌋︀ → (︀0, ∞) são definidas por
ρI(f, g) = ∞ ∑ n=0 ⋃︀(f − g)(an)⋃︀ 2n e ρJ(f, g) = ∑ t∈A ⋃︀(f − g)(t+) − (f − g)(t)⋃︀, onde a0=1, então i) ρI e ρJ são pseudo-métricas.
ii) Sejam α, β ∈ MA(︀0, 1⌋︀ tais que ρI(α , β ) = 0. Logo α (t+) =β (t+)e α(t−) =β (t−), para
qualquer t ∈ (︀0, 1⌋︀. Consequentemente α e β são iguais em (0, 1) ∖ A e, para todo m ∈ N>0,
S(α, m) = S(β , m).
iii) MA(︀0, 1⌋︀ é fragmentado por ρI.11 iv) d = ρI+ρJ é uma métrica.
Demonstração. Não é difícil provar que ρI e ρJ são pseudo-métricas em MA(︀0, 1⌋︀ 12. Sejam
α , β ∈ MA(︀0, 1⌋︀ tais que ρI(α , β ) = 0. Logo α (an) =β (an), para todo n ∈ N. Seja t ∈ (︀0,1⌋︀. Se α (t+
) <β (t+), existe t
1>t tal que α(t+) ≤α (t1) <β (t+). Existe n
1∈N>0 tal que t < an1<t1e
α (t) ≤ α (an1) ≤α (t1). Em consequência β (an1) <β (t
+), o qual não pode acontecer. Analo-
gamente, se α(t+) >β (t+)obtemos uma contradição. Então α(t+) =β (t+). Do mesmo jeito,
α (t−) =β (t−). Por conseguinte, α(t+) =β (t+)e α(t−) =β (t−), para qualquer t ∈ (︀0, 1⌋︀.
Se BρI(α , r) é uma ρI−bola aberta e α ∈ MA(︀0, 1⌋︀ ∖ BρI(α , r), existe β ∈ B(α ,
r
2) ∩ (MA(︀0, 1⌋︀ ∖
BρI(α , r)), mas B(α ,2r) ⊆BρI(α , r), o qual é absurdo. Ou seja, cada ρI−bola aberta é τA−aberta em MA(︀0, 1⌋︀. Então, pela Observação1.4.11, MA(︀0, 1⌋︀ é fragmentado por ρI.
Por último, é claro que d = ρI+ρJ é uma pseudo-métrica. Se α, β ∈ MA(︀0, 1⌋︀ tais que d(α, β ) = 0,
então ρI(α , β ) = ρJ(α , β ) = 0. Dado que ρJ(α , β ) = 0, isto nos assegura que α − β é contínua
pela direita em (0, 1) e, como ρI(α , β ) = 0, temos que α e β coincidem em {an⋃︀n ∈ N}. Então α = β . Ou seja, d é uma métrica.
Teorema 4.5.8. Sejam A um subconjunto denso de (0, 1) e 0 ≤ a < b ≤ 1. Dados α ∈ MA(︀0, 1⌋︀ e
m ∈ N>0 tais que S(α, m) ∩ (︀a, b⌋︀ = ∅, existe um subconjunto aberto U de (MA(︀0, 1⌋︀, τA), com
α ∈ U , tal que S(β , m) ∩ (︀a, b⌋︀ = ∅, para todo β ∈ U .
Demonstração. Em virtude da Proposição 1.2.25, basta mostrar o resultado para o espaço (MA(︀0, 1⌋︀, τp). Seja E = { f ∈ MA(︀0, 1⌋︀ ⋃︀ S( f , m) ∩ (︀a, b⌋︀ ≠ ∅}. Suponhamos que α ∈ E.
No caso que α for contínua em (︀a, b⌋︀, e como E é fechado em τvar, existe ψ ∈ B(α,3m1 ) ∩E. Em consequência, existe t ∈ (︀a, b⌋︀ tal que ψ(t+) −ψ (t−) ≥ 1
m, mas (ψ(t−), ψ(t+)) ⊆ (︀α (t) − 1
3m, α(t) + 1
3m⌋︀, o qual não pode acontecer. Logo α ∈ MA(︀0, 1⌋︀ ∖ E.
Se α não é contínua em (︀a, b⌋︀, seja B o subconjunto de (︀a, b⌋︀ onde α não é contínua. Como B é compacto, existe t0∈Btal que α(t+
0) −α (t
−
0)é o máximo deles. Seja r = 1 m− (α (t + 0) −α (t − 0)) >0,
e analogamente ao caso anterior, existe ϕ ∈ B(α,r3) ∩E. Logo existe s ∈ (︀a, b⌋︀ tal que ϕ(s+) − ϕ (s−
) ≥m1.
Se s ∈ (︀a, b⌋︀∖B, temos que (ϕ(s−
), ϕ(s+)) ⊆ (︀α (s) −r3, α(s)+3r⌋︀. Ou seja, ϕ(s+) −ϕ (s−
) ≤2r3 <m1, o qual é falso. Do mesmo jeito, se s ∈ B temos que (ϕ(s−
), ϕ(s+)) ⊆ (︀α (s− ) −3r, α(s+) +r3⌋︀. Logo ϕ (s+) −ϕ (s−) ≤α (s+) −α (s−) +2r 3 ≤α (t + 0) −α (t − 0) + 2r 3 < 1
m, obtendo assim novamente uma
contradição. Então podemos concluir que α ∈ MA(︀0, 1⌋︀ ∖ E. Portanto, S(β , m) ∩ (︀a, b⌋︀ = ∅, para todo β ∈ MA(︀0, 1⌋︀ ∖ E.
Corolário 4.5.9. Sejam A um subconjunto denso de (0, 1) e U um subconjunto aberto de (0, 1). Dados α ∈ MA(︀0, 1⌋︀ e m ∈ N>0tais que S(α, m) ⊆ U , existe um subconjunto aberto W de (MA(︀0, 1⌋︀, τA), com α ∈ W , tal que S(β , m) ⊆ U , para todo β ∈ W .
Demonstração. Consideremos S(α, m) = {t1, ...,tl}pois ele é finito. Para cada i ∈ {1, ..., l} existe ri>0 tal que
l
⊎
i=1
(ti−ri,ti+ri) ⊆U. Pelo Teorema 4.5.8, para cada j ∈ {1, ..., l − 1}, existe um
τA−aberto Wj de MA(︀0, 1⌋︀, com α ∈ Wj, tal que S(γ, m) ∩ (︀tj+rj,tj+1−rj+1⌋︀ = ∅, para todo γ ∈ Wj. Do mesmo jeito, existem W0,Wl abertos de (MA(︀0, 1⌋︀, τA), com α ∈ W0∩Wl, tais que
S(α1, m) ∩ (︀0,t1−r1⌋︀ = ∅e S(α2, m) ∩ (︀tl+rl, 1⌋︀ = ∅, para quaisquer α1∈W0e α2∈Wl. Portanto, tomando W =
l
⋂
i=0
Wiobtemos o resultado desejado.
Proposição 4.5.10. Seja A um subconjunto denso de (0, 1). Para todo m ∈ N>0temos que a função
Fm∶MA(︀0, 1⌋︀ → R, definida por Fm(α ) = L1(α , m), é semicontínua superior13. Consequentemente a função T ∶ MA(︀0, 1⌋︀ → R, tal que T (α) = L1(α , ∞), é Borel mensurável14.
Demonstração. Seja m ∈ N>0. Mostraremos que, para qualquer λ ∈ R, o conjunto Fm−1(−∞, λ ) = {f ∈ MA(︀0, 1⌋︀ ⋃︀ L1(f, m) < λ } é τA−aberto. De fato, basta apenas provar para o caso λ ∈ (0, 1). Sejam α ∈ F−1
m (−∞, λ ), r =
λ −L1(α ,m)
4l >0, e consideremos S(α, m) = {t1< ⋯ <tl}. Para cada
ti∈S(α, m), existe δi>0 tal que α(w1) −α (t+
i ) <r e α(ti−) −α (w2) <r para quaisquer w1∈ (ti,ti+δi)e w2∈ (ti−δi,ti). Assim, S(α, m) ⊆ l ⊎ i=1 (ti−δi,ti+δi). Em virtude do Corolário4.5.9
existe U um aberto de MA(︀0, 1⌋︀, com α ∈ U , tal que S( f , m) ⊆ l ⊎ i=1 (ti−δi,ti+δi) para todo f ∈ U. Seja Vi=S (ti−δi, (α(ti−) −r, α(ti+) +r)) ∩ S (ti+δi, (α(ti−) −r, α(ti+) +r)) ∩ MA(︀0, 1⌋︀ um τp−aberto. Dado β ∈ U ∩ l ⋂ i=1 Vi, temos que S(β , m) ⊆ l ⊎ i=1 (ti−δi,ti+δi). Para cada i ∈ {1, ⋯, l}, se S(β , m)∩(ti−δi,ti+δi) = {a1< ⋯ <ak(i)}, então, como β é não decrescente,
k(i) ⋃ j=1 (β (a−j), β (a+j)) ⊆ (α (ti−) −r, α(ti+) +r). Logo k(i) ∑ j=1 β (a+j) −β (a−j) ≤2r + α(ti+) −α (ti−). Por conseguinte, L1(β , m) ≤ 2rl + L1(α , m) < λ . Ou seja, α ∈ U ∩ l ⋂ i=1
Vi⊆Fm−1(−∞, λ ). Portanto, Fmé semicontínua superior e, em consequência, é Borel mensurável.
Finalmente, dado que (Fm)m∈N>0 converge pontualmente a T , concluímos que T é Borel mensu- rável.
A partir de agora adotaremos a seguinte notação. Dada uma partição P = {tk⋃︀0 ≤ k ≤ n} de (︀0, 1⌋︀, P∗=P ∖ {0, 1} e, para todo k ∈ {1, ⋯, n}, I
k= (︀tk−1,tk⌋︀. Ademais, Pn= {k
n⋃︀0 ≤ k ≤ n}.
Definição 4.5.11. Para quaisquer ε > 0 e m, n ∈ N>0, definimos
Mε
m,n= {α ∈ Mmε ⋃︀S(α, m) ∩ Pn∗= ∅e card(S(α, m) ∩ Ik(Pn)) ≤1 para cada k ∈ {1, 2, ..., n}}, onde Mε
m= {α ∈ MA(︀0, 1⌋︀ ⋃︀ L1(α , m) > L1(α , ∞) − ε }. Sejam ℱno conjunto potência de {1, 2, ..., n} e ℱ =
∞
⋃
n=1
ℱn. Para cada F ∈ ℱn, definimos
13 Uma função f∶ X → R é semicontínua superior se, para todo λ ∈ R, f−1(−∞,λ) é um aberto. 14 Uma função f∶ X → R é Borel mensurável se, para todo λ ∈ R, f−1(−∞,λ) é um Boreliano de X.
Mε
m,n,F = {α ∈ Mm,nε ⋃︀card(S(α, m) ∩ Ik(Pn)) =1 se e somente se k ∈ F}.
Lema 4.5.12. Seja A um subconjunto denso de (0, 1). Para todo ε > 0, {Mε
m,n,F⋂︀ (m, n, F) ∈
N2>0× ℱ }é uma decomposição enumerável de (MA(︀0, 1⌋︀, τA)formada por Borelianos dele.
Demonstração. Seja ε > 0. Vejamos que MA(︀0, 1⌋︀ = ⋃
(m,n)∈N2>0
Mε
m,n. Se f ∈ MA(︀0, 1⌋︀, então existe
m0∈N>0tal que L1(f, m0) >L1(f, ∞) − ε. Suponhamos que S( f , m0) = {t1<t2<... < tl}e seja
r =min{ti+1−ti,t1, 1 − tl⋃︀i ∈ {1, ..., l − 1}} > 0.
Logo existe j ∈ N>0 tal que r > 1j. Se (S( f , m0) ∖ {0, 1}) ∩ Q = ∅, então S( f ,m0) ∩P∗
j = ∅ e
card(S( f, m0) ∩Ik(Pj)) ≤1, para cada k ∈ {1, 2, ..., j}. Ou seja, f ∈ Mm0, j. No caso contrário, seja (S( f, m0) ∖ {0, 1}) ∩ Q = {a1
b1, ⋯,
aq
bq}, onde cada fração é irredutível. Seja n0um número primo
maior do que max{b1, ⋯, bq, j}, logo f ∈ Mmε0,n0.
É claro que Mε
m,n= ⋃
F∈ℱn
Mε
m,n,F. Mais ainda, MA(︀0, 1⌋︀ = ⋃ {Mm,n,Fε ⋃︀ (m, n, F) ∈ N2>0× ℱ }. Vamos
mostrar que cada Mε
m,n,F é um Boreliano.
Dadas uma partição P = {tk⋃︀0 ≤ k ≤ n} de (︀0, 1⌋︀ e G ∈ ℱn, definimos os conjuntos Mm(P, G) = {α ∈ Mm,nε ⨄︀S(α, m) ∩ P∗= ∅e S(α, m) ⊆ ⋃ k∈G Ik(P)(︀ e M∗ m(P, G) = {α ∈ Mm(P, G) ⋃︀ S(α, m) ∩ Ik(P∗) ≠ ∅ se e só se k ∈ G}. Se α ∈ Mm(P, G), temos que S(α, m) ⊆ ⋃ k∈G
int(Ik(P)). Pelo Corolário4.5.9, existe um τA−aberto U , com α ∈ U , tal que
S(β , m) ⊆ ⋃
k∈G
int(Ik(P))para todo β ∈ U . Ou seja, α ∈ U ∩ Mε
m⊆Mm(P, G). Então Mm(P, G) é um
τA−aberto de Mmε. Logo Mm(P, G) é um Boreliano de MA(︀0, 1⌋︀.
Seja α ∈ M∗
m(P, G). Suponhamos que existe F ⊊ G tal que α ∈ Mm(P, F). Existe k0∈G ∖ F tal que S(α, m) ∩ Ik0(P) ≠ ∅. Mas S(α, m) ⊆ ⋃
k∈F
Ik(P), o qual é absurdo. Então α ∈ Mm(P, G) ∖
⎛ ⎝ ⋃ F⊊G Mm(P, F)⎞ ⎠ . Reciprocamente, seja β ∈ Mm(P, G) ∖ ⎛ ⎝ ⋃ F⊊G Mm(P, F)⎞ ⎠ . Dado k ∈ {1, 2, ⋯, n} tal
que S(β , m) ∩ Ik(P) ≠ ∅obtemos que k ∈ F devido a que S(β , m) ⊆ ⋃ k∈F
Ik(P)e S(β , m) ∩ P∗= ∅.
Seja i ∈ F. Se S(β , m) ∩ Ii(P) = ∅, então S(β , m) ⊆ ⋃
k∈F∖{i}
Ik(P). Em consequência, β ∈ Mm(P, F ∖
{i}), o qual é absurdo. Então β ∈ M∗
m(P, G). Portanto, Mm∗(P, G) = Mm(P, G) ∖ ⎛ ⎝ ⋃ F⊊G Mm(P, F)⎞ ⎠ também é um Boreliano de MA(︀0, 1⌋︀.
Para quaisquer δ > 0, P uma partição de (︀0, 1⌋︀ e F ∈ ℱn, definimos o conjunto
M∗
m(P, F, δ ) = {α ∈ Mm∗(P, F) ⋃︀ diam(S(α, m) ∩ Ik(P)) < δ , para todo k ∈ F}. Dado α ∈ M∗
m(P, F, δ ), para cada k ∈ F, denotemos por ake bko mínimo e o máximo de S(α, m) ∩
Ik(P). Se rk=δ − (bk−ak), então S(α, m) ⊆ ⋃ k∈F (ak− rk 3, bk+ rk 3). Em virtude do Corolário4.5.9,
existe um τA−aberto V , com α ∈ V , tal que S(β , m) ⊆ ⋃ k∈F (ak− rk 3, bk+ rk 3) para todo β ∈ V . Assim, α ∈ V ∩M∗
m(P, F) ⊆ Mm∗(P, F, δ ). Logo, Mm∗(P, F, δ ) é um τA−aberto de Mm∗(P, F). Portanto, M∗
m(P, F, δ ) é um Boreliano de MA(︀0, 1⌋︀. Por conseguinte, Mm,n,Fε = ∞ ⋂ i=1 M∗ m(P, F, 1⇑i) também é Boreliano. Concluímos que {Mε
m,n,F⋂︀ (m, n, F) ∈ N2>0× ℱ }é uma decomposição enumerável de MA(︀0, 1⌋︀
formada por Borelianos dele.
Agora já temos as ferramentas necessárias para demonstrar o teorema principal deste capítulo.
Teorema 4.5.13. Dados A um subconjunto denso de (0, 1) e 𝒜 um σ −ideal próprio fortemente topologicamente estável em ({0, 1}N, τ
p) tais que A ∩ C ∈ 𝒜C, para todo C ⊆ (︀0, 1⌋︀ que seja homeomorfo a {0, 1}N, então (BV
A(︀0, 1⌋︀, τA)é aproximadamente Stegall com respeito a 𝒜. Demonstração. Inicialmente provaremos que (MA(︀0, 1⌋︀, τA)é aproximadamente Stegall com respeito a 𝒜 por meio do Corolário4.4.13. Sejam ρI e ρJ, como foram definidas na Proposição
4.5.7, pseudo-métricas em MA(︀0, 1⌋︀. Sabemos que d = ρI+ρJ é uma métrica e que MA(︀0, 1⌋︀ é fragmentado por ρI.
Sejam ε > 0, M um espaço métrico completo sem pontos isolados e ϕ ∶ M → 𝒫(MA(︀0, 1⌋︀) usco minimal. Pela Proposição1.4.12, existe um conjunto residual R em M tal que ρI−diam(ϕ(x)) = 0, para todo x ∈ R. Mostraremos que o Jogador II possui uma estratégia vencedora em C𝒜(R
ε),
onde Rε= {x ∈ M ⋃︀ d − diam(ϕ(x)) ≤ ε}.
Suponhamos que o Jogador I começa escolhendo uma família unitária B0= {B∅0}, onde B∅0 é
um aberto não vazio de M tal que diam(B∅
0) <1. A partir do Lema4.5.12, e seguindo com
a notação dele, sabemos que MA(︀0, 1⌋︀ = ⋃ {M
ε 2 m,n,F⨄︀ (m, n, F) ∈ N 2 >0× ℱ . Note que ϕ1=ϕ ⋃︀B∅ 0 é usco minimal e B∅ 0 = ⋃ {ϕ −1 1 (M ε 2 m,n,F) ⨄︀ (m, n, F) ∈ N2>0× ℱ . Existe (m′, n′, F′) ∈N2>0× ℱ tal que ϕ1−1(M ε 2
m′,n′,F′)é de segunda categoria. Logo, pela Corolário1.4.15, existem um aberto U
de B∅
0 e G um subconjunto Gδ denso de U tais que ϕ1(G) ⊆ M
ε 2 m′,n′,F′. Mais ainda, ̃G = G ∩ R é um subconjunto Gδ denso de U ∩ R e ϕ1( ̃G) ⊆ M ε 2 m′,n′,F′. Para cada k ∈ F ′, seja g k∶ ̃G → (︀0, 1⌋︀ tal que gk(x) = S(α, m′) ∩Ik(Pn′), onde α ∈ ϕ1(x). A boa definição de gk está garantida pelo
item (ii) da Proposição4.5.7. Sejam V um aberto de (︀0, 1⌋︀ e x ∈ g−1k (V ). Para cada α ∈ ϕ(x), temos que S(α, m′
) ∩Ik(Pn′) ∈V e S(α, m′) ∖ {gk(x)} ⊆ (︀0, 1⌋︀ ∖ Ik(Pn′). Pelo Corolário 4.5.9,
existe um τA−aberto Wα, com α ∈ Wα, tal que S(β , m′) ⊆V ∪ (︀0, 1⌋︀ ∖ Ik(Pn′)para qualquer β ∈ Wα. Como ϕ1é usco, existe um aberto L ⊆ B∅0 tal que x ∈ L e ϕ1(L) ⊆ ⋃
α ∈ϕ1(x)
Wα. Dados z ∈ L ∩ ̃Ge β′∈ϕ
1(z), existe α′∈ϕ1(x)tal que β′∈Wα′. Em consequência, S(β′, m) ⊆ V ∪ (︀0, 1⌋︀ ∖ Ik(Pn′)e
gk(z) = S(β′, m)∩Ik(Pn′) ∈V. Ou seja, gké contínua. Além disso, considerando F′= {n1< ⋯ <nl},
existe um aberto não vazio D1⊆U tal que gn1 não é constante em Q ∩ ̃G, para qualquer aberto não vazio Q ⊆ D1, ou gn1 é constante em D1∩ ̃G. Analogamente, existe um aberto não vazio
D2⊆D1tal que gn2 não é constante em Q ∩ ̃G, para qualquer aberto não vazio Q ⊆ D1, ou gn2 é constante em D2∩ ̃G. E assim sucessivamente, existe um aberto não vazio Dl⊆Dl−1tal que gnl não é constante em Q ∩ ̃G, para qualquer aberto não vazio Q ⊆ Dl, ou gn1 é constante em
Dl∩ ̃G. Então A∅
0 =Dl satisfaz a seguinte propriedade. Para cada k ∈ F′, gk não é constante em
V ∩ ̃G, para qualquer aberto V ⊆ A∅
0, ou gké constante em A ∅
0 ∩ ̃G. Logo, o Jogador II responde
σ (B∅0) =A∅0.
Note que, aplicando repetidamente a Proposição1.4.8, ϕ2=ϕ ⋃︀A∅
0∩ ̃Gé minimal usco. Sejam
- F1= {k ∈ F′⋃︀gké constante em A∅ 0 ∩ ̃Ge gk(A ∅ 0 ∩ ̃G) ∩ A = ∅}. - F2= {k ∈ F′⋃︀gké constante em A∅ 0 ∩ ̃Ge gk(A ∅ 0 ∩ ̃G) ⊆ A}.
- F3= {k ∈ F′⋃︀gknão é constante em W ∩ ̃G, para qualquer aberto não vazio W ⊆ A∅
0}.
Não é difícil ver que para todo k ∈ F3e para qualquer aberto não vazio W ⊆ A∅0, gk(W ∩ ̃G)é um
conjunto infinito.
Para cada i ∈ F2, definimos a função hi∶MA(︀0, 1⌋︀ → R por hi(α ) = α (gi(w)), onde w ∈ A∅0 ∩ ̃G. Cada função hié contínua e, consequentemente, hi○ϕ2∶A∅0∩ ̃G → 𝒫(R) é usco minimal. Logo, pela Proposição 1.4.12, existe um residual Ri de A∅0 ∩ ̃G tal que hi○ϕ2 é um-avaliada em Ri.
Então R∗
= ⋂
i∈F2
Ri é residual em A∅
0∩ ̃Gtal que cada hi○ϕ2 é um-avaliada em R∗. Mais ainda,
pela continuidade pela direita em (0, 1) ∖ A, se k ∈ F1∪F2e z ∈ R∗, então {α(gk(z)) ⋃︀ α ∈ ϕ(z)} é um conjunto unitário.
Além disso, pela Proposição1.3.8, R∗é residual em A∅
0. Então existe (On)n∈N>0 uma sequência
de abertos densos de A∅ 0 tal que ∞ ⋂ n=1 On⊆R∗.
Suponhamos que na n−ésima rodada o Jogador I escolhe uma família de abertos não vazios Bn= {Bt
n⋃︀t ∈ {0, 1}n}, onde diam(Btn) <21n, para cada t ∈ {0, 1}n, e Bt ∧0
n ⊎ Bt
∧1
n ⊆Atn−1 para todo
t ∈ {0, 1}n−1. Seja k ∈ F3. Para cada t ∈ {0, 1}n, podemos escolher at ∈Btn∩On de modo que gk(at1) ≠gk(at2)para quaisquer t1,t2∈ {0, 1}n distintos. Logo, para cada t ∈ {0, 1}n, existe um aberto Vtk de (︀0, 1⌋︀ tal que gk(at) ∈Vtk e Vtk∩Vrk = ∅ para qualquer r ≠ t. Existe um aberto Ctkde M tal que g−1k (Vtk) =Ctk∩ ̃G. Definamos Atn= ⋂
k∈F3
Ctk∩Btn∩Onpara cada t ∈ {0, 1}n. Logo gk(At
n) ∩gk(At
′
n) = ∅, para quaisquer t,t′∈ {0, 1}n−1distintos e k ∈ F3. Então o Jogador II responde
σ (B0, ⋯, Bn) = {Atn⋃︀t ∈ {0, 1}n}.
Agora vejamos que σ é uma estratégia vencedora. Seja K = ⋂
n∈N
Kn, onde Kn= ⋃{Btn⋃︀t ∈ {0, 1}n} para cada n ∈ N. Note que K ⊆ R∗e, para cada k ∈ F
3, gké injetora em K. Ou seja, gk⋃︀K∶K → gk(K) é um homeomorfismo. Para cada k ∈ F3 definamos Ak=g−1
k (A) ∩ K. Pelo fato anterior e por
hipóteses do teorema, gk(K) ∩ A ∈ 𝒜gk(K). Logo Ak=g−1
k (gk(K) ∩ A) ∈ 𝒜K.
Sejam x0∈K ∖ ⋃
k∈F3
Ak e α, β ∈ ϕ(x0). Se t ∈ S(α, m′), então α(t+) =β (t+
contínuas pela direita em (0, 1) ∖ A, α(t) = β (t). Logo ρJ(α , β ) = ∑ t∈A∩S(α,∞) ⋃︀(α − β )(t+) − (α − β )(t)⋃︀ = ∑ t∈A∩S(α,m′ ) ⋃︀(α − β )(t+) − (α − β )(t)⋃︀ + ∑ t∈A∩D ⋃︀(α − β )(t+) − (α − β )(t)⋃︀ ≤ ∑ t∈A∩D α (t+) −α (t) + ∑ t∈A∩D β (t+) −β (t) ≤ ∑ t∈A∩D α (t+) −α (t−) + ∑ t∈A∩D β (t+) −β (t−) <ε , onde D = S(α, ∞) ∖ S(α, m′). Ou seja, ρ
J−diam(ϕ(x0)) <ε e, por consequência, x0∈Rε. Isto é, K ∖ ⋃
k∈F3
Ak⊆Rε. Portanto, K ∖ Rε⊆ ⋃
k∈F3
Ak. Assim, K ∖ Rε ∈ 𝒜K. Então MA(︀0, 1⌋︀ é aproximada-
mente Stegall com respeito a 𝒜.
Finalmente, pela Proposição4.5.3e o item (i) do Teorema4.4.14, temos que a bola unitária fe- chada B(︀0, 1⌋︀ é aproximadamente Stegall com respeito a 𝒜. Em virtude do item (ii) do Teorema
4.4.14, concluímos que BVA(︀0, 1⌋︀ é aproximadamente Stegall com respeito a 𝒜.
O seguinte resultado garante a existência de um conjunto denso de (0, 1) e um σ −ideal próprio que satisfazem as hipóteses do teorema anterior.
Proposição 4.5.14. Existem 𝒜 um σ −ideal próprio fortemente topologicamente estável em ({0, 1}N, τp)e A um subconjunto denso e de segunda categoria de (0, 1) tais que A ∩C ∈ 𝒜
C,
para todo C ⊆ (︀0, 1⌋︀ que seja homeomorfo a {0, 1}N.
Demonstração. Seja κ o menor ordinal que tem cardinalidade 2ℵ0. Seja {Eα⋃︀α < κ } uma enu-
meração dos conjuntos Borelianos não magros de (0, 1) e seja {( fn)α
n∈N⋃︀α < κ } uma enumeração
do conjuntos das sequências de funções contínuas injetoras de {0, 1}Nem (︀0, 1⌋︀.
Em seguida mostraremos que, dado α ∈ κ, existe aα ∈Eα∖ {f β
n(xβ) ⋂︀n ∈ N e β < α} e existe
xα∈ {0, 1}Ntal que fnα(xα) ≠aβ, para quaisquer β ≤ α e n ∈ N.
De fato, seja α ∈ κ e suponhamos que todo β < α satisfaz as propriedades desejadas. Se Eα∖ {fβ
n(xβ) ⋂︀n ∈ N e β < α} = ∅, então Eα ⊆ ⋃ n∈N
{fnβ(xβ) ⋂︀β < α }. Por consequência, 2ℵ0 ≤
card (Eα) ≤ card(α × N), o qual não pode ser pois card(α × N) < 2ℵ0. Então existe a
α ∈
Eα∖ {fβ
n(xβ) ⋂︀n ∈ N e β < α}.
Além disso, suponhamos que para todo t ∈ {0, 1}N, existem m ∈ N e β ≤ α tais que fα
m(t) = aβ.
Baseado nisto, podemos definir uma função injetora H ∶ {0, 1}N→N × {β ∈ κ ⋃︀ β ≤ α } tal que
H(t) = (nt, βt), onde nt∈N é o menor natural e βté o menor ordinal tais que fnα
t(t) = aβt. Logo
2ℵ0≤card(α × N), mas novamente isso é falso. Então existe x
α ∈ {0, 1}Ntal que fnα(xα) ≠aβ,
para quaisquer β ≤ α e n ∈ N.
Definimos A = {aα⋃︀α < κ }. Não é difícil ver que A é denso em (0, 1). Se A é magro, então
(0, 1) ∖ A é residual. Logo existe G, um conjunto Gδ denso de (0, 1), tal que G ⊆ (0, 1) ∖ A. Como Gé um Boreliano não magro de (0, 1), existe ̃α ∈ κ tal que G = Ẽα. Por consequência aα̃∈G,
mas G ∩ A = ∅, o qual é absurdo. Portanto, A é um conjunto denso não magro de (0, 1). Dada (gn)n∈N uma sequência de elementos de Ci({0, 1}N, (︀0, 1⌋︀), existe α ∈ κ tal que ( fn)α
n∈N=
(gn)n∈N. Se {( fnα)−1(A) ⋃︀ n ∈ N} cobre {0,1}N, existe m ∈ N tal que xα ∈ (fmα)−1(A). Ou seja, fα
m(xα) ∈A. Logo, existe β ∈ κ tal que fmα(xα) =aβ. No caso que β ≤ α, temos que fmα(xα) ≠aβ,
o qual é falso. E no caso que α < β , temos que fα
m(xα) =aβ ∈Eβ, o qual também é falso. Por
conseguinte, para cada (gn)n∈N⊆Ci({0, 1}N, (︀0, 1⌋︀), {g−1n (A) ⋃︀ n ∈ N} não cobre {0,1}N.
Denotemos por 𝒜 o σ −ideal gerado por ℱ = { f−1(A) ⋃︀ f ∈ Ci({0, 1}N, (︀0, 1⌋︀)}. Pelo fato ante- rior sabemos que é um σ −ideal próprio. Agora vejamos que 𝒜 é topologicamente estável em ({0, 1}N, τp). Dado um homeomorfismo h ∶ {0, 1}N→ {0, 1}N, denotemos por 𝒜
h= {h(D) ⋃︀ D ∈
𝒜} o σ −ideal gerado por h(ℱ ). Se f ∈ Ci({0, 1}N, (︀0, 1⌋︀), então f ○ h−1∈Ci({0, 1}N, (︀0, 1⌋︀) e h( f−1(A)) = ( f ○ h−1)−1(A) ∈ 𝒜. Logo 𝒜
h⊆ 𝒜. Isto é, h(U ) ∈ 𝒜 para qualquer U ∈ 𝒜.
Agora mostraremos que 𝒜 é um σ −ideal fortemente topologicamente estável em ({0, 1}N, τp).
Seja Y um subespaço aberto-fechado de ({0, 1}N, τ
p) que é homeomorfo a ele. Não é difícil ver que 𝒜Y é o σ −ideal gerado por {g−1(A) ⋃︀ g ∈ Ci(Y, (︀0, 1⌋︀)}. Dado g ∈ Ci(Y, (︀0, 1⌋︀), pela Pro-
posição 1.2.39, existe uma função L ∶ {0, 1}N→ (︀0, 1⌋︀ contínua injetora que estende g. Logo
g−1(A) = L−1(A) ∩Y ∈ 𝒜. Por consequência, 𝒜Y ⊆ 𝒜.
Por último, sejam C ⊆ (︀0, 1⌋︀ um subespaço homeomorfo a {0, 1}Ne ϕ ∶ C → {0, 1}Num home-
omorfismo. A função f ∶ {0, 1}N→ (︀0, 1⌋︀, definida por f (t) = ϕ−1(t), é contínua injetora. Por
consequência, f−1(A) = ϕ(A) ∈ 𝒜. Como 𝒜
C= {ϕ−1(Z) ⋃︀ Z ∈ 𝒜}, obtemos que A ∈ 𝒜C. Então
A ∩C ∈ 𝒜C.
Finalmente o seguinte corolário, objetivo principal deste capítulo, fornece uma resposta negativa à pergunta feita porLarman e Phelps(1979).
Corolário 4.5.15. Existe um espaço de Banach (X , ∏︁ ⋅ ∏︁) tal que (X∗, f raca∗) é fracamente
Stegall, mas X não é Aplund fraco. Em particular, X é um espaço de diferenciabilidade Gâteaux que não é Aplund fraco.
Demonstração. Sejam A e 𝒜 como foram construídos na Proposição 4.5.14. Sabemos que o espaço (BVA(︀0, 1⌋︀, τA)é aproximadamente Stegall com respeito a 𝒜 pelo Teorema4.5.13. Em virtude do Corolário4.3.20, a bola fechada unitária (BC(K
A)∗, f raca ∗
)é aproximadamente Stegall com respeito a 𝒜. Pelo item (ii) do Teorema 4.4.14, (C(KA)∗, f raca∗) é aproximadamente Stegall com respeito a 𝒜.
Em consequência, (C(KA)∗, f raca∗)é fracamente Stegall. Por conseguinte, (C(KA), ∏︁ ⋅ ∏︁∞)é
quase Asplund fraco devido ao Teorema4.1.14. Em particular, (C(KA), ∏︁ ⋅ ∏︁∞)é um espaço de diferenciabilidade Gâteaux.
Se (C(KA), ∏︁ ⋅ ∏︁∞)é Asplund fraco, então em virtude do Corolário4.2.13, A é perfeitamente
magro, mas isso contradiz o fato que A seja de segunda categoria.
REFERÊNCIAS
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APÊNDICE
A
ALGUNS CARDINAIS
Calcularemos os cardinais de alguns conjuntos envolvidos na Proposição4.5.14.
Proposição A.0.1. O conjunto das funções contínuas injetoras de ({0, 1}N, τp)em (︀0, 1⌋︀, deno-
tado por Ci({0, 1}N, (︀0, 1⌋︀), possui a cardinalidade do contínuo.
Demonstração. Dado que ({0, 1}N, τp)é separável, existe um conjunto denso enumerável D ⊆
{0, 1}N. Definamos a função ψ ∶ C({0, 1}N, (︀0, 1⌋︀) → C(D, (︀0, 1⌋︀) por ψ( f ) = f ⋃︀D. Como ψ é
injetora, temos que card (C({0, 1}N, (︀0, 1⌋︀)) ≤ 2ℵ0. Logo card (C
i({0, 1}N, (︀0, 1⌋︀)) ≤ 2ℵ0.
Por outro lado, sabemos que o conjunto de Cantor C ⊆ (︀0, 1⌋︀ é homeomorfo a {0, 1}N. Ou seja,
existe um homeomorfismo h ∶ {0, 1}N→C. Definamos a função ϕ ∶ (0, 1) → C
i({0, 1}N, (︀0, 1⌋︀) por ϕ (λ ) = λ h. Como ϕ é injetora, temos que 2ℵ0≤card (Ci({0, 1}N, (︀0, 1⌋︀)). Portanto concluímos
que card (Ci({0, 1}N, (︀0, 1⌋︀)) = 2ℵ0.
Denotemos por ℰ o conjunto de sequências de elementos de Ci({0, 1}N, (︀0, 1⌋︀). Então
card(ℰ ) = (2ℵ0)ℵ0=2ℵ0⋅ℵ0=2ℵ0.
Teorema A.0.2. O conjunto dos Borelianos de R possui a cardinalidade do contínuo.
Demonstração. Uma demonstração deste teorema pode ser encontrada emRANA(Corolário 4.5.3 da Seção 5 do Capítulo 4, página 112).
Proposição A.0.3. O conjunto dos Borelianos não magros de (0, 1), denotado por ̃ℬ(0,1), possui a cardinalidade do contínuo.
Demonstração. Sabemos que card ( ̃ℬ(0,1)) ≤2ℵ0. Definamos a função T ∶ (0, 1) → ̃ℬ
(0,1) por
T (x) = (0, x), a qual está bem definida pois (0, 1) é de Baire. Como T é injetora, temos que 2ℵ0≤card ( ̃ℬ