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Algumas aplicações de jogos topológicos à análise
Juan Luis Jaisuño Fuentes Maguiña
Dissertação de Mestrado do Programa de Pós-Graduação em Matemática (PPG-Mat)
Data de Depósito:
Assinatura: ______________________
Juan Luis Jaisuño Fuentes Maguiña
Algumas aplicações de jogos topológicos à análise
Dissertação apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação – ICMC-USP, como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Ciências – Matemática. VERSÃO REVISADA
Área de Concentração: Matemática
Orientador: Prof. Dr. Leandro Fiorini Aurichi
USP – São Carlos Maio de 2018
Bibliotecários responsáveis pela estrutura de catalogação da publicação de acordo com a AACR2: Gláucia Maria Saia Cristianini - CRB - 8/4938
Juliana de Souza Moraes - CRB - 8/6176
F954a
Fuentes Maguiña, Juan Luis Jaisuño
Algumas aplicações de jogos topológicos à análise / Juan Luis Jaisuño Fuentes Maguiña; orientador
Leandro Fiorini Aurichi. -- São Carlos, 2018. 107 p.
Dissertação (Mestrado - Programa de Pós-Graduação em Matemática) -- Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação, Universidade de São Paulo, 2018.
1. Jogos topológicos. 2. Conjuntos estritamente pseudo-completos. 3. Espaços de diferenciabilidade Gâteaux. 4. Espaços Asplund fracos. 5. Funções aproximadamente contínuas. I. Fiorini Aurichi, Leandro, orient. II. Título.
Some applications of topological games to analysis
Master dissertation submitted to the Institute of Mathematics and Computer Sciences – ICMC-USP, in partial fulfillment of the requirements for the degree of the Master Program in Mathematics. FINAL VERSION Concentration Area: Mathematics
Advisor: Prof. Dr. Leandro Fiorini Aurichi
USP – São Carlos May 2018
Honestamente não tenho palavras para expressar a gratidão que eu sinto pela minha família. Pelo carinho, os bons sentimentos e o apoio incondicional de todos eles (provavelmente recebi mais do que eu merecia). De maneira muito especial por meus pais, Teofolfo Fuentes e Isabel Maguiña, e a minha irmã Ericka. Muito obrigado por tudo.
Agradeço também ao meu orientador, o professor Leandro Aurichi, de quem eu aprendi muito sobre matemática. Obrigado pelas sugestões, pela paciência e, sobretudo, por não desistir de mim.
Eu fico muito agradecido com a vida, a Maestra Vida, por todas as coisas que eu aprendi além da matemática. Sobretudo pelas pessoas que concheci aqui e que me ajudaram a redefinir o conceito de amizade em tão pouco tempo. Mesmo que alguns deles já foram embora e outros ainda fiquem aqui, eu prefiro não mencionar ninguém em particular. Só quero dizer que eu sempre vou lembrar de vocês, meus caros amigos.
Finalmente gostaria de agradecer ao ICMC pela oportunidade de fazer o mestrado e à CAPES pelo apoio financeiro.
It’s getting hard to be someone but it all works out, it doesn’t matter much to me.” (Strawberry fields forever, The Beatles)
FUENTES, J. L. Algumas aplicações de jogos topológicos à análise. 2018. 107p. Disserta-ção (Mestrado em Ciências – Matemática) – Instituto de Ciências Matemáticas e de ComputaDisserta-ção, Universidade de São Paulo, São Carlos – SP, 2018.
Neste trabalho apresentamos alguns jogos topológicos e suas aplicações à análise. Com esse fim, se fornece condições necessárias para que funções aproximadamente contínuas se tornem contínuas, se caracteriza os conjuntos estritamente pseudo-completos nos espaços de Banach e, assim também, se constrói um espaço de diferenciabilidade Gâteaux que não é Asplund fraco.
Palavras-chave: Jogos topológicos, funções aproximadamente contínuas, conjuntos estrita-mente pseudo-completos, espaço de diferenciabilidade Gâteaux, espaço Asplund fraco.
FUENTES, J. L. Some applications of topological games to analysis. 2018. 107p. Disserta-ção (Mestrado em Ciências – Matemática) – Instituto de Ciências Matemáticas e de ComputaDisserta-ção, Universidade de São Paulo, São Carlos – SP, 2018.
In this work we present some topological games and their applications to analysis. For this purpose, necessary conditions are given for nearly continuous functions to become continuous, we characterize the strictly pseudo-complete sets in the Banach spaces and we also construct a Gâteaux differentiability space that is not weak Asplund.
Keywords: Topological games, nearly continuous functions, strictly pseudo-complete sets, Gâteaux differentiability space, weak Asplund space.
⊎ — União disjunta de conjuntos
N — O conjunto dos números naturais
N>0— O conjunto dos números inteiros positivos
Q — O conjunto dos números racionais R — O conjunto dos números reais
A<ω — O conjunto das sequências finitas de elementos de A
p∧q— (a
1, a2, ..., ai, b1, b2, ..., bj), onde p = (a1, a2, ..., ai)e q = (b1, b2, ..., bj) Var(α) — A variação da função de variação limitada α
∏︁ ⋅ ∏︁∞ — A norma do supremo
∏︁ ⋅ ∏︁var — A norma da variação total f (x+
)— O limite lateral de f à direita de x f (x−
)— O limite lateral de f à esquerda de x A— O fecho do conjunto A
AY — O fecho do conjunto A no subespaço Y int(A)— O interior do conjunto A
C(X,Y ) — O conjunto das funções contínuas de X a Y C(X )— O conjunto das funções contínuas de X a R
INTRODUÇÃO . . . 19
1 PRELIMINARES . . . 21
1.1 Teoria dos conjuntos . . . 21
1.2 Topologia geral . . . 25
1.3 Categoria de Baire . . . 33
1.4 Usco e usco minimal . . . 38
1.5 Análise funcional . . . 42
1.6 Diferenciabilidade Gâteaux . . . 46
2 UMA VERSÃO TOPOLÓGICA DO TEOREMA DO GRÁFICO FE-CHADO . . . 51
2.1 O jogo de Banach-Mazur . . . 51
2.2 Funções aproximadamente contínuas . . . 53
3 UMA CARACTERIZAÇÃO DOS CONJUNTOS ESTRITAMENTE PSEUDO-COMPLETOS . . . 57
3.1 Espaços pseudo-completos e o jogo de Choquet . . . 57
3.2 Conjuntos pseudo-completos em espaços de Banach . . . 61
4 UM ESPAÇO DE DIFERENCIABILIDADE GÂTEAUX QUE NÃO É ASPLUND FRACO . . . 67
4.1 Espaços de diferenciabilidade Gâteaux e Asplund fracos . . . 68
4.2 Espaços de Kalenda KA . . . 75
4.3 Uma caracterização do espaço dual de C(KA) . . . 81
4.4 Espaços aproximadamente Stegall e o jogo de Cantor . . . 90
4.5 Um espaço quase Asplund fraco que não é Asplund fraco . . . 95
REFERÊNCIAS . . . 105
INTRODUÇÃO
De acordo comTelgársky(1987), o termo jogo topológico foi introduzido por Berge em 1957, mesmo que a ideia já tinha sido desenvolvida bem antes, e foi formalizado por Pears em 1965. Desde então os jogos topológicos são utilizados geralmente, como veremos mais adiante, para caracterizar de um modo mais simples alguns conceitos, definir novos espaços, etc.
Para fixar ideias, um jogo topológico é um jogo com infinitas rodadas entre dois parti-cipantes, o Jogador I e o Jogador II, desenvolvido num espaço topológico onde as regras e o critério de vitória envolvem propriedades topológicas. Uma estratégia é uma função que indica como deve jogar um jogador ante qualquer escolha do seu adversário. Mais ainda, se o jogador consegue sempre vencer com a dita estratégia, então dizemos que esta é uma estratégia vence-dora. A importância ou utilidade dos jogos topológicos radica na existência ou não existência de uma estratégia vencedora para uns dos jogadores.
Existem diversos tipos de jogos topológicos, mas no presente trabalho apresentamos um tipo particular de jogo e apresentamos algumas de suas aplicações à análise. Enfatizamos o estudo daqueles jogos com informação perfeita (ou seja, cada jogador lembra as jogadas do outro) e rodadas enumeráveis. Com esse propósito, a dissertação está organizada do seguinte modo.
O Capítulo 1 reúne os conceitos e os resultados básicos que serão necessários para o desenvolvimento do presente trabalho. Abordamos alguns tópicos da teoria dos conjuntos, topologia geral, categoria de Baire, funções multi-avaliadas semicontínuas superiores, análise funcional e a diferenciabilidade Gâteaux.
No Capítulo 2 apresentamos uma aplicação do jogo de Banach-Mazur para caracterizar os conjuntos residuais. Fornecemos condições necessárias para que funções aproximadamente contínuas se tornem contínuas, como foi mostrado por Moors (2000), obtendo no final uma versão topológica do Teorema do gráfico fechado.
Estabelecemos no Capítulo 3 a equivalência entre os espaços de Choquet e Choquet forte com os espaços pseudo-completos e estritamente pseudo-completos, respectivamente. Baseado na noção de espaços pseudo-completos,Noll(1990) estendeu o conceito de pseudo-completude para os conjuntos convexos em espaços localmente convexos. Nós apresentamos uma redefinição de tal conceito utilizando a equivalência obtida com os espaços de Choquet. Utilizamos também um jogo topológico para caracterizar os conjuntos estritamente pseudo-completos e CS-fechados nos espaços de Banach, de acordo comNoll(1990), e assim obter de um modo mais simples
uma relação entre tais conjuntos.
Finalmente, no Capítulo 4, se constrói um espaço de diferenciabilidade Gâteaux que não é Asplund fraco por meio de um jogo topológico, chamado de jogo de Cantor, e outras ferramentas. Tal construção foi elaborada porMoors e Somasundaram(2006) e fornece uma resposta positiva à pergunta feita porLarman e Phelps(1979).
CAPÍTULO
1
PRELIMINARES
Neste capítulo apresentamos os conceitos e resultados básicos que serão necessários para o desenvolvimento do presente trabalho. Abordamos alguns tópicos da teoria dos conjuntos, topologia geral, categoria de Baire, funções multi-avaliadas semicontínuas superiores, análise funcional e a diferenciabilidade Gâteaux.
1.1
Teoria dos conjuntos
Introduzimos brevemente alguns conceitos da teoria dos conjuntos como os ordinais, cardinais e suas propriedades básicas. Assumimos o sistema axiomático ZFC durante todo o trabalho. Para uma leitura mais profunda e completa, o leitor pode consultar as referênciasJECH
eHRBACEK; JECH.
Definição 1.1.1. Sejam X um conjunto não vazio e ℱ uma família de subconjuntos dele. Diz-se que ℱ é um σ −ideal em X se ∅ ∈ ℱ e satisfaz as seguintes condições:
- Para quaisquer A ∈ ℱ e B ⊆ A temos que B ∈ ℱ .
- Se (An)n∈N⊆ ℱ, então ⋃
n∈N
An∈ ℱ.
O σ −ideal gerado por ℱ , denotado por 𝒜ℱ, é o menor σ −ideal que contém ℱ .
Proposição 1.1.2. Sejam ℱ uma família de subconjuntos de X e 𝒜ℱ o σ −ideal gerado por ℱ .
Se T ∶ X → Y é uma função bijetora, então ℬ = {T (C) ⋃︀C ∈ 𝒜ℱ}é um σ −ideal em Y gerado por
T (ℱ ).
Demonstração. É claro que ℬ é um σ −ideal em Y . Se 𝒢 é um σ −ideal em Y que contém T (ℱ ), então {T−1(S) ⋃︀ S ∈ 𝒢} é um σ −ideal em X que contém ℱ . Logo 𝒜ℱ ⊆ {T−1(S) ⋃︀ S ∈ 𝒢} e, em
Definição 1.1.3. Sejam X um conjunto não vazio e ℱ uma família não vazia de subconjuntos dele. Dizemos que ℱ é uma álgebra se ℱ é fechado por complemento e por uniões finitas. Uma σ −álgebra é uma álgebra que é fechada por uniões enumeráveis.
Definição 1.1.4. Sejam X um conjunto não vazio e ≤ uma relação nele. Dizemos que ≤ é uma ordem em X se satisfaz as seguintes condições:
i) a ≤ a, para todo a ∈ X .
ii) Se a ≤ b e b ≤ a, então a = b.
iii) Se x ≤ y e y ≤ z, então x ≤ z.
Nesse caso, (X , ≤) é chamado de conjunto ordenado. Ademais, dados x, y ∈ X , escreveremos x < yse x ≤ y e x ≠ y.
Definição 1.1.5. Seja (X , ≤) um conjunto ordenado. Dizemos que
- (X , ≤) é totalmente ordenado se, para quaisquer a, b ∈ X , temos que a ≤ b ou b ≤ a.
- (X , ≤) é bem ordenado se todo subconjunto não vazio possui mínimo.
O seguinte teorema é uma reformulação do princípio da indução nos conjuntos bem ordenados.
Teorema 1.1.6. Sejam (X , ≤) um conjunto bem ordenado e A ⊆ X . Se A satisfaz que, para todo a ∈ X, {x ∈ X ⋃︀ x < a} ⊆ A implica a ∈ A, então A = X .
Demonstração. Sejam a ∈ X e Ia= {x ∈ X ⋃︀ x < a}. Mostraremos que Ia⊆A. Suponhamos que Ia∖A ≠ ∅. Existe b ∈ Ia∖Atal que b ≤ w para todo w ∈ Ia∖A. Seja t ∈ {x ∈ X ⋃︀ x < b}. Se t ∉ A, então t ∈ Ia∖A e, por consequência, b ≤ t, mas isso contradiz o fato que t < b. Então t ∈ A. Ou seja, {x ∈ X ⋃︀ x < b} ⊆ A. Logo, pela hipótese, temos que b ∈ A, mas isso é absurdo pois b ∈ Ia∖A. Então Ia⊆Ae, por consequência, a ∈ A. Portanto, A = X .
Definição 1.1.7. Um conjunto é dito transitivo se todo elemento dele é também um subconjunto dele. Um conjunto X é chamado de ordinal se X é transitivo e (X , ∈) é bem ordenado.
Denotaremos os ordinais pelas letras gregas minúsculas α, β , γ, ...
Proposição 1.1.8. Seja P uma propriedade. Se existe um ordinal β tal que vale P(β ), então existe o menor ordinal que satisfaz P.
Demonstração. Seja A = {α ∈ β ⋃︀ α satisfaz P}. No caso que A ≠ ∅, como (β , ∈) é bem ordenado e cada elemento dele é um ordinal, basta tomar o mínimo elemento de A. No caso que A = ∅, só tomar o próprio β .
Teorema 1.1.9. Todo conjunto bem ordenado é isomorfo a um único ordinal.
Demonstração. Uma prova deste teorema pode ser encontrada em JECH(Teorema 2.12 do Capítulo 2, página 20).
Definição 1.1.10. Seja W um conjunto bem ordenado. O tipo da ordem de W é o ordinal que é isomorfo a W .
Definição 1.1.11. Sejam A e B dois conjuntos. Dizemos que A e B possuem a mesma cardina-lidade, e denotamos por card(A) = card(B), se existe uma função bijetora entre A a B.
Exemplo 1.1.12. R e 𝒫(N) possuem a mesma cardinalidade.
Definição 1.1.13. Sejam A e B dois conjuntos. Dizemos que a cardinalidade de A é menor ou igual à cardinalidade de B, e denotamos por card(A) ≤ card(B), se existe uma função injetora f ∶ A → B. Mais ainda, escrevemos card(A) < card(B) se card(A) ≤ card(B) e card(A) ≠ card(B).
Teorema 1.1.14 (Teorema de Cantor-Bernstein). Sejam A e B dois conjuntos. Se existem funções injetoras f ∶ A → B e g ∶ B → A, então existe uma função bijetora entre A e B.
Demonstração. Uma prova deste teorema pode ser encontrada emHRBACEK; JECH(Teorema 1.6 da Seção 1 do Capítulo 4, página 66).
Definição 1.1.15. Seja α um ordinal. Dizemos que α é um cardinal se não existe β < α tal que card(β ) = card(α).
Para qualquer conjunto X , denotaremos por card(X ) o cardinal de X .
Teorema 1.1.16 (Teorema de Cantor). card(X ) < card(𝒫(X )), para todo conjunto X .
Demonstração. Seja X um conjunto qualquer. Não é difícil ver que card(X ) ≤ card(𝒫(X )). Se card(X ) = card(𝒫(X )), existe uma função bijetora F ∶ X → 𝒫(X ). Seja D = {x ∈ X ⋃︀ x ∉ F(x)}. Logo existe z ∈ X tal que F(z) = D. No caso z ∉ D, temos que z ∈ F(z) = D, o que é absurdo. No caso z ∈ D, analogamente obtemos uma contradição. Portanto, card(X ) < card(𝒫(X )).
Teorema 1.1.17. card(𝒫(X )) = 2card(X ), para todo conjunto X .
Demonstração. Uma prova deste teorema pode ser encontrada emHRBACEK; JECH(Teorema 1.9 da Seção 1 do Capítulo 5, página 96).
O cardinal de N será denotado por ℵ0. Por consequência, o cardinal de R é 2ℵ0.
A seguinte proposição garante a boa definição da soma de números cardinais.
Proposição 1.1.19. Sejam A, A′, B, B′ conjuntos tais que A ∩ B = A′∩B′ = ∅. Se card(A) =
card(A′)e card(B) = card(B′), então card(A ∪ B) = card(A′∪B′).
Demonstração. Sabemos que existem funções bijetoras f1∶A → A′ e f2∶B → B′. Definimos a função F ∶ A ∪ B → A′
∪B′ por F(x) = f1(x), se x ∈ A, e F(x) = f2(x)se x ∈ B. Note que F está bem definida e é bijetora. Então card(A ∪ B) = card(A′∪B′).
Proposição 1.1.20. A soma dos números cardinais satisfaz as seguintes propriedades
a) κ + λ = λ + κ.
b) κ + (λ + µ) = (κ + λ ) + µ.
c) κ ≤ κ + λ .
d) Se κ1≤κ2e λ1≤λ2, então κ1+λ1≤κ2+λ2.
Demonstração. Só usar a definição.
Definição 1.1.21. λ ⋅ κ = card(A × B), onde λ = card(A) e κ = card(B).
A seguinte proposição garante a boa definição do produto de números cardinais.
Proposição 1.1.22. Sejam A, A′, B, B′uns conjuntos. Se card(A) = card(A′)e card(B) = card(B′),
então card(A × B) = card(A′×B′).
Demonstração. Sabemos que existem funções bijetoras f1∶A → A′ e f2∶B → B′. Definimos a função F ∶ A × B → A′×B′ por F(x, y) = ( f
1(x), f2(y)). Note que F está bem definida e é bijetora.
Então card(A × B) = card(A′×B′).
Proposição 1.1.23. O produto dos números cardinais satisfaz as seguintes propriedades
a) κ ⋅ λ = λ ⋅ κ.
b) κ ⋅ (λ ⋅ µ) = (κ ⋅ λ ) ⋅ µ.
c) κ ⋅ (λ + µ) = κ ⋅ λ + κ ⋅ µ.
d) Se κ1≤κ2e λ1≤λ2, então κ1⋅λ1≤κ2⋅λ2.
Demonstração. Só usar a definição.
Definição 1.1.24. λκ=card(AB), onde λ = card(A) e κ = card(B).
Proposição 1.1.25. Sejam A, A′, B, B′uns conjuntos. Se card(A) = card(A′
)e card(B) = card(B′), então card(AB) =card(A′B′
).
Demonstração. Sabemos que existem funções bijetoras f1∶A → A′ e f2∶B → B′. Definimos a função H ∶ AB→A′B′
por H(ϕ) = f2○ϕ ○ f1−1. Note que H está bem definida e é bijetora. Então card(AB) =card(A′B′
).
Proposição 1.1.26. A potência entre números cardinais satisfaz as seguintes propriedades
a) Se κ1≤κ2e λ1≤λ2, então κ1λ1≤κ2λ2. b) κλ +µ=κλ⋅κµ.
c) (κλ)µ=κ(λ ⋅µ ).
d) (κ ⋅ λ )µ=κµ⋅λµ.
Demonstração. Uma prova desta proposição pode ser encontrada emHRBACEK; JECH (Teo-rema 1.7 da Seção 1 do Capítulo 5, páginas 95-96).
1.2
Topologia geral
Nesta seção apresentamos as principais ferramentas da topologia geral. Assumimos certa familiaridade com os fatos usuais dos espaços métricos e alguns conceitos básicos da topologia como conjuntos abertos, conjuntos fechados, o fecho de um conjunto, o interior de um conjunto, topologia induzida, topologia produto, etc. Para uma leitura mais profunda e completa, o leitor pode consultar as referênciasENGELKING,MUNKRES.
Definição 1.2.1. Uma pseudo-métrica ρ sobre um conjunto X é uma função ρ ∶ X × X → (︀0, ∞) que satisfaz o seguinte
i) Se a = b, então ρ(a, b) = 0.
ii) ρ(x, y) = ρ(y, x), para quaisquer x, y ∈ X .
iii) ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y), para todos x, y, z ∈ X .
O ρ−diâmetro de um subconjunto A é ρ − diam(A) = sup{ρ(x, y) ⋃︀ x, y ∈ A}. Dados x ∈ X e r > 0, definimos a ρ−bola aberta de centro x e raio r como Bρ(x, r) = {y ∈ X ⋃︀ ρ(x, y) < r}.
Exemplo 1.2.2. Seja ̃Mo conjunto das funções α ∶ (︀0, 1⌋︀ → R não decrescentes tais que α(0) = 0 e seja (an)n∈N uma sequência em (0, 1).
Definimos ρ ∶ ̃M × ̃M → (︀0, ∞) como ρ( f , g) =
∞
∑
n=0
⋃︀(f − g)(an)⋃︀
bem definida. De fato, se f , g ∈ ̃M, então ρ( f , g) ≤ ∞ ∑ n=0 f (1) + g(1) 2n = f (1) + g(1). É claro que ρ
satisfaz (i) e (ii). Por último, sejam f , g, h ∈ ̃M. Temos que, para cada n ∈ N,
n ∑ i=0 ⋃︀(f − g)(ai)⋃︀ 2i ≤ n ∑ i=0 ⋃︀(f − h)(ai)⋃︀ 2i + n ∑ i=0 ⋃︀(h − g)(ai)⋃︀ 2i ≤ ∞ ∑ k=0 ⋃︀(f − h)(ak)⋃︀ 2k + ∞ ∑ k=0 ⋃︀(h − g)(ak)⋃︀ 2k .
Assim, ρ( f , g) ≤ ρ( f , h) + ρ(h, g). Então ρ é uma pseudo-métrica em ̃M.
Por outro lado, vejamos que ρ não é uma métrica. De fato, consideremos a função nula ̃0 e a função ̃f definida por
̃ f (x) = )︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌋︀ ⌉︀ ⌉︀ ]︀ 0, se x ∈ (︀0, 1). 1, se x = 1.
Assim temos que ρ ( ̃f,̃0) = 0, mas ̃f ≠ ̃0.
O seguinte teorema fornece uma caracterização dos espaços métricos completos.
Teorema 1.2.3 (Teorema de Cantor). Um espaço métrico (X , d) é completo se, e somente se, para cada sequência decrescente de conjuntos fechados (Bn)n∈Ntal que (diam(Bn))n∈Nconverge a zero, temos que ⋂
n∈N
Bné um conjunto unitário.
Demonstração. Suponhamos que (X , d) é completo. Seja (Bn)n∈N uma sequência decrescente de conjuntos fechados tal que (diam(Bn))n∈N converge a zero. Para cada n ∈ N, seja an∈Bn. A sequência (an)n∈N é de Cauchy dado que (diam(Bn))n∈N converge a zero. Logo (an)n∈N converge para um ponto a ∈ X . Dado m ∈ N, a subsequência (am+k)k∈Ntambém converge para a. Logo a ∈ Bm. Isto é, a ∈ ⋂
n∈N
Bn. Mais ainda, ⋂
n∈N
Bn= {a}.
Reciprocamente, seja (xn)n∈N uma sequência de Cauchy. Existe n0∈N tal que d(xk, xn0) <1 para todo k ≥ n0. Analogamente, existe n1∈N tal que n1≥n0e d(xk, xn1) < 1
2 para todo k ≥ n1.
Indutivamente, suponhamos que dado m ∈ N, existe nm∈N tal que d(xk, xnm) < 1
2m para todo
k ≥ nm. Logo, existe nm+1∈N tal que nm+1≥nm e d(xk, xnm+1) < 1
2m+1 para todo k ≥ nm+1. Para
cada k ∈ N, definimos Bk=B(xn0, 1) ∩ ⋯ ∩ B(xnk, 1
2k). Logo existe x0∈X tal que
∞
⋂
k=0
Bk= {x0}.
Pela construção, xnconverge a x0.
Definição 1.2.4. Sejam (X , τ) um espaço topológico e ℬ ⊆ τ. Dizemos que ℬ é uma base para (X, τ) se, para quaisquer x ∈ X e U ∈ τ tais que x ∈ U, existe B ∈ ℬ tal que x ∈ B ⊆ U.
Proposição 1.2.5. Sejam X um conjunto não vazio e ℬ ⊆ 𝒫(X ) que satisfaz as seguintes condi-ções
i) Para cada x ∈ X , existe B ∈ ℬ tal que x ∈ B.
ii) Dados x ∈ X e B1, B2∈ ℬtais que x ∈ B1∩B2, existe B3∈ ℬ tal que x ∈ B3⊆B1∩B2. Então τ = {A = ⋃ B′
Demonstração. Não é difícil ver que ∅, X ∈ τ, pelo item (i), e τ é fechado por uniões arbitrárias. Sejam U1,U2∈τ e x ∈ U1∩U2. Existem B1, B2∈ ℬtais que x ∈ B1⊆U1e x ∈ B2⊆U2. Logo, devido ao item (ii), existe Bx∈ ℬ tal que x ∈ Bx⊆B1∩B2. Então U1∩U2= ⋃
x∈U1∩U2
Bx∈τ . Logo, por indução, τ é fechado por interseções finitas. Concluímos que τ é uma topologia sobre X e que ℬ é uma base para (X , τ).
Exemplo 1.2.6. Em R consideremos a família ℬ = {(︀a,b) ⋃︀ a,b ∈ R com a < b}, a qual satisfaz as condições da Proposição1.2.5. A topologia gerada por ℬ é chamada de topologia de Sorgenfrey.
Definição 1.2.7. Sejam (X , τ) um espaço topológico e 𝒮 ⊆ τ. Dizemos que 𝒮 é uma sub-base para (X , τ) se a família das interseções finitas dos elementos de 𝒮 é uma base para (X , τ).
Proposição 1.2.8. Sejam X um conjunto não vazio e 𝒮 ⊆ 𝒫(X ). Se X = ⋃
A∈𝒮
A, então τ = {A =
⋃ B′⋃︀B′⊆ ℬ}é uma topologia sobre X , onde ℬ é o conjunto das interseções finitas de elementos de 𝒮.
Demonstração. Basta ver que ℬ satisfaz as condições da Proposição1.2.5.
Exemplo 1.2.9. Seja A um subconjunto não vazio de (0, 1). Para quaisquer aberto U de R e x ∈ A ∪ {1}, definimos S(x,U ) = { f ∈ R(︀0,1⌋︀⋃︀f (x) ∈ U }.
Em R(︀0,1⌋︀consideremos a família ℳ = {S(x,U )⋃︀x ∈ A∪{1} e U ∈ τ
d}, a qual satisfaz as condições
da Proposição1.2.8. A topologia gerada por ℳ será denotada por τA.
Definição 1.2.10. Sejam (X , τ) um espaço topológico, x ∈ X e ℬx⊆τ tal que x ∈ A para todo A ∈ ℬx. Dizemos que ℬxé uma base local para x se, para todo U ∈ τ que contenha x, existe B ∈ ℬx
tal que x ∈ B ⊆ U .
Proposição 1.2.11. Seja X um conjunto não vazio. Para cada x ∈ X , seja ℬx⊆ 𝒫 (X )satisfazendo
as seguintes condições
i) Para cada x ∈ X temos que ℬx≠ ∅e, para qualquer D ∈ ℬx, x ∈ D. ii) Dados x ∈ X e U ∈ ℬy tais que x ∈ U , existe B ∈ ℬx tal que x ∈ B ⊆ U .
iii) Para todo x ∈ X temos que, dados B1, B2∈ ℬx, existe B3∈ ℬx tal que B3⊆B1∩B2. Então τ = {A = ⋃ B′
⋃︀B′⊆ ℬ}é uma topologia sobre X , onde ℬ = ⋃
x∈X
ℬxé uma base para (X , τ). Demonstração. Basta ver que ℬ = ⋃
x∈X
ℬxsatisfaz as condições da Proposição1.2.5. Definição 1.2.12. Seja f ∶ X → Y uma função entre espaços topológicos. Diz-se que
- f é aberta se f (A) é um aberto de Y , para todo aberto A de X .
- f é fechada se f (E) é um fechado de Y , para todo fechado E de X .
Observação 1.2.13. Se f ∶ X → Y uma função contínua, então f ∶ X → f (X ) também é contínua. De fato, dado U um aberto de Y tal que f (X )∩U ≠ ∅, obtemos que f−1(f (X )∩U ) = f−1(f (X ))∩
f−1(U ) = f−1(U )é um aberto de X .
Proposição 1.2.14. Sejam X ,Y dois espaços topológicos e A, B ⊆ X dois conjuntos fechados tais que A ∪ B = X . Se f ∶ A → Y e g ∶ B → Y são funções contínuas tais que f (x) = g(x), para cada x ∈ A ∩ B, então a função H ∶ X → Y definida por
H(x) = )︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌋︀ ⌉︀ ⌉︀ ]︀ f (x), se x ∈ A. g(x), se x ∈ B. é contínua.
Demonstração. Seja K um fechado de Y . Logo H−1(K) = f−1(K) ∪ g−1(K)é um fechado de X
pois f e g são contínuas. Então H é contínua.
Definição 1.2.15. Uma função f ∶ X → Y , entre espaços topológicos, é um homeomorfismo se f é contínua, bijetora e f−1 é contínua. Nesse caso, dizemos que os espaços X e Y são homeomorfos.
Exemplo 1.2.16. Todo intervalo fechado da forma I = (︀a, b⌋︀, com a < b, é homeomorfo a (︀0, 1⌋︀.
Proposição 1.2.17. Seja f ∶ X → Y uma função bijetora entre espaços topológicos. São equiva-lentes
a) f é um homeomorfismo.
b) f é contínua e aberta.
c) f é contínua e fechada.
d) f (A) = f (A), para qualquer A ⊆ X .
Demonstração. Uma demonstração desta proposição pode ser encontrada emMUNKRES (Teo-rema 18.1 da Seção 18 do Capítulo 2, página 104).
Definição 1.2.18. Dizemos que um espaço topológico (X , τ) é Hausdorff ou T2 se, dados
x, y ∈ X distintos, existem U,V ∈ τ disjuntos tais que x ∈ U e y ∈ V .
Definição 1.2.19. Um espaço compacto é um espaço topológico no qual toda cobertura aberta dele possui uma subcobertura finita. Um subconjunto de um espaço topológico é um conjunto compacto nele se como subespaço é um espaço compacto.
Proposição 1.2.20. Seja X um espaço topológico.
a) A ⊆ X é um conjunto compacto se, e só se, toda cobertura de A, formada por abertos de X , possui uma subcobertura finita.
b) Todo conjunto fechado contido num conjunto compacto também é compacto.
Demonstração. O item (a) é trivial. Sejam F um conjunto fechado e K um conjunto compacto tais que F ⊆ K. Seja {At}t∈Luma cobertura aberta de F formada por abertos de X . Como K ⊆ Fc∪ ⋃
t∈L
At, existem t1, ⋯,tn∈Ltais que K ⊆ Fc∪
n ⋃ t=1 Ati. Logo F ⊆ n ⋃ t=1 Ati. Portanto, F é compacto. Proposição 1.2.21. Seja (X , τ) um espaço de Hausdorff.
a) Dados um conjunto compacto K e x0∈X tais que x0∉K, existem U,V ∈ τ disjuntos tais que x0∈V e K ⊆ U .
b) Todo conjunto compacto é fechado.
c) Se A, B são conjuntos compactos disjuntos, então existem U,V ∈ τ disjuntos tais que A ⊆ U e B ⊆ V .
Demonstração.
a) Sejam K um conjunto compacto e x0∈X tais que x0∉K. Para cada x ∈ K, existem Ux,Vx∈τ disjuntos tais que x ∈ Ux e x0∈Vx. Como K é compacto, existem x1, ⋯, xn∈K tais que K ⊆ n ⋃ i=1 Uxi. Fazendo U = n ⋃ i=1 Uxi e V = n ⋂ i=1 Vxi, obtemos que U ∩V = ∅, x0∈V e K ⊆ U . b) Sejam K um conjunto compacto e z ∈ K. Se z ∉ K, então existem U,V ∈ τ disjuntos tais que
z ∈ V e K ⊆ U . Logo V ∩ K ≠ ∅, mas isso contradiz o fato que U e V são disjuntos. Então z ∈ K. Ou seja, K = K.
c) Sejam A, B dois conjuntos compactos disjuntos. Para cada x ∈ B, existem Ux,Vx∈τ disjuntos tais que x ∈ Vx e A ⊆ Ux. Como B é compacto, existem x1, ⋯, xn∈B tais que B ⊆
n ⋃ i=1 Vxi. Fazendo V = n ⋃ i=1 Vxi e U = n ⋂ i=1 Uxi, obtemos que U ∩V = ∅, B ⊆ V e A ⊆ U .
Proposição 1.2.22. Sejam A e B dois conjuntos compactos de um espaço de Hausdorff. Se A ⊊ B, então existe um aberto U tal que A ∩U = ∅ e B ∩U ≠ ∅.
Demonstração. Dado x0∈B ∖ A, existem dois abertos disjuntos U,V tais que x0∈U e A ⊆ V . Logo A ∩U = ∅ e B ∩U ≠ ∅.
Proposição 1.2.23. Seja X um espaço de Hausdorff. Se {Xt}t∈Λ é uma família de conjuntos compactos não vazios tal que, para quaisquer α, β ∈ Λ, Xα ⊆Xβ ou Xβ ⊆Xα. Então ⋂
t∈Λ
Xt é um compacto não vazio.
Demonstração. Basta provar que ⋂
t∈Λ Xt≠ ∅. De fato, se ⋂ t∈Λ Xt= ∅, então ⋃ t∈Λ Xtc=X. Fixando um Xa, e como ele é compacto, existem t1, ⋯,tk∈Λ tais que Xa⊆
k
⋃
i=1
Xtci. Sem perda de generalidade, suponhamos que Xt1 seja o menor deles no sentido da inclusão. Logo Xa⊆X
c
t1, mas isso contradiz
o fato que Xa⊆Xt1 ou Xt1⊆Xa. Então ⋂
t∈Λ
Xt≠ ∅.
Proposição 1.2.24. Sejam X um espaço compacto, Y um espaço de Haudorff e f ∶ X → Y uma função. Se f é contínua, então ela é fechada. Mais ainda, se f é contínua e bijetora, então f é um homeomorfismo.
Demonstração. Seja A ⊆ X um conjunto fechado. Ele é compacto e, em consequência, f (A) é compacto. Como Y é Hausdorff, f (A) é fechado. Isto é, f é fechada. O resultado final é obtido a partir da Proposição1.2.17.
Proposição 1.2.25. Sejam τ e τ′ duas topologias sobre X tais (X , τ) é Hausdorff e τ ⊆ τ′. Se A
é τ′−compacto, então as topologias relativas τ
Ae τA′ são iguais.
Demonstração. Basta provar que todo conjunto τ′
A−fechado é τA−fechado. Para isso,
conside-remos a função identidade i ∶ (A, τ′
A) → (A, τA). O resultado é obtido em virtude da Proposição
1.2.24.
Definição 1.2.26. Seja h ∶ X → Y uma função contínua entre espaços topológicos. Dizemos que hé uma função perfeita se ela é fechada, sobrejetora e, para cada y ∈ Y , h−1(y)é compacto. Proposição 1.2.27. Seja h ∶ X → Y uma função fechada entre espaços topológicos
i) Para cada D ⊆ Y e aberto U ⊆ X com h−1(D) ⊆ U, existe um aberto V de Y tal que D ⊆ V e h−1(V ) ⊆ U.
ii) Se h é perfeita, a pré-imagem de cada conjunto compacto é compacta.
Demonstração.
i) Sejam D ⊆ Y e U um aberto tais que h−1(D) ⊆ U. Como X ∖U ⊆ h−1(Y ∖ D), temos que h(X ∖U ) ⊆ h(h−1(Y ∖ D)) ⊆ Y ∖ D. Logo, fazendo V = Y ∖ h(X ∖U ), obtemos que D ⊆ V e h−1(V ) ⊆ U.
ii) Sejam A ⊆ Y compacto e {Aα}α ∈L uma cobertura aberta de h−1(A). Dado y ∈ A, como
h é perfeita, vale que h−1({y}) ⊆ ⋃
α ∈Jy
Aα, onde Jy⊆L é finito. Pelo item anterior, existe um aberto Vytal que {y} ⊆ Vye h−1(Vy) ⊆ ⋃
α ∈Jy
Aα. Logo, pela compacidade de A, existem y1, ..., ym∈Atais que A ⊆ m ⋃ k=1 Vyk. Em consequência h−1(A) ⊆ ⋃ α ∈J Aα, onde J = m ⋃ k=1 Jyké finito.
Definição 1.2.28. Um conjunto Gδ é uma interseção enumerável de conjuntos abertos e um conjunto Fσ é uma união enumerável de conjuntos fechados.
Do mesmo jeito, um ponto Gδ é aquele que como conjunto unitário é um conjunto Gδ.
Exemplo 1.2.29. Seja X = {a, b, c} e τ = {∅, {a, b}, X } uma topologia nele. O conjunto {a, b} é um aberto e, em consequência, é um conjunto Gδ. Mas a ∈ X não é um ponto Gδ.
Definição 1.2.30. Um espaço topológico (X , τ) é metrizável se existe uma métrica d tal que τ seja induzida por d. Mais ainda, se (X , d) é completo, então dizemos que (X , τ ) é completa-mente metrizável.
Proposição 1.2.31. Cada ponto de um conjunto Gδ metrizável é um ponto Gδ.
Demonstração. Sejam (X , τ) um espaço topológico e A um conjunto Gδ metrizável. Existe uma sequência de conjuntos abertos (An)n∈N tal que A = ⋂
n∈N
An. Seja d uma métrica que induz a topologia τA. Se x ∈ A, então, para cada n ∈ N, existe En∈τ tal que B(x,n+11 ) =A ∩ En. Logo {x} = ⋂
n∈N
An∩En. Ou seja, x é um ponto Gδ.
Proposição 1.2.32. Seja g ∶ X → Y uma função contínua, sobrejetora e aberta entre espaços regulares. Se X possui um subespaço D denso completamente metrizável, então D possui um subespaço Ω completamente metrizável tal que g ∶ Ω → g(Ω) é um homeomorfismo e, mais ainda, g(Ω) é um subconjunto Gδ denso em Y .
Em consequência, cada espaço regular Z que contenha Y , tal que Y seja denso em Z, contém um subespaço Gδ denso completamente metrizável.
Demonstração. Uma prova desta proposição pode ser encontrada em FABIAN (Proposição 2.1.4 da Seção 1 do Capítulo 2, página 39).
Definição 1.2.33. Seja (X , τ) um espaço topológico. Se cada x ∈ X possui uma base local enumerável, então X será chamado de primeiro-contável. Um espaço é segundo-contável se possui uma base enumerável.
Definição 1.2.34. Um espaço de Lindelöf é um espaço topológico no qual toda cobertura aberta dele possui uma subcobertura enumerável. Um espaço hereditariamente de Lindelöf é aquele onde cada subespaço é de Lindelöf.
Teorema 1.2.35. Se X é segundo-contável, então X é de Lindelöf e separável1.
Demonstração. Seja ℬ = {Bn⋃︀n ∈ N} uma base da topologia de X. Para cada n ∈ N selecionamos an∈Bne seja D = {an⋃︀n ∈ N}. Se V é um aberto não vazio, existe m ∈ N tal que Bm⊆V. Ou seja, am∈V ∩ D. Então X é separável.
Por último, seja 𝒰 uma cobertura aberta de X . Para cada x ∈ X , existem Ux∈ 𝒰 e Bx∈ ℬ tais que x ∈ Bx e Bx⊆Ux. Dado que ℬ é uma base enumerável, existe A ⊆ X enumerável tal que {Bx⋃︀x ∈ X } = {Ba⋃︀a ∈ A} e, em consequência, {Ux}x∈A é uma subcobertura enumerável de X . Portanto, X é de Lindelöf.
Corolário 1.2.36. Num espaço métrico X são equivalentes
a) X é segundo-contável.
b) X é de Lindelöf.
c) X é separável.
Demonstração. Primeiro provaremos que (c) implica (a). Se X é separável, existe D ⊆ X enumerável e denso. Seja ℬ = {B(x, r) ⋃︀ x ∈ D e r ∈ Q} uma família enumerável de abertos, vejamos que é uma base. Sejam z ∈ X e W um aberto tais que z ∈ W . Existe t > 0 tal que B(z,t) ⊆ W . Logo existem x0∈De um racional r0∈ (d(x0, z),t
3)tais que x0∈B(z, t
3) ∩De B(x0, r0) ⊆B(z,t). Ou
seja, z ∈ B(x0, r0) ⊆W. Então X possui uma base enumerável.
Finalmente, pelo teorema anterior, só basta provar que (b) implica (a). Se X é de Lindelöf, fixemos r ∈ Q>0 e consideremos X = ⋃
x∈X
B(x, r). Logo existe Ar ⊆X enumerável tal que X = ⋃
x∈Ar
B(x, r). Definamos uma família enumerável de abertos ℱ = {B(x, r) ⋃︀ x ∈ ⋃
q∈Q
Aqe r ∈ Q}. Sejam x ∈ X e U um aberto tais que x ∈ U . Existe r > 0 tal que B(x, r) ⊆ U . Tomemos um racional q ∈ (0,2r), logo existe a ∈ Aqtal que x ∈ B(a, q) e, ademais, B(a, q) ⊆ B(x, r) ⊆ U . Isto é, ℱ é uma base enumerável.
Proposição 1.2.37. Seja X um espaço topológico. Se cada subespaço aberto é de Lindelöf, então X é hereditariamente de Lindelöf.
Demonstração. Sejam A um subconjunto de X e {Uλ}λ ∈L uma cobertura aberta de A. Se V = ⋃
λ ∈L
Uλ, existe M ⊆ L enumerável tal que A ⊆ V = ⋃
λ ∈M
Uλ. Assim, A é um espaço de Lindelöf. Proposição 1.2.38. Sejam Y um espaço topológico Hausdorff, X um conjunto não vazio e ℱ ⊆YX. Para que ℱ seja τp−compacto é necessário e suficiente que ℱ seja τp−fechado e que, para cada x ∈ X , o conjunto πx(ℱ ) = {f (x) ⋃︀ f ∈ ℱ }seja compacto.
Demonstração. Se ℱ é τp−compacto, então ℱ é τp−fechado, pois YX é de Hausdorff e πx(ℱ )é compacto para qualquer x ∈ X . Reciprocamente, definimos 𝒢 = ∏
x∈X
πx(ℱ ), o que é τp−compacto.
Dado que ℱ ⊆ 𝒢 é τp−fechado, obtemos que ℱ é τp−compacto.
Proposição 1.2.39. Seja A um subespaço aberto-fechado de ({0, 1}N, τ
p). Se A é homeomorfo a {0, 1}N, então toda função contínua injetora f ∶ A → (︀0, 1⌋︀ possui uma extensão F ∶ {0, 1}N→ (︀0, 1⌋︀ contínua injetora.
Demonstração. Seja f ∶ A → (︀0, 1⌋︀ uma função contínua injetora. Temos que A é compacto e, devido à Proposição 1.2.24, é homeomorfo a f (A). Ademais, como (︀0, 1⌋︀ e {0, 1}N não são
homeomorfos, f não é sobrejetora.
Se (0, 1) ∖ f (A) = ∅, então (0, 1) ⊆ f (A). Logo (︀0, 1⌋︀ ⊆ f (A) = f (A). Ou seja, (︀0, 1⌋︀ = f (A), o que é absurdo. Então (0, 1) ∖ f (A) ≠ ∅. Por consequência, (0, 1) ∖ f (A) contém um intervalo fechado da forma I = (︀a, b⌋︀ com a < b. Existe um homeomorfismo h ∶ (︀0, 1⌋︀ → (︀a, b⌋︀. Logo D = h( f (A)) é homeomorfo a f (A) e, por consequência, também é homeomorfo a {0, 1}N. Por tal motivo,
existe um homeomorfismo g ∶ {0, 1}N→D. Definamos F ∶ {0, 1}N→ (︀0, 1⌋︀ por
F(x) = )︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌋︀ ⌉︀ ⌉︀ ]︀ f (x), se x ∈ A. g(x), se x ∈ {0, 1}N∖A.
Pela Proposição1.2.14obtemos que F é contínua. Além disso, F é injetora e estende f .
1.3
Categoria de Baire
Nesta seção estudamos os conjuntos de primeira e segunda categoria de Baire, os espaços de Baire e suas propriedades. Para uma leitura mais profunda e completa, o leitor pode consultar a referênciaMUNKRES.
Definição 1.3.1. Um conjunto raro de um espaço topológico é aquele cujo interior do seu fecho é vazio. Se um subconjunto de um espaço topológico é uma reunião enumerável de conjuntos raros, então é chamado de primeira categoria ou magro, caso contrário, será chamado de segunda categoria ou não magro. Um conjunto residual é o complementar de um conjunto de primeira categoria.
Exemplo 1.3.2.
- Se F é um conjunto fechado, então F ∖ int(F) é raro.
- Q é um conjunto magro, mas não é raro. Então R ∖ Q é residual.
A seguinte proposição reúne algumas propriedades básicas dos conjuntos magros e não magros.
Proposição 1.3.3. Em todo espaço topológico vale o seguinte
a) Um conjunto é raro se, e só se, o interior do seu complementar é denso.
b) Todo subconjunto de um conjunto magro é magro.
c) União enumerável de conjuntos magros é magro.
d) Todo conjunto que contenha um conjunto de segunda categoria também é de segunda categoria.
e) Um conjunto é residual se, e somente se, existe uma sequência de conjuntos abertos e densos tal que a interseção deles esteja contida nele.
Demonstração. Seja X um espaço topológico, notemos que todo subconjunto de um conjunto raro é raro.
a) Bastar usar o fato que X ∖ int(S) = X ∖ S, para qualquer S ⊆ X .
b) Sejam E um conjunto magro e F um subconjunto dele. Existe uma sequência de conjuntos raros (En)n∈N tal que E = ⋃
n∈N
En. Logo En∩F é raro, para cada n ∈ N, e F = ⋃ n∈N
En∩F é magro.
c) Se (Tn)n∈N é uma sequência de conjuntos magros, então, para cada n ∈ N, existe uma sequência de conjuntos raros (Rn
m)m∈N tal que Tn= ⋃ m∈N Rnm. Logo ⋃ n∈N Tn= ⋃ (n,m)∈N2 Rnm é magro.
d) Sejam M um conjunto de segunda categoria e N um conjunto que contém o M. Se N fosse magro, então pelo item (b), M seria magro, o que é falso. Logo N é de segunda categoria.
e) Se R é residual, então existe uma sequência de conjuntos raros (En)n∈N tal que Rc= ⋃
n∈N
En.
Logo R = ⋂
n∈N
Enc, onde int(Ec
n)é denso, para cada n ∈ N. Reciprocamente, suponhamos que
existe uma sequência de conjuntos abertos e densos (An)n∈Ntal que ⋂
n∈N
An⊆R. Então Rc⊆ ⋃
n∈N
Acn, onde cada Ac
né raro e, em consequência, Rcé magro. Isto é, R é residual.
Proposição 1.3.4. Sejam X um espaço topológico e A ⊆ X . Logo A é raro se, e só se, para cada aberto não vazio U , existe um aberto não vazio V tal que V ⊆ U e V ∩ A = ∅.
Demonstração. Seja U um aberto não vazio e definamos V = U ∩ Ac. Logo V é um aberto não vazio, pois A é raro, tal que V ⊆ U e V ∩ A = ∅.
Reciprocamente, se int (A) ≠ ∅, então, por hipóteses, existe um aberto não vazio T tal que T ⊆ int (A)e T ∩ A = ∅, mas isso contradiz o fato que T ⊆ A. Portanto, A é raro.
Proposição 1.3.5. Sejam X um espaço topológico e A ⊆ X . Se E ⊆ A é magro em A, então E é magro em X .
Demonstração. Primeiramente provaremos o resultado para o caso particular que E seja raro em A. Se E não é raro em X , existe um aberto não vazio V tal que V ⊆ E. Logo V ∩ A ⊆ EA, o que é absurdo. Então E é raro em X . Para o caso geral, seja (En)n∈Numa sequência de conjuntos raros de A tal que E = ⋃
n∈N
En. Pelo fato anterior, cada Ené raro em X . Portanto, E é magro em X .
Proposição 1.3.6. Seja A um subconjunto aberto ou denso de um espaço topológico X . Para qualquer E ⊆ A, E é magro em A se, e só se, E é magro em X .
Demonstração. Pela Proposição1.3.5, basta provar a recíproca. Seja E um subconjunto de A. Primeiramente provaremos o resultado no caso que A seja aberto. Suponhamos que E é raro em X . Dado um aberto não vazio U de A, em virtude da Proposição1.3.4, existe um aberto não vazio V de X tal que V ⊆ U e V ∩ E = ∅. Então E é raro em A.
Caso que E seja magro em X , existe (En)n∈N uma sequência de conjuntos raros em X tal que E = ⋃
n∈N
En. Pelo parágrafo anterior, temos que cada En∩Aé raro em A. Portanto, E = ⋃
n∈N
En∩Aé magro em A.
Agora provaremos o resultado no caso que A seja denso. Suponhamos que E é raro em X . Dado um aberto não vazio U de A, existe um aberto W de X tal que U = W ∩ A. Analogamente, devido à Proposição 1.3.4, existe um aberto não vazio V′ de X tal que V′ ⊆W e V′∩E = ∅. Logo
∅ ≠V′∩A ⊆ U e (V′∩A) ∩ E = ∅. Então E é raro em A.
Por último, caso que E seja magro em X , existe (En)n∈N uma sequência de conjuntos raros em X tal que E = ⋃
n∈N
En. Pelo parágrafo anterior, temos que cada En∩Aé raro em A. Logo E = ⋃ n∈N
En∩A é magro em A.
Proposição 1.3.7. Sejam X um espaço topológico e E ⊆ B dois abertos. Se A é residual em B, então A ∩ E é residual em E.
Demonstração. Sabemos que B ∖ A é magro em B e, em consequência, magro em X . Logo E ∖ A é magro em X e, assim, também é magro em E. Ou seja, E ∩ A é residual em E.
Proposição 1.3.8. Sejam X um espaço topológico e A ⊆ B dois subconjuntos dele. Se B é residual em X e A é residual em B, então A é residual em X .
Demonstração. Sabemos que B ∖ A é magro em B e, em consequência, também magro em X . Então Ac= (B ∖ A) ∪ (Ac∩Bc)é magro em X .
Proposição 1.3.9. Sejam h ∶ X → Y um homeomorfismo entre espaços topológicos e A ⊆ X . Logo Aé magro se, e só se, h(A) é magro.
Demonstração. Basta provar tal equivalência para o caso dos conjuntos raros. De fato, suponha-mos que A é raro. Se int (h(A)) = int (h (A)) ≠ ∅, então ∅ ≠ h−1(int (h (A))) ⊆ A, o qual não pode
acontecer. Assim, h(A) é raro. Reciprocamente, suponhamos que h(A) é raro. Se int (A) ≠ ∅, então ∅ ≠ h (int (A)) ⊆ h (A) = h(A), obtendo novamente uma contradição. Então A é raro.
Definição 1.3.10. Sejam X um espaço topológico e A ⊆ X . Dizemos que A possui a propriedade de Baire em X se existe um aberto U ⊆ X tal que A △U é magro.
Exemplo 1.3.11. Os conjuntos magros e os conjuntos abertos possuem a propriedade de Baire.
Teorema 1.3.12. A família dos conjuntos que possuem a propriedade de Baire é a menor σ −álgebra que contém a topologia e os conjuntos magros.
Demonstração. Sejam X um espaço topológico e ℱ = {E ⊆ X ⋃︀ E possui a propriedade de Baire em X }. Note que ℱ contém os conjuntos abertos e os conjuntos magros de X .
Se E ∈ ℱ , existe um aberto U ⊆ X tal que E △U é magro. Considerando V = int(Uc), temos que
Ec△Vc⊆ (E △U ) ∪ (Uc∖int(Uc))é magro. Então Ec∈ ℱ.
Seja (An)n∈Numa sequência de elementos de ℱ . Existe, para cada n ∈ N, um aberto Un⊆X tal que An△Uné magro. Logo ( ⋃
n∈N
An) △ ( ⋃
n∈N
Un) ⊆ ⋃
n∈N
(An△Un)é magro. Ou seja, ⋃
n∈N
An∈ ℱ. Seja ℳ uma σ −álgebra que contém a topologia e os conjuntos magros. Dado P ∈ ℱ , existe um aberto W ⊆ X tal que P △ W é magro. Logo P = (︀(P △ W ) ∪ W ⌋︀ ∖ (W ∖ P) ∈ ℳ. Portanto, ℱ ⊆ ℳ.
Definição 1.3.13. Um espaço de Baire é um espaço topológico onde para qualquer sequência de conjuntos abertos densos, a interseção deles é densa.
Proposição 1.3.14. Seja X um espaço topológico, são equivalentes
a) X é um espaço de Baire.
b) Todo aberto não vazio de X é de segunda categoria.
Demonstração. Uma prova desta proposição pode ser encontrada emMUNKRES(Lema 48.1 da Seção 48 do Capítulo 8, página 296)
Proposição 1.3.15. Sejam X um espaço de Baire e A, B ⊆ X . Se A e B são residuais, então A ∩ B ≠ ∅.
Demonstração. Suponhamos que A ∩ B = ∅. Logo X = (X ∖ A) ∪ (X ∖ B) é magro, mas isso contradiz o fato que X seja de Baire. Portanto, A ∩ B ≠ ∅.
Teorema 1.3.16. Sejam (X , τ) um espaço topológico e A um subconjunto dele. Se A é de segunda categoria, então existe um aberto não vazio U tal que A ∖U é magro e A ∩V é de segunda
categoria, para qualquer aberto não vazio V ⊆ U . Mais ainda, se X é de Baire, então A ∩U é de Baire.
Demonstração. Sejam 𝒲 = {W ∈ τ ⋃︀ A ∩W é magro} e 𝒢 = {ℱ ⊆ 𝒲 ⋃︀ se U1,U2∈ ℱ são diferentes, então U1∩U2= ∅}. Não é difícil ver que (𝒢, ⊆) é parcialmente ordenado e que toda cadeia é limitada superiormente. Em virtude do Lema de Zorn, sejam {Wy⋃︀y ∈ Γ} o elemento de maximal de 𝒢 e Ω0= ⋃
y∈Γ
Wy. Mostraremos que Ω0∈ 𝒲.
Para cada y ∈ Γ, existe uma (Nny)n∈Nsequência de conjuntos raros tal que A ∩Wy= ⋃
n∈N
Nny. Prova-remos que o conjunto Mn= ⋃
y∈Γ
Nnyé raro, para todo n ∈ N, por meio da Proposição1.3.4. Dado I ∈ τ tal que I ∩ Mn≠ ∅, existe y0∈Γ tal que I ∩ Nny0 ≠ ∅. Logo existe um aberto não vazio O tal
que O ⊆ I ∩Wy0 e O ∩ N
y0
n = ∅. Como (I ∩Wy0) ∖N
y0
n ⊆I ∖ Mn, temos que O ⊆ I ∖ Mn. Ou seja, Mn é raro. Logo A ∩ Ω0= ⋃ y∈Γ A ∩Wy= ⋃ n∈N Mné magro. Sejam Ω = ⋃ P∈𝒲
P e U = Ωc. Se existe G ∈ τ não vazio tal que G ⊆ Ω ∖ Ω0, então G ∩ Ω ≠ ∅ e
G ⊆ Ωc0. Existe W0∈ 𝒲 tal que G ∩ W0≠ ∅. Logo G ∩ W0∈ 𝒲 e (G ∩ W0) ∩Ω0= ∅, mas isso contradiz a maximalidade de {Wy⋃︀y ∈ Γ}. Então int (Ω ∖ Ω0) = ∅. Ou seja, Ω ∖ Ω0 é raro. Em consequência, A ∩ Ω ⊆ (Ω ∖ Ω0) ∪ (A ∩ Ω0)é magro.
Portanto A ∖U = A ∩ Ω ⊆ (A ∩ Ω) ∪ (Ω ∖ Ω) é magro. Note que U é não vazio e V ∩ A é de segunda categoria, para qualquer aberto não vazio V ⊆ U .
Por outro lado, vejamos que U ⊆ A ∩U . De fato, seja x ∈ U . Dado R ∈ τ tal que x ∈ R, temos que R ∩ (A ∩ U ) = A ∩ (R ∩ U ) ≠ ∅ pois ele é de segunda categoria pelo parágrafo anterior. Assim, x ∈ A ∩U.
No caso que X seja de Baire, mostraremos que A ∩U é de Baire. Seja (Gn)n∈Numa sequência de conjuntos abertos densos de A ∩U . Para cada n ∈ N, existe um aberto Hn⊆U tal que Gn=A ∩ Hn. Ademais U ⊆ A ∩U ⊆ Gn⊆Hnpara qualquer n ∈ N. Logo M = ⋂
n∈N
Hné residual em U pois U é de
Baire. Ou seja, U ∖ M é magro.
Afirmamos que A ∩U ⊆ A ∩ M. Seja x ∈ A ∩U e seja T ∈ τ tal que x ∈ T . Se T ∩ (A ∩ M) = ∅, então (A ∩ M) ∩ (T ∩U ) = ∅. Logo A ∩ (T ∩U ) ⊆ (T ∩U ) ∖ M ⊆ U ∖ M é magro, mas isso não pode acon-tecer pois T ∩U ⊆ U . Então T ∩ (A ∩ M) ≠ ∅. Ou seja, x ∈ A ∩ M. Portanto, A ∩U ⊆ A ∩ M = ⋂
n∈N
Gn.
Ou seja, ⋂
n∈N
Gné denso em A ∩U . Isto é, A ∩U é de Baire.
Teorema 1.3.17. Todo espaço métrico completo é um espaço de Baire.
Demonstração. Seja X um espaço métrico completo e seja (An)n∈N uma sequência de con-juntos abertos densos dele. Se U é um aberto não vazio, existem a0∈U ∩ A0e r0>0 tais que B(a0, r0) ⊆U ∩ A0. Analogamente, pela densidade de A1, existe a1∈B(a0,r0
2) ∩A1. Logo existe
r1>0 tal que B(a1, r1) ⊆B(a0,r0
2) ∩A1, onde r1≤ r
2 pois diam(B(a1, r1)) ≤diam(B(a0,
r0
2)).
Suponhamos que temos an∈B(an−1,rn−12 ) ∩Ane rn−1≤ r0
2n−1 tais que B(an, rn) ⊆B(an−1,
rn−1
2 ) ∩
B(an+1, rn+1) ⊆B(an,r2n) ∩An+1 ⊆U ∩ A1∩... ∩ An∩An+1 e rn+1≤ r0
2n+1. Assim obtemos uma
sequência decrescente de fechados (B(an, rn))n∈N, no sentido da inclusão, tais que seus di-âmetros convergem a zero. Em consequência, existe x0∈ ⋂
n∈N B(an, rn) ⊆U ∩ ⋂ n∈N An. Portanto, ⋂ n∈N Ané denso.
Proposição 1.3.18. Sejam (M, d) um espaço métrico completo e {Mn}n∈N uma cobertura fe-chada dele. Se Un=int(Mn), então U = ⋃
n∈N
Uné denso.
Demonstração. Devido ao Teorema 1.3.17 temos que M é um espaço de Baire e, em con-sequência, U é não vazio. Dado A um aberto não vazio de M, existe um aberto não va-zio V tal que V ⊆ A. Como V = ⋃
n∈N
Mn∩V é de segunda categoria, existe n0∈N tal que ∅ ≠int(Mn0∩V ) ⊆ int(Mn0∩V ) = Un0∩int(V ). Concluímos que A ∩U ≠ ∅.
Definição 1.3.19. Sejam X um espaço topológico e A ⊆ X . Se para cada aberto não vazio U temos que A ∩U é de segunda categoria, então A é chamado de segunda categoria em toda parte.
Observação 1.3.20. É claro que todo conjunto de segunda categoria em toda parte é, em particular, de segunda categoria e denso.
Proposição 1.3.21. Em um espaço de Baire, todo conjunto residual é de segunda categoria em toda parte.
Demonstração. Sejam X um espaço de Baire e R ⊆ X um conjunto residual. Dado um aberto não vazio U , temos que U ∖ R é magro por estar contido em X ∖ R. Suponhamos que R ∩U é magro, logo U também é magro mas isso não pode acontecer devido à Proposição1.3.14. Então R ∩U é de segunda categoria.
1.4
Usco e usco minimal
Nesta seção estudamos as funções multi-avaliadas semicontínuas superiores e suas propriedades. A menos de menção contrária, vamos supor que os espaços topológicos são Hausdorff. Para uma leitura mais profunda e completa, o leitor pode consultar a referência
HOLA; HOLÝ.
Definição 1.4.1. Uma função multi-avaliada F entre X e Y é uma função F ∶ X → 𝒫(Y ). Isto é, para cada x ∈ X , F(x) é um subconjunto de Y . Dados A ⊆ X e B ⊆ Y não vazios, F(A) = ⋃
x∈A
F(x)
é a imagem de A e F−1(B) = {x ∈ X ⋃︀ F(x) ∩ B ≠ ∅}é a pré-imagem de B. O gráfico de F é definido como Gra f (F) = {(x, y) ∈ X ×Y ⋃︀ y ∈ F(x)}.
Definição 1.4.2. Seja F ∶ X → 𝒫(Y ) uma função multi-avaliada. Dizemos que F é um-avaliada num subconjunto E de X se, para cada x ∈ E, F(x) é um conjunto unitário.
Uma função h ∶ X → Y é uma seleção de F se h(x) ∈ F(x), para todo x ∈ X .
Definição 1.4.3. Sejam X e Y espaços topológicos. Dizemos que ϕ ∶ X → 𝒫(Y ) é usco (upper semicontinuous and compact valued) se, para cada x ∈ X , ϕ(x) é um conjunto compacto não vazio e, para cada aberto W de Y , temos que {x ∈ X ⋃︀ ϕ(x) ⊆ W } é um aberto de X . Além disso, se o gráfico do ϕ não contém propriamente o gráfico de qualquer outro usco definido em X , então ϕ é chamada de usco minimal.
Exemplo 1.4.4. Definamos F ∶ R → 𝒫(R) como F(x) = {⋃︀x⋃︀
x(︀, se x ≠ 0, e F(0) = {−1, 1}. É claro que, para cada x ∈ R, F(x) é compacto e não vazio. Sejam U ⊆ R um aberto e z ∈ A = {x ∈ R⋃︀F(x) ⊆ U }. Se z > 0, existe r > 0 tal que (z − r, z + r) ⊆ (0, ∞). Logo, para qualquer w ∈ (z − r, z + r) temos que F(w) = {1} ⊆ U . Analogamente para o caso z < 0. Agora, se z = 0, qualquer t > 0 satisfaz que (−t,t) ⊆ A. Assim, A é aberto. Ou seja, F é usco.
Suponhamos que exista G ∶ R → 𝒫(R) usco tal que Gra f (G) ⊊ Gra f (F). Então G(x) = F(x) para todo x ∈ R ∖ {0}. Assim, G(0) ⊊ F(0). No caso G(x0) = {1}, existe r > 0 tal que (−r, r) ⊆ {x ∈ R ⋃︀ G(x) ⊆ (12,32)}. Logo G(−2r) = −1 ∈ (12,32), o que é absurdo. Analogamente obtemos uma contradição no caso G(0) = {−1}. Portanto, F é usco minimal.
Observação 1.4.5. Dados ϕ ∶ X → 𝒫(Y ) usco e A ⊆ X , tem-se que ϕ⋃︀A∶A → 𝒫(Y )é usco. Lema 1.4.6. Seja F ∶ X → 𝒫(Y ) usco. São equivalentes
a) F é usco minimal.
b) Para quaisquer aberto G de X e fechado K de Y tais que F(x) ∩ K ≠ ∅, para todo x ∈ G, temos que F(G) ⊆ K.
c) Dados dois abertos U ⊆ X e W ⊆ Y tais que F(U ) ∩ W ≠ ∅, existe um aberto não vazio V ⊆ U tal que F(V ) ⊆ W .
d) Para toda função contínua g ∶ Y → Z temos que g ○ F ∶ X → 𝒫(Z), definida por (g ○ F)(x) = {g(y) ⋃︀ y ∈ F(x)}, é usco minimal.
Demonstração. Primeiro vejamos que (a) implica (b). De fato, sejam G ⊆ X um aberto e K ⊆ Y um fechado tais que F(x)∩K ≠ ∅ para todo x ∈ G. Definimos ϕ ∶ X → 𝒫(Y ) como ϕ(x) = F(x)∩K, se x ∈ G, e ϕ(x) = F(x) se x ∈ X ∖ G. Não é difícil ver que ϕ é usco e Gra f (ϕ) ⊆ Gra f (F). Como F é usco minimal, Gra f (ϕ) = Gra f (F). Logo, se x ∈ G, então F(x) = F(x) ∩ K ⊆ K. Ou seja, F(G) ⊆ K.
Agora provaremos (c) a partir de (b). Dados dois abertos U ⊆ X e W ⊆ Y tais que F(U ) ∩W ≠ ∅. Suponhamos que F(x) ∩Y ∖W ≠ ∅, para todo x ∈ U . Pelo item (b), temos que F(U ) ⊆ Y ∖W , o que é falso. Logo, existe x0∈U tal que F(x0) ⊆W. Então o conjunto V = {x ∈ X ⋃︀ F(x) ⊆ W } ∩U
é um aberto não vazio que satisfaz F(V ) ⊆ W .
Em seguida veremos que (c) implica (d). Dada uma função contínua g ∶ Y → Z, é claro que g ○ F ∶ X → 𝒫(Z)é usco. Seja H ∶ X → 𝒫(Z) usco tal que Gra f (H) ⊆ Gra f (g ○ F). Suponhamos que Gra f (H) ⊊ Gra f (g ○ F), logo existe x0∈Xtal que H(x0) ⊊ (g ○ F)(x0). Devido à Proposição
1.2.22, existe um aberto U ⊆ Z tal que H(x0) ∩U = ∅ e (g ○ F)(x0) ∩U ≠ ∅. Existe um aberto V ⊆ X tal que x0∈V e V ⊆ {x ∈ X ⋃︀ H(x) ⊆ Z ∖U }. Como F(V ) ∩ g−1(U ) ≠ ∅, existe um aberto não vazio W ⊆ V tal que F(W ) ⊆ g−1(U ). Então (g ○ F)(W ) ⊆ U e, em consequência, H(W ) ⊆ U mas H(W ) ∩U = ∅, obtendo assim uma contradição. Portanto, Gra f (H) = Gra f (g ○ F). Isto é, g ○ Fé usco minimal.
Finalmente, basta usar a função identidade i ∶ Y → Y para ver que (d) implica (a).
Proposição 1.4.7. Dado F ∶ X → 𝒫(Y ) usco, existe ϕ ∶ X → 𝒫(Y ) usco minimal tal que ϕ(x) ⊆ F(x), para todo x ∈ X .
Demonstração. Seja ℱ = {G ⋃︀ G ∶ X → 𝒫(Y ) é usco e Gra f (G) ⊆ Gra f (F)}. Dados H1, H2∈ ℱ, dizemos que H1≤H2se Gra f (H2) ⊆Gra f (H1). Em virtude do Lema de Zorn, basta provar que cada cadeia possui cota superior.
Dada uma cadeia 𝒞, definamos F0∶X → 𝒫(Y )por F0(x) = ⋂
G∈𝒞
G(x)para cada x ∈ X . Mostraremos que F0é uma cota superior de 𝒞.
Em virtude da Proposição1.2.23, sabemos que cada F0(x)é um compacto não vazio. Sejam
U ⊆ Y um aberto e z ∈ X tais que F0(z) ⊆ U. Se G(z) ∖ U é não vazio, para cada G ∈ 𝒞, então
aplicando novamente a Proposição1.2.23obtemos que F0(z) ∖U = ⋂
G∈𝒞
G(x) ∖U é não vazio, o que é absurdo. Então existe H ∈ 𝒞 tal que H(z) ∖ U = ∅. Logo F0(z) ⊆ H(z) ⊆ U. Ou seja,
considerando o aberto V = {x ∈ X ⋃︀ H(x) ⊆ U }, temos que z ∈ V ⊆ {x ∈ X ⋃︀ F0(x) ⊆ U }. Isto é, F0é
usco e, claramente, é uma cota superior de 𝒞.
Proposição 1.4.8. Seja ϕ ∶ X → 𝒫(Y ) usco minimal. Se A é um subconjunto denso ou aberto de X, então ϕ⋃︀A∶A → 𝒫(Y )é usco minimal.
Demonstração. Sabemos que ψ = ϕ⋃︀Aé usco. Sejam U um aberto de A e W um aberto de Y tais
que ψ(U ) ∩W ≠ ∅. No caso que A seja aberto, ψ é usco minimal a partir do item (c) do Lema
1.4.6. No caso que A seja denso, existe um aberto V de X tal que U = V ∩ A. Pelo item (c) do Lema1.4.6, existe um aberto não vazio Ω ⊆ V tal que ϕ(Ω) ⊆ W . Logo Ω ∩ A é um aberto não vazio tal que Ω ∩ A ⊆ U e ψ(Ω ∩ A) ⊆ W . Então ψ é usco minimal.
Proposição 1.4.9. Se ϕ ∶ X → 𝒫(Y ) é usco minimal, então ϕ é um-avaliada no conjunto dos pontos isolados de X .
Demonstração. Sejam a ∈ X um ponto isolado e z ∈ ϕ(a). Como Y é Hausdorff, temos que {z} ⊆ ϕ(a) é fechado. Em virtude do item (b) do Lema 1.4.6, temos que ϕ(a) ⊆ {z}. Ou seja, ϕ (a) = {z}. Assim, ϕ é um-avaliada em cada ponto isolado de X .
Definição 1.4.10. Sejam X um espaço topológico e ρ uma pseudo-métrica definida nele. Dize-mos que X é fragmentado por ρ se, para quaisquer ε > 0 e A ⊆ X não vazio, existe um aberto U tal que A ∩U ≠ ∅ e ρ − diam(A ∩U ) < ε.
Observação 1.4.11. Seja ρ uma pseudo-métrica definida num espaço topológico (X , τ). Se toda ρ −bola aberta é τ −aberta, então X é fragmentado por ρ .
Proposição 1.4.12. Seja ϕ ∶ X → 𝒫(Y ) usco minimal. Se Y é fragmentado por uma pseudo-métrica ρ, então existe um subconjunto residual R em X tal que ρ − diam(ϕ(x)) = 0, para todo x ∈ R.
Demonstração. Para cada n ∈ N>0 definimos o conjunto An= {x ∈ X ⋃︀existe um aberto U , com
x ∈ U, tal que ρ − diam(ϕ(U )) <1n}. Não é difícil ver que cada Ané um aberto. Vamos mostrar que, para todo n ∈ N>0, An é denso. De fato, seja W um aberto não vazio de X , como Y é
fragmentado por ρ, existe um aberto Ω de Y tal que ϕ(W ) ∩ Ω ≠ ∅ e ρ − diam(ϕ(W ) ∩ Ω) <1n. Pelo item (c) do Lema1.4.6, existe um aberto não vazio V tal que V ⊆ W e ϕ(V ) ⊆ Ω. Assim,
∅ ≠V ⊆ W ∩ An. Agora só basta tomar R =
∞
⋂
n=1
An, o que é residual, e que satisfaz a propriedade
desejada.
Observação 1.4.13. Na proposição anterior, no caso que ρ seja uma métrica, ϕ é um-avaliada em R.
Teorema 1.4.14. Sejam B um espaço de Baire e ϕ ∶ B → 𝒫(X ) usco minimal.
a) A família ℛ = {E ⊆ X ⋃︀ existe G, um subconjunto Gδ denso de B, tal que ϕ(x) ⊆ E ou ϕ (x) ⊆ Ec para todo x ∈ G} é uma σ −álgebra que contém os Borelianos de X 2. Além disso, para cada T ∈ ℛ, o conjunto ϕ−1(T ) ∖ {x ∈ B ⋃︀ ϕ(x) ⊆ T } é magro.
b) A família ℳ = {E ∈ ℛ ⋃︀ ϕ−1(E) possui a propriedade de Baire} é uma σ −álgebra que
contém os Borelianos de X .
Demonstração.
a) Note que ℛ é fechado por complementos. Seja (An)n∈N uma sequência de elementos de ℛ. Para cada n ∈ N, existe Gn, um conjunto Gδ denso de B, tal que ϕ(x) ⊆ Anou ϕ(x) ⊆ Acnpara
todo x ∈ Gn. Sejam G = ⋂ n∈N
Gnum conjunto Gδ denso de B e x ∈ G tal que ϕ(x) ∩ ⋂
n∈N
An≠ ∅. Se existe m ∈ N tal que ϕ(x) ⊈ Am, então ϕ(x) ⊆ Acm, mas isso não pode acontecer. Logo
ϕ (x) ⊆ Anpara todo n ∈ N. Ou seja, ϕ(x) ⊆ ⋂ n∈N An. Isto é, ϕ(x) ⊆ ⋂ n∈N Anou ϕ(x) ⊆ ( ⋂ n∈N An) c
para todo x ∈ G. Então ⋂
n∈N
An∈ ℛ.
2 A σ−álgebra de Borel é a menor σ−álgebra que contém a topología. Seus elementos são chamados
Se F é um fechado de X , definamos GF = {x ∈ B ⋃︀ ϕ(x) ⊆ Fc} ∪int(ϕ−1(F)). Não é difícil ver que GF é aberto e denso. Pelo item (b) do Lema 1.4.6, temos que ϕ(x) ⊆ F ou
ϕ (x) ⊆ Fcpara todo x ∈ GF. Logo F ∈ ℛ. Concluímos que ℛ é uma σ −álgebra que contém
os Borelianos de X .
Por último note que, dado T ∈ ℛ, o conjunto {x ∈ B ⋃︀ ϕ(x) ⊆ T ou ϕ(x) ⊆ Tc}é residual. Ou
seja, ϕ−1(T ) ∩ ϕ−1(Tc) =ϕ−1(T ) ∖ {x ∈ B ⋃︀ ϕ(x) ⊆ T } é magro.
b) Note que ℳ contém os conjuntos fechados de X . Seja (An)n∈Numa sequência de elementos de ℳ. Logo ϕ−1( ⋃
n∈N
An) = ⋃
n∈N
ϕ−1(An) possui a propriedade de Baire. Isto é, ⋃
n∈N
An∈ ℳ. Dado E ∈ ℳ, temos que ϕ−1(Ec) = (ϕ−1(E) ∩ ϕ−1(Ec)) ∪ (B ∖ ϕ−1(E)) possui a
propriedade de Baire devido ao Teorema 1.3.12. Ou seja, Ec∈ ℳ. Portanto, ℳ é uma
σ −álgebra que contém os Borelianos de X .
Corolário 1.4.15. Sejam B um espaço de Baire e ϕ ∶ B → 𝒫(X ) usco minimal. Se K é um Boreliano de X e ϕ−1(K)é de segunda categoria, então existem um aberto não vazio U ⊆ B e G, um subconjunto Gδ denso de U , tais que ϕ(G) ⊆ K.
Demonstração. Seja KB= {x ∈ B ⋃︀ ϕ(x) ⊆ K}. Pelo Teorema1.4.14, e seguindo a notação dele, sabemos que K ∈ ℳ e ϕ−1(K) ∖ KB é magro. Dado que ϕ−1(K)possui a propriedade de Baire, existe um aberto U ⊆ B tal que U △ ϕ−1(K)é magro. Mais ainda, como ϕ−1(K)é de segunda categoria, U é não vazio e U ∩ ϕ−1(K) é de segunda categoria. Em consequência, U ∩ KB é
residual em U . Logo existe G, um subconjunto Gδ denso de U , tal que G ⊆ U ∩ KB. Portanto
ϕ (G) ⊆ K.
1.5
Análise funcional
Apresentamos alguns conceitos e resultados clássicos de análise funcional. Para uma leitura mais profunda e completa, o leitor pode consultar as referênciasBREZISeKREYSZIG.
Definição 1.5.1. Seja X um espaço vetorial real. Uma norma em X é uma função ∏︁ ⋅ ∏︁ ∶ X → R que satisfaz o seguinte
- Se ∏︁x∏︁ = 0, então x = 0.
- ∏︁ax∏︁ = ⋃︀a⋃︀∏︁x∏︁, para quaisquer a ∈ R e x ∈ X. - ∏︁x + y∏︁ ≤ ∏︁x∏︁ + ∏︁y∏︁, para quaisquer x, y ∈ X .
Definição 1.5.2. Um espaço normado é dito espaço de Banach se é um espaço métrico completo com a métrica induzida pela norma.
Definição 1.5.3. Uma função linear T ∶ X → Y entre espaços normados é dita limitada se existe C >0 tal que ∏︁T (x)∏︁ ≤ C∏︁x∏︁ para todo x ∈ X .
Proposição 1.5.4. Seja T ∶ X → Y uma função linear entre espaços normados. São equivalentes
a) T é limitada.
b) T é contínua.
c) T é contínua em algum ponto x0∈X.
Demonstração. Não é difícil ver que (a) implica (b) e (b) implica (c). Basta provar que (c) implica (a). Existe δ > 0 tal que ∏︁T (w) − T (x0)∏︁ <1, para todo w ∈ B(x0, δ ). Dado x ∈ X ∖ {0}, sabemos que x0+ δ x
2∏︁x∏︁∈B(x0, δ ). Logo ∏︁T (x)∏︁ ≤ 2
δ∏︁x∏︁. Portanto, T é limitada.
Definição 1.5.5. Sejam X ,Y dois espaços normados. Denotamos por ℬ(X ,Y ) o espaço vetorial formado pelas funções lineares limitadas de X a Y .
No caso particular Y = R, dizemos que ℬ(X,R) é o espaço dual de X e será denotado por X∗.
Em seguida veremos que ℬ(X ,Y ) é um espaço normado, inclusive de Banach se Y for de Banach.
Proposição 1.5.6. Sejam X ,Y dois espaços normados.
a) A função ∏︁ ⋅ ∏︁ ∶ ℬ(X ,Y ) → R definida por ∏︁T ∏︁ = sup{∏︁T (x)∏︁
∏︁x∏︁ ⨄︀x ∈ X ∖ {0}(︀ é uma norma.
b) Para todo T ∈ ℬ(X ,Y ), ∏︁T ∏︁ = sup
∏︁x∏︁≤1
∏︁T (x)∏︁ = sup
∏︁x∏︁=1
∏︁T (x)∏︁.
c) Se Y é de Banach, então ℬ(X ,Y ) é de Banach.
Demonstração. Uma prova desta proposição pode ser encontrada emKREYSZIG(Teoremas 1 e 2 da Seção 10 do Capítulo 2, páginas 118-119).
Em particular o espaço dual de todo espaço normado é um espaço de Banach.
Definição 1.5.7. Seja X um espaço vetorial real. Diz-se que uma função p ∶ X → R é sublinear se satisfaz as seguintes propriedades
- p(x + y) ≤ p(x) + p(y), para todos x, y ∈ X .
