Nesta seção introduzimos os conceitos de espaços de diferenciabilidade Gâteaux, As- plund fraco e suas propriedades básicas.
Definição 4.1.1. Seja X um espaço de Banach. Diz-se que
- X é um espaço Asplund fraco se, para cada função convexa contínua definida nele, o conjunto onde ela é Gâteaux diferenciável é um subconjunto residual.
- X é um espaço quase Asplund fraco se, para cada função convexa contínua definida nele, o conjunto onde ela é Gâteaux diferenciável é um subconjunto de segunda categoria em toda parte.1
- X é um espaço de diferenciabilidade Gâteaux se, para toda função convexa contínua definida nele, o conjunto onde ela é Gâteaux diferenciável é um subconjunto denso.
Observação 4.1.2. A partir das definições sabemos que todo espaço Asplund fraco é quase Asplund fraco. Assim também, em virtude da Proposição1.3.21, todo espaço quase Asplund fraco é um espaço de diferenciabilidade Gâteaux.
Exemplo 4.1.3. Em virtude do Teorema1.6.12, todo espaço de Banach separável é Asplund fraco.
Teorema 4.1.4. Seja T ∶ X → Y uma função linear, contínua e sobrejetora entre espaços de Banach.
a) Se X é um espaço de diferenciabilidade Gâteaux, então Y é um espaço de diferenciabilidade Gâteaux.
b) Se X é um espaço Asplund fraco, então Y é um espaço Asplund fraco.
Demonstração. Sejam U ⊆ Y um aberto convexo e f ∶ U → R uma função contínua e convexa. Não é difícil ver que V = T−1(U ) é aberto e convexo. Mais ainda, a função g ∶ V → R definida
como g(x) = ( f ○ T )(x) é contínua e convexa. Denotemos por Df e Dgos conjuntos onde f e g
são Gâteaux diferenciáveis.
Se X é um espaço de diferenciabilidade Gâteaux, então Dgé denso em V e, pela sobrejetividade
e continuidade de T , T (Dg)é denso em U . Sejam y ∈ T (Dg)e v ∈ Y , existem x ∈ Dge u ∈ X tais que y = T (x) e v = T (u). Logo
lim t→0+ f (y + tv) + f (y − tv) −2 f (y) t =t→0lim+ g(x + tu) + g(x − tu) −2g(x) t =0.
Ou seja, f é Gâteaux diferenciável em y. Então T (Dg) ⊆Df e, em consequência, Df é denso em U. Portanto, Y é um espaço de diferenciabilidade Gâteaux.
No caso que X seja Asplund fraco, Dg é residual e, em consequência, existe W ⊆ Dg um
subconjunto Gδ denso em V . Notemos que T é aberta e que W é completamente metrizável pois X é de Banach. Consideremos a função ψ = T ⋃︀V ∶V → U contínua, sobrejetora e aberta. Pela Proposição 1.2.32, existe N ⊆ W tal que ψ(N) é um conjunto Gδ denso em U . Logo T (N) ⊆ T (Dg) ⊆Df e, portanto, Df é um subconjunto residual de U . Concluímos que Y é Asplund fraco.
Agora, em particular, vamos estudar as propriedades em espaços da forma C(K). Por tal motivo, introduzimos a seguinte definição.
Definição 4.1.5. Seja K um espaço compacto. Definimos a função ϕK∶C(K) → R por ϕK(g) = sup{g(x) ⋃︀ x ∈ K} e a função multi-avaliada FK ∶C(K) → 𝒫(K) como FK(h) = {x ∈ K ⋃︀ h(x) = ϕK(h)}. Além disso, denotaremos por MK o conjunto onde FK é um-avaliada e definimos a
função fK∶MK→FK(MK)por fK(h) = FK(h).
Observação 4.1.6. Dada h ∶ K → R uma função contínua não constante, denotaremos por h∗a
função definida por h∗(x) =h(x) − a
b − a , para cada x ∈ K, onde a = inf{h(t) ⋃︀t ∈ K} e b = sup{h(t) ⋃︀t ∈ K}. Temos que h∗é uma função contínua não negativa, F
K(h) = FK(h∗)e ϕK(h∗) = ∏︁h∗∏︁∞=1. Proposição 4.1.7. Dado um espaço compacto Hausdorff K, e seguindo a notação da definição anterior, obtemos o seguinte.
a) ϕK é uma função convexa contínua, FK é usco e fK é contínua.
c) FK(MK)é o conjunto dos pontos Gδ de K. d) FK e fK são funções abertas.
Demonstração. Por simplicidade escreveremos f , F, ϕ em lugar de fK, FK, ϕK.
a) Não é difícil ver que ϕ é convexa. Sejam g ∈ C(K) e (gn)n∈Numa sequência que converge a g. Dado ε > 0, existe n0∈N tal que ∏︁gn−g∏︁∞<ε , para qualquer n ≥ n0. Para quaisquer x ∈ K
e n ≥ n0vale que ⋃︀gn(x) − g(x)⋃︀ < ε. Logo gn(x) < ε + g(x) ≤ ε + ϕ(g) e, por consequência,
ϕ (gn) −ϕ (g) < ε . Analogamente, ϕ (g) − ϕ (gn) <ε . Ou seja, ⋃︀ϕ (gn) −ϕ (g)⋃︀ < ε , para todo n ≥ n0.
Para cada h ∈ C(K), F(h) = h−1({ϕ (h)}) ≠ ∅ é fechado e, portanto, compacto. Sejam C um fechado de K e g′∈ {h ∈ C(K) ⋃︀ F(h) ∩C ≠ ∅}. Se F(g′) ∩C = ∅, então existe um
aberto W ⊆ C(K) tal que g′∈W e W ⊆ {h ∈ C(K) ⋃︀ F(h) ⊆ K ∖C}. Logo existe h′∈W tal que
F(h′) ∩C ≠ ∅, o qual é absurdo. Então {h ∈ C(K) ⋃︀ F(h) ∩C ≠ ∅} é fechado. Em conclusão,
F é usco.
Finalmente, dado U um aberto de F(M), existe um aberto V de K tal que U = V ∩ F(M). Se h ∈ f−1(U ), então F(h) ⊆ V e, por consequência, existe um aberto W de C(K) tal que
h ∈ W e F(W ) ⊆ V . Assim, h ∈ W ∩ M ⊆ f−1(U ). Isto é, f é contínua.
b) Seja h ∈ C(K). Se h ∈ M, consideremos F(h) = {x0}. Sejam g ∈ C(K) e ε > 0, existe um
aberto U ⊆ K tal que ⋃︀g(x) − g(x0)⋃︀ <ε2, para qualquer x ∈ U . Como U é aberto, existe δ > 0 tal que F(h + tg) ⊆ U , para todo t ∈ (−δ , δ ). Se t ∈ (0, δ ), e considerando x1∈F(h + tg)e x2∈F(h − tg), obtemos 0 ≤ϕ (h + tg) + ϕ (h − tg) − 2ϕ (h) t = (h + tg)(x1) + (h − tg)(x2) −2h(x0) t ≤ (h + tg)(x1) −h(x1) + (h − tg)(x2) −h(x2) t = g(x1) −g(x0) +g(x0) −g(x2) <ε .
Então ϕ é Gâteaux diferenciável em h. Reciprocamente, suponhamos que ϕ é Gâteaux diferenciável em h. Sejam x, y ∈ F(h) e p ∈ C(K), logo
p(x) − p(y) =(h + t p)(x) + (h − t p)(y) −2h(x)
t ≤
ϕ (h + t p) + ϕ (h − t p) − 2ϕ (h)
t .
E, fazendo t → 0+, obtemos p(x) = p(y). Ou seja, T (x) = T (y), para todo T ∈ C(K). Se
xe y são distintos, pelo Lema de Urysohn, existe uma função contínua ψ ∶ K → R, com ψ (K) ⊆ (︀0, 1⌋︀, tal que ψ (x) = 0 e ψ (y) = 1, o qual contradiz o fato anterior. Portanto, F (h) é um conjunto unitário.
c) Mostraremos que F(M) = {x ∈ K ⋃︀ x é um ponto Gδ de K}. Dado y0∈F(M), existe h ∈ M tal que F(h) = {y0}. Considerando os abertos An= {x ∈ K ⋃︀ h(x) > ϕ(h) −1n}, para cada
n ∈ N>0, temos que ∞
⋂
n=1
An= {y0}. Isto é, y0é um ponto Gδ de K.
Reciprocamente, seja x0um ponto Gδ de K. Existe uma sequência decrescente de abertos
(Dn)n∈Ntal que ⋂
n∈N
Dn= {x0}. Em virtude do Lema de Urysohn, para cada n ∈ N, existe uma função contínua gn∶K → R, com gn(K) ⊆ (︀0, 1⌋︀, tal que gn(w) =0, para todo w ∈ K ∖ Dn, e gn(x0) =1. Definimos g ∶ K → R como g(x) =
∞
∑
n=0
gn(x)
2n+1 . Temos que g(x0) =1 e g é contínua
pois C(K) é de Banach. Além disso, se x ∈ K ∖ {x0}, então existe n0∈N tal que gn(x) =0, para todo n ≥ n0. Em consequência, 0 ≤ g(x) < 1, para qualquer x ∈ K ∖ {x0}. Portanto, F(g) = {x0}e g ∈ M. Isto é, x0∈F(M).
d) Primeiro mostraremos que, para quaisquer h ∈ C(K) e r > 0, existe um aberto Gh,r⊆K tal que F(h) ⊆ Gh,r⊆F(B(h, 2r)). Mais ainda, se h ∈ M temos que F(h) ⊆ Gh,r∩F(M) ⊆ F(B(h, 3r) ∩ M). De fato, no primeiro caso, consideremos o aberto Gh,r= {x ∈ K ⋃︀ h(x) > ϕ (h) − r} e definamos a função t ∶ K → R por t(x) = min{h(x) + r, ϕ(h)}. Temos que t é contínua, ϕ(t) = ϕ(h) e ∏︁t − h∏︁∞<2r. Então F(h) ⊆ Gh,r⊆F(t) ⊆ F(B(h, 2r)).
No caso que h ∈ M, sabemos que F(h) ⊆ Gh,r∩F(M). Se x0∈Gh,r∩F(M), existe g ∈ M tal que F(g) = {x0}. Ademais, seguindo a notação da Obervação 4.1.6, temos que
(t + rg∗)(x) < (t + rg∗)(x
0), para cada x ∈ K ∖ {x0}. Então t + rg∗∈Me F(t + rg∗) = {x0}. Além disso, ∏︁t + rg∗−h∏︁
∞ ≤ ∏︁t − h∏︁∞+r∏︁g∗∏︁∞ <3r. Portanto, F(h) ⊆ Gh,r∩F(M) ⊆
F(B(h, 3r) ∩ M).
Dado um aberto U ⊆ C(K), para cada x ∈ U existe rx>0 tal que B(x, rx) ⊆U. Logo F(U ) = ⋃ x∈U F(x) ⊆ ⋃ x∈U Gx,rx 2 ⊆ ⋃ x∈U F(B(x, rx)) ⊆F(U ). Ou seja, F(U ) = ⋃ x∈U Gx,rx 2 é um aberto de K.
Por último, dado V um aberto de M, para cada x ∈ V existe rx>0 tal que B(x, rx) ∩M ⊆ V. Logo f (V ) = ⋃ x∈V F(x) ⊆ ⋃ x∈V Gx,rx 3 ∩F(M) ⊆ ⋃ x∈V F(B(x, rx) ∩M) ⊆ F(V ) = f (V ). Isto é, f (V ) = ⋃ x∈V Gx,rx 3 ∩F(M)é um aberto de F(M).
Lema 4.1.8. Em um espaço compacto Hausdorff K são equivalentes.
i) MK é denso.
ii) O conjunto onde ϕK é Gâteaux diferenciável é denso.
iii) O conjunto dos pontos Gδ de K é denso.
Demonstração. Por simplicidade escreveremos f , F, ϕ em lugar de fK, FK, ϕK. Em virtude da
e (iii) são equivalentes. Sejam U um aberto não vazio de K e x0∈U. Pelo Lema de Urysohn, existe uma função contínua y ∶ K → R, com y(K) ⊆ (︀0,1⌋︀, tal que y(x) = 0, para cada x ∈ K ∖U, e y(x0) =1. Como F(y) ⊆ U , existe um aberto T ⊆ C(K) tal que y ∈ T e F(T ) ⊆ U . Pela densidade de M, existe t ∈ M ∩ T . Assim, ∅ ≠ F(t) ⊆ F(M) ∩U . Ou seja, F(M) é denso.
Reciprocamente, dado um aberto não vazio V ⊆ C(K), como F é aberta e F(M) é denso, existem w ∈ V e g ∈ M tais que F(g) ⊆ F(w). Ademais existe r > 0 tal que B(w, r) ⊆ V . Assim, seguindo a notação da Obervação4.1.6, w +r2g∗∈V e F(w +r
2g∗) =F(g∗) =F(g). Isto é, w + r
2g∗∈V ∩ Me,
portanto, M é denso.
Corolário 4.1.9. Em um espaço compacto Hausdorff K são equivalentes.
i) MK contém um conjunto Gδ denso.
ii) O conjunto onde ϕK é Gâteaux diferenciável contém um conjunto Gδ denso.
iii) O conjunto dos pontos Gδ de K contém um conjunto Gδ denso completamente metrizável. Demonstração. Por simplicidade escreveremos f , F, ϕ em lugar de fK, FK, ϕK. Em virtude da
Proposição4.1.7obtemos que as afirmações (i) e (ii) são equivalentes. Mostraremos que (i) implica (iii) e vice-versa. Se existe E ⊆ M um conjunto Gδ denso em C(K), então, pelo Lema
4.1.8, F(M) = f (M) é denso em K. Como C(K) é de Banach, E é Gδ denso completamente metrizável. Aplicando a Proposição1.2.32na função f ∶ M → f (M), concluímos que K contém um subconjunto Gδ denso completamente metrizável e, além disso, cada ponto dele é um ponto Gδ de K em virtude da Proposição1.2.31.
Reciprocamente, suponhamos que F(M) contém um subconjunto Gδ completamente metrizável denso em C(K). Sejam D tal subconjunto e d uma métrica completa que induz a topologia de D. Afirmamos que o conjunto H = {x ∈ M ⋃︀ F(x) ∈ D} é denso. De fato, seja P um aberto não vazio de C(K). Sabemos que F(P) ∩ D ≠ ∅. Existem x0∈De h′∈Ptais que x0∈F(h′). Ademais existem r > 0 e g ∈ M tais que B(h′, r) ⊆ P e F(g) = {x
0}. Logo, seguindo a notação da Obervação
4.1.6, h′
+2rg∗∈P ∩ H. Então H é denso. Para cada n ∈ N>0definimos
Gn= {x ∈ C(K) ⋃︀existe um aberto U ⊆ K tal que F(x) ⊆ U e d − diam(U ∩ D) < 1n}, o qual é aberto pois F é usco. Mostraremos que N =
∞
⋂
n=1
Gncontém H. Sejam h ∈ H e n ∈ N>0, existe um aberto U de K tal que B(F(h),2n1) =U ∩ D. Ademais existe um aberto V ⊆ K tal que F(h) ∈ V e V ⊆ U e, em consequência, d − diam(V ∩ D) < 1n. Ou seja, h ∈ Gnpara todo n ∈ N>0.
Então H ⊆ N e, portanto, N é denso.
Finalmente vejamos que N ⊆ M. Dado x ∈ N, para cada n ∈ N>0, existe um aberto Un⊆K tal que F(x) ⊆ Un e d − diam(Un∩D) < 1 n. Sabemos que ∅ ≠ D ∩ n ⋂ i=1 Un⊆D ∩ n ⋂ i=1 Un. Logo, pelo
Teorema1.2.3, existe k0∈Ktal que D ∩ ∞ ⋂ n=1 Un= {k0}. Se existe k′ ∈F(x) ∖ {k0}, então existe um aberto W ⊆ K tal que k0∈W e k′∉W. Em consequência, D ∩Ui⊆W para algum i ∈ N>0. Então k′∈F(x) ⊆ U
i⊆D ∩Ui=D ∩Ui⊆W, o qual é falso. Ou seja, F(x) = {k0}e, portanto, N ⊆ M. Isto é, N é um conjunto Gδ denso em K e contido em M.
O seguinte teorema fornece uma propriedade importante dos espaços de diferenciabili- dade Gâteaux e Asplund fracos da forma C(K).
Teorema 4.1.10. Seja K um espaço compacto Hausdorff.
1) Se (C(K), ∏︁ ⋅ ∏︁∞)é um espaço de diferenciabilidade Gâteaux, então para cada subconjunto
fechado A ⊆ K, o conjunto dos pontos Gδ de A é denso em A.
2) Se (C(K), ∏︁ ⋅ ∏︁∞)é um espaço Asplund fraco, então cada subconjunto fechado A ⊆ K possui
um subespaço Gδ completamente metrizável denso em A. Demonstração.
1) Dado que C(K) é um espaço de diferenciabilidade Gâteaux, ϕK é Gâteaux diferenciável
num conjunto denso de C(K). A partir do Lema4.1.8sabemos que o conjunto dos pontos Gδ de K é denso em K. Se A ⊆ K é um subconjunto fechado, consideremos a função linear T ∶ C(K) → C(A) definida por T ( f ) = f ⋃︀A. Não é difícil ver que T é contínua e, pelo
Teorema de Tietze-Urysohn, é sobrejetora. Logo, em virtude do Teorema4.1.4, C(A) também é um espaço de diferenciabilidade Gâteaux. O resultado final é obtido aplicando novamente o Lema4.1.8a ϕA.
2) Dado que C(K) é um espaço Asplund fraco, ϕK é Gâteaux diferenciável num conjunto
residual de C(K). A partir do Corolário4.1.9sabemos que K contém um subconjunto Gδ denso completamente metrizável. Se A ⊆ K é um subconjunto fechado, consideremos a função linear T ∶ C(K) → C(A) definida por T ( f ) = f ⋃︀A. Não é difícil ver que T é contínua
e, pelo Teorema de Tietze-Urysohn, é sobrejetora. Logo, em virtude do Teorema4.1.4, C(A)também é um espaço Asplund fraco. O resultado final é obtido aplicando novamente o Corolário4.1.9a ϕA.
Finalmente definimos os espaços Stegal, fracamente Stegall e estabelecemos uma relação com os espaços Asplund fracos.
Definição 4.1.11. Seja X um espaço de Hausdorff. Dizemos que
- X é um espaço Stegall se, para quaisquer espaço de Baire B e usco minimal ϕ ∶ B → 𝒫(X ), ϕ é um-avaliada em algum ponto de B.
- X é um espaço fracamente Stegall se, para quaisquer espaço métrico completo M e usco minimal ϕ ∶ M → 𝒫(X ), ϕ é um-avaliada em algum ponto de M.
Exemplo 4.1.12. Em virtude da Proposição1.4.12, todo espaço topológico fragmentado por uma métrica é um espaço Stegall.
Proposição 4.1.13. Seja X um espaço de Hausdorff. Logo X é Stegall se, e só se, para quaisquer espaço de Baire B e usco minimal ϕ ∶ B → 𝒫(X ), temos que ϕ é um-avaliada num subconjunto residual.
Demonstração. Basta provar a necessidade. Sejam B um espaço de Baire e ϕ ∶ B → 𝒫(X ) usco minimal. Denotemos por R o conjunto onde ϕ é um-avaliada. Se Rc é de segunda categoria,
pelo Teorema1.3.16, existe um aberto não vazio U tal que Rc∩U é de Baire e, para todo aberto
não vazio V de U , Rc∩V é de segunda categoria. Mostraremos que ψ = ϕ⋃︀
Rc∩U é minimal usco.
Sejam Z um aberto de Rc∩U e W um aberto de X tais que ψ(Z) ∩W ≠ ∅. Existe um aberto A
de B tal que Z = Rc∩U ∩ A. Dado que ϕ(U ∩ A) ∩W ≠ ∅, e aplicando o item (c) do Lema1.4.6,
existe um aberto não vazio N ⊆ A ∩U tal que ϕ(N) ⊆ W . Em consequência, N ∩ Rcé um aberto não vazio de Rc∩U tal que ψ(N ∩ Rc) ⊆W.
Logo, a partir do fato que X é um espaço Stegall, existe x ∈ Rc∩U tal que ψ(x) é um conjunto
unitário. Então x ∈ R, o qual é absurdo. Portanto, Rcé magro. Ou seja, R é residual.
O seguinte teorema fornece uma relação entre os espaços Stegall e fracamente Stegall com os espacos Asplund fracos e quase Asplund fracos, respectivamente.
Teorema 4.1.14. Seja X um espaço de Banach.
1) Se (X∗, f raca∗
)é Stegall, então X é Asplund fraco.
2) Se (X∗, f raca∗
)é fracamente Stegall, então X é quase Asplund fraco.
Demonstração. Sejam U ⊆ X um aberto convexo e f ∶ U → R uma função contínua e convexa. Pela Proposição1.4.7, existe ϕ ∶ U → 𝒫(X∗
)usco minimal tal que ϕ ⊆ ∂ f . Denotemos por Df o conjunto onde f é Gâteaux diferenciável e R o conjunto onde ϕ é um-avaliada, demonstraremos que R ⊆ Df. De fato, sejam x0∈Re v ∈ X , e consideremos ademais uma seleção h de ϕ. Para qualquer t > 0 temos que
(︀h(x0)⌋︀(v) ≤ f (x0+tv) − f (x0)
(︀h(x0)⌋︀(−v) ≤ f (x0−tv) − f (x0)
t ≤ (︀h(x0−tv)⌋︀(−v).
Dado ε > 0, como ϕ é usco, existe δ > 0 tal que B(x0, δ ) ⊆ {z ∈ U ⋃︀ ϕ(z) ⊆ V (h(x0); v;ε
2)}. Assim,
se t ∈ (−δ , δ ), então
0 ≤ f (x0+tv) + f (x0−tv) −2 f (x0)
t ≤ (︀h(x0+tv) − h(x0−tv)⌋︀(v) < ε. Ou seja, f é Gâteaux diferenciável em x0e, portanto, R ⊆ Df.
Se (X∗, f raca∗
)é Stegall, pela Proposição4.1.13, obtemos que R é residual em U . Logo Df também é residual em U . Isto é, X é Asplund fraco.
Caso (X∗, f raca∗
)seja fracamente Stegall, suponhamos que R não é de segunda categoria em toda parte em U . Logo existe um aberto V ⊆ U tal que V ∩ R é magro em V . Assim V ∖ R é residual e, em consequência, existe B um subconjunto Gδ denso em V tal que B ∩ R = ∅. Pela Proposição
1.4.8, ϕ⋃︀V é usco minimal. Como B é conjunto Gδ de X , ele é completamente metrizável e,
portanto, ϕ⋃︀B∶B → 𝒫(X∗)também é usco minimal. Dado que X∗é fracamente Stegall, ϕ⋃︀B é um-avaliada num ponto de B mas isso contradiz o fato que B ∩ R = ∅. Concluímos que R, e em consequência também Df, é de segunda categoria em toda parte em U . Portanto, X é quase
Asplund fraco.