exploratório-investigativas desenvolvidas no grupo
2.2.2 Aproximações com a atividade Juntando quadrados
Como na atividade anterior, alguns modos pessoais de desenvolvê-la se sobressaí- ram. Cidinha e Dulce faziam recortes, e Gisele utilizava as representações de seu registro escrito para tornar concreto seu pensamento. Léia, por sua vez, acompanhava e refletia sobre tudo o que observava e anotava. A exploração foi conduzida pelas professoras com o interesse de identificar todas as peças8 possíveis com menos de seis quadrados o que indica, conforme já dito, a influência da atividade anterior.
Gisele e Dulce relembraram a conjectura de que seria doze o número de planificações do cubo, com base em suas experiências e na relação construída com a matemática — a matemática da certeza, na qual correr riscos é algo negativo e indesejável.
138. D. Você colabora, cada um pensa de um jeito e no final de tudo. . . 139. G. A gente acha que é doze no final., mas não combina. (rindo)
(referindo-se à atividade anterior). 140. D. Doze! E não é doze!
141. D. Eu me convenci porque eu vi, mas eu não gostei não.
142. D. Porque a gente está acostumado com coisas que dão certo, né. Então!
Por outro lado, a exploração-investigação, por prezar pelo diálogo entre os participan- tes, pode causar estranheza e também satisfação. Nesse sentido, conforme expõem Alrø e Skovsmose (2006, p. 128)
Arriscar pode ser visto como algo negativo, quer dizer, associado à pri- meira vista a sentimentos desconfortáveis que surgem quando uma su- gestão ou opinião é refutada ou questionada. Mas, arriscar inclui tam- bém uma possível euforia experienciada quando, por exemplo, uma su- gestão se encaixa na visão geral do problema e torna-se patente que a sugestão — originalmente um mero detalhe na perspectiva do próprio autor — veio a desempenhar um papel de grande relevância na investi- gação. Dialogar é arriscado, na medida em que pode mexer com senti- mentos ruins, bem como causar alegria.
Após identificarem as primeiras configurações com menos de seis quadrados, Dulce interessou-se (fala 143) por determinar quantas são essas peças e quais são. Com esse questionamento, a atividade ficou definida e contou com a participação de todas as pre- sentes.
A exploração-investigação, tendo como elemento o diálogo entre os participantes, permite avanços e não a atividade paralela, repetida entre eles. Conforme sistematizava seus resultados, Gisele os comunicava (fala 144) aos demais, não reservando a sociali- zação apenas para a etapa final. A atividade foi impulsionada pelo contato permamente entre as participantes.
143. D. Será que são quantas? Quais são elas? (. . . )
144. G. Olhe, com dois, com três, eu fiz sempre assim, o reto [quadra- dos alinhados] e depois trabalhei as laterais. A lógica que eu usei foi essa.
Figura 2.19 – Primeiras configurações feitas pela Gisele.
(Captura de videogravação. Autoria da pesquisadora.)
Observando as formas geométricas das peças construídas por Gisele (na Figura 2.19), destaquei que algumas delas formavam um retângulo. Eu desejava incitar o levantamento de questões durante o processo exploratório. O que chamava minha atenção eram as figuras geométricas com áreas equivalentes que tinham perímetros diferentes, mas isso provinha de minha própria experiência e relacionava-se aos meus objetivos. Contudo, não deram atenção à essa observação. Gisele estava atenta ao processo percorrido e destacou a
necessidade de organizarem as configurações já feitas para se certificarem de que estavam identificando todas as configurações.
145. G. Agora eu vou partir para a de quatro [quadrados alinhados]. As de quatro já vai ter mais opções.
146. G. Sempre reta primeiro, depois trabalha com a lateral. 147. G. É uma maneira de já comprovar, já cercar as possibilidades.
Na Figura 2.20, podemos verificar as peças já construídas por Gisele e por Dulce para as quais elas buscam regularidades nas quantidades de peças com dois (dominós), três (triminós) ou quatro (tetraminós9) quadrados: respectivamente uma, duas e cinco (falas 148 e 149).
Figura 2.20 – Dominós, triminós e tetraminós.
(Imagem elaborada pela pesquisadora a partir da videogravação.)
148. D. Um. . . Dois. . . Cinco. . .
149. D. Um. . . Dois. . . Cinco? (Batendo os dedos na mesa.) 150. G. Já tá querendo, né.
151. D. (Continua observando e mexendo os dedos sobre a mesa, como quem procura ver uma regularidade nos números.)
152. G. Coloquei dois e fui mexendo na lateral. 153. G. Eu pensei assim para não perder.
9Essa nomenclatura foi por mim explicada às professoras durante os encontros, assim como “pentami-
Enquanto isso, eu discutia com a Cidinha algumas regularidades entre as configu- rações que ela tinha formado. Além das duas peças com cinco quadrados, ela já tinha feito algumas com quatro quadrados e todas elas tinham três quadrados alinhados. Desse modo, esta professora também construiu suas peças com quatro quadrados, alinhando-se à atividade de Gisele e de Dulce. Estas, por sua vez, discutiam sobre um procedimento que garantisse, ao final, que não tivessem excluído configurações possíveis de serem fei- tas. Nesse processo, elas puderam observar figuras que seriam repetidas, ao modificar a posição de um quadrado sobre a mesa.
154. D. Então nós vamos só girar um quadrado? Então eu vou colocar quatro (colando quatro quadrados) e depois a gente gira o outro. 155. G. É, eu fui fazendo assim porque eu acho que a gente vai fe-
chando.
156. D. Uma ordem, né. 157. G. É.
158. D. Aí põe aqui, põe aqui, põe, aqui. (Mostrando com o dedo um quadrado solto ao lado de uma tira com quatro quadrados gruda- dos)
159. G. Então, só põe aqui e aqui. (Indicando que para fazer peças com cinco quadrados, tendo quatro alinhados, só é possível em duas posições: onde já está o quadrado anexado e onde ela aponta, conforme Figura 2.21.)
160. G. Porque senão fica a mesma coisa e só muda a posição.
161. C. Complicado. Você acha que o negócio é tão facinho, aí, veja, de repente. . .
Figura 2.21 – Posições do quadrado em peças com cinco quadrados, sendo quatro alinhados.
Cidinha expressou seu estranhamento com a atividade, pois lhe pareceu que esta seria fácil, sem dificuldades (fala 161). Quando investigamos não partimos do conhecimento pronto, ao invés disso, não sabemos onde vai dar e nem se as explorações conduzirão à questões investigativas. Além disso, não podemos esperar que alguém, como o professor por exemplo, tenha, no final, uma resposta para compararmos com nossos resultados.
Conforme Alrø e Skovsmose (2006), trocar o paradigma do exercício por um cenário para investigação implica também deixar uma zona de conforto e entrar em uma zona de risco10. A investigação torna-se uma zona de risco por não conhecermos previamente o que vai dar nem como devemos proceder durante todo o tempo. Uma investigação só tem sentido se houver o que investigar, ou seja, o que não se sabe e o desejo em conhecer.
A investigação seguiu pelo questionamento de Gisele sobre as possíveis configura- ções com cinco quadrados, com três alinhados e os outros dois alternando-se em diversas posições.
162. G. Tem que fazer com três agora. Três retinhos e com dois na lateral.
163. G. Quais as possibilidades com dois na lateral?
164. G. A gente não pode esquecer de fazer também essa possibili- dade.
Para expor sistematicamente as peças que começavam a ficar sobrepostas sobre a mesa, sugeri que estas fossem coladas num painel, conforme represento na Figura 2.22. Nesse caso, ainda faltavam três peças para serem identificadas. Do painel feito para o aqui representado, acrescentei a parte escrita (palavras e números). Para determinar as três últimas configurações, as professoras retomaram todo o processo, uma vez que se lembravam de uma planificação do cubo que tem somente dois quadrados alinhados e ainda não tinham se deparado com uma peça que correspondesse, de algum modo, a essa planificação.
165. G. E se a gente fizer aquele que escorrega, sabe, que fica para fora. 166. G. Aquele igual o do quatro, olha. (Apontando para o painel, o
quarto tetraminó na segunda linha da Figura 2.22.)
10Segundo Alrø e Skovsmose (2006), a noção de zona de risco foi desenvolvida por Penteado, Miriam
G. Computer-based learning environments: risks and uncertainties for teachers. Ways of Knowing, 1(2), p.23-35.
167. D. Dois, dois e um?
168. G. É. (Olhando para o painel.)
Figura 2.22 – Representação do painel (incompleto) de poliminós.
(Imagem elaborada pela pesquisadora a partir da videogravação.)
Depois de analisarem o processo percorrido, identificaram as três peças faltantes (Fi- gura 2.23) dos pentaminós.
Figura 2.23 – Três últimos pentaminós.
(a) (b) (c)
(Imagem elaborada pela pesquisadora a partir da videogravação.)
Nessa atividade, quais eram as peças passou a ser mais importante que quantas eram. Após termos todas as peças coladas no painel, questionei quantas tínhamos. Em resposta, contaram (vinte) e demonstraram satisfação por terem todas em seus registros. Mesmo que Dulce anteriormente tenha tido uma iniciativa em relacionar os números de peças por número de quadrados, ao final, esse interesse não mais existiu e a atividade encerrou-se.
Como não foram encontradas mais possibilidades de formarem peças, as professoras deram por encerrada a atividade até porque o término do encontro se aproximava. Em ou- tros encontros, como eu tinha planejado anteriormente, discutimos: (a) classificação dos poliminós segundo eixos de simetria, perímetro, área e convexidade; (b) figuras formadas por peças dos poliminós. Isso foi um modo de ampliar a atividade, complementando com outros conteúdos.
Ao discutirmos a possibilidade de formarmos diversas figuras geométricas com os poliminós, preparei para um encontro posterior outra tarefa (Riscando cubos e economi- zando papel) conforme apresento na próxima seção.