4.3 FLUX original
4.3.2 C´alculo dos perfis de linha
Ao executar o FLUX, os arquivos grid.dat.rsmpl.new e gridsize.dat s˜ao lidos, e estes devem ser os nomes utilizados para cada arquivo, caso contr´ario eles n˜ao s˜ao encontrados. Todos os valores contidos no arquivo de grade s˜ao armazenados em matrizes de dimens˜ao #N̟×#Nz. Em seguida, o c´odigo pede os parˆametros de entrada, nesta ordem: massa da estrela M∗em unidades de M⊙, raio da estrela R∗em unidades de R⊙, temperaturas da fotosfera Tfot e do anel de acrec¸˜ao
Tch em K, frequˆencia central da linha que se deseja calcular ν0 em Hz, inclinac¸˜ao do sistema i
em graus, n´umero de circunferˆencias dentro da ´area da estrela NRC, n´umero de circunferˆencias
cobrindo a regi˜ao da magnetosfera NRM, raios interno Rmi e externo Rmo da magnetosfera em
unidades de R∗, comprimento m´aximo do raio de luz RMAXem unidades de R∗, os n´ıveis superior
u e inferior l da transic¸˜ao, e o n´umero de velocidades ou frequˆencias que v˜ao formar o perfil de
linha NV. Os trˆes parˆametros seguintes s˜ao utilizados, caso n˜ao se deseje usar a magnetosfera
completa: φ0 ´e o ˆangulo azimutal central da primeira sec¸˜ao da magnetosfera utilizada; ∆φ ´e
metade do ˆangulo coberto por cada sec¸˜ao da magnetosfera; e Nφ ´e o n´umero de sec¸˜oes em que se dividiu a magnetosfera. O ˆangulo m´aximo coberto por cada sec¸˜ao da magnetosfera ´e φmax = 2π/Nφ, e o ˆangulo coberto por cada sec¸˜ao 2∆φ n˜ao deve ser maior que este ˆangulo m´aximo. Os valores-padr˜ao utilizados s˜ao os que resultam numa magnetosfera completa: φ0=0,
∆φ=π e Nφ=1.
O arquivoprofveltablecont´em todas as velocidades que ser˜ao utilizadas no c´alculo dos perfis de linha. Se o valor de NV for menor que o n´umero de linhas desse arquivo, apenas as NV
primeiras velocidades do arquivo ser˜ao utilizadas no c´alculo do perfil de linha. Oprofveltable´e um arquivo ASCII de apenas uma coluna, deve conter pelo menos NV linhas, e cada linha uma
velocidade relativa ao centro da linha dada em km s−1. As quatro primeiras linhas de um arquivo de exemplo podem ser vistas abaixo
-1000.0000 -800.0000 -600.0000 -583.0986 ...
O n´umero de velocidades NV, ou pontos ao longo de perfil de linha, a serem utilizadas n˜ao pode
ser maior que 80. Esse valor, entretanto pode ser alterado no c´odigo do programa. Como no caso do CV, a frequˆencia relacionada a cada velocidade ´e dada por
ν = ν0−
vi
cν0, (4.38)
onde vi ´e a i-´esima velocidade doprofveltable. A velocidade negativa indica um vetor velocidade apontando na direc¸˜ao do observador (luz desviada para o azul), e a velocidade positiva apontando na direc¸˜ao oposta ao observador (luz desviada para o vermelho).
Os valores de NRC, NRM, e RMAX s˜ao utilizados para montar a grade de feixes de luz que
cruzam o sistema e ser˜ao utilizados para calcular o perfil de linha. A grade criada pelo FLUX ´e uma grade cartesiana de pontos, diferente da grade criada pelo CV que ´e uma grade polar. A regi˜ao do problema ´e dividida em duas grades diferentes: uma interior `a ´area coberta pela estrela, formada por quadrados iguais e de lado ∆LC = R∗/(NRC − 1), e uma externa `a ´area
da estrela e limitada externamente por uma circunferˆencia de raio igual a RMAX, formada por
quadrados iguais e de lado ∆LM = (RMAX − R∗)/(NRM − 1). O comprimento m´aximo de cada
feixe de luz ´e 2RMAX, e o n´umero m´aximo de pontos ao longo de cada raio ´e NRC+ NRM. Os
feixes s˜ao truncados, caso atinjam o disco de acrec¸˜ao, ou a superf´ıcie da estrela, e feixes que comecem abaixo do disco de acrec¸˜ao n˜ao s˜ao considerados. O feixe de luz tamb´em ´e truncado quando a profundidade ´optica torna-se elevada demais (τν≫1), e ao mesmo tempo, a contribuic¸˜ao ∆Iν a partir desta profundidade torna-se pequena o suficiente para n˜ao produzir uma variac¸˜ao significativa na intensidade espec´ıfica total do feixe Iν (∆Iν/Iν<0,001). O eixo normal `a grade que define os raios de luz, como no caso do CV e CVMOD, est´a inclinado de i graus em relac¸˜ao ao eixo-z de simetria do sistema.
O FLUX tamb´em precisa das caracter´ısticas atˆomicas do ´atomo de hidrogˆenio, que para o
CV e CVMOD s˜ao fornecidas pelo arquivo hydrogen.dat. Para o FLUX esses dados est˜ao na
bibliotecaparam.h, que cont´em os seguintes valores para o ´atomo de hidrogˆenio: frequˆencia de ionizac¸˜ao (νiκ) e degenerecˆencia (gi) dos 20 primeiros n´ıveis do ´atomo, coeficiente de emiss˜ao espontˆanea (Aul) para todas as transic¸˜oes entre cada um dos 20 primeiros n´ıveis do ´atomo, as larguras dos perfis Stark (γStark), natural ou radiativo (γrad), e de van der Waals (γvdW) de v´arias
das linhas das s´eries de Lyman, Balmer, Paschen e Brackett, o expoente utilizado no alargamento Stark, e a abundˆancia do ´atomo. Esse arquivo pode ser visto no Apˆendice D.
Ao contr´ario do CV e do CVMOD que utilizam apenas os pontos ressonantes na integrac¸˜ao da intensidade espec´ıfica de cada raio de luz, o FLUX integra ponto-a-ponto, considerando todos os pontos ao longo de um determinado raio de luz. Para isso, o FLUX resolve a Eq. (3.164),
Iν(τν) = Z ∞ τν Sν(τ′ν)e−(τ ′ ν−τν)dτ′ ν.
que ´e a soluc¸˜ao da equac¸˜ao de transferˆencia, em termos da func¸˜ao-fonte e da profundidade ´optica. Considerando que o observador est´a em τν=0, a Eq. (3.164) simplifica-se e pode ser escrita como
Iν(0) = Z ∞ 0 Sν(τ′ν)e−τ ′ νdτ′ ν, (4.39)
lembrando que a func¸˜ao-fonte pode ser escrita em func¸˜ao da emissividade e opacidade local como
Sν = ην χν ,
e a profundidade ´optica como
τν(l) = Z lmax
l
χν(l′)dl′,
onde lmax ´e a altura m´axima que o raio de luz atinge. Se considerarmos que, ap´os essa altura, a
luz n˜ao interage mais com material nenhum, podemos, ent˜ao, dizer que a intensidade em lmax´e a
mesma intensidade espec´ıfica que chega ao observador.
O FLUX utiliza a opacidade total χν e emissividade total ην para calcular a intensidade es- pec´ıfica ao longo de cada raio, enquanto o CV e CVMOD utilizavam apenas a opacidade e a func¸˜ao-fonte da linha. A opacidade total pode ser calculada a partir da Eq. (3.78),
χν = X i X j>i h ni − (gi/gj)nj i αi j(ν) + X i ni− n∗ie−hν/kT αiκ(ν) +X k nenkακκ(ν, T ) 1− e−hν/kT+ neσe,
que cont´em os termos de opacidade da linha, opacidade do cont´ınuo, opacidade livre-livre e o termo de espalhamento Thompson. Al´em dessas fontes de opacidade, tamb´em ´e considerada a opacidade devido ao ´ıon H−, dada, no caso de ETL, pela Eq. (3.76),
κ∗ν,H− =αν,H−nHIpeΦ(T )(1− e−hν/kT).
Como se consideram apenas os dois n´ıveis l e u nos c´alculos, o termo de opacidade da linha ´e simplificado, e a Eq. (3.78) torna-se
χν = nl− (gl/gu)nu αlu(ν) + X i ni− n∗ie−hν/kT αiκ(ν) + nenpακκ(ν, T ) 1− e−hν/kT+αν,H−nHIpeΦ(T )(1− e−hν/kT) + neσe, (4.40)
onde a densidade de ´atomos k vezes ionizados, nk, foi substitu´ıda pela densidade de pr´otons, np.
O termo de opacidade do cont´ınuo ´e obtido fazendo o somat´orio sobre os 15 primeiros n´ıveis do ´atomo de hidrogˆenio. Nesse caso, a densidade populacional dos trˆes primeiros n´ıveis ´e obtida do arquivo de grade e, para os outros n´ıveis, o FLUX calcula a densidade populacional do caso em equil´ıbrio termodinˆamico atrav´es das Eqs. (3.33) e (3.37) e das densidades de el´etrons, ne, e de
pr´otons, np. O somat´orio ´e feito apenas sobre os n´ıveis que podem ser ionizados pela frequˆencia
ν em quest˜ao.
A opacidade da linha ´e dada pela Eq. (3.62) e, analisando esta equac¸˜ao, podemos inferir que a sec¸˜ao reta da transic¸˜ao pode ser escrita como
αlu(ν) = (4π)−1hνluφνBi j, (4.41) ou seja, depende do coeficiente de absorc¸˜ao Bi je do perfil φν. Como o arquivoparam.hcont´em o coeficiente de emiss˜ao espontˆanea, Aji, podemos encontrar o valor de Bi jatrav´es das relac¸˜oes de Einstein [Eqs. (3.59 e (3.60)]. O perfil φν ´e um perfil de Voigt, e pode ser encontrado atrav´es das Eqs. (3.131), (3.132), (3.133), (3.134) e (3.135). A largura total γ da componente Lorentziana do perfil ´e dada pela Eq. (3.137)
γ = γrad+γvdW n HI 10−16cm−3 T 5000 K 0,3 +γStark n e 10−12cm−3 2/3 ,
onde nHI ´e a densidade populacional de hidrogˆenio n˜ao-ionizado. A largura da componente
Gaussiana do perfil ´e a largura Doppler t´ermica [Eq. (3.129)]
∆νD = v0 cν0= ν0 c 2kT m !1/2 ,
onde v0 ´e a velocidade do som na regi˜ao do material, T a temperatura local e m a massa do
´atomo de hidrogˆenio. O plasma est´a em movimento e, portanto, ν0 ´e a frequˆencia central da linha
deslocada devido `a velocidade do material. Se vlos ´e a velocidade do plasma projetada na linha
de visada, ν0 = 1− vlos c νlu,
e νlu ´e a frequˆencia central da transic¸˜ao. Na equac¸˜ao de Hjerting [Eq. (3.132)]
H(a, V)≡ a π Z ∞ −∞ e−Y2dY (V − Y)2+ a2,
que ´e utilizada para calcular o perfil de Voigt da linha, os valores de
a≡ γ
4π∆νD e
V ≡ ν− ν0
∆νD
s˜ao constantes. Na equac¸˜ao de V, o valor de ν ´e o valor da frequˆencia para a qual estamos calcu- lando a intensidade espec´ıfica, portanto depende dos valores de velocidade que est˜ao no arquivo
profveltable. Para calcular o valor de H(a, V) em cada ponto, para cada uma das velocidades que formam o perfil de linha completo, utiliza-se o m´etodo descrito por Harris (1948). Para valores de a≪1, a equac¸˜ao de Hjerting pode ser aproximada por
H(a, V) = H0(V) + aH1(V) + a2H2(V) + a3H3(V) + a4H4(v) + ... (4.42)
A func¸˜oes H0(V), H1(V), H2(V), H3(V) e H4(V) s˜ao tabeladas para v´arios valores de V, e estas
tabelas podem ser encontradas em Cox (2000). Como o valor de V calculado ´e geralmente diferente dos valores de V tabelados, o FLUX faz uma interpolac¸˜ao linear para encontrar os valores de Hn(V) corretos. Ap´os todos esses c´alculos, ent˜ao, s˜ao encontrados os valores de χl(ν) para cada um dos pontos ao longo de cada raio, e para diversas frequˆencias diferentes, considerando os mecanismos de alargamento j´a citados.
As sec¸˜oes retas de ionizac¸˜ao αiκ(ν) dos n´ıveis utilizados no c´alculo da opacidade do cont´ınuo s˜ao calculadas a partir da Eq. (3.120):
αiκ(ν) = 64π4m eq10e 3√3ch6 ! 1 ν3i5gII(i, ν) = 2,815× 10 29gII(i, ν) ν3i5 ,
onde gII(i, ν) s˜ao os fatores de Gaunt para transic¸˜oes ligado-livre partindo do estado de excitac¸˜ao
i. J´a a sec¸˜ao reta de absorc¸˜ao livre-livre ´e calculada com a Eq. (3.121)
ακκ(ν, T ) = 4q6 e 3ch ! 2π 3m3 ekT !1/2 ν−3¯gIII(ν, T ) = 3,69× 108¯gIII(ν, T )ν−3T−1/2,
onde ¯gIII(ν, T ) ´e dado pela Eq. (3.122), ¯gIII(ν, T )≡
Z ∞
0
gIII(ν, v)e−udu, e u ≡ (mev2/kT ). Os fatores de Gaunt g
II(i, ν) para transic¸˜oes ligado-livre, e gIII(ν, v) para transic¸˜oes livre-livre, s˜ao calculados de acordo com o m´etodo proposto por Carbon & Ginge- rich (1969). Para finalizar o c´alculo da opacidade do cont´ınuo falta apenas adicionar a opacidade do ´ıon H−. As sec¸˜oes retas de absorc¸˜ao ligado-livre e livre-livre do ´ıon de H−s˜ao calculadas de acordo com Gingerich et al. (1967), e somadas para obtermos a sec¸˜ao reta de absorc¸˜ao total do cont´ınuo. A densidade nH− ´e calculada considerando-se equil´ıbrio termodinˆamico.
Finalmente, a sec¸˜ao reta de espalhamento por el´etrons livres ´e dada pela Eq. (3.79). Com todos esses dados o FLUX consegue calcular a opacidade total de todos os pontos ao longo dos raios, para qualquer frequˆencia pr´oxima `a frequˆencia de transic¸˜ao.
Passando para o c´alculo da emissividade total, a Eq. (3.80) nos d´a a componente t´ermica da emissividade; se adicionarmos o termo de emissividade do cont´ınuo devido ao ´ıon H−, e o termo de emissividade devido ao espalhamento de el´etrons, dado pela Eq. (3.81), encontramos que a emissividade total ´e
ην = 2hν3 c2 nu(gl/gu)αlu(ν) + X i n∗iαiκ(ν)e−hν/kT + nenpακκ(ν, T )e−hν/kT +αν,H−nen1e−hν/kT +σeJ(r, ν). (4.43)
onde utilizamos a func¸˜ao de Planck Bν(T ) como intensidade m´edia. Consideramos que apenas ´atomos de hidrogˆenio no estado fundamental conseguem capturar um el´etron para se tornar H−.
Conhecendo a opacidade e emissividade em cada ponto, o FLUX consegue calcular as pro- fundidades ´opticas ao longo de cada feixe de radiac¸˜ao, e integrar a intensidade espec´ıfica. Ao inv´es de integrar a intensidade m´edia na forma apresentada pela Eq. (4.39), o FLUX utiliza a seguinte variac¸˜ao Iν(0) = Z ∞ 0 ην(l′)e−τ ′ ν(l′)dl′. (4.44)
Ap´os encontrar a intensidade espec´ıfica de todos os feixes de luz, a intensidade espec´ıfica ´e integrada sobre a ´area total da grade de feixes de luz, e temos a potˆencia luminosa em uma determinada frequˆencia que atinge o observador. Todos esses passos s˜ao repetidos para cada uma das velocidades ou frequˆencias ao longo do perfil de linha, para que finalmente, seja obtido o perfil de linha completo da linha desejada.
Exemplificando, a Fig. 4.4 mostra o perfil da linha de Hα gerado pelo FLUX original, desta vez em unidades absolutas. Os parˆametros s˜ao os mesmos que foram utilizados pelo CV para gerar a Fig. 4.1. Podemos notar claramente que o perfil gerado pelo FLUX ´e mais largo que os perfis gerados pelo CV ou CVMOD, o que ocorre devido aos mecanismos de alargamento que atuam sobre a linha e que agora foram considerados. A linha gerada pelo FLUX tamb´em ´e mais intensa, mas isto n˜ao se deve ao m´etodo utilizado pelo FLUX, mas `a maneira como foram obtidas as densidades populacionais utilizadas no c´alculo do perfil, e que ´e descrita na pr´oxima sec¸˜ao. A linha permanece levemente deslocada para o azul, como no caso da Fig. 4.1, mas a pequena absorc¸˜ao deslocada para o vermelho desaparece.
-400 -200 0 200 400 Velocidade (km s-1) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Potencia (10 19 erg s -1 Hz -1 )
Figura 4.4: Perfil da linha de Hα, gerado pelo FLUX original, onde se considera apenas a componente magne- tosf´erica da linha. Utilizamos os mesmos parˆametros usados pelo CV para gerar o perfil da Fig. 4.1.