Tarefa: Calcular as Populações dos N´ıveis do hidrogênio (job:4)

3.7 M´etodo de Sobolev

4.1.2 Execuc¸˜ao do CV

4.1.2.3 Tarefa: Calcular as Populações dos N´ıveis do hidrogênio (job:4)

Após ottempcalcular as temperaturas em cada um dos pontos da grade, torna-se poss´ıvel cal- cular as densidades populacionais de cada um dos n´ıveis atômicos. Para isto, o CV deve ser executado com a opção JobType=4.

O CV utiliza uma simplificação do átomo de dois n´ıveis com cont´ınuo, onde

n1+ n2+ np = nH, (4.6)

sendo n1e n2 são as densidades populacionais de átomos de hidrogênio no estado fundamental,

e no primeiro estado excitado respectivamente, e np ´e a densidade populacional de ´atomos de

hidrogênio ionizado. De acordo com Hartmann & MacGregor (1980), para temperaturas abaixo de 8000 K, o cont´ınuo e as linhas de Lyman tornam-se opticamente muito espessas, e podem ser consideradas como estando em Equil´ıbrio Termodinâmico. Nesse caso, pode-se também consi- derar que toda a ionização ocorre por fotoionização a partir do n´ıvel n=2, e todos os processos de recombinação ocorrem para n=2. O modelo de Hartmann et al. (1994) utiliza este fato para escrever a equação de ionização da seguinte forma

= Rκ2

R2κ

onde R2κ e Rκ2 são a taxas de fotoionização e de recombinação do n´ıvel n=2, e podem ser

encontradas a partir das Eqs. (3.195) e (3.196), respectivamente. Para se calcular as taxas de fotoionização e de recombinação radiativa, utiliza-se um campo de radiação que é formado por contribuições da fotosfera estelar e da região de choque de acreção, cada uma pesada de acordo com o ângulo sólido que subentende cada área. Ambas as regiões contribuem com um campo radiativo Planckiano onde as temperaturas são as temperatura efetiva da estrela (Tfot), e a tempe-

ratura da zona de choque (Tch). Hartmann & MacGregor (1980) mostram que para um campo de

radiação Planckiano, a taxa de fotoionização pode ser escrita como

Riκ =

8πWν3

iκ

c2 E1(hνiκ/kT ), (4.8)

onde νiκ é a frequência de ionização do n´ıvel n=i, W é o fator de diluição, e E1 é a primeira

integral exponencial. Sendo ω_∗(ri) o ˆangulo s´olido coberto pela estrela visto do ponto localizado

em ri, e ωch(ri) o ângulo sólido coberto pela zona de choque visto pelo mesmo ponto, então a

taxa de fotoionizac¸˜ao pode ser escrita como

Riκ(ri) = ω_∗(ri) 4π 8πν3 iκ c2 E1(hνiκ/kTfot) + ωch(ri) 4π 8πν3 iκ c2 E1(hνiκ/kTHS). (4.9)

A taxa de recombinação, no caso de um campo Planckiano, pode ser escrita de maneira seme- lhante, mas depende da temperatura de radiação do local, ou seja,

Rκi(ri) =

8πν3

iκ

c2 E1[hνiκ/kT (ri)]. (4.10)

Como, no processo de busca pelos pontos ressonantes, também já foram encontrados os valores de ω_∗(ri) e ωch(ri) para cada ponto, e o valor de νiκ está presente no arquivo hydrogen.dat, é necessário apenas calcular o valor das integrais exponenciais para se conhecer as taxas de fotoionização e recombinação em um determinado ponto da grade. O método numérico utilizado para resolver integrais exponenciais é descrito em Abramowitz & Stegun (1964).

A densidade de elétrons possui uma componente devido aos elétrons ionizados do átomo de hidrogênio, e outra componente devido a metais na região. A contribuição metálica para o número de elétrons depende do coeficiente αM = 10−4, de modo que

ne = np+αMnH. (4.11)

A razão entre as populações dos n´ıveis n=1 e n=2 pode ser encontrada com ajuda da equação de equil´ıbrio radiativo [Eq. (3.201)], que neste caso torna-se

n1 B12 Z φνJνdν + C12 ! = n2 A21+ B21 Z φνJνdν + C21 ! . (4.12) Se fizermos nu Aul+ Bul Z φνJνdν ! − nlBlu Z φνJνdν≡ nuAulZul, (4.13) podemos reescrever a equac¸˜ao de equil´ıbrio radiativo como

= C12

C21+ A21Z21

O termo Zul representa a quantidade l´ıquida de radiação que está sendo produzida no local, e também pode ser escrito na forma

Zul = 1− R

φνJνdν

Sul

. (4.15)

O segundo termo de Zul representa a razão entre a radiação incidente e a radiação produzida em um determinado ponto. Se temos mais radiação sendo produzida do que radiação incidente Zul é positivo, caso contrário é negativo. Quando o local está em equil´ıbrio termodinâmico, Zul = 0. Segundo HHC, podemos substituir Z21 pela probabilidade de escape (β) da linha de Lyman α,

que pode ser encontrada pela Eq. (3.220), β21(r) = 1 4π Z 1_{− e}−τ21(r,n) τ21(r, n) dω de modo que n2 n1 = C12 C21+ A21β21 . (4.16)

Os valores de C12 e C21 podem ser encontrados com a relação Ci j = Ωi j(T )ne, onde Ωi j(T ) é a

seção reta de colisão do n´ıvel a temperatura T e tem valores fornecidos no arquivohydrogen.dat

para diversas temperaturas. Os valores tabelados no arquivo devem ser interpolados para que se possa obter o valor correto de Ωi j(T ) no ponto. O coeficiente A21 ´e o coeficiente de emiss˜ao

espontânea, e seu valor também é fornecido pelohydrogen.dat.

Para calcular o valor de β21, considera-se que a profundidade ´optica de Lyα ´e alta, de modo

que e−τ21(r,n) _{≪ 1, e} β21(r) = 1 4π Z 1_{− e}−τ21(r,n) τ21(r, n) dω_≈ 1 4π Z 1 τ21(r, n) dω,

que, utilizando a definição dada pelo método de Sobolev para a profundidade óptica [ver Eqs. (3.206), (3.222), (3.223)], torna-se: β21(r) = 1 4π ν12 cχ12 Z |Q(ri, n)|dω = 1 4π ν12 cχ12 ¯ Q(ri, n). (4.17)

Uma alta opacidade para Lyα implica que n2/n1 << 1, o que faz com que

χ12≈

πq2 e

mec

f12n1. (4.18)

O valor da força de oscilador, f12, é encontrado a partir das relações de Einstein [Eqs. (3.59),

(3.60) e (3.108)] e do valor de A21. O valor de ¯Q(ri, n) j´a foi calculado no passo anterior do CV,

e ´e simplesmente lido do arquivo de grade.

As Eqs.(4.6) - (4.16) formam um sistema de eqs. não-lineares, que nos possibilita encontrar os valores de n1, n2, np e ne, como função da temperatura local, da densidade total de part´ıculas

nHe do campo de radiação. O CV resolve, finalmente, este sistema de equações, grava todos os

valores encontrados no arquivo de grade, e é finalizado. Com estas novas informações no arquivo de grade, torna-se poss´ıvel calcular as funções-fonte em cada um dos pontos da grade.

4.1.2.4 Tarefa: Calcular as Func¸˜oes-Fonte (job:2)

O próximo passo para se calcular os perfis de linha, é calcular as funções-fonte em cada ponto da grade. Esta tarefa é executada com a opção JobType=2, ou chamando o CV pela linha de comando com a opção “-j 2”. Outra informação muito importante, que deve ser passada ao código durante esta tarefa, são os n´ıveis superior e inferior da transição responsável pela linha espectral desejada. Estas informações podem ser introduzidas no próprio arquivo de configuração através dos parâmetros UpperLevel e LowerLevel, ou ao se chamar o CV utilizando as opção “-u n´ıvel-superior” e “-l n´ıvel-inferior”.

Durante esta tarefa o CV lê o arquivo de grade, e o arquivo binário contendo as informações sobre os pontos ressonantes (surfaces.dat). Com as informações contidas nesses dois arquivos é poss´ıvel calcular as funções-fonte S , e o campo de radiação médio ¯J em cada um dos pontos,

referente `a linha desejada. Antes, por´em, o CV calcula a opacidade da linha em cada ponto da grade, e em cada um dos pontos ressonantes, utilizando a Eq. (3.206)

χlu = πq2 e mc fulnl 1− glnu gunl ! .

No passo anterior, entretanto, o CV calculou apenas as densidades de n1e n2, o que nos permitiria

calcular apenas a opacidade para a linha de Lyα. Para calcular a opacidade da linha de Hα, por exemplo, precisar´ıamos da densidade populacional do n´ıvel n = 3, que não foi calculada. O CV resolve o problema, ao considerar que as densidades populacionais dos n´ıveis mais excitados são sempre menores que n2 ou n1, e como a degenerescência de um n´ıvel mais excitado é sempre

maior que a de um n´ıvel menos energ´etico (gu > gl), o termo glnu

gunl ≪ 1, o que torna válida a seguinte aproximação:

χlu(ri)≈

πq2_e

mc fulnl(ri). (4.19)

A mesma consideração foi feita nos cálculos de opacidade das linhas de Lyman durante a tarefa anterior. Nesta aproximação, a opacidade de todas as linhas de Balmer são iguais, e dependem apenas da população de n2. A densidade do n´ıvel n3seria necessária para a opacidade das linhas

de Paschen, n4para a opacidade das linhas de Bracket, e assim sucessivamente.

Para encontrar as profundidades ópticas τ(ri, n) é utilizado o método de Sobolev, que diz que [ver Eq. (3.222)] τ(ri, n) = χlu(ri) c ν0 1 |Q(ri, n)_|.

Os valores dos gradientes de velocidade Q(ri, n) necess´arios est˜ao gravados no arquivo surfa-

ces.dat, e, portanto, é trivial calcular a profundidade óptica em cada ponto da grade, e em cada um dos pontos ressonantes ao longo de uma determinada direção.

Conhecendo a profundidade óptica em cada ponto, o CV consegue calcular as probabilidades de escape em cada ponto dadas pelas Eqs. (3.220), (3.225) e (3.226). As probabilidades de escape, por sua vez, são utilizadas no cálculo da função-fonte da linha espectral em questão em cada ponto da grade com a ajuda da Eq. (3.203),

onde

ε_{≡ ε}′/(1 + ε′). e

ε′_{≡ Cul}(1_{− e}−hν/kT)/Aul,

O valor de Cul depende apenas da temperatura local T , e da densidade populacional local de elétrons, ne. Portanto, no caso do átomo de dois n´ıveis, a função-fonte da linha não tem de-

pendência direta nas densidades populacionais dos n´ıveis envolvidos na formação da linha. Ini- cialmente, calculamos ¯Jν utilizando a função de Planck no ponto, ou seja, Sl = Bν[T (ri)], onde T (ri) é a temperatura local do ponto localizado em ri.

Conhecendo o valor de Sl em cada ponto, o CV consegue calcular o valor do termo de contribuição não-local para a intensidade espec´ıfica através da Eq. (3.221)

F(r) = 1 4π Z 1− e−τ(r,n) τ(r, n)        N X j=1 S (rj)h1_{− e}−τ(rj,n)i_e−P_i=1j−1τ(ri,n)        dω,

e o utiliza, ent˜ao, para encontrar um melhor valor para ¯J, utilizando a Eq. (3.224)

J =_{1 − β(r) S (r) + β}c_∗(r)I_∗+βcc(r)Ich+ F(r).

Este novo valor de ¯J, ´e ent˜ao aplicado na Eq. (3.227) Sl =

(βc∗I∗+βccIch+ F)(1− ε) + εB(T )

β + ε_{− βε} ,

e um novo valor para a função-fonte da linha Sl é obtido. Este novo valor é utilizado, então, para obter uma melhor estimativa para F(r). Este processo iterativo é repetido MaxIteration vezes. O valor que utilizamos é MaxIteration=4, suficiente para garantir a convergência da solução, que ocorre rapidamente devido à baixa contribuição do termo F(r) no valor da função-fonte.

A Eq. (3.224) é válida para o caso da acreção magnetosférica e, quando consideramos apenas o caso com o vento de disco, não existe uma mancha quente na superf´ıcie da estrela. Portanto, uma outra equação deve ser utilizada. Esta nova equação, ao invés da mancha quente, possui um termo que considera a radiação gerada no disco de acreção, e é escrita como

J =1_{− β(r) S (r) + β}c_∗(r)I_∗+βdis(r)Idis+ F(r), (4.20)

onde βdis(r) = 1 4π Z ωdis 1_{− e}−τ(r,n) τ(r, n) e −PN j=1τ(rj,n)_dω _(4.21)

representa a probabilidade de um fóton em r atingir o disco de acreção e ωdis é o ângulo sólido

coberto pelo disco de acrec¸˜ao neste mesmo ponto. O termo Idis representa a intensidade de

radiação emitida pelo disco de acreção. A temperatura do disco de acreção é controlada pelo parâmetro DiskwindTDMax no arquivo de configuração do CV, e este parâmetro representa a temperatura máxima dentro do disco de acreção em unidades de K. Segundo Hartmann (1998), a temperatura no disco de acreção é dada por

T_d4 = 3GM∗M˙acr 8πσ̟3 " 1₋ ̟ i ̟ 1/2# , (4.22)

onde ̟ é a distância de um ponto sobre o disco de acreção até a estrela, e ̟i é o raio interno

do disco. Como essa equação foi calculada para o modelo de boundary layer, onde o disco de acreção chega até a superf´ıcie da estrela, ̟i=R∗. A temperatura máxima no disco de acreção pode ser encontrada derivando a Eq. (4.22),

Td,Max = 0,488 3GM_∗_M˙_acr 8πσ̟3 i !1/4 , (4.23)

e ocorre em ̟Max = 1,36 ̟i. Quando ̟ = ̟i, a Eq. (4.22) vai para zero, o que n˜ao ´e fisicamente

realista e torna esta região do disco problemática. Este problema aparece devido às considerações feitas em relação ao momento angular nas regiões de contorno do problema (Hartmann 1998). Como o raio de truncamento do disco é maior que R_∗, a região de onde a coluna de acreção é lançada está bem distante da região problemática. O valor utilizado em DiskwindTDMax é a temperatura máxima do disco calculada pela Eq. (4.23). E a temperatura em qualquer raio do disco pode ser parametrizada em função de Td,Max, utilizando a seguinte lei de escala

Td(̟) = Td,Max̟−3/4      1− 1 ̟ !1/2     , (4.24)

se ̟ for dado em unidades de raio estelar. O CV utiliza esta lei de escala para calcular a tem- peratura em qualquer ponto do disco de acreção. Considera-se que o disco seja formado por vários anéis de espessura infinitesimal de raio ̟ e temperatura Td(̟) que emitem como corpo

negro. A partir desta suposic¸˜ao o CV calcula a intensidade especif´ıca, Idis, sendo emitida de cada

um destes anéis infinitesimais, para utilizá-la na Eq. (4.20), e, consequentemente, encontrar as funções-fonte em cada ponto da grade do vento de disco.

Apesar do CV considerar emissão de corpo negro no disco de acreção, e das temperaturas no disco serem da ordem de 103_{K, a contribuição do disco para o cont´ınuo na região vis´ıvel do}

espectro é bem menor que as contribuições da fotosfera da estrela e da mancha quente. O campo de radiação do disco de acreção, portanto, terá influência m´ınima na formação das linhas e no cont´ınuo na região do espectro vis´ıvel, e, a não ser em casos onde ˙Macr>107M⊙ano−1, pode ser totalmente desprezado.

No documento Um Modelo Computacional para magneto-acreção e ventos magneto-centrífugos em Estrelas T Tauri clássicas (páginas 106-111)