Campos magn´ eticos externos e induzidos por tens˜ ao

Como os efeitos de tens˜ao envolvem a mudan¸ca na posi¸c˜ao dos ´atomos na rede de carbono, voltemos agora ao modelo TB, onde podemos trabalhar diretamente com os s´ıtios atˆomicos. Deste ponto em diante, iremos considerar vetores de onda iniciais q0 em

torno dos pontos de Dirac 2 e 5 da Fig. 47(b), ou seja K =  0, 4π 3√3a0  and K′ =  0, − 4π 3√3a0  , (4.10)

respectivamente. Esta escolha ´e bastante conveniente, j´a que os ˆangulos de rota¸c˜ao para estes pontos s˜ao φ = π/2 e 3π/2, respectivamente, de forma que o pseudo-spinor [1, 1]T

aponta para a dire¸c˜ao y (-y) no primeiro (´ultimo) caso. [155] Assim, com este pseudo- spinor, pacotes de onda em K (K′_{) propagam-se com velocidade positiva (negativa) na}

dire¸c˜ao zigzag vertical.

4.2 Evolu¸c˜ao temporal de pacotes de onda em grafeno 147 L W R y x 0 (a) (b)

Figura 63: (a) Esbo¸co de uma folha de grafeno tensionada: consideramos uma amostra retangular de largura W e altura L, flexionada como um arco de c´ırculo de raio R. A folha de grafeno n˜ao tensionada ´e mostrada como c´ırculos abertos, para compara¸c˜ao. (b) Barreira magn´etica induzida por tens˜ao, obtida flexiondando-se a rede do grafeno apenas na regi˜ao y ≥ 0. O n´umero de ´atomos da rede foi reduzido em ambas as figuras, em compara¸c˜ao com as redes estudadas neste trabalho, apenas para facilitar a visualiza¸c˜ao. grafeno em um arco de c´ırculo produz-se um perfil de campo pseudo-magn´etico forte e quase uniforme. A Fig. 63(a) ilustra um sistema tensionado deste tipo, onde uma amostra retangular de grafeno de espessura W e altura L ´e flexionada em um arco de c´ırculo com raio interno R. Como o campo (pseudo) magn´etico aponta na mesma dire¸c˜ao (dire¸c˜oes opostas) em cada ponto K e K′_{, [42] a combina¸c˜ao de ambos os efeitos de}

campos magn´eticos externo e induzido por tens˜ao leva a um campo magn´etico depen- dente do vale. Se aplicarmos um valor apropriado de campo magn´etico externo para uma certa configura¸c˜ao de tens˜ao no grafeno, poderemos obter uma supress˜ao quase perfeita do campo magn´etico efetivo em um dos cones de Dirac, enquanto o campo efetivo no outro cone aumenta. Isto leva a um sistema complicado de ser estudado dentro da aprox- ima¸c˜ao de Dirac, j´a que temos dois sistemas completamente diferentes para os vales K e K′_{. Por exemplo, n´ıveis de Landau estariam presentes somente em torno de um dos}

cones (embora n˜ao possamos esperar um espectro de n´ıveis de Landau perfeito, j´a que o campo magn´etico induzido por tens˜ao n˜ao ´e perfeitamente uniforme no espa¸co), enquanto no outro cone, observar´ıamos o espectro cont´ınuo usual. Isto nos motivou a analisar as trajet´orias dos pacotes de onda em um sistema como este dentro do modelo TB, onde n˜ao precisamos incluir o campo pseudo-magn´etico artificialmente nos cones de Dirac, j´a que eles aparecem naturalmente quando n´os consideramos o efeito das mudan¸cas nas

4.2 Evolu¸c˜ao temporal de pacotes de onda em grafeno 148

distˆancias interatˆomicas, induzidas pela tens˜ao, sobre os parˆametros de hopping, como explicamos no Cap´ıtulo 1.

Nesta Subse¸c˜ao, investigaremos a dinˆamica de um pacote de onda com largura d = 200 ˚

A e vetor de onda inicial k0

x = 0 e ky0 = 0.02 ˚A−1 em torno dos pontos de Dirac K e

K′ da Eq. (4.10) na presen¸ca de barreiras de campos magn´eticos externo e induzido por strain. Como no vale K′ _{o pseudo-spinor [1, 1]}T _{est´a polarizado no sentido negativo da}

dire¸c˜ao y da rede do grafeno, escolhemos agora [1, −1]T _{para este caso, de forma que}

um pacote de onda neste vale ir´a tamb´em se propagar no sentido positivo de y. Para obter uma barreira de campo pseudo-magn´etico, consideramos que a folha de grafeno est´a tensionada apenas na regi˜ao y ≥ 0, como ilustrado na Fig. 63(b). Consideramos tamb´em um campo magn´etico externo B = BΘ(y)ˆz, que leva a uma barreira magn´etica para y ≥ 0, descrito pelo potencial vetor A = (−ByΘ(y), 0, 0). Para evitar efeitos devido ao zitterbewegung na regi˜ao do campo (pseudo) magn´etico, o pacote de onda come¸ca na posi¸c˜ao x0 = 0, y0 = −420 ˚A , de forma que ele pode propagar-se por algum tempo na

regi˜ao livre de campos y < 0 at´e sua velocidade convergir para um valor independente do tempo.

A influˆencia das barreiras de campo magn´etico externo e induzido por tens˜ao sobre as trajet´orias dos pacotes de onda s˜ao analizadas separadamente na Fig. 64, que mostra as trajet´oria dos centr´oides dos pacotes de onda nos pontos K (s´ımbolos) e K′ _(curvas),

calculadas como
r = (
x,
y), (a) na folha de grafeno n˜ao tensionada com uma barreira de campo magn´etico externo B = 5 T (s´olida, c´ırculos), 7 T (tracejada, triˆangulos) e 10 T (pontilhada, quadrados), e (b) em uma folha de grafeno tensionada com raio R = 1 µm (s´olida, c´ırculos), 0.8 µm (tracejada, triˆangulos) e 0.6 µm (pontilhada, quadrados). Todas as trajet´orias formam semi-c´ırculos na regi˜ao y ≥ 0, o que se deve `a for¸ca de Lorentz produzida pelo campo (pseudo) magn´etico. `A medida que o campo magn´etico externo (raio da regi˜ao tensionada) aumenta (diminui), os raios destas trajet´orias semi-circulares s˜ao reduzidos, pois um campo (pseudo) magn´etico mais intenso produz um m´odulo mais forte da for¸ca de Lorentz. Note que os raios das trajet´orias nos casos de campos externos e pseudo-magn´eticos s˜ao compar´aveis, o que significa que para raios R = 1 µm - 0.6 µm de tens˜ao no grafeno, o campo pseudo-magn´etico gerado ´e tamb´em dentro de ≈ 5 T e 10 T. De fato, a distribui¸c˜ao do campo pseudo-magn´etico induzido por tens˜ao para uma fita

4.2 Evolu¸c˜ao temporal de pacotes de onda em grafeno 149

Figura 64: Trajet´orias do pacote de onda no plano x − y, obtidas pelo m´etodo TB, para um momento inicial k0

y = 0.02 ˚A−1em torno dos pontos K (s´ımbolos) e K′ (curves), para

(a) um grafeno n˜ao tensionado com uma barreira magn´etica de altura B = 5 T (s´olida, c´ırculos), 7 T (tracejada, triˆangulos) e 10 T (pontilhada, quadrados), e para (b) uma folha de grafeno flexionada como um arco de c´ırculo de raio R = 1 µm (s´olida, c´ırculos), 0.8 µm (tracejada, triˆangulos) e 0.6 µm (pontilhada, quadrados), considerando B = 0 T. Em (b), s´ımbolos e curvas coincidem para cada valor de R.

de grafeno flexionada em forma de arco ´e dada por [76] BS(x, y) = −4c βΦ0 aL arcsin  _L 2R  cos _2x L arcsin  _L 2R  ×  1 −R + y_L arcsin  L 2R  , (4.11)

onde β ≈ 2 e c ´e uma constante adimensional que depende dos detalhes dos deslocamentos atˆomicos. [6] Considerando-se L/R → 0 na Eq. (4.11) o campo pseudo-magn´etico pode ser aproximado por BS ≈ −cβΦ0

aR = ω/R. Usando o valor ω ≈ 4.5 × 104 _{T˚A estimado}

numericamente na Ref. [74], obtemos campos pseudo-magn´eticos dentro de BS ≈ 4.5 T

- 7.5 T para R = 1 µm - 0.6 µm, o que est´a na mesma ordem de magnitude dos campos magn´eticos externos que consideramos. Para a barreira de campo magn´etico externo, as trajet´orias dos pacotes de onda nos pontos K e K′ _{formam c´ırculos em dire¸c˜oes opostas,}

4.2 Evolu¸c˜ao temporal de pacotes de onda em grafeno 150

opostos, o que causa uma troca de sinal na for¸ca de Lorentz. De maneira contr´aria, considerando-se a barreira magn´etica induzida por tens˜ao ilustrada na Fig. 63(b), as trajet´orias dos pacotes de onda em K e K′ _{se curvam na mesma dire¸c˜ao, pois, apesar dos}

seus momenta terem sinais opostos, os campos pseudo-magn´eticos tamb´em apontam para dire¸c˜oes opostas em cada cone de Dirac K e K′_.