split-operator
2.4 Evolu¸c˜ ao em tempo real
split-operator nos fornece uma maneira de estudarmos a dinˆamica dos pacotes de onda em grafeno tamb´em dentro do modelo cont´ınuo onde, na presen¸ca de campos magn´eticos e/ou potenciais externos, podemos controlar a precis˜ao dos resultados diminu´ındo ∆t, enquanto na ausˆencia deles, o problema ´e resolvido exatamente por uma simples multiplica¸c˜ao matricial, para qualquer valor de ∆t.
2.4
Evolu¸c˜ao em tempo real
Nos Cap´ıtulos seguintes, estudaremos a propaga¸c˜ao em tempo real de pacotes de onda em sistemas de baixa dimensionalidade. Para isso, precisamos definir aqui algumas propriedades f´ısicas que nos interessam, que ser˜ao extra´ıdas das fun¸c˜oes de onda que est˜ao sendo propagadas nestes sistemas.
As probabilidades de transmiss˜ao T e reflex˜ao R s˜ao calculadas integrando-se a com- ponente da corrente de densidade de probabilidade na dire¸c˜ao da propaga¸c˜ao, em dois pontos fixos xR e xL, localizados do lado esquerdo e direito do sistema em estudo, respec-
tivamente: T = ∞ 0 +∞ −∞ Jx(xR, y, t)dydt (2.40) e R = − ∞ 0 +∞ −∞ Jx(xL, y, t)dydt, (2.41)
onde a componente x da corrente de probabilidade ´e definida como Jx(x, y, t) = −i 2me Ψ∗ ∂ ∂xΨ − Ψ ∂ ∂xΨ ∗ + e me AxΨ∗Ψ. (2.42)
As integrais nas Eqs. (2.40) e (2.41) s˜ao calculadas numericamente at´e um valor de tempo t bastante alto, fazendo com que o pacote de onda tenha tempo suficiente para passar completamente pelo ponto onde Jx ´e calculado. Verificamos cuidadosamente que a soma
das probabilidades de transmiss˜ao e reflex˜ao ´e sempre T + R = 1 com precis˜ao em torno de 0.1%. Os pacotes de onda que passam pelos pontos xR e xL movem-se em dire¸c˜oes
opostas, assim, um sinal negativo ´e posto na express˜ao que define R. Em nossos c´alculos, o campo magn´etico ´e sempre considerado perpendicular ao plano do movimento, isto ´e, na dire¸c˜ao z, e o potencial vetor ´e escolhido como o gauge de Coulomb A = (−y, x, 0)B/2.
Estudaremos alguns casos onde a fun¸c˜ao de onda est´a confinada em uma dire¸c˜ao; nestes casos, pretendemos estudar o espalhamento do el´etron nas diferente subbandas
2.4 Evolu¸c˜ao em tempo real 72
formadas devido ao confinamento. Para isso, projetamos a fun¸c˜ao de onda sobre o j- ´esimo autoestado do po¸co quˆantico em pontos fixos xi
Pj(xi, t) =< Ψ|φj >= +∞ −∞
Ψ(xi, y, t)φj(y)dy
Isto define a probabilidade de encontrarmos o el´etron na j-´esima subbanda na posi¸c˜ao xi, dividida pelo comprimento do sistema na dire¸c˜ao x. Este parˆametro ser´a ´util para
a an´alise da influˆencia dos estados da segunda e da terceira subbandas nos pacotes de onda que est˜ao sendo propagados. A contribui¸c˜ao de cada subbanda para a corrente de probabilidade ´e calculada como
Jx(j)(x, t) = −i 2me P∗j ∂ ∂xPj− Pj ∂ ∂xP ∗ j , (2.43)
onde a fun¸c˜ao Pj(x, t) =< φj|Ψ > representa a parte da fun¸c˜ao de onda dependente do
tempo que est´a na j-´esima subbanda. A grandeza < Jx(j) >=
∞ 0
dtJx(j)(xr, t) (2.44)
´e a corrente total (ou a corrente m´edia no tempo) na j−´esima subbanda que passa pelo canal em x = xr. Note que, uma vez que a fun¸c˜ao Pj(x, t) n˜ao est´a normalizada, < Jx(j) >
n˜ao pode representar uma probabilidade e, portanto, seu valor pode ser maior que 1. Por fim, a corrente de probabilidade dependente do tempo em um ponto xi ´e dada por
JT(xi, t) = +∞ −∞
Jx(xi, y, t)dy, (2.45)
e ser´a uma boa ferramenta para ajudar a entender a trajet´oria do pacote de onda sobre a regi˜ao de propaga¸c˜ao. Note, por´em, que a corrente de probabilidade dependente do tempo JT definida na Eq. (2.45) mede apenas a propaga¸c˜ao de um pulso em um sistema
na ausˆencia de uma tens˜ao, e portanto n˜ao ´e diretamente relacionada a uma corrente est´avel, mas a uma corrente transiente, que ´e diferente das correntes definidas em artigos anteriores [123], onde correntes est´aveis s˜ao obtidas atrav´es do m´etodo das fun¸c˜oes de Green. O m´etodo aqui descrito, por´em, pode ser tamb´em usado para o c´alculo de correntes est´aveis, como explicado na Ref. [124]
2.4.1
Condi¸c˜oes de contorno
Devemos tomar um cuidado especial ao tratar das condi¸c˜oes de contorno em problemas onde analisamos a evolu¸c˜ao temporal das fun¸c˜oes de onda. Note que, em qualquer m´etodo
2.4 Evolu¸c˜ao em tempo real 73
num´erico que envolva a gera¸c˜ao de um grid discreto para descrever o espa¸co, este espa¸co considerado, por maior que seja, ´e sempre finito, o que significa que qualquer ponto fora daquele espa¸co n˜ao possui um valor de fun¸c˜ao de onda associado a ele. Em um m´etodo num´erico de solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Schr¨odinger, isto ´e equivalente a dizer que a fun¸c˜ao de onda ´e zero fora daquele espa¸co, o que, por sua vez, equivale a um potencial infinito naquela regi˜ao. Ou seja, ao definir um espa¸co finito para se resolver a equa¸c˜ao diferencial, estamos impondo a existˆencia de paredes de potencial infinito na borda do sistema. Isto n˜ao seria um problema para o calculo de estados ligados, uma vez que a fun¸c˜ao de onda, de fato, precisa ser zero nas bordas do sistema, que assumimos que estejam bem distantes da regi˜ao de confinamento. Por´em, numa evolu¸c˜ao temporal, quando a fun¸c˜ao de onda atingir a borda do sistema neste caso, ela ir´a sofrer uma reflex˜ao que n˜ao tem sentido f´ısico, devido a este potencial infinito imposto pelo m´etodo.
A quest˜ao da escolha da condi¸c˜ao de contorno correta nas bordas de um sistema tem sido alvo de diversas pesquisas nos ´ultimos anos. Uma poss´ıvel maneira de superar este problema seria simplesmente considerar uma regi˜ao de propaga¸c˜ao bastante grande, de forma que o pacote de onda demore muito para atingir a borda, tempo suficiente para que possamos extrair da fun¸c˜ao de onda as caracter´ısticas das quais precisamos. Por´em, isso levaria a um custo computacional muito elevado, por isso, v´arias maneiras alternativas tˆem sido desenvolvidas a fim de resolver esse problema. Kosloff e Kosloff [125] sugeriram o uso de potenciais absorventes (imagin´arios) nas bordas, somado ao potencial real do sistema. A presen¸ca de um potencial imagin´ario absorve gradualmente a fun¸c˜ao de onda antes que ela atinja as paredes do sistema, evitando estas falsas reflex˜oes. Desde este trabalho, diversas formas de potencial imagin´ario foram sugeridas e analisadas [126, 127]. Uma outra maneira interessante de se resolver este problema foi sugerida por Arnold et al. [128], onde condi¸c˜oes de contorno discretas e completamente transparentes foram desenvolvidas, baseado no m´etodo de Laplace para resolver a equa¸c˜ao de Schr¨odinger dependente do tempo. Por´em, este m´etodo foi desenvolvido apenas para problemas uni- dimensionais, usando a forma de Cayley e o procedimento de Crank-Nicolson para resolver a equa¸c˜ao. Uma generaliza¸c˜ao deste m´etodo para problemas envolvendo duas dimens˜oes, com um tratamento split-operator, seria necess´ario para a aplica¸c˜ao deste tipo de condi¸c˜ao de contorno neste caso. Neste trabalho, consideramos o potencial imagin´ario sugerido por Manolopoulos [129], que pode ser ajustado de forma a obter-se um sistema livre de re- flex˜oes nas bordas e tamb´em no in´ıcio da regi˜ao de potencial imagin´ario, para uma grande faixa de energias iniciais. Este potencial imagin´ario, que depende apenas da dire¸c˜ao de
2.5 Evolu¸c˜ao em tempo imagin´ario: obtendo autoestados 74
propaga¸c˜ao x, ´e dado por
Vim(x) = −iEmin ax − bx3+ 4 (c − x)2 − 4 (c + x)2 , (2.46) onde a = 1 − 16/c3, b = (1 − 17/c3)/c2, c = 2.62206 e E
min ´e a menor energia do el´etron
que podemos considerar, a qual pode ser calculada a partir da Eq (2.27) na referˆencia [[129]] como Emin= 2 2me c 2(x2− x1)δ 2 , (2.47)
para um potencial imagin´ario localizado entre x1 e x2. O parˆametro de precis˜ao δ ´e
escolhido como 0.2, para obtermos apenas pequenas reflex˜oes em x1. A vari´avel x depende
de x como
x = 2kminδ/(x − x1), (2.48)
onde kmin =
2meEmin/2. Com estas express˜oes, escolhemos x2 como a borda do
sistema e x1 = 420 ˚A antes da borda, levando a um m´ınimo de energia inicial Emin∼ 25
meV. Mais detalhes sobre como esta forma de potencial foi obtida podem ser encontrados no artigo original de Manolopoulos. [129]
Em alguns casos que ser˜ao abordados no decorrer desta tese, mostraremos que uma transformada de Fourier para levar o sistema para o espa¸co rec´ıproco torna mais f´acil o estudo do problema. Quando fazemos uma transformada de Fourier nestes sistemas, estamos impondo sobre eles uma condi¸c˜ao de contorno peri´odica. Isto ser´a observado, por exemplo, no caso do grafeno, no Cap. 4. Nos problemas em que usamos transformadas de Fourier, n˜ao aplicamos a condi¸c˜ao de contorno de potenciais absorventes descrita acima, deixando o sistema com condi¸c˜oes de contorno peri´odicas em todas as dire¸c˜oes as quais tratamos no espa¸co rec´ıproco.