As tecnologias utilizadas em dispositivos eletrˆonicos atualmente (em geral, baseadas em Si), usam o fluxo bin´ario de cargas el´etricas para facilitar comunica¸c˜oes entre difer- entes dispositivos microeletrˆonicos, os quais expressam dados na forma de bits bin´arios, onde 0’s e 1’s correspondem `a ausˆencia e presen¸ca de cargas el´etricas, respectivamente. A miniaturiza¸c˜ao obedecendo `a famosa Lei de Moore, que diz que microprocessadores devem dobrar sua potˆencia a cada 18 meses, tem levado a um crescimento exponencial da quantidade de informa¸c˜ao guardada em um microprocessador. Por´em, ´e comum ouvir-se dizer que ”nenhum crescimento exponencial ´e para sempre”, e neste caso n˜ao ´e diferente: o paradigma de Moore deve enfrentar um fim pr´oximo quando o tamanho de um ´unico bit aproximar-se da escala atˆomica. Uma quest˜ao essencial ´e se ´e poss´ıvel ou n˜ao continuar a miniaturiza¸c˜ao nos padr˜oes atuais. Existem algumas sugest˜oes para o aprimoramento dos dispositivos atrav´es de multi-funcionalidades, por exemplo, combinando-se o proces- samento e o armazenamento de dados em uma ´unica unidade de um dispositivo eletrˆonico, atrav´es do uso do grau de liberdade de spin do el´etron. Isso nos leva a um tema bastante discutido atualmente no meio cient´ıfico: a spintrˆonica.
1.1 Semicondutores 38
O acoplamento spin-´orbita em pontos quˆanticos semicondutores tem sido tema de muitos estudos recentes, pois este efeito ´e de fundamental importˆancia para a spintrˆonica. [3] Este acoplamento acontece devido ao fato de que um campo el´etrico para um el´etron em movimento, no referencial do el´etron, ´e visto efetivamente como um campo magn´etico, que pode interferir no seu spin. O principal objetivo dos estudos sobre intera¸c˜oes spin- ´orbita ´e o de encontrar maneiras de se ajustar estas intera¸c˜oes e, assim, manipular os spins dos el´etrons em pontos quˆanticos. [36] O entendimento da dinˆamica de spins em pontos quˆanticos poderia facilitar futuramente o desenvolvimento da computa¸c˜ao quˆantica e da comunica¸c˜ao quˆantica.[37] O grau de liberdade do spin ´e talvez at´e mais vantajoso do que a carga do el´etron porque, diferentemente da carga, o spin n˜ao se acopla ao ru´ıdo eletromagn´etico e, assim, tem um tempo de coerˆencia maior.[38] Dada a importˆancia ´obvia dos estados de spin do el´etron em nanoestruturas, um conhecimento aprimorado do acoplamento SO em estados eletrˆonicos de estruturas semicondutoras de baixa dimension- alidade, como pontos e an´eis quˆanticos, ´e essencial para o desenvolvimento das tecnologias citadas.
Os dois principais mecanismos de acoplamento entre o spin e a ´orbita do el´etron s˜ao descritos pelos Hamiltonianos de Rashba-Bychkov e Dresselhaus. [2] O primeiro aparece em estruturas com um potencial de confinamento assim´etrico, de forma que a assimetria no potencial pode ser descrita por um campo el´etrico efetivo perpendicular ao movi- mento do el´etron no plano. Do ponto de vista do pr´oprio el´etron, este campo el´etrico na verdade ´e visto como um campo magn´etico no plano, mas perpendicular ao vetor de onda k do el´etron. A intera¸c˜ao Zeeman efetiva do spin do el´etron com este ”campo magn´etico”levanta a degenerescˆencia do spin, resultando em uma separa¸c˜ao de energias isotr´opica proporcional a k, mesmo para B = 0. Consideremos uma part´ıcula de massa efe- tiva m∗movendo-se no plano com velocidade v = k/m∗sob um campo el´etrico E = E
0z.ˆ
No referencial do el´etron, este campo transforma-se um campo magn´etico efetivo 2
Bef f = − 1 2 k × E . (1.17)
Temos agora o acoplamento do spin do el´etron com este campo de forma similar ao do efeito Zeeman: HR = µ · Bef f = − e2 4m∗2σ · k × E = e 2 4m∗2E · k × σ = αR(σxky− σykx), (1.18)
onde podemos controlar a constante de acoplamento αR = e 2
4m∗2E0 simplesmente variando
a componente z do campo el´etrico E0 ou, equivalentemente, a assimetria do potencial de
2
1.1 Semicondutores 39
confinamento nesta dire¸c˜ao.
J´a o mecanismo de Dresselhaus vem da corre¸c˜ao de menor ordem para a parabolicidade da banda de condu¸c˜ao no modelo da massa efetiva para materiais sem simetria de invers˜ao, como por exemplo, os cristais zinc-blend. Esta corre¸c˜ao ´e dada por Hcorr = α′Dσ · Ω/2,
onde
Ωx= kx(ky2− kz2) Ωy = ky(kz2− kx2) Ωz = kz(kx2− ky2) (1.19)
e α′
D ´e uma constante que depende do gap e da massa efetiva do material. [39] Nos casos
que estudaremos, o sistema ´e praticamente bidimensional, de forma que temos kz = 0
e k2
z = 2m∗ǫz
2, onde ǫz ´e a energia do confinamento na dire¸c˜ao z, perpendicular ao plano. Assim, temos Hcorr = HD+ HD3, com
HD = αD(−σxkx+ σyky) (1.20a) HD3 = α′ D 2 (σxkxk 2 y− σykykx2) + h.c., (1.20b)
onde definimos αD = α′Dk2z/2. Note que o mecanismo de Dresselhaus ´e mais dif´ıcil de
ser controlado por meios externos, j´a que ele n˜ao depende de campos aplicados como o mecanismo de Rashba, mas da pr´opria estrutura cristalina do material, a qual define o gap e a massa efetiva e, consequentemente, α′
D. Ainda assim, existe um parˆametro control´avel
para a intensidade do acoplamento αD, que ´e a energia do confinamento vertical ǫz, a qual
pode ser ajustada variando-se a largura e a altura do potencial de confinamento nesta dire¸c˜ao. Em geral, o termo c´ubico de Dresselhaus HD3 tem energia muito menor que o
termo HD, principalmente se o confinamento na dire¸c˜ao z for muito forte, portanto, no
decorrer desta tese, iremos considerar apenas HD, descartando o termo c´ubico.
Em pontos e an´eis quˆanticos semicondutores, ambos os mecanismos de Dresselhaus e Rashba podem aparecer, um devido ao material utilizado na composi¸c˜ao destas estru- turas, o outro devido `a varia¸c˜ao da composi¸c˜ao do material dentro do ponto, que gera uma assimetria no potencial de confinamento, [17] ou at´e mesmo devido a um campo el´etrico aplicado na dire¸c˜ao z. Al´em dos efeitos spin-´orbita, vale lembrar que temos tamb´em um outro efeito ainda mais trivial que acopla um campo magn´etico externo ao spin: o efeito Zeeman, descrito pelo Hamiltoniano HZ = gµ−→B ·−→S . ´E interessante estudarmos at´e que
ponto um efeito pode influenciar mais que o outro, e o papel destes efeitos sobre o espectro de energia e sobre os autoestados do spin em pontos quˆanticos semicondutores. Sendo as- sim, neste trabalho, mostraremos como podemos aplicar a t´ecnica split-operator no estudo dos efeitos Zeeman e spin-´orbita em estruturas semicondutoras de baixa dimensionalidade.
1.2 Grafeno 40
1.2
Grafeno
Um problema bastante estudado recentemente ´e o do comportamento de el´etrons sobre folhas de grafeno. O grafeno ´e um cristal de carbono bidimensional que foi obtido pela primeira vez em 2004 atrav´es de uma clivagem micromecˆanica do grafite [40]. Os primeiros estudos te´oricos sobre grafeno foram feitos no fim dos anos quarenta, como uma primeira aproxima¸c˜ao para o grafite [41].
Os ´atomos do grafeno est˜ao dispostos em uma rede hexagonal, que ´e usualmente tratada como duas sub-redes A e B superpostas. A Fig. 5 mostra a rede cristalina do grafeno e a disposi¸c˜ao das sub-redes A e B. Na verdade, a necessidade de se considerar duas sub-redes diferentes vem do fato de que a rede hexagonal do grafeno n˜ao ´e uma rede de Bravais; em outras palavras, n˜ao podemos definir, para um s´o s´ıtio, dois vetores de base que possam ser combinados linearmente gerando qualquer outro s´ıtio da rede. Por´em, uma rede triangular possui tal caracter´ıstica e, por isso, diz-se que a c´elula unit´aria do grafeno possui dois s´ıtios (´atomos de carbono), a partir dos quais podemos criar vetores de base e descrever todo o sistema como uma superposi¸c˜ao de duas sub-redes triangulares deslocadas e superpostas, denominadas A e B. Como podemos ver na Fig. 5, a simetria da rede do grafeno ´e C6v, de forma que as dire¸c˜oes x e y do plano Cartesiano n˜ao s˜ao
equivalentes neste caso. Na verdade, na rede ilustrada na Fig. 5, os ´atomos nestas dire¸c˜oes est˜ao organizados em estruturas chamadas de zigzag (na dire¸c˜ao x) e armchair (na dire¸c˜ao y).
Figura 5: Estrutura cristalina de uma monocamada de grafeno, cujo parˆametro de rede ´e a, mostrando a superposi¸c˜ao das duas sub-redes A e B.
1.2 Grafeno 41
de um modelo tight-binding (TB) ou, caso consideremos apenas os estados de menor energia em uma folha de grafeno infinita, de um modelo cont´ınuo, no qual os el´etrons s˜ao descritos por quasi-part´ıculas que obedecem `a equa¸c˜ao de Dirac, como explicaremos em detalhes a seguir.