tentes est˜ao acoplados, e ambos contribuem para o comportamento macrosc´opico aparente do material. Os estudos sobre as propriedades resultantes foram estimulados ainda mais pela descoberta do diborato de magn´esio MgB2 em 2001, com dois grupos claramente
diferentes de bandas supercondutoras chamadas σ e π [109]. O MgB2´e tamb´em de grande
importˆancia tecnol´ogica devido `a sua temperatura cr´ıtica relativamente alta, composi¸c˜ao qu´ımica simples e boas propriedades mecˆanicas. Materiais mais complexos e ainda n˜ao entendidos completamentes, como os pnictides, tamb´em demonstram supercondutividade de duas bandas [110]. Por outro lado, at´e os supercondutores mais simples e elementares, como Pb, podem tamb´em ter dois gaps [111]. Al´em disso, eles s˜ao sempre efetivamente de muitas bandas quando s˜ao reduzidos em uma dimens˜ao at´e a escala atˆomica, onde a quantiza¸c˜ao do espectro de energia dos el´etrons para para o movimento perpendicular separa a banda de condu¸c˜ao em uma s´erie de subbandas de um el´etron [112]. Assim, os materiais supercondutores, dos mais simples aos mais complexos, da baixa `a alta temper- atura cr´ıtica Tc, compreendem condensados de pares de Cooper acoplados, e o principal
objetivo do nosso estudo sobre supercondutores de duas bandas no Cap´ıtulo 5 ´e mostrar a influˆencia m´utua dos condensados no comportamento magn´etico h´ıbrido resultante, o qual, como iremos demonstrar, ´e extremamente n˜ao-trivial. Mais especificamente, usare- mos os m´etodos de c´alculo do potencial entre v´ortices que ser˜ao desenvolvidos no decorrer desta tese para demonstrar a existˆencia de intera¸c˜oes n˜ao-monotˆonicas em supercondu- tores de duas bandas. O interesse neste assunto decorre do experimento recente publicado por Moshchalkov et al. [7] que, como dissemos no in´ıcio deste Cap´ıtulo, sugere que uma intera¸c˜ao n˜ao-monotˆonica entre v´ortices pode surgir devido aos efeitos combinados das duas bandas neste material. A existˆencia de tal intera¸c˜ao n˜ao-monotˆonica tem sido tema de intensa discuss˜ao nos ´ultimos dois anos: uma s´erie de artigos foram publicados, al- guns concordando [114], outros discordando [115, 116] da existˆencia deste tipo de estado supercondutor, e outros at´e sugerindo explica¸c˜oes alternativas para o que foi observado experimentalmente. [8]
1.5
Objetivos e estrutura da Tese
Esta tese possui dois objetivos principais: o primeiro deles consiste em desenvolver m´etodos eficientes para a solu¸c˜ao das equa¸c˜oes de Schr¨odinger e Dirac dependentes do tempo, para ent˜ao aplic´a-los no estudo do confinamento e das propriedades de trans- porte de estruturas de escala nanom´etrica. No Cap´ıtulo 2, mostraremos como resolver estas equa¸c˜oes numericamente atrav´es do m´etodo split-operator, danto detalhes sobre este
1.5 Objetivos e estrutura da Tese 58
m´etodo e desenvolvendo-o tamb´em para sistemas onde o Hamiltoniano ´e escrito na forma tight-binding ou em termos de matrizes de Pauli. Iremos abordar tamb´em o problema das condi¸c˜oes de contorno em sistemas onde pretende-se estudar evolu¸c˜ao em tempo real e mostramos que uma evolu¸c˜ao em tempo imagin´ario ´e uma boa ferramenta para obten¸c˜ao dos autoestados de um Hamiltoniano cujo espectro de energia possui um limite inferior. No Cap´ıtulo 3, estudamos diversos tipos de heteroestruturas semicondutoras, onde os el´etrons obedecem `a uma equa¸c˜ao de Schr¨odinger no modelo de massa efetiva. Aplicamos o m´etodo descrito no Cap´ıtulo 2 para calcular autoestados e evolu¸c˜ao temporal em sis- temas compostos por an´eis quˆanticos com canais longitudinais sob campos magn´eticos. Uma vez que a jun¸c˜ao entre os canais e o anel lembram um sistema de fios em T, inici- amos o Cap´ıtulo fazendo um estudo dos autoestados e da propaga¸c˜ao de pacotes de onda em jun¸c˜oes T, para compreender melhor o problema dos an´eis. Estudaremos tamb´em heteroestruturas onde os efeitos Zeeman e spin-´orbita tˆem um papel importante, e analis- aremos a influencia destes termos sobre os autoestados e a evolu¸c˜ao temporal de pacotes de onda.
No Cap´ıtulo 4 apresentamos os resultados obtidos para o movimento de el´etrons sobre uma monocamada de Grafeno, com e sem potenciais externos. Estudaremos o zitterbe- wegung atrav´es dos modelos tight-binding e cont´ınuo, fazendo uma compara¸c˜ao entre os resultados obtidos por cada um, e analisaremos a influˆencia de campos magn´eticos e pseudo-magn´eticos sobre este efeito. No caso dos campos pseudo-magn´eticos, induzi- dos por tens˜ao, discutiremos a quest˜ao da quebra de degenerescˆencia de vales e a poss´ıvel aplica¸c˜ao de tal efeito como um filtro de vales em grafeno. Investigaremos tamb´em o efeito AB sobre o espectro de energia de an´eis quˆanticos de grafeno sob campos magn´eticos ex- ternos, comparando os resultados do tight-binding com os do modelo do anel ideal descrito anteriormente neste Cap´ıtulo.
O segundo objetivo desta tese consiste em analisar a intera¸c˜ao entre v´ortices em super- condutores, com o intuito de entender melhor os resultados obtidos atrav´es das equa¸c˜oes de Ginzburg-Landau para as estruturas de v´ortices. Ao resolver estas equa¸c˜oes, obtemos uma estrutura de v´ortices interagentes que corresponde ao estado de menor energia do sistema, mas n˜ao somos capazes de compreender de maneira profunda o que leva este es- tado a ser o de menor energia, pois em geral n˜ao conhecemos de forma exata (conhecemos apenas a longo alcance, dentro de algumas aproxima¸c˜oes) o potencial entre os v´ortices. Procurando compreender melhor a intera¸c˜ao entre v´ortices, desenvolvemos no Cap´ıtulo 5 desta tese uma variante das pr´oprias equa¸c˜oes de Ginzburg-Landau que nos permite obter o potencial entre v´ortices em supercondutores volum´etricos para quaisquer separa¸c˜ao e
1.5 Objetivos e estrutura da Tese 59
vorticidade dos v´ortices interagentes e para qualquer valor do parˆametro de Ginzburg- Landau κ. Aplicaremos este procedimento para analisar intera¸c˜oes entre um v´ortice e um outro v´ortice (V-V), um v´ortice gigante (V-GV) ou um antiv´ortice (V-AV). Expli- caremos tamb´em como expandir este m´etodo para o estudo de supercondutores de duas componentes e mostraremos como prever de maneira simples qual ser´a o comportamento resultante do potencial entre v´ortices nestes sistemas. Com isso, pretendemos demonstrar de maneira te´orica a possibilidade de se obter um comportamento n˜ao-monotˆonico do po- tencial de intera¸c˜ao, o qual tem sido chamado de supercondutividade tipo-1.5 e tem sido alvo de intensa discuss˜ao em v´arios trabalhos anteriores na literatura, ap´os sua recente observa¸c˜ao experimental. [7]
No Cap´ıtulo 7, faremos um resumo dos principais resultados que obtivemos para os sistemas que estudamos nos Cap´ıtulos 3, 4 e 5, e daremos sugest˜oes e perspectivas para trabalhos futuros.
Nos apˆendices A e B deste trabalho, encontram-se respectivamente os artigos que publiquei e os que est˜ao submetidos ou sendo escritos, os quais resumem os principais resultados que expus nesta tese. No apˆendice C, temos os artigos publicados que n˜ao est˜ao relacionados diretamente aos temas da tese, mas que s˜ao sugeridos como leitura complementar.
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