baixa dimensionalidade
4.2 Evolu¸c˜ ao temporal de pacotes de onda em grafeno
4.2.5 Filtro de vales
Consideremos agora a amostra tensionada da Fig. 63(b) com R = 1 µm. Comparando- se o raio da trajet´oria semi-circular do pacote de onda em um sistema como este com aquele obtido para diferentes alturas de uma barreira magn´etica, obt´em-se uma estimativa do campo magn´etico induzido por tens˜ao para este valor de R como ≈ 4.9 T. A Fig. 65(a) mostra as trajet´orias no plano x − y do centr´oide dos pacotes de onda em um sistema onde combinamos uma tens˜ao R = 1 µm para y ≥ 0 com uma barreira magn´etica externa B = 0 T (s´olida, aberto) e 4.9 T (tracejada, fechado), para pactes de onda nos pontos K (s´ımbolos) e K′ (curvas) de Dirac. Na ausˆencia do campo magn´etico
externo, ambos os pacotes em K e K′ exibem a mesma trajet´oria semi-circular, como
discutido anteriormente. Por´em, quando combinamos o efeito das barreiras magn´eticas externa e induzida por tens˜ao, o pacte de onda em K′ sofre uma for¸ca de Lorentz maior e ´e imediatamente refletida, enquanto o do ponto K exibe uma trajet´oria praticamente reta, como se o pacote n˜ao tivesse sido influenciado por qualquer for¸ca de Lorentz. Isto ´e consequˆencia do fato de que a combina¸c˜ao entre os efeitos de um campo pseudo-magn´etico produzido por uma flex˜ao R = 1µm e de um campo magn´etico externo B = 4.9 T resulta em um campo magn´etico efetivo mais forte no ponto K′, enquanto no ponto K estes
campos se equilibram, produzindo uma regi˜ao praticamente livre de campos magn´eticos para part´ıculas neste cone. Nesta situa¸c˜ao, o sistema funciona como um filtro de vales, onde apenas pacotes no cone K de Dirac podem passar atrav´es da regi˜ao tensionada, enquanto os pacotes de onda em K′ s˜ao refletidos. Os resultados para o pacote de onda
em K considerando-se dois outros valores de campo magn´etico externo s˜ao mostrados como linhas s´olidas finas, que demonstram que dentro de um intervalo ∆B = ±0.2 T em torno de B = 4.9 T, o que ´e um intervalo razo´avel para intensidades de campos magn´eticos em experimentos, observa-se somente uma for¸ca de Lorentz bem fraca, e o filtro de vales ainda funciona satisfatoriamente. Os resultados da Fig. 65 foram obtidos para ambas as barreiras de campo magn´etico externo e induzido por tens˜ao come¸cando na mesma posi¸c˜ao y = 0. ´E f´acil verificar que se existir um descasamento entre as posi¸c˜oes iniciais nas barreiras, alguns desvios devem ocorrer na trajet´oria mas, contanto que o comprimento
4.2 Evolu¸c˜ao temporal de pacotes de onda em grafeno 151
Figura 65: (a) Trajet´orias no plano x − y para pacotes de onda com momento inicial k0
y = 0.02 ˚A−1 em torno de K (s´ımbolos) e K′ (curvas), considerando-se uma folha de
grafeno flexionada como um arco de c´ırculo de raio R = 1 µm e um campo magn´etico externo B = 0 T (aberto, s´olida) e 4.9 T (fechado, tracejada). As curvas azuis finas mostram os resultados para duas outras intensidades de campo magn´etico externo para o pacote em K. (b) Probabilidade de se encontrar a part´ıcula em y ≥ 0 como fun¸c˜ao do tempo, para pacotes de onda com as mesmas configura¸c˜oes que em (a).
do descasamento seja menor que o comprimento magn´etico, o efeito de filtragem ainda permanece est´avel. Por exemplo, um descasamento de 30 ˚A entre as barreiras de campo externo e pseudo-magn´etico no sistema analisado na Fig. 65 produziria um desvio de ≈ 5◦ na trajet´oria do pacote de onda em K, que deveria ser vertical, enquanto o pacote
de onda em K′ ainda ´e prontamente refletido pela combina¸c˜ao de campos magn´eticos na
regi˜ao do filtro.
A probabilidade P>de se encontrar a part´ıcula na regi˜ao tensionada y ≥ 0, calculada
como P>(t) = n> m |Ψtn,m|2, (4.12)
onde n> representa as linhas de s´ıtios atˆomicos com y ≥ 0, ´e mostrada como fun¸c˜ao do
tempo na Fig. 65(b). No caso B = 0 T, ambos os pacotes de onda em K (c´ırculos abertos) e K′ (s´olida) permanecem na regi˜ao tensionada y ≥ 0 s´o at´e t ≈ 300 fs, quando
eles voltam para a regi˜ao y < 0, refletidos pela for¸ca de Lorentz induzida pela tens˜ao. Por´em, para B = 4.9 T, P> j´a se aproxima de zero em t ≈ 175 fs para o pacote em K′
(tracejada), enquanto para K (c´ırculos fechados), ele permanece pr´oximo de 1 at´e mesmo para maiores valores de t.
4.2 Evolu¸c˜ao temporal de pacotes de onda em grafeno 152
A eficiˆencia do filtro de vales proposto ´e confirmada pela Fig. 66, onde mostramos P>
como fun¸c˜ao do tempo para pacotes de onda iniciais dados pela combina¸c˜ao de Gaussianas em torno dos pontos K e K′ na Eq. (4.10):
Ψ =√αΨK+
βΨK, (4.13)
onde ΨK(K) ´e o pacote de onda Gaussiano da Eq. (4.7) com momento q em torno do
ponto de K(K′) de Dirac. Os resultados s˜ao apresentados para trˆes valores diferentes de
β, onde pode-se facilmente ver que a probabilidade de se encontrar o pacote na regi˜ao tensionada exibe um pico em t ≈ 80 fs mas, como a parte K′ do pacote ´e refletida pela
barreira magn´etica, esta probabilidade decai, convergindo exatamente a P> = β para
tempos t maiores. Um sistema como este prova-se ser um filtro de vales perfeito, capaz de refletir todas as componentes do pacote incidente que est˜ao no ponto K′ e transmitir
um pacote de onda composto apenas por estados com momento na vizinhan¸ca de K. Salientamos que quando um pacote de onda chega `a borda de uma nanofita de grafeno, ele pode ser espalhado para um cone de Dirac diferente. [156] Consequentemente, a eficiˆencia do filtro de vale pode ser comprometida se considerarmos uma fita muito fina,
Figura 66: Probabilidade de se encontrar o el´etron na regi˜ao do filtro y ≥ 0, para um pacote de onda inicial dado por uma combina¸c˜ao de distribui¸c˜oes Gaussianas em torno de ambos os pontos K e K′ de Dirac, para trˆes valores diferentes de β, que representa a
4.2 Evolu¸c˜ao temporal de pacotes de onda em grafeno 153
de forma que o pacote filtrado ainda possa atingir as bordas e se espalhar de volta ao outro vale. Para evitar este tipo de efeito, consideramos uma nanofita bem larga, de maneira que, para os intervalos de tempo estudados neste trabalho, os efeitos de borda n˜ao s˜ao significativos.
Recentemente, uma forma ainda mais simples para a filtragem de vales foi sugerida por Wu et al. [70]: se fˆossemos capazes de controlar o ˆangulo de incidˆencia do el´etron sobre uma barreira pseudo-magn´etica induzida por tens˜ao, como a da Fig. 63(b) poder´ıamos fazˆe-lo incidir com um certo ˆangulo, de forma que a for¸ca de Lorentz refletiria el´etrons no vale K, enquanto el´etrons no vale K′ poderiam penetrar bem mais e atravessar a
barreira, pois o campo pseudo-magn´etico neste caso ´e negativo. Isto est´a ilustrado na Fig. 67, onde temos as trajet´orias obtidas atrav´es do modelo de Dirac para pacotes de onda incidindo sobre uma barreira pseudo-magn´etica B = +2.5 T (-2.5 T ) no ponto K (K′). Desta forma, podemos separar os estados de cada vale de uma forma bem mais
simples, a qual n˜ao depende da existˆencia de uma barreira magn´etica externa, eliminando qualquer problema devido ao poss´ıvel descasamento entre barreiras de campo magn´etico e pseudo-magn´etico, como explicado nos par´agrafos anteriores.
Figura 67: Trajet´orias obtidas pelo modelo de Dirac para pacotes de onda nos vales K e K′, considerando-se E = 100 meV e d = 200 ˚A , em um sistema que apresenta
uma barreira pseudo-magn´etica B = 2.5 T, delimitada pela linha horizontal pontilhada em y = 0. Os pacotes se propagam inicialmente formando um ˆangulo π/4 com rela¸c˜ao `a normal, ou seja, o pseudo-spinor ´e considerado como c1= 1 e c2 = eiπ/4. A ´area hachurada
4.2 Evolu¸c˜ao temporal de pacotes de onda em grafeno 154