Evolu¸c˜ ao temporal para B =

Resolvendo a equa¸c˜ao de Schr¨odinger dependente do tempo encontramos Ψ(x, y, t). As proje¸c˜oes da fun¸c˜ao de onda dependente do tempo sobre as subbandas do estado fundamental (preta, P1) e do primeiro estado excitado (vermelha, P2) dos canais foram

calculadas como fun¸c˜ao do tempo em trˆes pontos diferentes do sistema: xl = −1100 ˚A

(canal esquerdo), xa= 0 ˚A (bra¸co superior) e xr= 1100 ˚A (canal direito). Os resultados

est˜ao mostrados nas figuras 19 (a), (b) e (c), para ε1, ε2 e ε3, respectivamente. Alguns

fatos interessantes s˜ao observados: 1) o el´etron ´e refletido e transmitido atrav´es dos canais em pacotes, que s˜ao consequˆencia das reflex˜oes nos pontos de intersec¸c˜ao entre o canal e o anel. 2) Nos canais esquerdo e direito, a fun¸c˜ao de onda est´a restrita `a primeira subbanda, tendo proje¸c˜ao zero sobre o primeiro estado excitado. Por´em, dentro do anel, a fun¸c˜ao de onda ´e parcialmente espalhada para a segunda subbanda. Para ε3, esta proje¸c˜ao pode ser

dominante e maior que a proje¸c˜ao sobre a subbanda do estado fundamental. Apesar de ε2

estarem abaixo da segunda subbanda, existe ainda uma pequena proje¸c˜ao P2 nos bra¸cos

do anel para estes casos, devido `a larga distribui¸c˜ao de kx’s da fun¸c˜ao de onda inicial.

Assim, a fun¸c˜ao de onda do el´etron ´e parcialmente espalhada para a segunda subbanda na primeira conex˜ao canal-anel, mas ´e espalhada de volta para a primeira subbanda na segunda conex˜ao canal-anel, levando a uma fun¸c˜ao de onda de sa´ıda apenas na primeira subbanda. Na Fig 20, consideramos um pacote de onda com energia ε3 centrado em k(2)3 ,

de forma que a proje¸c˜ao P1 ´e zero em ambos os canais. Novamente, as proje¸c˜oes P1 e

P2 s˜ao n˜ao-nulas dentro dos bra¸cos do anel. Apesar de n˜ao estar mostrado nas figuras,

calculamos tamb´em proje¸c˜oes sobre o segundo estado excitado P3, e encontramos zero

3.2 An´eis quˆanticos 87

demonstrado na Fig 21, considerando-se um estado na segunda subbanda com energia 430 meV, que est´a acima da terceira subbanda do sistema, que est´a em torno de 390 meV, a proje¸c˜ao P3 (azul) ´e n˜ao-nula nos bra¸cos do anel. Note que os picos em P2 e

P3 s˜ao deslocados para um tempo maior quando comparados com os picos de P1. Este

atraso ´e consequˆencia do fato de que kx(1)> k(2)x > k(3)x , de forma que pacotes de onda em

subbandas mais altas movem-se com menor velocidade. Estes resultados mostram que quando tratamos deste problema considerando espessuras finitas, n˜ao s´o permitimos que a fun¸c˜ao de onda passe a ser refletida pelas paredes de potencial do anel e dos canais, como tamb´em fazemos com que ela seja capaz de acessar outras subbandas, somente dentro do anel, como consequˆencia do espalhamento nas jun¸c˜oes canal-anel. Na conex˜ao entre o canal de entrada e o anel, o pacote de onda se espalha para outras subbandas se a conserva¸c˜ao de energia for satisfeita. Quando parte da onda ´e espalhada para outras subbandas, esta parte adquire uma diferen¸ca de fase π entre suas fra¸c˜oes que se propagam atrav´es dos bra¸cos superior e inferior do anel, levando a uma interferˆencia destrutiva na jun¸c˜ao entre o anel e o canal de sa´ıda apenas para as subbandas para as quais o pacote foi espalhado, o que explica porque o pacote de onda de sa´ıda est´a somente na subbanda inicial.

Ambas as caracter´ısticas citadas podem tamb´em ser ilustradas pela evolu¸c˜ao temporal das curvas de n´ıvel do m´odulo quadrado da fun¸c˜ao de onda. Elas est˜ao mostradas nas figuras 22 (a) e (b), para quatro instantes de tempo diferentes, iniciando com pacotes de onda com energia ε1 e ε2, respectivamente. As Figs. 23 (a) e (b) s˜ao para ε3 nas

subbandas k(1)₃ e k(2)₃ , respectivamente. Estes resultados s˜ao todos na ausˆencia de campos magn´eticos. Conex˜oes suaves (direita) e com ˆangulo reto (esquerda) entre o canal e o anel foram consideradas. Para o caso suave, a fun¸c˜ao de onda exibe um padr˜ao de interferˆencia complicado nas conex˜oes.

A presen¸ca dos pulsos observados na Fig. 19, devido `as reflex˜oes nos pontos de intersec¸c˜ao entre os canais e o anel, pode ser melhor entendida se analisarmos a corrente de probabilidade dependente do tempo na Fig. 24, calculada sobre os trˆes mesmos pontos, xl, xa e xr, onde as proje¸c˜oes da fun¸c˜ao de onda foram calculadas anteriormente, para ε1

(preta), ε2 (vermelha) e ε3 (azul). Podemos ver facilmente que existe mais de um pico

na corrente de probabilidade nos canais esquerdo e direito. No canal esquerdo, o pico positivo est´a relacionado com a fun¸c˜ao de onda inicial, e pelo menos dois picos negativos, separados por um per´ıodo de corrente de probabilidade nula, s˜ao observados. No bra¸co superior do anel, a corrente de probabilidade apresenta picos positivos e negativos, o que significa que a fun¸c˜ao de onda atravessou o bra¸co do anel em dois sentidos diferentes, ou

3.2 An´eis quˆanticos 88

Figura 19: Evolu¸c˜ao temporal das proje¸c˜oes da fun¸c˜ao de onda sobre o estado fundamental (preto) e primeiro estado excitado (vermelho) de um po¸co quˆantico de espessura W = 100 ˚

A , calculadas em trˆes pontos diferentes do sistema: canal esquerdo, bra¸co superior do anel e canal direito. O pacote de onda ´e injetado na primeira subbanda e tem energia (a) ε1,

(b) ε2 e (c) ε3.

seja, indo e voltando. No canal direito, mais de um pico positivo ´e observado. Este efeito pode ser entendido se analisarmos a trajet´oria do pacote de onda atrav´es do sistema, que est´a tamb´em ilustrada pelas curvas de n´ıvel da fun¸c˜ao de onda nas Figs. 22 e 23: na primeira jun¸c˜ao, parte da fun¸c˜ao atinge a parede de potencial e volta, contribuindo para a probabilidade de reflex˜ao, enquanto a parte restante passa da jun¸c˜ao e percorre o anel (ver Figs. 22 e 23). As partes da fun¸c˜ao de onda que vˆem da primeira jun¸c˜ao e que se movem atrav´es dos bra¸cos superior e inferior do anel interferem na segunda jun¸c˜ao, e desta interferˆencia, parte da fun¸c˜ao de onda ´e transmitida para o canal direito, dando uma contribui¸c˜ao para a probabilidade de transmiss˜ao, enquanto a outra parte volta atrav´es dos bra¸cos do anel para a primeira jun¸c˜ao. De volta `a primeira jun¸c˜ao, estas ondas interferem novamente, resultando em uma onda que se move de volta ao canal esquerdo, contribuindo assim para a probabilidade de reflex˜ao novamente, enquanto outro par de ondas se move novamente pelos bra¸cos superior e inferior do anel, indo em dire¸c˜ao `a segunda jun¸c˜ao, e assim por diante.

3.2 An´eis quˆanticos 89

Figura 20: O mesmo que a Fig. 19 (c), mas considerando agora um pacote de onda de energia ε3 na segunda subbanda, com k3(2).

Se estimarmos o tempo que uma part´ıcula cl´assica leva para percorrer estas trajet´orias, encontraremos resultados parecidos com os observados no nosso sistema. Para ε1 (preta,

s´olida) na Fig. 24, o primeiro pico negativo no canal esquerdo e o primeiro pico positivo no canal direito s˜ao encontrados em 128.8 e 371.8 fs, enquanto para uma part´ıcula cl´assica, os tempos de transmiss˜ao e reflex˜ao seriam 129.0 e 372.3 fs, respectivamente. Al´em disso, em 186.1 fs, um pico positivo no bra¸co superior do anel ´e observado, o que est´a de acordo com o tempo encontrado para uma part´ıcula cl´assica atingir este ponto, que ´e estimado em 186.2 fs. Para o segundo pacote de reflex˜ao e transmiss˜ao, isto ´e, segundo pico negativo (positivo) no canal esquerdo (direito), que ocorrem em 594.8 fs e 832.2 fs, respectivamente, os tempos para uma part´ıcula cl´assica seriam um pouco superiores, 615.5 fs para reflex˜ao e 858.7 fs para transmiss˜ao. Al´em disso, o tempo para o segundo pico (negativo) no bra¸co superior ´e 413.0 fs, enquanto para uma part´ıcula cl´assica, este tempo ´e estimado em 429.4 fs. De forma contr´aria, considerando-se um pacote de onda com energia ε2, o tempo

3.2 An´eis quˆanticos 90

Figura 21: Evolu¸c˜ao temporal das proje¸c˜oes da fun¸c˜ao de onda sobre as subbandas do estado fundamental (preta), primeiro estado excitado (vermelha) e segundo estado exci- tado (azul) de um po¸co quˆantico de espessura W = 100 ˚A , calculadas no bra¸co superior do anel, considerando-se um pacote de onda para um estado na segunda subbanda, com energia 430 meV.

abaixo dos valores encontrados para o primeiro pico negativo (positivo) no canal esquerdo (direito), que ocorre em 112.4 (318.0) fs. O primeiro pico do bra¸co superior ocorre em 161.0 fs, enquanto para uma part´ıcula cl´assica, este tempo tamb´em ´e subestimado, calculado como 142.2 fs. De fato, valores menores (maiores) para tempos cl´assicos, considerando-se uma part´ıcula com energia ε1 (ε2), foram encontrados tamb´em para o sistema do fio T,

como mencionado na Subse¸c˜ao anterior.

As Figs. 7 e 8 ilustram claramente: i) a interferˆencia das ondas nas jun¸c˜oes, ii) a transmiss˜ao do pacote de onda do canal de inje¸c˜ao para os bra¸cos do anel e seu espal- hamento de volta a este canal, e iii) a distribui¸c˜ao radial do el´etron nos bra¸cos do anel, onde observamos que o m´aximo da fun¸c˜ao de onda est´a ou no centro do canal, quando o pacote est´a na primeira subbanda, ou dividido em dois picos na dire¸c˜ao radial, no caso de um el´etron propagando na segunda subbanda (ver, por exemplo, t = 120 fs nas Figs. 7 (b), 8 (a) e 8 (b)). No segundo caso, o m´aximo da fun¸c˜ao de onda tra¸ca o caminho cl´assico de um el´etron sendo rebatendo-se nas paredes interna e externa do anel.