Campos Tensoriais e sua Diferencia¸c˜ ao

1.8.1

Espa¸co-tempo como variedade diferenci´avel

As fun¸c˜oes s˜ao os objectos geom´etricos mais simples definidos numa variedade. Con- sideremos uma fun¸c˜ao definida na variedade espa¸co-tempo de Minkowski M4

0 e com

valores reais, ou seja, a aplica¸c˜ao

f : U ⊂ M₀4 → <

que associa cada ponto p ∈ U a um n´umero real f (p), onde U ´e uma vizinhan¸ca (ou conjunto aberto) de p em M4

0. O conjunto U ´e o dom´ınio da fun¸c˜ao f . Sendo M04 uma

variedade 4-dimensional ´e localmente semelhante a <4_{. Podemos ent˜ao admitir que}

est´a definida em U uma aplica¸c˜ao bijectiva e bi-cont´ınua (homeomorfismo) φ : U → <4_.

que associa a cada ponto p de U 4 n´umeros reais, as suas coordenadas. O par (U, φ) representa uma carta de M4

0, ou seja, um modo de especificar f (p) por interm´edio

da sua representa¸c˜ao coordenada: ˜f = f ◦ φ−1_{, que ´e uma fun¸c˜ao real definida em}

<4 _{pela carta (U, φ). A fun¸c˜ao f diz-se diferenci´avel no acontecimento p ∈ M}4 0 se

˜

f ´e diferenci´avel no ponto φ(p) = {x0_{(p), x}1_{(p), x}2_{(p), x}3_{(p)} (num dado sistema de}

coordenadas e portanto em qualquer).

p X a f X a(p) fo f~ f~= ( _X a)-1

Figura 1.17: Representa¸c˜ao coordenada da fun¸c˜ao f : ˜f ≡ f ◦ (Xa₎−1 _{⇒ ˜f (X}a_{(p)) =}

1.8.2

Fun¸c˜oes e gradientes de fun¸c˜oes. Bases duais

O diferencial df (ou “gradiente”) de uma fun¸c˜ao diferenci´avel ´e um caso especial de covector (ou 1-forma). Nos textos de an´alise elementar, o diferencial df ´e definido como representando “uma varia¸c˜ao infinitesimal da fun¸c˜ao f(x)”associada a um deslocamento infinitesimal do ponto x; mas o deslocamento de x, embora infinitesimal ´e deixado arbitr´ario. Assim, df representa uma varia¸c˜ao de f numa direc¸c˜ao n˜ao especificada.

´

E claro que se f ´e fun¸c˜ao de uma s´o vari´avel real, a direc¸c˜ao est´a imediatamente determinada.

Ao identificarmos df com um covector estamos implicitamente a admitir a existˆencia de uma aplica¸c˜ao linear,

df : TpM → <

o que nos leva `a seguinte

Defini¸c˜ao 12 O valor de df sobre Up ∈ TpM, isto ´e, a imagem do vector tangente Up

por interm´edio da aplica¸c˜ao linear df , ´e igual `a derivada dirigida de f segundo Up

df (U)(p) =< df, U >p:= ∂Upf. (1.104)

Em componentes temos, se Up ´e um vector tangente no ponto p,

< df, Up >= ∂Uf = Upa à ∂ ˜f ∂xa ! φ(p) ,

o que mostra que as componentes do covector df no ponto p ∈ M s˜ao dadas por dfa(p) = Ã ∂ ˜f ∂xa ! φ(p) .

Sendo Ua_{as componentes do vector tangente U}

pna base coordenada {∂a = ∂/∂xa}, a = 0, 1, 2, 3 ent˜ao < df, U >p= df (U)(p) = Uadf (∂a) = Ua à ∂ ˜f ∂xa ! φ(p) isto ´e, ∂ ˜f ∂xa =< df, ∂ ∂xa > .

No que se segue n˜ao faremos distin¸c˜ao entre f e ˜f . Tal como dissemos que (1.104) d´a a derivada dirigida segundo U tamb´em podemos interpretar esta ´ultima equa¸c˜ao como as derivadas dirigidas da fun¸c˜ao f segundo os vectores tangentes aos eixos coordenados ∂/∂xa_.

´

E necess´ario verificar se esta defini¸c˜ao d´a sempre o mesmo covector, independentemente do sistema de coordenadas. Num outro sistema x0 _ter´ıamos

∂f ∂xb = ∂xa0 ∂xb ∂f ∂xa0 (1.105)

Mas no espa¸co-tempo de Minkowski a transforma¸c˜ao de coordenadas reduz-se `a trans- forma¸c˜ao de Lorentz entre dois referenciais inerciais: xa0

= La0 bxb e, portanto ∂xa0 ∂xb = L a0 b,

ou seja, podemos escrever

∂f ∂xb = L a0 b ∂f ∂xa0 (1.106)

que ´e a lei de transforma¸c˜ao das componentes de um covector.

Podemos aplicar estas mesmas ideias `as 4 fun¸c˜oes coordenadas xa_{(p) e formar os co-}

vectores

dx0_{, dx}1_{, dx}2_{, dx}3_.

Tal como as componentes do covector df eram (df )_b = ∂f

∂xb =< df, ∂b >,

tamb´em as componentes de dxa _{s˜ao dadas por}

(dxa₎ b = ∂xa ∂xb =< dx a_{, ∂} b >= δab. (1.107)

Podemos escrever as componentes dos covectores dxa _{sob a forma de matrizes-linha}

dx0 ₌ ³ _{1 0 0 0} ´

dx1 ₌ ³ _{0 1 0 0} ´

dx2 ₌ ³ _{0 0 1 0} ´

dx3 ₌ ³ _{0 0 0 1} ´

A Eq. (1.107) mostra que os covectores {dxa_{} s˜ao linearmente independentes e, por-}

tanto, formam uma base no espa¸co co-tangente T∗

pM tal como os {∂/∂xa} formam uma

base (coordenada) em TpM. Se α ∈ Tp∗M ´e uma 1-forma, ent˜ao podemos escrevˆe-la

como uma combina¸c˜ao linear dos covectores {dxa_{}, isto ´e}

α = αcdxc. (1.108)

Esta express˜ao ´e perfeitamente consistente com a Eq. (1.107), pois sendo α uma aplica¸c˜ao linear vem

As duas bases {dxa_{} e {∂/∂x}a_{}, para as quais se verifica a rela¸c˜ao (1.107), dizem-se}

duais uma da outra. S˜ao ambas bases coordenadas de T∗

pM e TpM, respectivamente.

Na base coordenada o covector escreve-se df = Ã ∂f ∂xb ! dxb _{= f} ,adxa, (1.109)

o que est´a de acordo com a ideia de gradiente de uma fun¸c˜ao (grad f ) do c´alculo elementar, pois as componentes de df s˜ao exactamente as componentes do gradiente. Igualmente, os covectores dxa_{, que formam a base coordenada no espa¸co cotangente,}

s˜ao os gradientes das superf´ıcies coordenadas.

No espa¸co vectorial das formas diferenciais lineares, T∗

pM, qualquer conjunto de quatro

1-formas linearmente independentes constitui uma base. Contudo, uma vez escolhida uma base no espa¸co tangente TpM, {ea, a = 0, 1, 2, 3} esta escolha induz uma base

preferencial em T∗

pM, chamada a base dual, {ωa, a = 0, 1, 2, 3}, que `a semelhan¸ca do

que acontece com as bases coordenadas, verifica a rela¸c˜ao < ωa_{, e}

b >= δab

Se X ´e um vector arbitr´ario de TpM, ent˜ao as componentes (contravariantes) de X s˜ao

os n´umeros reais obtidos pela opera¸c˜ao

< ωa_{, X >= X}a_,

sendo Xa _{as componentes de X na base {e}

a}. Da mesma maneira, as componentes de

um tensor covariante de segunda ordem s˜ao dadas por Tab = T (ea, eb) e as componentes

de um tensor contravariante de segunda ordem por Tab _{= T (ω}a_{, ω}b_{). Mas ´e claro que}

estas n˜ao s˜ao as componentes nas bases coordenadas {dxa_{} e {∂/∂x}a_}.

A vantagem das bases n˜ao coordenadas est´a no seguinte: como veremos mais adiante, a m´etrica de um espa¸co-tempo arbitr´ario pode sempre ser transformada localmente numa m´etrica de Minkowski, pelo que ´e sempre poss´ıvel encontrar um conjunto de vectores base {ea} e seus duais {ωa}, em cada ponto, ortonormados. Isto significa que

se g ´e a m´etrica de uma variedade espa¸co-tempo arbitr´aria ent˜ao: g(ea, eb) = ηab e

g−1_(ωa_{, ω}b_{) = η}ab_{, onde η}

a,b e ηab s˜ao as componentes da m´etrica e sua inversa de um

espa¸co-tempo de Minkowski. Mas note que os {ea} n˜ao s˜ao necessariamente tangentes

`as linhas coordenadas nem os {ωa_{} s˜ao gradientes das superf´ıcies coordenadas.}

Em geral, para definir qualquer ωa _{´e necess´ario conhecer todos os vectores {e}

a}. Uma

mudan¸ca de um dos eb geralmente afecta todas as 1-formas base ωa. A correspondˆencia

que estabelecemos ´e entre uma base e a sua base dual, e n˜ao entre 1 vector individual e a 1-forma associada.

Um campo de 1-formas numa variedade M, por analogia com os campos vectoriais, ´e uma regra que associa uma 1-forma a cada ponto p de M. As propriedades mencionadas

na defini¸c˜ao dos covectores como aplica¸c˜oes lineares estendem-se aos campos de 1- formas, com uma pequena diferen¸ca; na rela¸c˜ao

(aα) (U) = a < α, U >,

a pode ser fun¸c˜ao definida em M, e n˜ao necessariamente uma constante.

A diferenciabilidade dos campos de 1-formas pode ser definida `a custa da diferencia- bilidade dos campos vectoriais e das fun¸c˜oes. Por exemplo, numa variedade C∞ _onde

est´a definido um campo vectorial X, um dado campo de 1-formas α define uma fun¸c˜ao α(X) =< α, X > .

Se esta fun¸c˜ao α(X) ´e de classe C∞ _{para qualquer campo vectorial X de classe C}∞_,

ent˜ao α ´e de classe C∞_.

Entre os campos de 1-formas figura um, particularmente ´util, que ´e o gradiente de uma fun¸c˜ao f que passamos a escrever como df . Assim, pelo que foi dito atr´as, o gradiente df ´e definido por

df (d/dλ) =< df, d dλ >=

df dλ,

onde d/dλ ´e um campo vectorial tangente definido ao longo de uma curva parametri- zada pelo parˆametro λ. Por outras palavras, o gradiente de f num ponto p de M ´e todo o elemento de T∗

pM cujo valor sobre um elemento X ∈ TpM ´e a derivada dirigida

ao longo da curva integral de X (i.e., a curva de que X ´e vector tangente em p). Podemos verificar que se trata de uma fun¸c˜ao linear sobre TpM,

df à a d dλ + b d dµ ! = adf (d/dλ) + bdf (d/dµ) = adf dλ + b df dµ

O gradiente permite-nos dar uma representa¸c˜ao pict´orica duma 1-forma que pode considerar-se complementar da representa¸c˜ao de um vector como uma seta. Efecti- vamente, uma 1-forma a pode ser representada por uma s´erie de superf´ıcies e a sua contrac¸c˜ao com o vector X d´a o n´umero de superf´ıcies que X atravessa. Quanto mais pr´oximas s˜ao as superf´ıcies, maior ´e a. Concretamente, as 1-formas tangentes α s˜ao representadas por uma s´erie de superf´ıcies paralelas de dimens˜ao d = n − 1 se dimM = n.