Consideremos um nave espacial que parte da Terra numa direc¸c˜ao que tomamos como o eixo dos xx do referencial ligado `a Terra, com uma acelera¸c˜ao pr´opria constante a = α e mantendo uma traject´oria rectil´ınea. No instante inicial t = 0, medido em S (referencial inercial ligado `a Terra), temos: x = 0, v = 0, e a = α. Ao fim de um certo tempo t temos
a = dv dt = α
³
ou seja,
dv
(1 − v2)3/2 = αdt, 0 ¿ v < 1,
onde v ´e a velocidade em S do referencial inercial instantaneamente com´ovel com a part´ıcula.
Fazendo a substitui¸c˜ao de vari´aveis: v = tanh φ, a Eq. anterior toma a forma cosh φdφ = αdt,
cuja integra¸c˜ao d´a
sinh φ = αt, atendendo `as condi¸c˜oes iniciais.
Para encontrar as equa¸c˜oes param´etricas da curva descrita pela part´ıcula no espa¸co- tempo de Minkowski, devemos obter agora x em fun¸c˜ao do parˆametro φ. Como dx/dt = tanh φ, vem
dx = tanh φα−1cosh φdφ, o que d´a lugar a
cosh φ = αx + 1, atendendo novamente `as condi¸c˜oes iniciais (x = 0, φ = 0).
As equa¸c˜oes param´etricas do movimento de uma part´ıcula acelerada, com acelera¸c˜ao pr´opria constante α, s˜ao
t = α−1sinh φ,
x = α−1(cosh φ − 1) . (1.93)
O sistema de Eqs.(1.93) representa uma hip´erbole no espa¸co-tempo de Minkowski. Quando t → ∞ (φ → ∞, tanh φ → 1) : v → 1. Para velocidades v ¿ 1, i.e., φ ¿ 1 temos x ' φ2 2α, t ' φ α, logo x ' 1 2αt 2,
que ´e o movimento parab´olico que se esperava.
Voltando ao sistema de Eqs. (1.93), e fazendo uma transla¸c˜ao da origem x 7→ x = x + 1
α
podemos escrever as equa¸c˜oes param´etricas na forma seguinte t = α−1sinh φ,
Nestas novas coordenadas inerciais, a equa¸c˜ao que descreve a curva do espa¸co-tempo do nave espacial com acelera¸c˜ao pr´opria α obt´em-se por elimina¸c˜ao do parˆametro φ
x2− t2 = 1 α2. C B A –8 –6 –4 –2 0 2 4 6 8 ct –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 x
Figura 1.16: Movimentos Hiperb´olicos para os valores de α = 1/2, 1/3, 1/6 ano−1,
respectivamente para os ramos de hip´erbole A, B, C.
Trata-se da equa¸c˜ao de uma hip´erbole, como se vˆe na figura junta, com ass´ımptotas x = ±t, correspondentes `as linhas do Universo dos fot˜oes. Neste sentido, diz-se que a acelera¸c˜ao pr´opria dos fot˜oes ´e α = ∞.
Vejamos agora qual o significado do parˆametro φ. Mostremos que ´e proporcional ao tempo pr´oprio τ do nave espacial
dτ = dtγ−1(v) = dt√1 − v2,
se o rel´ogio de bordo da nave espacial marca τ = 0 quando t = 0, vem τ = Z t 0 dt √ 1 − v2 = Z φ 0 1 αdφ = α −1φ.
Coordenadas de Rindler
As coordenadas (inerciais) dum observador sujeito a uma acelera¸c˜ao pr´opria constante α na direc¸c˜ao do eixo dos xx do referencial de Lorentz S s˜ao
t = α−1sinh(ατ ),
x = α−1cosh(ατ ). Definindo X = α−1 e T = φ = ατ , podemos escrever
t + x = X exp(T ) t − x = −X exp(−T ),
e, portanto, t2 − x2 = −X2, como j´a era conhecido. Diferenciando as express˜oes
anteriores facilmente se obt´em
−dt2+ dx2 = −X2dT2+ dX2, (1.95)
onde X = √x2− t2, 0 < X < ∞ e T = tanh−1(t/x), −∞ < T < ∞. (T, X) s˜ao
as coordenadas de um observador com acelera¸c˜ao pr´opria constante (algumas vezes designado observador ‘uniformemente‘ acelerado). Note que a coordenada T ´e do tipo tempo, enquanto que X ´e do tipo espa¸co.
T = ατ = const. ⇒ t
x = const. X = 0 (α = ∞) ⇒ x = ±t.
No diagrama de Minkowski da figura junta, os pontos A, B e C est˜ao todos `a mesma distˆancia da origem (acontecimento O). A todos eles corresponde a mesma coordenada X = constante. S˜ao pontos da linha do Universo de um observador com acelera¸c˜ao pr´opria constante α = 1/X.
`
As coordenadas (T, X) chama-se, por vezes, coordenadas de Rindler. Vejamos que este sistema de coordenadas curvil´ıneas n˜ao cobre todo o espa¸co-tempo de Minkowski. Para isso consideremos dois observadores O1 e O2, sendo o primeiro um observador
inercial e o segundo um observador com acelera¸c˜ao pr´opria constante. As respectivas linhas do Universo est˜ao representadas na figura seguinte. De in´ıcio (t = 0) O1 n˜ao
pode ver O2. S´o a partir do instante correspondente ao acontecimento B, O1 come¸ca
a receber as primeiras informa¸c˜oes sobre a “hist´oria”de O2. Por sua vez O1 pode dar
sinal da sua presen¸ca ao seu companheiro O2 se lhe enviar sinais luminosos antes do
acontecimento A. Ap´os esse instante O1 torna-se invis´ıvel para O2. Entre A e B o
observador inercial O1 n˜ao pode enviar nem receber qualquer sinal para ou de O2. Por
seu lado, o observador acelerado O2 pode enviar sinais para o seu colega inercial O1
em qualquer instante, mas est´a limitado `a hist´oria de O1 anterior a A, e os seus sinais
O conjunto de acontecimentos do espa¸co-tempo que definem uma fronteira a partir da qual uma determinada regi˜ao do espa¸co-tempo deixa de ser acess´ıvel a um observador ou fam´ılia de observadores chama-se um horizonte de acontecimentos. Geralmente, aparecem horizontes de acontecimentos se, ao longo do caminho de um certo observa- dor, os cones do luz do passado ou os cones de luz do futuro n˜ao cobrem todas as regi˜oes do espa¸co-tempo. No caso do espa¸co-tempo plano de Minkowski, os cones de luz associados com qualquer observador inercial cobrem de facto todo o Universo de Minkowski. Dado que os cones de luz do passado, associados a um observador inercial, tˆem esta propriedade de cobertura, um tal observador ser´a capaz de ver, mais cedo ou mais tarde, todo e qualquer acontecimento onde quer que tenha lugar e indepen- dentemente de quando ocorreu. Igualmente, como os cones de luz do futuro de um observador inercial cobrem todo o Universo, um tal observador pode ser visto a partir de qualquer posi¸c˜ao e em qualquer instante.
No caso do observador O2, os seus cones de luz do passado ou do futuro n˜ao cobrem
todo o espa¸co-tempo, como mostram as figuras juntas; portanto, o observador acelera- do n˜ao pode ver tudo e, por sua vez, pode tornar-se invis´ıvel para outros observadores acelerados. As linhas de luz x = ±t dividem o espa¸co-tempo de Minkowski em quatro quadrantes: I, II, III e IV. Para o observador acelerado com acelera¸c˜ao pr´opria cons- tante, a viajar no quadrante I, os acontecimentos do quadrante III s˜ao completamente inacess´ıveis: n˜ao pode enviar sinais para l´a nem receber sinais de l´a. Pode, no entanto, receber sinais de IV e enviar sinais para II. Mas n˜ao pode receber sinais de II nem en- viar sinais para IV. As duas regi˜oes I e III definidas, respectivamente, pelos caminhos das part´ıculas para as quais x > 0 e x < 0, s˜ao completamente desconexas: nenhum observador uniformemente acelerado, cujo caminho ´e uma das hip´erboles da regi˜ao I, recebe qualquer informa¸c˜ao sobre as part´ıculas da regi˜ao III. Pois n˜ao h´a nenhum raio luminoso que possa interceptar simultaneamente um dos caminhos da regi˜ao III e um outro da regi˜ao I.
Voltemos `a m´etrica 2-D (1.95)
ds2 = −dt2+ dx2 = −X2dT2+ dX2.
Escrita em coordenadas de Rindler a m´etrica de Minkowski deixa de ser constante, embora continue a representar um espa¸co-tempo plano, e seja est´atica pois n˜ao depende de T , ηab = " −X2 0 0 1 # ,
desde que se continue a usar uma base coordenada. Mas estas coordenadas s´o s˜ao v´alidas nos quadrantes I e III. Ainda assim, ´e poss´ıvel recorrer a uma base o.n. de covectores e re-encontrar a forma de Minkowski
η = ηabdxa⊗ dxb = ηabωa⊗ ωb, (a, b = 1, 2),
com ω0 = XdT, ω1 = dX, mas pagando o pre¸co inerente `a utiliza¸c˜ao de 1-formas
conhecimento dos covectores {ωa} e da rela¸c˜ao
< ωa, e
b >= δab.
Ou ainda, como na base coordenada as componentes da m´etrica s˜ao dadas por η00 = g ³ ∂ ∂T, ∂ ∂T ´ = −X2 η01 = g ³ ∂ ∂T, ∂ ∂X ´ = 0 η11 = g ³ ∂ ∂X,∂X∂ ´ = 1. Na base n˜ao-coordenada temos
e0 = 1 X ∂ ∂T e1 = ∂ ∂X. (1.96)
As linhas do Universo das part´ıculas uniformemente aceleradas verificam X = const. e T a variar continuamente. O tempo pr´oprio de uma dessas part´ıculas ´e dado por
τ =
Z τ
0 dτ = X Z T
0 dT = XT,
pois X ´e constante ao longo desse caminho.