A lei de transforma¸c˜ao do tensor X ⊗ Y ´e uma consequˆencia imediata da lei de trans- forma¸c˜ao de um vector, Xa0 = La0 bXb, tem-se (X ⊗ Y )a0b0 = La0 cLb 0 d(X ⊗ Y )cd,
e podemos deduzir uma lei semelhante a partir de αc0 = Lc0bαb para o produto tensorial
de dois covectores. Estes s˜ao casos especiais da lei de transforma¸c˜ao geral T c0···d0 a0···b0 = La0f· · · Lb0gLc 0 h· · · Ld 0 iTf ···gh···i (1.47)
onde temos uma matriz de Lorentz L para cada ´ındice. A prova desta transforma¸c˜ao decorre do c´alculo do escalar T (X, . . . , Z, α, . . . , β) em dois sistemas de coordenadas x e x0, tal como se deduziu a lei de transforma¸c˜ao para as componentes de um covector.
Contrac¸c˜ao
Um tensor do tipo (1, 1), com componentes T b
a, d´a origem ao escalar T r(T ) := Taa,
chamado o tra¸co de T , ao igualar um ´ındice contravariante com ´ındice covariante, transformando esses dois ´ındices livres num ´unico ´ındice de soma. Esta defini¸c˜ao ´e independente do sistema de coordenadas, pois num sistema de coordenadas diferente temos
T a0
a0 = Lab0La 0
cTbc= δbcTbc= Tcc
Em geral, dado um tensor, T , de valˆencia (r + 1, s + 1), por contrac¸c˜ao de dois dos seus ´ındices obtemos um tensor (r, s). Podemos pensar em T como uma aplica¸c˜ao que associa r co-vectores a(1), . . . , a(r) e s vectores X(1), . . . X(s) a um tensor do tipo (1, 1);
se tomarmos o tra¸co deste obtemos uma aplica¸c˜ao de r co-vectores e s vectores num n´umero real.
Em componentes,
T : (X, . . . , Z, a, . . . , ω) → Ta...hid...f jXa. . . Zha
d. . . ωf
T r(T ) : (X, . . . , Z, a, . . . , ω) → Ta...hid...f iXa. . . Zhad. . . ωf
A aplica¸c˜ao T r(T ) ´e multilinear e por isso define um tensor do tipo (r, s) chamada contrac¸c˜ao de T (nos dois ´ındices i). ´E claro que podemos definir outras contrac¸c˜oes como, por exemplo,
A partir do tensor de componentes
T c...d...e a...b
podemos definir o tensor
Ta...b...dc... ...e
tendo o cuidado de n˜ao alterar a ordem dos ´ındices, e deixando vaga a posi¸c˜ao anterior do ´ındice que foi descido. No caso mais simples de um tensor de segunda ordem, devemos distinguir as quatro formas seguintes
Tab, Tab, Tab, Tab
ou seja, o primeiro ´e covariante, o segundo ´e contravariante, e os outros dois s˜ao ambos mistos. Devemos ter em aten¸c˜ao que os dois ´ultimos tensores n˜ao s˜ao necessariamente iguais. Podemos entender que o tensor
Ta
b = ηacTcb,
´e um tensor misto que se obt´em do tensor covariante por subida do primeiro ´ındice ou que
Tab = ηbcTac
´e um tensor misto que se obt´em do tensor contravariante Tab por descida do segundo
´ındice. Igualmente, pode-se escrever as rela¸c˜oes T b
a = ηbcTac, ou Tab = ηacTcb,
que se interpretam de modo semelhante.
Propriedades de simetria
Defini¸c˜ao 9 Diz-se que um tensor T ´e sim´etrico em dois dos seus ´ındices se T··· ab ···= T··· ba ···,
como ´e o caso do tensor m´etrico.
Neste caso, isto ´e, se Tab ´e um tensor sim´etrico, ent˜ao Tab tamb´em ´e sim´etrico, e os
dois tensores mistos s˜ao idˆenticos: Ta
b ≡ Tab.
Vimos aqui como a m´etrica ηbc e a sua inversa ηbcse utilizam para descer e subir ´ındices
de um dado tensor, respectivamente.
Interessa tamb´em considerar o caso dos tensores anti-sim´etricos: Aab = −Aba. Note
que s´o se pode falar em simetria (ou anti-simetria) dos ´ındices da mesma esp´ecie, ambos co-variantes ou ambos contra-variantes.
Estas simetrias s˜ao propriedades invariantes de um tensor (i.e., s˜ao independentes das coordenadas). Seja T um tensor do tipo (0, 2); ent˜ao ´e poss´ıvel decompˆo-lo na sua parte sim´etrica, cujas componentes s˜ao
T(ab) =
1
2(Tab+ Tba) (1.48)
e na sua parte anti-sim´etrica de componentes T[ab] =
1
2(Tab− Tba) . (1.49)
Segue-se imediatamente que para qualquer tensor de valˆencia (0, 2) podemos escrever
Tab= T(ab)+ T[ab]. (1.50)
Se T(ab) = 0, o tensor Tab = T[ab] ´e anti-sim´etrico, e se T[ab] = 0, o tensor Tab = T(ab)
´e sim´etrico. Num espa¸co a 4 dimens˜oes Tab tem 16 componentes das quais 10 s˜ao
sim´etricas e 6 s˜ao anti-sim´etricas. No caso geral, um tensor de ordem p num espa¸co de dimens˜ao n tem np componentes independentes. No caso de p = 2 as partes sim´etrica
e anti-sim´etrica ter˜ao respectivamente, n(n + 1)/2 e n(n − 1)/2 que perfazem 1
2(n + 1)n + 1
2(n − 1)n = n
2
todas as componentes do tensor.
Dado um tensor com mais do que dois ´ındices, por exemplo Sabc, dizemos que ´e sim´etrico
nos seus dois primeiros ´ındices se
Sabc= Sbac. (1.51)
Mas se verificar as rela¸c˜oes
Sabc = Sbac = Scab= Sacb= Sbca= Scba, (1.52)
dizemos que Sabc ´e sim´etrico em todos so seus ´ındices ou totalmente sim´etrico.
O tensor electromagn´etico
Um exemplo de tensor anti-sim´etrico ´e o tensor electromagn´etico, tamb´em conhecido por tensor de Faraday, Fab = F[ab], o qual re´une as componentes do campo el´ectrico
E, e da indu¸c˜ao magn´etica B. ´E sabido do estudo do electromagnetismo que o campo el´ectrico ´e representado, em cada ponto, por um vector polar de <3, e a indu¸c˜ao
magn´etica por um vector axial (ou pseudo-vector) de <3, B. Estes objectos s˜ao s´o
dois campos vectoriais sejam descritas por um ´unico tensor anti-sim´etrico do tipo (0, 2), cujas componentes podem representar-se pela matriz
Fab =
0 −E1 −E2 −E3
E1 0 B3 −B2 E2 −B3 0 B1 E3 B2 −B1 0 (1.53)
Para saber como se transformam o campo el´ectrico e a indu¸c˜ao magn´etica numa mu- dan¸ca de referencial de in´ercia basta recorrer `a lei de transforma¸c˜ao (1.47). De uma s´o vez, isto ´e de uma mesma express˜ao obtemos as leis de transforma¸c˜ao dos dois campos vectoriais E e B. Mas este poder unificador do formalismo tensorial n˜ao deve ser visto como um mero expediente da matem´atica mas sobretudo como revelador do car´acter unit´ario do campo electromagn´etico. Em lugar de dois campos vectoriais E e B, independentes, devemos de preferˆencia pensar num ´unico campo (tensorial) elec- tromagn´etico: Fab. ´E claro que isto est´a j´a patente nas equa¸c˜oes de Maxwell, na sua
formula¸c˜ao habitual, n˜ao covariante. Voltaremos a este assunto mais adiante, depois de tratar da diferencia¸c˜ao de tensores.
O tensor de Levi-Civita
Um outro exemplo de um tensor (completamente) anti-sim´etrico, do tipo (0, 4), ´e o conhecido tensor de permuta¸c˜ao de Levi-Civita, cujas componentes num espa¸co- tempo de Minkowski s˜ao definidas pelas rela¸c˜oes seguintes:
εabcd =
+1 se abcd ´e uma permuta¸c˜ao par de 0123 −1 se abcd ´e uma permuta¸c˜ao ´ımpar de 0123
0 se abcd tem ´ındices repetidos.
(1.54) Note-se que o tensor de Levi-Civita, tal como o tensor m´etrico, tem componentes que dependem de como os vectores base s˜ao n˜ao ortonormais. Na defini¸c˜ao dada admitimos que e0 aponta para o futuro e e1, e2, e3 formam um triedro directo. E s´o
nestas condi¸c˜oes temos
ε(e0, e1, e2, e3) = ε0123 = +1.
Uma “permuta¸c˜ao de 0123”´e aqui entendida como uma ordena¸c˜ao dos n´umeros 0, 1, 2, 3 que pode ser obtida a partir de 0123 por troca de dois destes d´ıgitos; diz-se que a permuta¸c˜ao ´e par ou ´ımpar conforme ´e obtida por um n´umero par ou ´ımpar de trocas. Por exemplo, ε1023 = −1, mas ε1032 = 1.
Uma propriedade not´avel do tensor de Levi-Civita, que s´o encontramos num n´umero reduzido de tensores–a m´etrica, a m´etrica inversa e o tensor de Kronecker–´e que apesar de obedecerem `a lei de transforma¸c˜ao tensorial (1.47), as suas componentes permane- cem inalteradas em qualquer sistema Cartesiano de coordenadas num espa¸co-tempo
plano. ´E claro que nos espa¸cos-tempo curvos da relatividade geral, ou mesmo no es- pa¸co-tempo de Minkowski em coordenadas curvil´ıneas, j´a estes tensores n˜ao gozam desta propriedade, com execp¸c˜ao do tensor de Kronecker δa
b. Este ´ultimo tensor tem
exactamente as mesmas componentes em todos os sistemas de coordenadas e em todos os espa¸cos-tempo. Isto faz sentido, pois o tensor de Kronecker a aplica¸c˜ao (linear) identidade num espa¸co vectorial (TpM ou Tp∗M) cujos elementos (vectores ou co-
vectores) devem ter as mesmas componentes. Os outros tensores (a m´etrica, a suas inversa, e o tensor de Levi-Civita) caracterizam o espa¸co-tempo e todos dependem da m´etrica.
Definindo os s´ımbolos de permuta¸c˜ao, cujas propriedades de transforma¸c˜ao tˆem ainda que ser determinadas,
²abcd = ²abcd =
+1 se abcd ´e uma permuta¸c˜ao par de 0123 −1 se abcd ´e uma permuta¸c˜ao ´ımpar de 0123
0 se abcd tem ´ındices repetidos,
(1.55) podemos escrever as componentes do tensor de Levi-Civita num sistema de coordenadas arbitr´ario e mesmo para uma variedade espa¸co-tempo curvo, do seguinte modo
εabcd = (−g)1/2²abcd (1.56)
εabcd = −(−g)−1/2²abcd (1.57)
Daqui se deduz imediatamente que, num espa¸co-tempo de Minkowski, as componentes covariantes e contravariantes do tensor de Levi-Civita est˜ao relacionadas pela equa¸c˜ao
εabcd = −εabcd.
Dado qualquer tensor, podemos simetrizar (anti-simetrizar) qualquer n´umero so seus ´ındices superiores ou inferiores. Para simetrizar, tomamos a soma de todas as permu-
ta¸c˜oes dos ´ındices relevantes e dividimos pelo n´umero de termos: T(a1...an)b =
1
n!(Ta1...anb+ soma das permuta¸c˜oes dos ´ındices a1. . . an) , (1.58)
por exemplo, para um tensor do tipo (0, 3) vem T(abc)=
1
3!(Tabc+ Tcab+ Tbca+ Tbac+ Tcba+ Tacb) . No caso da anti-simetriza¸c˜ao definimos
T[a1...an]b =
1
n!(Ta1...anb+ soma alternada das permuta¸c˜oes de a1. . . an) , (1.59)
entendendo-se a soma alternada por T[abc]=
1
ou seja, as permuta¸c˜oes ´ımpares (com um n´umero ´ımpar de trocas) s˜ao precedidas do sinal menos. ´E habitual usar os parˆentesis curvos (rectos) para representar simetri- za¸c˜ao (anti-simetriza¸c˜ao). Por vezes poderemos quer simetrizar ´ındices que n˜ao est˜ao juntos, e nesse caso colocamos umas barras verticais para isolar os ´ındices que n˜ao s˜ao simetrizados, como se faz a seguir
T(a|c|b) =
1
2(Tacb+ Tbca) , (1.60)
e de modo semelhante se procede no caso da anti-simetriza¸c˜ao.