Opera¸c˜ ao dualidade de Hodge - Campos Tensoriais e suas derivadas dirigidas

Campos Tensoriais e suas derivadas dirigidas

1.9.2 Opera¸c˜ ao dualidade de Hodge

A última opera¸cão que vamos introduzir entre as formas diferenciais é a chamada dualidade de Hodge. Define-se o “operador estrela de Hodge”sobre uma variedade n-dimensional como uma aplica¸cão entre os espa¸cos om a mesma dimensão p_{Λ(M) e}

(n−p)_{Λ(M) atrav´es da rela¸c˜ao} (∗_α) a1...an−p = 1 p!ε a1...ap b1...bn−pαa1...ap, (1.131)

entre uma p-forma p_{α e uma (n − p)-forma} ∗_{α. Ao contr´ario das opera¸c˜oes anteriores}

esta opera¸cão depende da métrica, como se depreende pelo recurso ao tensor de Levi- Civita. A aplica¸cão sucessiva deste operador estrela de Hodge retribui a forma original vezes um sinal menos ou mais consoante a assinatura da métrica,

∗∗_{α = (−1)}s+p(n−p)_α, _(1.132)

onde s é o número de sinais menos nos valores próprios da métrica.

Assim, sendo dados um 4-vector arbitr´ario J, um tensor anti-sim´etrico de 2a _{ordem F}

e um tensor totalmente anti-sim´etrico de 3a _{ordem B, definimos novos tensores cujas}

componentes s˜ao dadas, respectivamente, por

∗_J abc = Jfεf abc ∗_F ab = 1 2F cd_ε cdab ∗_B a = 1 3!B bcd_ε bcda

a que chamamos os duais de J, de F , e de B, respectivamente. Numa variedade base de dimensão 4, como é o espa¸co-tempo, podemos dizer que a opera¸cão dualidade estabelece uma correspondência entre tensores anti-simétricos de ordem p e tensores anti-simétricos de ordem 4 − p; e como se vê pelas defini¸cões, essa correspondência é

obtida à custa da contraçcão com o tensor alternante de Levi-Civita do espa¸co(-tempo) em causa.

Exerc´ıcio 19 Com base nas rela¸c˜oes obtidas em (1.71) e (1.72), ou usando (1.132) para as correspondentes p-formas associadas, mostre que

∗∗_{J = J,} ∗∗_{F = −F,} ∗∗_{B = B,}

onde J, F e B s˜ao os objectos definidos anteriormente.

Exerc´ıcio 20 Um observador com 4-velocidade U interactuando com um campo elec- tromagnético F mede um campo eléctrico EU e um campo magnético BU no seu refe-

rencial inercial local (isto ´e, numa base ortonormada com eˆ0 = U). Estes campos s˜ao

4-vectores com componentes covariantes dadas pelas rela¸c˜oes Ea= FabUb, Ba = −∗FabUb, com∗Fab = 1

2εabcdF

1. Mostre que os campos Ea e Ba existem no plano ortogonal `a linha do Universo

do observador, e est˜ao portanto assentes na hiper-superf´ıcie de simultaneidade do observador.

2. Definindo Bab = 2U[aBb] e Eab = 2U[aEb], mostre que o tensor campo electro-

magnético pode ser reconstru´ıdo a partir da 4-velocidade do observador e dos cam- pos eléctrico e magnético medidos no seu referencial do repouso por intermédio da equa¸cão

Fab = Eab+ ∗Bab, com ∗Bab = εabcdUcBd.

Exemplo 4 Vejamos como podemos obter as equa¸cões de Maxwell na sua versão 3- dimensional a partir das equa¸cões (1.117) formuladas covariantemente em rela¸cão ao grupo de Lorentz. Vejamos como proceder no caso das equa¸cões não homogéneas: o método mais directo passa por uma decomposi¸cão (1 + 3), que corresponde a separar a componente temporal das espaciais. Efectivamente,

∂aFab = −Jb ³ ∂iFi0, ∂0F0i+ ∂jFji ´ = −(³ρ, ~J´ µ −∇ · ~E, ˙~E + εjik_∂ jBk ¶ = −³ρ, ~J´ ou seja, ∇ · ~E = ρ, ∇ ∧ ~B − ∂tE = ~~ J

equa¸cões que correspondem à lei de Gauss e à lei de Ampère generalizada, respectiva- mente.

Exemplo 5 Recorrendo `a defini¸c˜ao de tensor dual

∗_Fab ₌ 1

2ε

abcd_F cd

facilmente se obt´em que as componentes de ∗_{F s˜ao dadas pela seguinte matriz quadrada}

4 × 4, ∗_Fab ₌      0 −Bx _−By _−Bz Bx ₀ _Ez _−Ey By _−Ez ₀ _Ex Bz _Ey _−Ex ₀      (1.133)

portanto a transforma¸c˜ao F → ∗_{F corresponde a ~}_{E → − ~}_{B e ~}_{B → ~}_E.

Atendendo à defini¸cão de ∗_Fab _{não será dif´ıcil verificar que}

∂_b∗Fab = 1 2ε

abcd_∂

bFcd e ∂[bFcd]= 0 ⇒ ∂b ∗Fab = 0.

Exerc´ıcio 21 Construa os escalares ψ = 1

2FabFab e φ = 12Fab∗Fab, conhecidos como

os invariantes do campo electromagn´etico.

Notemos dois factos acerca do dual de Hodge: Em primeiro lugar, a “dualidade”no sentido de Hodge é completamente diferente da dualidade entre vectores e co-vectores, embora ambas sejam aplica¸cões entre espa¸cos com a mesma dimensão. E com ambas as dualidades é poss´ıvel definir aplica¸cões do espa¸co original em <. Para o vector tangente X e para 1-forma α num ponto de M temos α(X) ∈ <. Por outro lado, se p_{ω é uma}

p-forma e (n−p)_{β ´e uma (n − p)-forma num certo ponto do espa¸co-tempo, temos}

∗₍(n−p)_{β ∧}p_{ω) ∈ <.}

O segundo facto diz respeito a formas diferenciais no espa¸co euclideano 3-dimensional <3_{. O dual do produto exterior de duas 1-formas ´e tamb´em uma 1-forma,}

∗_{(a ∧ b)}

k= εijkaibj, (1.134)

o que é muito semelhante ao que já vimos na equa¸cão (1.61), ou mesmo idêntico se atendermos a que num espa¸co euclideano em coordenadas cartesianas não distinguimos entre 1-formas e vectores. Neste caso, portanto o produto exterior não se distingue do produto vectorial. E isto explica porque é que só existe produto vectorial a num espa¸co a três dimensões: só a três dimensões temos uma aplica¸cão entre dois vectores duais e um terceiro vector dual. Tal como vimos, a propósito dos vectores axiais, a presen¸ca

do tensor de Levi-Civita explica porque raz˜ao o produto externo de dois vectores muda de sinal na transforma¸c˜ao de um triedro directo em triedro inverso.

A Electrodinâmica é um dom´ınio onde as formas diferenciais se aplicam com bastante naturalidade. Em rigor, a teoria das formas diferenciais é mesmo indispensável para clarificar a natureza matemática de todos os objectos que figuram nas equa¸cões de Maxwell, mas não vamos discutir isso aqui com esse pormenor. Da defini¸cão de derivada exterior, vemos facilmente que a segunda das equa¸cões (1.117) pode escrever-se de modo mais conciso como,

dF = 0, (1.135)

que traduz o facto da 2-forma Faraday F é fechada. Quererá isto dizer que F é também uma forma exacta? A resposta é afirmativa se considerarmos que a topologia do espa¸co-tempo de Minkowski é trivial: onde todas as formas fechadas são exactas. Deve portanto existir uma 1-forma A tal que

F = dA. (1.136)

Esta 1-forma ´e o vector dual associado ao 4-vector potencial Aa _{= (V, ~}_{A), que reune}

o potencial escalar V e potencial-vector ~A. Se adoptarmos o ponto de vista que A é o campo fundamental do electromagnetismo, então (1.135) segue-se como uma iden- tidade. Mas como sabemos A não é única, pois a invariância de “gauge”exprime o facto da teoria ser invariante na transforma¸cão: A → A + dχ, para alguma fun¸cão escalar χ (0-forma), o que se conclui também da equa¸cão (1.135). Quanto à primeira das equa¸cões (1.117), que traduz a outra das equa¸cões de Maxwell, podemos escrevê-la como uma rela¸cão entre 3-formas,

d(∗_{F ) =} ∗_J, _(1.137)

onde a 1-forma corrente J ´e o co-vector dual do 4-vector corrente Ja_{= (ρ, ~}_J).

Para finalizar vamos referir a um aspecto particularmente intrigante da f´ısica actual. As equa¸cões (1.135) e (1.137) são bastante semelhantes. Em particular, se assumirmos J = 0, as equa¸cões ficam invariantes nas “transforma¸cões dualidade”definidas por

F → ∗_F

∗_{F → −F.} _(1.138)

Dizemos que as equa¸cões de Maxwell de vácuo são invariantes nas transforma¸cões de dualidade, mas que essa invariância é quebrada na presen¸ca de cargas eléctricas. Se imaginarmos que também existem monopolos magnéticos na natureza, então poderemos adicionar uma corrente magnética (∗_J

M) ao lado direito de (1.135), e as equa¸c˜oes

resultantes seriam invariantes para as transforma¸cões dualidade adicionadas da subs- titui¸cão J ↔ JM. Mas é claro que neste caso F 6= dA, e portanto esta hipótese só é

aceitável se A não é um campo fundamental. Dirac considerou esta hipótese, há bas- tante tempo, e mostrou que a condi¸cão necessária e suficiente para a existência de um

monopolo magnético era que a sua carga magnética fosse inversamente proporcional à carga eléctrica fundamental.

Problemas

1.1 Considere um “cron´ometro de luz”constitu´ıdo por dois espelhos plano-paralelos E1 e E2 nos quais se reflecte sucessivamente um raio luminoso. O cron´ometro

move-se com velocidade constante v dirigida segundo a normal aos espelhos e paralela ao eixo dos xx no referencial do laborat´orio.

Partindo do Princ´ıpio da Relatividade e da invariância da velocidade da luz no vácuo deduza os coeficientes de contraçcão do espa¸co e de dilata¸cão do tempo e mostre como se podem obter as fórmulas de transforma¸cão de Lorentz.

1.2 Se dois acontecimentos ocorrem no mesmo ponto (do espa¸co) de um dado re- ferencial inercial S, mostre que a sua sequência temporal é a mesma em todos os referenciais inerciais. Discuta o problema com o aux´ılio de um diagrama de Minkowski. Em qual dos referenciais o intervalo de tempo é m´ınimo?

1.3 Determine a matriz da transforma¸cão de Lorentz L resultante da composi¸cão de duas transforma¸cões de Lorentz especiais (“boosts”): uma segundo o eixo dos XX, com parâmetro vx , seguida de outra transf. de Lorentz especial segundo

o eixo dos Y Y , com parˆametro vy. Mostre que, em geral, o produto de duas

transforma¸cões de Lorentz não é comutativo:

L(vx) L(vy) 6= L(vy) L(vx).

1.4 Taqui˜oes

Taquiões são part´ıculas hipotéticas cuja velocidade é maior que a da luz (para to- dos os observadores inerciais!). Considere dois observadores inerciais O e O0_{, com}

uma velocidade relativa v segundo o eixo dos ZZ, equipados com transmissores taqui´onicos para comunicarem entre si.

(a) Se o transmissor taquiónico emite part´ıculas com velocidade u > 1(c = 1), no seu referencial próprio, mostre que a velocidade desses taquiões é u0 _{> 1}

em qualquer outro referencial S0 _{animado com velocidade v em rela¸c˜ao a S.}

(b) Suponha que um dos observadores se encontra à distância L do referencial próprio do outro observador, S, no momento em que recebe a primeira mensagem e responde imediatamente com outra mensagem taquiónica. Qual é o intervalo de tempo entre a emissão e a recep¸cão das mensagens em S?

u > 1 v[1 +

√

1 − v2_],

a resposta pode ser recebida em S antes do sinal ter sido enviado! (d) Discuta o problema com o aux´ılio de diagramas de Minkowski. 1.5 Movimento “Superluminal”

O quasar 3C 273 emite jactos relativ´ısticos de plasma de uma região próxima do seu centro onde se encontra um buraco negro de massa elevada. Os jactos viajam a uma velocidade v ao longo de uma direçcão que faz um ângulo θ com a direçcão de observa¸cão. Projectando no céu, os jactos parecem deslocar-se perpendicularmente à direçcão de observa¸cão com uma velocidade angular vap/r

onde r é a distância ao quasar (tratando o espa¸co com euclideano) e vap é a

velocidade aparente. (a) Mostre que

vap =

v sin θ 1 − v cos θ.

(b) Para um dado valor de v, qual ´e o valor de θ que maximiza vap? Qual ´e o

valor correspondente de vap? Pode vap exceder c sem violar a relatividade

restrita?

(c) Para o 3C 273, vap ≈ 10c. Qual ´e o maior valor poss´ıvel para θ?

1.6 Um carro de 5m de comprimento entra numa garagem de 4m a uma velocidade v = 3

5c. De acordo com um observador estacionário (fixo em rela¸cão à garagem)

o comprimento do carro aparece contra´ıdo pelo factor de Lorentz e, por isso, cabe exactamente na garagem. Porém, para o condutor do carro a garagem tem só 3, 2m, e o carro não cabe na garagem. Como resolve este aparente paradoxo? Relacione a contraçcão de comprimentos com a dilata¸cão do tempo e discuta o problema do ponto de vista da relatividade da simultaneidade.

1.7 Considere uma nave espacial capaz de manter uma acelera¸cão constante de 1g (relativamente ao seu referencial próprio instantâneo). Se a nave parte da Terra com essa acelera¸cão,

(a) Qual é a distância percorrida pela nave ao fim de 40 anos medidos na Terra? E qual a distância percorrida ao fim de 40 anos medidos no referencial próprio da nave?

(b) Qual é o tempo (próprio) dispendido pelos tripulantes da nave ao fazerem uma viajem até ao centro da galáxia (cerca de 30.000 anos luz). Suponha que a nave espacial mantém uma acelera¸cão de 1g durante metade do percurso e uma desacelera¸cão de 1g durante a outra metade. (Fa¸ca uma representa¸cão esquemática com o aux´ılio de um diagrama de Minkowski).

1.8 Mostre que:

(a) Prove que para qualquer vector temporal U existe um referencial de Lorentz onde Ua _{tem componentes espaciais nulas.}

(b) Se Pa _{´e um vector temporal e P}a_X

a= 0 ent˜ao Xa ´e um vector espacial.

(c) Se Pa _{e Q}a _{s˜ao vectores temporais e P}a_Q

a < 0 ent˜ao os dois vectores s˜ao

ambos dirigidos para o futuro ou ambos dirigidos para o passado.

(d) Mostre que a soma de quaisquer dois vectores espaciais ortogonais ´e um vector espacial.

1.9 Diz-se que um vector Xa _{´e transportado paralelamente ao longo de uma curva}

numa variedade plana (M, g) se Ua_∂

aXb = 0, e Ua ´e o campo vectorial tangente

`a curva. Se se verificar Ua_∂

aUb = 0 a curva diz-se geod´esica.

(a) Mostre que se Xa_{(x) e Y}a_{(x) s˜ao dois campos vectoriais transportados pa-}

ralelamente ao longo de uma curva temporal de um espa¸co-tempo de Min- kowski M4

0, ent˜ao gabXaYb = XaYa ´e constante ao longo dessa curva.

(b) Partindo do resultado anterior conclua que se uma geodésica é do tipo espa¸co (do tipo tempo ou nula) num dado ponto, deverá ser espacial (temporal ou nula) por toda a parte onde está definida.

1.10 Prove que a conserva¸cão do 4-momento pro´ıbe uma reaçcão onde um electrão e um positrão se aniquilam e produzem um único fotão γ. Prove que a produ¸cão de dois fotões não é proibida.

1.11 Considere uma part´ıcula cuja massa em repouso ´e m e cujo 4-momento ´e Pa_{, e}

um observador O cuja 4-velocidade ´e Ua_{. Use c = 1 e mostre que:}

(a) A energia da part´ıcula medida por O ´e E = −Pa_U a;

(b) O observador O atribui `a part´ıcula uma massa em repouso m2 _{= −P}a_P a;

(c) O mede um 3-momento de grandeza k~pk =q(Pa_U

a)2+ PaPa;

(d) O mede uma 3-velocidade ~v cujo módulo é dado por k~vk = s 1 + PaPa (Pa_U a)2 1.12 Dispersão de Compton

(a) Um fotão de comprimento de onda (c.o.) λ colide com um electrão estaci- onário de massa m e emerge com um c.o. ¯λ segundo um ângulo θ. Mostre que

λ − λ = h

(b) Quando um fotão é disperso por uma part´ıcula carregada que se move com uma velocidade próxima da velocidade da luz diz-se que o fotão sofreu uma dispersão de Compton inversa. Considere uma dispersão de Compton in- versa na qual uma part´ıcula carregada com massa em repouso m e energia total E À m, colide frontalmente com um fotão de frequência ν(hν ¿ m). Qual é a máxima energia que a part´ıcula pode transferir para o fotão? (c) Se o espa¸co está preenchido por uma radia¸cão de corpo negro à temperatura

de 3 K e contém protões provenientes dos raios cósmicos com energias da ordem dos 1020 _{eV , qual é a energia que um protão de energia 10}20 _{eV pode}

transferir para um fot˜ao de 3 K?

1.13 Determine a energia m´ınima necessária para produzir antiprotões a partir da reaçcão

p + p → p + p + p + ¯p .

1.14 Calcule o limiar de energia de um nucleão N para que sofra a reaçcão γ + N → N + π

onde γ representa um fotão à temperatura de 3 K. Suponha que a colisão é frontal; tome a energia do fotão como sendo ∼ KT ; mN = 940 MeV . (Note que

EN À mN).

1.15 Considere a reac¸c˜ao

π+_{+ N → K}+_{+ Λ}0_.

As massas pr´oprias das part´ıculas s˜ao mπ = 140 MeV, mN = 940 MeV ,

mK = 494 MeV e mΛ = 1115 MeV . Qual o limiar de energia cin´etica do

mesão π para criar um mesão K segundo um ângulo de 90◦ _{no referencial do}

laborat´orio, onde N est´a em repouso?

1.16 Considere uma variedade espa¸co-tempo (M, gab), cuja m´etrica ´e gab. Sejam dados

um 4-vector unit´ario temporal Ua _{e um tensor}

hab := gab+ UaUb .

(a) Mostre que hab é um operador de projeçcão no espa¸co ortogonal a Ua. Ou

seja, mostre que:

⊥ = hab Vb = (δab+ UaUb) Vb

é ortogonal a Ua _{e não é afectado por h} ab:

⊥ ⊥ = habVb⊥

(b) Com base na al´ınea anterior mostre em que condi¸c˜oes ´e que hi j (com i, j =

1, 2, 3) s˜ao as componentes do tensor m´etrico no sub-espa¸co dos vectores ortogonais a Ua_.

1.17 Considere o 4-vector acelera¸c˜ao ac_{= dU}c_{/dτ .}

1.18 Mostre que ac _{s´o tem 3 componentes independentes, e relacione-as com a acele-}

ra¸c˜ao ordin´aria (Newtoniana).

1.19 Uma part´ıcula move-se com 3-velocidade ~u e 3-acelera¸c˜ao ~a em rela¸c˜ao a um observador inercial O. E um outro observador inercial O0 _{tem velocidade ~v em}

rela¸cão a O. Mostre que as componentes paralela e perpendicular da acelera¸cão são

~a0_k = (1 − v2)3/2(1 − ~v · ~u)−3~ak

~a0

⊥ = (1 − v2)(1 − ~v · ~u)−3[~a⊥− ~v × (~a × ~u)].

1.20 A linha do universo de uma part´ıcula material é dada pelas seguintes equa¸cões paramétricas num dado referencial de Lorentz

t(λ) = 1

asinh(λ), x(λ) = 1

acosh(λ) sendo λ um parˆametro afim e a ´e uma constante.

1.21 Descreva o movimento e calcule as componentes do 4-vector velocidade e do 4- vector acelera¸c˜ao da part´ıcula.

1.22 Dˆe o significado f´ısico dos parˆametros λ e a. 1.23 Considere o seguinte campo vectorial

V = a Ã x∂ ∂t + t ∂ ∂x !

definido nos pontos do espa¸co-tempo de Minkowski tais que |x| > |t|, sendo a uma constante positiva e ∂t, ∂x vectores base unit´arios do espa¸co-tempo de

Minkowski.

(a) Mostre que V ´e um 4-vector temporal, calcule aα _{= (−V}µ_V

µ)−1/2Vβ∂βVα

e dˆe o significado da constante a. (Relacione com a discuss˜ao do problema 11).

(b) Mostre que no sistema de coordenadas nulas u = t − x, v = t + x, vem V = a Ã v ∂ ∂v − u ∂ ∂u ! .

1.24 (a) Mostre que as equa¸cões que caracterizam a linha do Universo do problema 11 ?? definem uma transforma¸cão de coordenadas do sistema (t, x) para o sistema (λ, a) de coordenadas ortogonais. Desenhe as linhas coordenadas desse sistema e mostre que elas só cobrem uma parte do espa¸co-tempo de Minkowski.

(b) Obtenha o tensor m´etrico neste sistema de coordenadas. 1.25 Seja ∂

∂xc uma base coordenada do espa¸co de Minkowski e sejam ec um conjunto

de 4 vectores complexos nulos dados pelas rela¸c˜oes: e0 = mc ∂ ∂xc, e1 = ¯m a ∂ ∂xa, e2 = l a ∂ ∂xa, e3 = k a ∂ ∂xa sendo ka_l

a = −1, mam¯a = 1 e todos os restantes produtos escalares nulos.

(a) Mostre que os 4 vectores ea s˜ao linearmente independentes e determine as

componentes do tensor m´etrico gab = g(ea, eb) nesta base.

(b) Mostre que os únicos vectores não-espaciais ortogonais a um dado vector tipo luz são proporcionais a esse vector tipo luz.

Tensores Anti-simétricos: aplica¸cão ao Campo Electromagnético

1.26 Sejam α = (1, 1, 0) e β = (1, 0, 1) as componentes de dois covectores.

(a) Prove, recorrendo a dois vectores arbitr´arios X e Y , como argumentos, que α ⊗ β 6= β ⊗ α e determine as componentes de α ⊗ β.

(b) Obtenha as componentes das partes simétrica e anti-simétrica de α ⊗ β. (c) Representando por α ∧ β a parte anti-simétrica de α ⊗ β, mostre que se tem

α ∧ β(X, X) = 0, para qualquer vector X. (Defini¸c˜ao de produto exterior). 1.27 Sendo dado um tensor de 2a _{ordem pelas suas componentes T}ab_,

(a) Como poderemos testar se Tab_{´e o produto directo de vectores A e B: T}ab ₌

Aa_Bb_?

(b) Prove que em geral um tensor de 2a _{ordem n˜ao pode ser representado por}

um simples produto directo de 2 vectores, mas pode ser expresso como uma soma de muitos produtos desse tipo.

1.28 (a) Prove que num espa¸co-tempo 4-dimensional, a menos a multiplica¸cão por uma constante, existe um único tensor εabcd que é totalmente anti-simétrico

nos seus 4 ´ındices. Em coordenadas Lorentzianas, escolhe-se habitualmente ε0123 = 1. Quais s˜ao as componentes de ε num referencial coordenado geral

com m´etrica gab?

(b) Mostre que em geral

εabcd = gεabcd

1.29 Seja F um tensor anti-sim´etrico de segunda ordem cujas componentes s˜ao Fab.

A partir de F construa um outro tensor de segunda ordem, anti-sim´etrico, ?F , chamado dual de F do seguinte modo

∗Fmn₌ 1

2Fabε

abmn_.

Mostre que ∗(∗F ) = −F .

1.30 Sejam α e β duas formas de grau p (p–formas) (α, β ∈ Λp_{), ou seja, dois tensores}

anti-sim´etricos de grau p. Mostre que:

α ∧ ∗β = β ∧ ∗α = (α, β)ε onde (α, β) = 1

p!αi1···ipβi1···ip ´e o produto escalar induzido em Λ(R3) e ε ´e a forma

volume em R3_.

1.31 Seja F o tensor anti-sim´etrico de segunda ordem campo electromagn´etico, ou 2-forma de Faraday, que descreve uma carga pontual e em repouso na origem de um referencial.

(a) Mostre que num espa¸co-tempo plano com coordenadas esf´ericas se pode escrever

F = − e

4πε0r2

dt ∧ dr

(b) Obtenha a forma dual ∗F correspondente `a al´ınea anterior e calcule a quan- tidade F ∧ ∗F .

(c) Obtenha as componentes de E e B para uma carga pontual em movimento uniforme, a partir das componentes de F (ou de ∗F ).

1.32 (a) Seja Fab um tensor antis-sim´etrico dado pelas suas componentes numa base

coordenada. Mostre que se Fab = ∂aAb− ∂aAb ent˜ao

∂[cFab] = 0.

(b) Mostre que as rela¸cões anteriores representam 4 equa¸cões escalares linearmente independentes e obtenha essa equa¸cões para o caso em que o 4-vector Aa _{= (V, ~}_{A) é o 4-vector potencial electromagnético. Escreva as restantes}

equa¸c˜oes que regem o campo electromagn´etico.

1.33 Mostre que ´e poss´ıvel escrever a 2-forma campo electromagn´etico da seguinte maneira

F = ˜E ∧ dt + B

onde ˜E e B são respectivamente as formas campo eléctrico e campo magnético definidas em R3_{. Escreva as equa¸cões de Maxwell em termos dessas formas}

1.34 Seja F a 2-forma que representa um campo electromagnético arbitrário, num espa¸co-tempo de Minkowski. Determine as componentes de ∗F , obtenha as for- mas diferenciais F ∧ ∗F e F ∧ F e relacione-as com os “invariantes”do campo electromagnético.

1.35 Um observador com 4-velocidade U interactuando com um campo electromagnético F mede um campo eléctrico EU e um campo magnético BU no seu referencial iner-

cial local (isto ´e, na base ortonormal com eˆ₀ = U). Estes campos s˜ao 4-vectores

com as seguintes componentes

E_Ua ≡ FabUb, BaU ≡ −

1 2ε

abcd_U bFcd.

(a) Mostre que os campos EU e BU existem no plano ortogonal `a linha do

Universo do observador, e est˜ao portanto assentes na hipersuperf´ıcie de simultaneidade do observador.

(b) Mostre que o tensor campo electromagnético pode ser reconstru´ıdo a partir da 4-velocidade do observador e dos campos eléctrico e magnético medidos no seu referencial do repouso por intermédio da equa¸cão tensorial

Fab _{= U}a_Eb

U − EUaUb+ εabcdUcBUd. (1.1)

(c) Recorrendo ao conceito de formas duais, e escrevendo os 4-vectores anteriores em termos dos seus co-vectores associados, mostre que ´e poss´ıvel escrever a equa¸c˜ao (1) na forma

F = λ( ˜U ∧ ˜EU) + µ ∗ ( ˜U ∧ ˜BU), (1.2)

e determine o valor das constantes λ e µ.

1.36 Em virtude da sua condutividade eléctrica, um plasma perfeitamente condutor não pode suportar um campo eléctrico no seu referencial próprio. (Mesmo um campo eléctrico fraco produziria uma forte corrente eléctrica através do plasma

No documento RELATIVIDADE RESTRITA E ESPAÇO-TEMPO PLANO (páginas 92-105)