Tensores Relativos e Densidades Tensoriais

No caso geral, os tensores obedecem a leis de transforma¸c˜ao lineares e homog´eneas do tipo seguinte B_{. b}a00_c0 = |J|−w ∂xa0 ∂xa ∂xb ∂xb0 ∂xc ∂xc0B a . bc, (1.64) onde J = [∂xa0

/∂xa_{], ´e o determinante da matriz jacobiana da transforma¸c˜ao geral}

de coordenadas: xa _{→ x}a0

; ou seja, devemos generalizar a defini¸c˜ao de tensor ao caso que as suas componentes s˜ao determinadas a menos um factor escalar constante, τ ,

dependente de |J|, com τ = |J|−w_{. Quantidades ou tensores com uma lei de trans-}

forma¸c˜ao ponderada (i.e., w 6= 0) s˜ao chamados densidades tensoriais de peso w, e s˜ao usualmente denotadas por letras G´oticas ou s´ımbolos gregos. Brillouin cunhou os nomes “intensidades”e “capacidades”para as densidades de peso +1 e −1, que ocor- rem frequentemente em f´ısica. Na verdade, o nome ‘densidade’ deriva da densidade de massa ρ, definida de modo que ρdV ´e a massa contida num elemento de volume dV . Se transformamos as coordenadas espaciais, dV0 _{= |J|dV , quando efectuamos uma}

transforma¸c˜ao de coordenadas cartesianas em coordenadas curvil´ıneas, por exemplo. Portanto a invariˆancia da massa ρ0_dV0 _{= ρdV exige ρ}0 _{= |J|}−1_{ρ. Logo ρ transforma-se}

como uma densidade escalar, sendo uma ‘capacidade’ segundo Brillouin. Defini¸c˜ao 11 Em geral, um conjunto de nr+s _{fun¸c˜oes T}a1...ar

b1...bs(x

c_{) constitui as compo-}

nentes de um campo tensorial relativo de tipo (r, s) e peso w sobre uma variedade Mn_se,

dada uma transforma¸c˜ao geral de coordenadas xa _{→ x}a0

, estas fun¸c˜oes transformam-se de acordo com a rela¸c˜ao

Ta01...a0r b0 1...b0s(x c0 ) = J−w∂a 0 1 ∂a1 . . .∂a 0 r ∂ar ∂b1 ∂b0 1 . . .∂bs ∂b0 s Ta1...ar b1...bs(x c_{) (1.65)}

Os tensores relativos ou pseudo tensores obedecem a leis de transforma¸c˜ao ho- mog´eneas e lineares, tal como os tensores ordin´arios. A diferen¸ca reside no comporta- mento da factor de pondera¸c˜ao em rela¸c˜ao `as transforma¸c˜oes de coordenadas impr´oprias (J < 0). A factor de pondera¸c˜ao do pseudo-tensor muda de sinal numa transforma¸c˜ao impr´opria. Os vectores axiais s˜ao um exemplo deste ´ultimo caso. Um tensor ordin´ario por seu lado ou n˜ao tem factor de pondera¸c˜ao (w = 0) ou transforma-se com o valor absoluto do Jacobiano Eq. (1.64). Neste ´ultimo caso o tensor ´e chamado uma densida- de tensorial, como vimos. Note-se, por´em, que existe alguma confus˜ao na literatura na utiliza¸c˜ao destas denomina¸c˜oes. Alguns autores restringem as transforma¸c˜oes de coor- denadas a transforma¸c˜oes pr´oprias (J > 0) e por isso falam s´o em densidades tensoriais de peso w. Outros autores preferem reservar o denomina¸c˜ao de densidades tensoriais para os tensores relativos de peso w = ±1.

Consideremos agora o seguinte exemplo. Seja o determinante da matriz da m´etrica det(gab) = g. Numa transforma¸c˜ao geral de coordenadas ga0_b0 transforma-se de acordo

com ga0_b0 = ∂x a ∂xa0 ∂xb ∂xb0 gab

de modo que g transforma-se do seguinte modo g0 = det à ∂xa ∂xa0 ∂xb ∂xb0 gab ! g0 = J−2g,

Vemos que g n˜ao ´e um escalar para esta transforma¸c˜ao, pois: g0 _{6= g, isto ´e, transforma-}

e dizemos que g ´e uma densidade escalar de peso w = 2. Extraindo a raiz quadrada da express˜ao anterior e escolhendo s´o o valor positivo, vem

q

−g0 _{= |J}−1_|√_{−g, (1.66)}

pelo que √−g ´e um densidade tensorial de peso w = 1. Por outro lado, sabemos que o elemento de volume 4-dimensional,

d4x = dx0dx1dx2dx3 transforma-se de acordo com

d4_x0 _{= |J| d}4_x

Assim _q

−g0_d4_x0 ₌√_{−g d}4_x,

mostra que √−g d4_{x ´e um escalar para uma transforma¸c˜ao geral de coordenadas.}

Os s´ımbolos de permuta¸c˜ao ²abcd s˜ao particularmente ´uteis quando queremos calcular

a forma multilinear de quatro vectores

²abcdAa(0)Ab(1)Ac(2)Ad(3) = det(Aa(b)) = D. (1.67)

Atendendo `a lei de transforma¸c˜ao das componentes dos vectores Aa0 (b) = ∂xa0 ∂xaA a (b)

e a regra de multiplica¸c˜ao de determinantes, obtemos D0 _{= JD}

Se nos limitarmos a transforma¸c˜oes pr´oprias (J > 0), que preservam o car´acter do sistema de referˆencia, dizemos que D−1 _{´e uma densidade escalar e D}√_{−g ´e um escalar}

absoluto.

Voltando `a eq.(1.67) podemos escrever

²abcdAa(l)Ab(m)Ac(n)Ad(s) = D²lmns. ou de modo equivalente, J−1_² a0_b0_c0_d0 = ∂x a ∂xa0 ∂xb ∂xb0 ∂xc ∂xc0 ∂xd ∂xd0²abcd, (1.68)

o que mostra que ²abcd ´e uma densidade tensorial de peso w = −1. Sendo

√

−g uma densidade escalar de peso w = 1, podemos construir uma densidade tensorial de peso w = 0, ou seja, um tensor absoluto, `a custa de

εabcd =

√

´

E f´acil verificar que se trata de um tensor covariante de 4a _{ordem, pois}

∂xa ∂xa0 ∂xb ∂xb0 ∂xc ∂xc0 ∂xd ∂xd0εabcd = √ −g²a0_b0_c0_d0J−1 = q−g0_² a0_b0_c0_d0 = εa0_b0_c0_d0

Sendo εabcd as componentes de um tensor, ´e natural que possa escrevˆe-lo na forma

contravariante, isto ´e, posso subir todos os seus ´ındices, εabcd _{= g}ae_gbf_gcg_gdh_ε

ef gh

o que mostra que

εabcd _{= g}ae_gbf_gcg_gdh√_−g² ef gh

e portanto podemos concluir que na forma contravariante este tensor toma a forma εabcd _{= −√}²abcd

−g. (1.70)

E como se tem ²0123 = ²0123 = +1, vem ε0123 = −(−g)−1/2.

Definimos o delta de Kronecker generalizado pelas rela¸c˜oes δ_cdab =      +1 para a 6= b, a = c, b = d −1 para a 6= b, a = d, b = c

0 nos outros casos,

e de modo semelhante para tensores de ordem superior. Trata-se de tensores constantes do tipo indicado, e que podem sempre ser definidos em termos do delta de Kronecker usual por interm´edio de determinantes; por exemplo,

δab cd = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ δa c δcb δa d δbd ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ e δ abc def = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ δa d δdb δcd δa e δeb δec δa f δfb δfc ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ,

e assim por diante. ´E claro que num espa¸co com quatro dimens˜oes o delta de Kronecker generalizado com cinco ´ındices ´e identicamente nulo. Facilmente se verifica que

A[ab] = 1 2δ cd abAcd A[abc] = 1 3!δ def abcAdef

A quatro dimens˜oes podemos relacionar os delta de Kronecker generalizados com os s´ımbolos de permuta¸c˜ao do seguinte modo

²abcd²ef gh = δef ghabcd ²abcd_² ef gd = δef gabc ²abcd²ef cd = 2! δefab ²abcd_² ebcd = 3! δea ²abcd_² abcd = 4! (1.71)

Exerc´ıcio 11 Mostre que ´e igualmente poss´ıvel escrever o delta de Kronecker genera- lizado δcd

ab em termos dos delta de Kronecker usuais do seguinte modo

δcd_ab = 2! δ_[acδd_b] Aproveite este resultado para mostrar que

δc1···cp a1···ap = p! δ c1 [a1· · · δ cp ap]

Exerc´ıcio 12 Mostre que se usar os tensores de Levi-Civita, em lugar dos s´ımbolos de permuta¸c˜ao vem, por exemplo

εabcdεef cd = −2! δabef, εabcdεabcd = −4! (1.72)

1.6

Dinˆamica Relativista

Uma das aplica¸c˜oes mais correntes da relatividade restrita ´e ao estudo dos feixes de part´ıculas muito r´apidas, produzidas por aceleradores. Quando estas part´ıculas inci- dem num alvo, que quase sempre est´a em repouso em rela¸c˜ao ao laborat´orio, v´arias part´ıculas s˜ao emitidas, tamb´em a altas velocidades; algumas destas part´ıculas s˜ao inst´aveis e por isso decaem ao fim de algum tempo (que se relaciona com a sua vida m´edia) em duas ou mais part´ıculas. Para um estudo completo (dinˆamico) ter´ıamos de recorrer `a mecˆanica quˆantica, mas as ideias fundamentais (cinem´aticas) que mo- tivam a descri¸c˜ao quˆantica baseiam-se num modelo simples de part´ıculas pontuais, caracter´ıstico da f´ısica cl´assica.

O 4-momento linear de uma part´ıcula pontual cl´assica pode ser representado por um 4-vector Pa _{temporal (ou nulo, no caso de uma part´ıcula que se move `a velocidade da}

luz) e d.p.f. O quadrado da massa em repouso da part´ıcula ´e dado por (fazendo c = 1 no que se segue)

m2 _{= −P}a_P

a. (1.73)

Se o 4-vector unit´ario temporal, d.p.f, Va_{, representar a 4-velocidade de um observador,}

ent˜ao a energia da part´ıcula medida em rela¸c˜ao a esse observador, ´e

E = −PaVa. (1.74)

Por exemplo, no referencial onde a part´ıcula est´a em repouso Pa _{= (m, 0, 0, 0), e se}

o observador tem uma velocidade ~v em rela¸c˜ao `a part´ıcula ent˜ao Va _{= γ(1, ~v) onde}

γ = 1/√1 − v2 _{´e o factor de Lorentz associado `a velocidade ~v. Nestas condi¸c˜oes,}

obtemos para E o resultado conhecido

E = √ m

1 − v2. (1.75)

Embora esta express˜ao seja muito ´util em certas circunstˆancias, a f´ormula invariante (1.74) ´e a que deve ser retida para aplica¸c˜oes futuras pois pode ser usada mesmo em relatividade geral.

Em particular, se Pa _{´e um vector tipo luz j´a a express˜ao (1.75) n˜ao ´e aplic´avel (v = 1}

e m = 0) pois d´a um valor indeterminado para E, mas a express˜ao (1.74) continua v´alida.

Assim se Pa_{representa o 4-momento de uma part´ıcula de massa em repouso nula, ent˜ao}

E ´e a energia dessa part´ıcula tal como ´e medida por um observador com 4-velocidade Va_.

Portanto, se um fot˜ao ´e emitido por um corpo com 4-velocidade Ua _{e recebida por um}

observador com 4-velocidade Va_{, ent˜ao a energia emitida ´e E}

e = −PaUa(no referencial

pr´oprio do corpo), e a energia recebida pelo observador ´e Er = PaVa. ´E o facto destas

energias serem diferentes (pois Ua _{6= V}a_{, por hip´otese) que est´a na base do efeito de}

Doppler relativ´ıstico.

No referencial pr´oprio do corpo emissor temos Ua _{= (1, 0, 0, 0), V}a _{= γ(1, ~v), e P}a ₌

(E, ~p) com −E2_{+ p}2 _{= 0. A energia emitida E}

e ´e ent˜ao

Ee= −PaUa= E,

e a energia recebida Er ´e dada por

Er = −PaVa= γ(E − ~p · ~v).

A raz˜ao entre estas energias ´e Er/Ee = γ(1 − v cos θ) onde θ ´e o ˆangulo entre ~p e ~v.

Assim, se a velocidade do receptor tem a mesma direc¸c˜ao e sentido da do fot˜ao, de modo que θ = 0, vem

Er Ee = s 1 − v 1 + v,

Figura 1.14: Emiss˜ao e recep¸c˜ao de um fot˜ao.

e a energia recebida ´e menor que a energia emitida (havendo um deslocamento para o vermelho da frequˆencia do fot˜ao). Por outro lado, se θ = π/2, correspondendo `a situa¸c˜ao do observador se deslocar transversalmente ao fot˜ao, ent˜ao

Er

Ee

= γ,

e a energia recebida ´e neste caso maior do que a energia emitida. Note que se desen- volvermos as express˜oes anteriores em s´erie de potˆencias de v e v ¿ 1, quando θ = 0 temos Er/Ee ≈ 1 − v, correspondendo ao caso n˜ao relativista, e quando θ = π/2 temos

Er/Ee≈ 1, mostrando que o efeito de Doppler transversal ´e um efeito puramente rela-

tivista, que s´o se manifesta quando n˜ao podemos desprezar as potˆencias mais elevadas de v.

Exerc´ıcio 13 Mostre que o quadrado da norma do 4-vector velocidade de uma part´ıcula material, Ua _{= dx}a_{/dτ , quando a m´etrica do espa¸co-tempo de Minkowski se escreve}

ds2 = −c2dτ2 = −c2dt2+ dx2+ dy2+ dz2 ´e o invariante

Exerc´ıcio 14 Se energia e o momento linear de uma part´ıcula forem definidos para um referencial arbitr´ario por

E = mdt dτc 2 _{= mγc}2_{, ~p = m}d~r dt dt dτ = mγ~v, (1.76)

imediatamente se verifica que (E/c, ~p) se transforma de modo semelhante ao 4-vector posi¸c˜ao (ct, ~r). Verifique este resultado e mostre que ele permite definir um 4-vector momento com estas componentes contravariantes: Pa _{= (E/c, ~p), ou seja, P}a_{= mU}a_.

Quando o sistema de part´ıculas est´a isolado, embora as part´ıculas possam interactuar, o 4-momento total do sistema ´e conservado. J´a sabemos que a componente temporal do 4-momento de uma part´ıcula, Pa_{, ´e P}0 _{= E, onde E = mγ(v) ´e a energia da part´ıcula}

medida por um observador em rela¸c˜ao ao qual a part´ıcula tem velocidade ~v. Por sua vez as componentes espaciais s˜ao

~p = mγ(v)~v, que sendo parte de Pa _{tamb´em se conservam.}

Se definirmos m∗ _{= mγ(v), ent˜ao ~p = m}∗_{~v adquire a forma newtoniana do momento}

e por isso se atribui a m∗ _{o significado de uma massa efectiva; por´em, seguindo uma}

tendˆencia moderna, vamos designa-la massa aparente e reservamos o termo massa para a massa em repouso ou massa pr´opria.

Expandindo P0 _{em potˆencias de v (recorde que v < 1) vem}

E = mγ(v) = m +1 2mv

2_{+ O(v}2_{), para pequenas v.}

Podemos ent˜ao escrever

E ≈ massa + energia cin´etica

Isto sugere que a massa e a energia devem ser da mesma natureza. Na realidade podemos converter uma na outra, como se pode ver pelo exemplo seguinte.

Imaginemos duas massas inel´asticas (de plasticina, por exemplo) com momentos mγ(1, −~v) e mγ(1, ~v),

que se deslocam na mesma direc¸c˜ao mas em sentidos opostos e que em dado momento colidem, formando uma ´unica massa de 4-momento M(1,~0). A conserva¸c˜ao do 4- momento aplicada a P0 _{exige que}

M = 2mγ ≈ 2(m + 1

2mv

ou seja, as energias cin´eticas das duas massas foram incorporadas na massa ´unica M que apresenta um excesso de massa mv2_.

Assim, ´e razo´avel considerar massa e energia cin´etica como formas de energia e iden- tificar E = mγ como a energia total da part´ıcula.

No documento RELATIVIDADE RESTRITA E ESPAÇO-TEMPO PLANO (páginas 53-61)