No estuda da cinem´atica das colis˜oes, a t´ecnica mais utilizada consiste em usar coor- denadas nas quais o momento total do sistema tenha componentes espaciais nulas. O referencial correspondente ´e chamado o Referencial do Momento Zero. Duas part´ıculas incidentes teriam, nestas coordenadas, momentos (E1, ~p) e (E1, −~p). Existe uma ener-
gia total E1+E2dispon´ıvel para a produ¸c˜ao de uma, duas ou mais part´ıculas resultantes
da colis˜ao. Uma vez especificadas as suas massas, a lei de conserva¸c˜ao do 4-momento estabelece as restri¸c˜oes nas suas velocidades e, portanto, nas suas energias.
Na pr´atica tamb´em estamos interessados nas coordenadas acess´ıveis ao observador no laborat´orio (correspondentes ao Referencial do Laborat´orio), no qual o alvo (part´ıcula 2) est´a em repouso. E ´e interessante calcular o valor da energia, E0
1, da part´ıcula
incidente nestas coordenadas.
Supondo que as part´ıculas tˆem massa m igual, temos E1 = E2 = mγ(v), ~p = mγ(v)~v.
Para passar ao referencial do laborat´orio (RL) temos de efectuar uma transforma¸c˜ao de Lorentz especial L(−~v), com 3-velocidade −~v. Por outras palavras, temos de nos colocar no referencial onde o alvo (part´ıcula 2) est´a em repouso.
Se alinharmos as nossas coordenadas de modo que ~v = (v, 0, 0), ent˜ao a part´ıcula 1 tem 4-momento (E, ~p) = mγ(1, v, 0, 0) e a transforma¸c˜ao de Lorentz ser´a dada por
" E0 1 p0 # = " γ γv γv γ # " E1 p #
ou seja, as componentes do 4-momento no RL s˜ao E10 = γ2m(1 + v2) p0 = 2mγ2v e como E1 = mγ ⇒ γ2 = E12/m21 p2 = E2 1 − m2 = m2γ2v2 ⇒ γ2v2 = E12/m2− 1, vem E10 = 2E 2 1 m − m.
Vemos que quando E1 ´e grande (E1 À m) a energia E10 que deve ser fornecida `a
part´ıcula incidente, medida no referencial do laborat´orio, cresce com o quadrado de E1, a energia medida no referencial onde o 3-momento total ´e nulo, e que ´e a energia
dispon´ıvel para a produ¸c˜ao de novas part´ıculas. Este efeito torna o processo de obten¸c˜ao de altas energias progressivamente mais dif´ıcil. Podemos ultrapassar esta dificuldade fazendo com que os feixes de part´ıculas incidam frontalmente (colis˜ao frontal), de modo que toda a energia se torna dispon´ıvel.
Afirm´amos que E1 = mγ(v) pode ser bastante maior que m. Na realidade em ex-
periˆencias de colis˜oes de part´ıculas elementares efectuadas no laborat´orio atingem-se factores γ da ordem de 104, e nos prot˜oes dos raios c´osmicos j´a se tˆem observado
factores γ da ordem de 1011!
Nota sobre o Referencial do Momento Zero
Dissemos que no estudo cinem´atico das colis˜oes ´e habitual usar coordenadas nas quais o 4-momento total do sistema tem componentes espaciais nulas. E ao referencial que utiliza estas coordenadas chamamos referencial do momento zero (RMZ), SZM. Por
outro lado, sabemos que para um vector do tipo tempo ´e sempre poss´ıvel encontrar um referencial onde s´o a componente temporal desse 4-vector ´e diferente de zero. Portanto para assegurar a existˆencia do RMZ bastar´a provar que o 4-vector Pa = Pn
i P(i)a ´e
temporal qualquer que seja o n´umero n de part´ıculas que constituem o sistema em estudo.
Em primeiro lugar observemos que qualquer vector Va = (V0, ~V ), temporal ((V0)2 >
~
velocidade,
Va=q−g(V, V )Ua,
onde UaU
a = −1.
Observe que dadas duas curvas ˜C(τ ) e C(θ(τ )), representando o mesmo caminho do espa¸co-tempo: ˜C(τ ) = C(θ(τ )), os seus vectores tangentes est˜ao relacionados por
˙˜ C(τ0) = ˙C(θ(τ0)) Ã dθ dτ ! τ0 ou seja, U(τ0) = V (θ0) Ã dθ dτ ! τ0 , com U = ˙˜C(τ0) e V = ˙C(θ0), e g(U, U ) = Ã dθ dτ !2 g(V, V ) = −1 ⇒ Ã dθ dτ ! = q 1 −g(V, V ).
S´o uma curva parametrizada pelo tempo pr´oprio τ tem como vector tangente um 4- vector velocidade normalizado (UaU
a = −1). O 4-momento Pa = mUa ´e claramente
um 4-vector temporal dirigido para o futuro: g(P, P) = −m2 < 0. A quest˜ao que se
nos coloca agora ´e saber se a soma de um n´umero arbitr´ario de vectores tipo tempo ´e ainda um vector tipo tempo. Seja Va : g(V, V ) < 0 e seja S o referencial onde as
componentes de Vase reduzem a Va = (V0, 0, 0, 0). O sinal da componente temporal ´e
invariante visto que V ou “aponta”para o futuro absoluto (V0 > 0) ou para o passado
absoluto (V0 < 0). Se Wa ´e um segundo vector temporal is´ocrono com Va, i. e.,
V0W0 > 0, ent˜ao temos em S
g(V + W, V + W) = (−(W0+ V0)2+ ~W2
= g(V, V) + g(W, W) − 2W0V0 < 0.
Portanto a soma de dois vectores is´ocronos temporais ´e ainda um vector temporal e claramente is´ocrono com cada uma das parcelas da soma. Por itera¸c˜ao vemos que o mesmo ´e verdadeiro para qualquer n´umero de vectores temporais e is´ocronos.
Consideremos num dado referencial S um sistema finito de part´ıculas, n˜ao sujeito a for¸cas, com excep¸c˜ao das colis˜oes m´utuas. Definimos a sua massa efectiva total ¯m∗, o
3-momento total ¯p e o 4-momento total ¯P como a soma das respectivas quantidades das part´ıculas individuais,
¯ m∗ =X i m∗ i, ~¯p = X i ~pi, , ¯Pa= X Pa i = ( ¯m∗,~¯p).
Atendendo `as leis de conserva¸c˜ao, cada uma destas quantidades mant´em-se constante no tempo para todas as colis˜oes. `A luz da discuss˜ao anterior podemos afirmar que ¯P ´e
um 4-vector temporal, d.p.f. Podemos portanto encontrar um referencial SM Z que se
move em rela¸c˜ao a S com a velocidade
~uM Z = ~¯p/ ¯m∗, (1.80)
no qual ¯P n˜ao tem componentes espaciais, i. e., ~¯pM Z = ~0. ´E claro que SM Z ´e o j´a
designado referencial do centro do momento. ´E tamb´em um referencial onde o centro de massa do sistema est´a em repouso. Note por´em, que se por massa enten- dermos a massa efectiva (relativista), m∗, o centro de massa de um sistema depende
do referencial. Mas como se mostra facilmente todos os centros de massa est˜ao em repouso em SM Z. Por isso ´e natural definir o centro de massa do sistema como o seu
centro de massa em SM Z.
Seja Ua
M Z o 4-vector velocidade do SM Z, cujas componentes em S s˜ao
Ua
M Z = γ(uM Z)(1, ~uM Z).
Ent˜ao, de acordo com (1.80), para o 4-momento vem ¯
Pa = ( ¯m∗,~¯p) = ¯m∗(1, ~u M Z)
= ¯m∗γ−1(u
M Z)UM Za .
Este vector dever´a ter uma norma invariante e como Ua
M Z ´e um vector velocidade:
g(U, U) = −1, ¯m∗γ−1 deve ser um invariante cuja valor ´e a massa total do sistema em
SMZ, ¯ m∗γ−1 = ¯mM Z, e assim, ¯ Pa = ¯mM ZUM Za .
Esta equa¸c˜ao mostra que ¯mM Z e UM Za representam para o sistema o que m e Ua s˜ao
para uma ´unica part´ıcula. S˜ao as quantidades que reconhecer´ıamos como a massa (em repouso) e a 4-velocidade do sistema se n˜ao tiv´essemos conhecimento da sua natureza composta. Como a energia cin´etica em SM Z ´e dada por
TM Z = ( ¯mM Z − ¯m),
onde ¯m = Pimi ´e a massa (em repouso) do sistema, vemos que a massa efectiva do
sistema excede a massa ¯m que ´e a soma das massas dos componentes.
1.7
For¸ca e Acelera¸c˜ao em RR
Vamos agora introduzir o 4-vector for¸ca, f, que se define pela equa¸c˜ao f = dP
ou pelas suas componentes fa = dP a dτ = m dUa dτ ,
se se consideram part´ıculas com massa (pr´opria) m constante3. Neste caso, podemos
escrever fc = mac, onde ac = dUc/dτ ´e o 4-vector acelera¸c˜ao. Usando o facto de
UaU
a = −1, facilmente se verifica que ac ´e um 4-vector espacial, ortogonal a Uc:
ηabUaab = 0, ηcbacab > 0;
e, portanto, g(f, U ) = 0.
O exemplo mais simples de uma for¸ca na f´ısica newtoniana ´e a for¸ca devida ao campo grav´ıtico. Por´em, em relatividade, a gravidade n˜ao ´e descrita por uma for¸ca, mas pela curvatura do pr´oprio espa¸co-tempo. ´E, por isso, prefer´ıvel recorrer ao campo electromagn´etico. A for¸ca de Lorentz 3-dimensional ´e dada por
~
f = q³E + ~v × ~~ B´,
onde q ´e a carga da part´ıcula. Com a introdu¸c˜ao do campo electromagn´etico de Maxwell-Faraday, descrito pelo tensor anti-sim´etrico Fab = ∂aAb − ∂bAa, onde Aa =
(V, ~A) ´e um co-vector constru´ıdo a partir do potencial escalar V (x, y, z, t) e do poten- cial vector ~A(x, y, z, t), veremos mais adiante que ´e poss´ıvel a generaliza¸c˜ao tensorial da for¸ca de Lorentz, dando-lhe a forma seguinte
fa= qUbFba. (1.82)
Num diagrama de Minkowski, o caminho duma part´ıcula acelerada ´e descrito por uma curva onde em cada ponto Ua´e um vector tangente, dirigido segundo o eixo dos tempos
do referencial pr´oprio instantˆaneo da part´ıcula; o vector acelera¸c˜ao ac ´e ortogonal a
Uc e est´a assente no hiper-plano espacial de simultaneidade do observador inercial
instantaneamente em repouso em rela¸c˜ao `a part´ıcula.
As componentes de f num referencial de Lorentz arbitr´ario podem exprimir-se em fun¸c˜ao das componentes de Pa = (E, ~p),
fa = dt dτ dPa dt = γ(v) d dt(E, ~p) = γ(v) Ã dE dt , ~f ! , (1.83)
onde a 3-for¸ca relativista ~f ´e obtida do 3-momento ~p = mγ(v)~v como na segunda lei de Newton ~ f = d~p dt = d dt à m~v √ 1 − v2 ! . (1.84)
Esta defini¸c˜ao n˜ao tem, contudo, nenhum conte´udo f´ısico enquanto n˜ao forem especi- ficadas todas as propriedades da for¸ca ~f . Entre as propriedades da for¸ca, que figuram 3No caso de uma nave espacial, queimando uma parte do seu combust´ıvel para se deslocar, j´a n˜ao
0 2 4 6 t 1 2 3 4 5 6 x
Figura 1.15: As part´ıculas com movimentos acelerados nunca podem atingir a veloci- dade dos fotˆoes.
na mecˆanica newtoniana, consta a terceira lei de Newton que estabelece a igualdade das for¸cas de ac¸c˜ao e reac¸c˜ao. Em mecˆanica relativista, se a ac¸c˜ao e a reac¸c˜ao ocorrem em pontos diferentes do espa¸co, n˜ao ´e poss´ıvel uma generaliza¸c˜ao imediata da terceira lei pois as for¸cas n˜ao s˜ao necessariamente simultˆaneas. Isto torna bastante dif´ıcil a discuss˜ao dos sistemas de part´ıculas em interac¸c˜ao m´utua em relatividade. Mas se a lei se refere ao impacto de duas part´ıculas, ent˜ao tamb´em ´e definida em relatividade, sendo uma consequˆencia imediata da Eq.(1.84), como mostraremos mais adiante. Esta defini¸c˜ao da for¸ca permite que a defini¸c˜ao usual de trabalho seja compat´ıvel com a equivalˆencia massa-energia. Tamb´em se pode mostrar que a defini¸c˜ao (1.84) ´e consistente com a for¸ca de Lorentz da electrodinˆamica.
O aparecimento de γ(v) ~f , na parte espacial do 4-vector for¸ca fa, indica-nos quais as
propriedades de transforma¸c˜ao de ~f . Para uma transforma¸c˜ao de Lorentz especial (‘rota¸c˜ao’ de Lorentz ou ‘boost’) na direc¸c˜ao do eixo dos xx, por exemplo, as duas equa¸c˜oes de transforma¸c˜ao mais simples s˜ao
γ(v0)f0
y = γ(v)fy e γ(v0)fz0 = γ(v)fz.
Vemos que estas componentes da for¸ca dependem da velocidade da part´ıcula sobre a qual ~f actua; portanto ~f , ao contr´ario do que acontece na mecˆanica newtoniana, n˜ao ´e invariante.
Provemos agora a terceira lei de Newton no caso do impacto de duas part´ıculas. Num dado referencial S, sejam as 4-for¸cas exercidas por cada uma das part´ıculas que colidem
dadas por fa (i)= γ(vi) Ã dEi dt , ~fi ! , (i = 1, 2).
Quando as part´ıculas est˜ao em contacto: v1 = v2 e, atendendo `a conserva¸c˜ao de energia
d
dt(E1+ E2) = 0. Portanto, a componente temporal de fa
1 + f2a anula-se em S e, pelo mesmo argumento,
em todos os referenciais inerciais, pois a conserva¸c˜ao da energia deve verificar-se em todos os referenciais inerciais. Sendo assim, conclui-se que f1 + f2 = 0, porque um
4-vector que tem uma componente nula em todos os referenciais, ´e identicamente nulo, i.e., tem todas as suas componentes nulas. Logo, ~f1+ ~f2 = ~0, o que prova a terceira
lei de Newton nas condi¸c˜oes referidas.
Observe que esta lei foi demonstrada a partir da conserva¸c˜ao da energia-momento, exactamente ao contr´ario do que se faz em mecˆanica newtoniana.
Se considerarmos unicamente part´ıculas com massa (pr´opria) m constante no tempo, sabemos que g(f, U ) = 0 e, portanto
f0 = γ(v)~v · ~f ,
ou seja, as componentes de fa podem escrever-se
fa = γ(v)³~v · ~f , ~f´, (1.85)
donde se conclui tamb´em que
dE
dt = ~f · ~v. (1.86)
Podemos ent˜ao adoptar a defini¸c˜ao habitual de trabalho, e constatar que tamb´em em RR o trabalho elementar dW realizado por uma for¸ca ~f ao deslocar o seu ponto de aplica¸c˜ao segundo d~r ´e dado por
dW = ~f · d~r = ~f · ~vdt = dE.
Este resultado ´e outra manifesta¸c˜ao da equivalˆencia entre massa e energia, e da sua integra¸c˜ao sai a energia cin´etica:
T = E − m = √ m
1 − v2 − m. (1.87)
Voltando `a Eq.(1.84) vemos que ~f tem dois termos ~ f = mγd~v dt + d dt(mγ)~v = γ(v)m~a + ³ ~ f · ~v´~v. (1.88)
Assim, embora ~f , ~a e ~v sejam complanares, a acelera¸c˜ao n˜ao ´e em geral paralela `a for¸ca que a produz. H´a, no entanto, duas situa¸c˜oes em que o ´e, quando ~f ´e ortogonal ou paralela a ~v. Em particular, no referencial pr´oprio da part´ıcula: ~f = m~a.
Se ~n ´e um 3-vector unit´ario perpendicular a ~v (dirigido para o centro de curvatura da traject´oria espacial descrita pela part´ıcula), podemos escrever as componentes de ~f paralela, fk, e normal, f⊥, `a velocidade ~v de acordo com
fk = ~f ·
~v
v, f⊥ = ~f · ~n. Podemos decompor a Eq.(1.88) em
fk = γ(v)mak+ fkv2, fk = mγ3(v)ak,
e
f⊥ = mγ(v)a⊥,
onde ak e a⊥ s˜ao, respectivamente, as componentes paralela e normal de ~a em rela¸c˜ao
a ~v.
Tudo se passa como se a part´ıcula em movimento oferecesse diferentes resistˆencias `a mesma for¸ca, conforme esta actua longitudinal ou transversalmente `a velocidade. Por esta raz˜ao era costume introduzir os conceitos de massa “longitudinal”: ml = γ3(v)m
e massa “transversal”: mt = γ(v)m, mas estas designa¸c˜oes ca´ıram em desuso e n˜ao
h´a raz˜ao para lhes atribuirmos qualquer significado f´ısico especial, tanto mais que o conceito de massa se identifica com o que vulgarmente se designa por “massa em repouso”ou “massa pr´opria”, m, o ´unico conceito de massa invariante e caracter´ıstico de cada part´ıcula.
Para terminar, notemos ainda que multiplicando os dois membros de (1.88) por ~v, obtemos ~f · ~v(1 − v2) = mγ~a · ~v, o que nos permite re-escrever a Eq.(1.88) da seguinte
forma
~
f = mγ~a + mγ3(~a · ~v) ~v, (1.89)
que mostra que se ~v ´e constante em m´odulo, i.e., se ~v · ~a = o, ent˜ao ~f = mγ~a e, portanto, ~f · ~v = 0, tal como acontece na mecˆanica newtoniana.
Exerc´ıcio 15 Tendo em aten¸c˜ao a defini¸c˜ao a = du/dτ , mostre que as componentes da acelera¸c˜ao num referencial de Lorentz arbitr´ario s˜ao da forma
ac= γ2³γ2~a · ~v,~a + γ2(~a · ~v)~v´,
em particular, no referencial pr´oprio instantˆaneo da part´ıcula ac = (0,~a) e, portanto,
aca
Exerc´ıcio 16 Partindo das componentes do 4-vector for¸ca fc= γ(v)³f · ~v, ~~ f´
mostre que as componentes da 3-for¸ca se transformam de acordo com as seguintes express˜oes f0 x = fx− u(~v · ~f ) 1 − vxu f0 y = fy γ(u) (1 − vxu) f0 z = fz γ(u) (1 − vxu)
numa transforma¸c˜ao de Lorentz especial com velocidade u segundo o eixo dos xx. Exerc´ıcio 17 Por deriva¸c˜ao da lei de transforma¸c˜ao das componentes da 3-velocidade (vx, vy, vz), mostrar que as componentes da 3-acelera¸c˜ao ~a se transformam de acordo
com as express˜oes ax = K3a0x, K = √ 1 − u2 1 + uv0 x ay = K2 " a0 y− v0 yu 1 + uv0 x a0 x # az = K2 " a0 z− v0 zu 1 + uv0 x a0 x # (1.90) numa transforma¸c˜ao de Lorentz especial segundo o eixo dos xx.
Note que ~a n˜ao depende s´o de ~a0 mas tamb´em de ~v0, i.e., a um movimento unifor-
memente acelerado em S0 (~a0 = −−−→const., ~v0 = ~a0t0) n˜ao corresponde a um movimento
uniformemente acelerado em S. Portanto, ao contr´ario da mecˆanica newtoniana, o conceito de movimento uniformemente acelerado depende do referencial.