A professora introduz a terminologia de imagem semelhante/deformada e os alunos con- cluem que ficaram semelhantes ao desenho original, as imagens A e C, que estas imagens são quadradas, que a imagem A é uma “réplica maior” do original, que é uma ampliação, e que a imagem C, relativamente ao desenho original, é mais pequena, é uma redução. No entanto, das nove respostas contabilizadas nesta parte da tarefa (o trabalho foi reali- zado a pares e registado de igual forma pelos dois elementos), apenas uma, a do par for- mado por Alexandre e Hugo, explicita se a forma se mantém ou não, como se constata na figura 49, quando referem “a imagem continua quadrada”.
Figura 49: Resposta de Alexandre e Hugo
Redimensionar – Multiplicando. Quantificam-se individualmente as respostas dos alu-
nos (dezoito, no total) no que diz respeito, quer à escolha da lupa, quer ao fator de com- paração a completar porque existem algumas diferenças de registo nos grupos.
Para obter a imagem A a partir do desenho original, todos os alunos escolhem correta- mente a lupa de ampliar e o fator de comparação correspondente. A quase totalidade pre- fere representar o fator de comparação sob a forma decimal (1,5), um aluno representa-o sob a forma de numeral misto (11
2) e um outro representa-o simultaneamente sob a forma
de numeral misto, fração e percentagem (11
2, 3
Para obter a imagem B a partir do desenho original, no que diz respeito à largura repete- se a situação anterior e, embora todos escolham a lupa certa (ampliar), dois alunos regis- tam como fator de comparação 2,5 e outros dois registam 2 (depois de riscarem 0,5). Quem regista aqui o fator 2, regista também, na parte referente ao comprimento, o fator de comparação como sendo 1. Neste caso, antes de efetuada a alteração de 0,5 para 2, parece haver indícios de coerência no procedimento utilizado – comparação aditiva em que ao comprimento original acrescentam, no primeiro caso, 0,5, e, no segundo, 1. No caso das respostas em branco (sem assinalar a lupa e sem registar o fator) não há ligação entre si porque não correspondem aos mesmos alunos. No entanto, os alunos que não respondem corretamente manifestam inconsistência nas respostas relativas às figuras A e B.
Para obter a imagem C a partir do desenho original, apenas catorze alunos escolhem a lupa de reduzir. Os restantes, ou não respondem ou escolhem a lupa de manter. Quanto ao fator de comparação, de entre as respostas consideradas válidas, todas revelam um fator menor que a unidade, mas enquanto dez alunos escolhem o valor correto, apenas divergindo na forma de o representar (em fração ou em decimal), oito alunos respondem que o fator corresponde a 1
4. Este valor é exatamente o que se retira ao comprimento ori-
ginal para se obter o comprimento de C, raciocinando em termos de comparação aditiva (4
4− 1 4 =
3
4) e um deles afirma até que “esta parte [aponta na folha] saiu”.
Para obter a imagem D a partir do desenho original, no que respeita à largura, dezassete alunos escolhem corretamente a lupa (manter) e apenas um erra ao escolher a lupa de reduzir; no que respeita ao comprimento, quinze alunos escolhem a lupa correta (reduzir) e três não assinalam nenhuma. Quanto ao fator relativo à lupa de manter, há um aluno que escreve “0” (zero) e quatro que deixam o espaço em branco; na lupa de reduzir, todos os alunos representam corretamente o fator e quinze deles utilizam a representação deci- mal. Apenas um aluno escreve o fator de duas maneiras: “1
2 ou 0,5”.
Na figura 50 podemos observar como um aluno utiliza a tira de cartolina para medir o lado de uma das imagens e também como a tira surge dobrada e a imagem C apenas cobre algumas dessas quatro partes.
Figura 50: Os alunos utilizam tiras de cartolina
Redimensionar – Aumentar e reduzir com percentagem. Todos os pares, oito17, iden- tificam na janela 1 (J1) a figura D. Apenas um par sente necessidade de registar a relação entre as expressões do programa Paint, horizontal e vertical, e as dimensões das figuras, comprimento e largura, respetivamente. Nos outros está implícita esta relação pelas res- postas que apresentam e, como tal, para uns a vertical é o comprimento e a horizontal a largura, para outros é o contrário, como mostra a figura 51.
Figura 51: Registo das dimensões da figura D
Na justificação das suas escolhas, dois alunos fazem corresponder, através de uma seta, uma unidade a 100 (no redimensionar na vertical) e 1
2 a 50 (no redimensionar na horizon-
tal) e relacionam separadamente as percentagens, 100% e 50%, e os valores absolutos, 6 e 3, utilizando a divisão por 2 e a multiplicação em que um dos fatores é 2, como se observa na figura 52.
Alguns alunos elaboram pequenas justificações das suas respostas. Uns, como os pares Manuel e Filipe e Daniel e Raquel, redigem um pequeno texto (figura 53, em cima); ou- tros, como os pares Renato e Francisco e Mário e Isabel, mostram um registo numérico (figura 53, em baixo).
Figura 53: Textos de Manuel e de Daniel e registos numéricos de Francisco e de Mário
Francisco apresenta duas divisões por 2, mas enquanto a segunda, relacionada com valo- res de percentagem, está correta, a primeira apresenta incorreções porque, por um lado, a unidade de medida de comprimento utilizada (cm) só surge no quociente e, por outro, iguala este valor a 50%. A ideia de que 50% corresponde a 3 cm parece ser reforçada pelo duplo sublinhado. Mário especifica que 100% e 6 se referem à largura, mas quando obtém 50% e 3 de quociente, relaciona-os com o comprimento. Ainda o risca na primeira divisão, mas deixa-o na segunda.
Para as outras situações de identificar a janela do programa Paint com as diferentes ima- gens e justificar a opção, os procedimentos são semelhantes e todos os pares mantêm o mesmo tipo de registo ao longo da resolução de toda a tarefa.
Comparar dimensões. Devido ao adiantado da hora, esta parte da tarefa foi resolvida
individualmente como trabalho para casa e apenas três alunos (dois deles não estiveram presentes na aula) não a entregaram na aula seguinte, pelo que se recolheram quinze res- postas.
Em seis delas estão indicadas as dimensões da folha de papel fotográfico de tamanho A4 e nas outras, não as explicitando, os alunos escolhem corretamente a dimensão da folha
(21 cm) que permite à Rita efetuar a maior reprodução possível do seu desenho, ou seja, fazer um quadrado. Todos trabalham, por isso, com o valor 21, com exceção de Alexandre que considera e trabalha (figura 54) as medidas de comprimento e largura da folha A4 com valores aproximados às décimas (21,1 e 29,8) e regista que as duas dimensões (c e l) da reprodução medem 21,1 cm.
Figura 54: Dimensões da folha de papel A4, registadas por Alexandre
Para comparar a largura da folha de papel A4 relativamente às dimensões do desenho original, nove alunos representam duas razões, sob a forma de fração, 6
6 e 21
21, e Fernando
e Manuel relacionam-nas entre si, através do sinal igual, e com a unidade, através de uma seta, como se pode observar na figura 55.
Figura 55: Como Fernando e Manuel relacionam as duas razões
Oito alunos determinam o fator de comparação entre 6 e 21 através da operação divisão, usando o algoritmo. Como se pode observar na figura 56, nem sempre o registo está com- pleto: Filipe (à esquerda) não acrescenta nenhuma casa decimal ao dividendo, mas indica um quociente não inteiro; Helena (ao centro), acrescenta o zero no dividendo, mas indica a vírgula decimal apenas no quociente; Daniel (à direita) representa o algoritmo correta- mente.
Os restantes sete alunos mencionam apenas o fator 3,5, sem qualquer indicação quanto à maneira como o determinam. Luís e Raquel (figura 57) retomam a ideia de comparar o desenho original e a figura, afirmando que “é 3,5 vezes maior que o original”.
Figura 57: Respostas de Luís e de Raquel relativamente ao fator de comparação
Em síntese. As primeiras abordagens de comparação de uma figura relativamente a outra
(parte 1) são baseadas na comparação de áreas, por sobreposição, e substituídas, após a intervenção da professora, por comparações ligadas às suas dimensões lineares. Nas des- crições iniciais, os alunos utilizam expressões do tipo aumentar ou diminuir. Depois, quando no grupo turma, chegam ao conceito de figuras semelhantes, apenas dois menci- onam manter a forma como uma condição de semelhança.
Na parte 2, os alunos escolhem, para cada situação, quase sempre as lupas corretas, li- gando-as aos conceitos de ampliar, reduzir e manter. A ampliação/redução é traduzida depois simbolicamente através da identificação do respetivo fator, escrito maioritaria- mente sob a forma decimal. De entre os quatro casos, aquele que originou mais confusão foi o de obter a imagem C a partir do desenho original. Pode-se, no entanto, identificar nas produções de vários alunos um esquema de evolução conceptual/procedimental da comparação multiplicativa, que se inicia na resposta à questão “Quanto é que retiramos ao comprimento do original para obtermos o comprimento de C?”, e progride para a res- posta à questão crucial de relacionar multiplicativamente duas medidas de comprimento “Quantas vezes o comprimento do original cabe no comprimento de C?”.
Relativamente à parte 3, todos os alunos conseguiram identificar as imagens nas respeti- vas janelas e indicar as suas dimensões. As justificações vão desde representações sim-
bólicas em linguagem natural até à linguagem matemática, predominando o registo hori- zontal das operações divisão e multiplicação, consideradas em separado para os valores absolutos e para as percentagens, como se pôde observar no exemplo da figura 53. Na quarta e última parte, o valor escolhido pelos alunos (21 cm) sugere que interiorizaram a ideia de manter a forma para obter uma imagem semelhante e, como tal, percebem que o maior quadrado possível numa folha de papel fotográfico de tamanho A4 vai ter como dimensões a largura da folha. Na questão que envolve relacionar 21 e 6, os alunos utilizam preferencialmente procedimentos multiplicativos, através da operação divisão (21 : 6), cujo valor determinam a partir do uso do algoritmo.
5.1.3 Tarefa 4: Fazer limonadas
Problema 1. A primeira parte desta tarefa consiste em comparar o sabor de duas limona-
das confecionadas com concentrado de limão e água, de acordo com os dados numéricos da ilustração. Nove alunos apresentam no início da resolução a resposta à pergunta “Con- cordas com eles?”, não se percebendo pelos seus registos se foi, de facto, isso que escre- veram primeiro ou se voltaram atrás para que a resposta ficasse indicada naquele sítio da folha; cinco respondem na última linha da resolução do problema; quatro não respondem. “Eu concordo com eles”, “concordo” ou, simplesmente, “sim” é a resposta de nove alunos dos quais seis apresentam uma justificação, não copiada do quadro, para a sua opção; Luís e Ana respondem “as limonadas não são iguais” e justificam; a resposta “eu não concordo” é registada por Mário e Isabel que copiam a justificação do quadro.
Os alunos relacionam o número de chávenas de concentrado de sumo de limão com o número de litros de água de cada mistura, de acordo com a sequência textual do próprio enunciado (limonada de sexta-feira: 3 chávenas de concentrado de limão e 4 litros de água; limonada de sábado: 4 chávenas de concentrado de limão e 5 litros de água). Alexandre (figura 58) e Hugo respondem “eu concordo com eles”, referem que “as fra- ções não são equivalentes”, explicam porquê e traduzem em linguagem matemática a ideia de que as duas razões são diferentes. Alexandre assinala um arco orientado entre os primeiros termos das razões (3 e 4) e um outro entre os segundos (4 e 5), ambos legenda- dos pelos fatores respetivos (“× 1,33…” e “× 1,25”). Indica as operações, 4 : 3 e 5 : 4, e
Figura 58: Resolução de Alexandre
José (figura 59) responde “sim” e justifica a sua resposta. Apresenta duas linhas numéri- cas duplas, uma referente à mistura de sexta-feira e outra à de sábado. Os valores de uma e outra surgem através da sequência dos múltiplos naturais dos números iniciais. Na linha de sexta-feira, indica os múltiplos de 3 até 18 e os de 4 até 24; na linha de sábado, regista os múltiplos de 4 até 20 e os de 5 até 25. Na sua resposta não surge nenhuma indicação de quais são, de facto, as razões que vai comparar para retirar uma conclusão.
Figura 59: Linhas numéricas duplas de José
Apenas quando é convidado a ir ao quadro José explica o que fez (episódio 2) e a profes- sora, perante algumas das suas imprecisões de linguagem, procura clarificar o seu proce- dimento.
Professora – Ele agora vai-me explicar, depois... como é que... Então, a partir daí o que é que tu depois pensaste, José?
José – Eu vi aqui... estes dois eram quase iguais [parece que aponta apenas para a segunda linha do 12 para 15]. Eu primeiro pensava que eram equivalentes porque pensava que o doze era... vá, como era igual no sumo, pensava que daria igual, mas depois vi que o 15 e o 16 não eram bem igual e, então, a conclusão a que che...que... a... [olha para a sua folha de resposta, mas não acrescenta nenhuma ideia].
Professora – Vá que eu ajudo. Ele está a dizer: olhou para aqui [aponta nas duas linhas] e viu que o doze era igual ao doze e pensou “Ah! Isto é igual”. Mas depois foi ver cá em baixo e viu que aqui [aponta] estava dezasseis e aqui [aponta] quinze. Então, o que é que isto significa?
Professora – As razões não são equivalentes. Porquê? Na razão de sexta-feira [aponta sexta-feira], se eu puser doze de concentrado... Oh, Hugo! Se eu puser doze de concentrado, quantos litros de água tenho que por?
José – Dezasseis.
Professora – Dezasseis litros de água. Se for para o sábado [aponta sá- bado], o que é que acontece? Se eu puser doze de concentrado, quanta água é que leva?
José – Quinze.
Professora – Quinze litros de água [aproveita para escrever (L) à frente de água, em cada uma das linhas]. Então, o que é que acontece? Então, o que é que eu daqui depreendo? Que...
José – As razões...
A professora – A limonada não vai ser... José – A mesma.
Professora – A mesma.