Representações e compreensão dos conceitos razão e proporção

A representação é uma ferramenta útil para a compreensão de conceitos e para a resolução de problemas, em particular, para a resolução de situações multiplicativas onde surgem os conceitos de razão e de proporção.

Lamon (2001) refere que Vergnaud (1983, 1988), ao definir campo conceptual como um conjunto de problemas e situações nos quais as conexões entre conceitos, procedimentos e representações são necessárias, conseguiu dar resposta ao desafio e à complexidade matemática de compreender os números racionais. Estes números só podem ser compre- endidos, segundo Lamon (2001), nas conexões entre um conjunto de contextos, signifi- cados, operações e representações, o que implica a coordenação de conceitos matemáticos e origina formas flexíveis de raciocinar, entre as quais se destaca o raciocínio proporcio- nal. A compreensão de frações como “números por direito próprio e, como tal, como objetos que podem ser manipulados através da aritmética” (p. 149) é um dos objetivos do

processo de ensino e aprendizagem. No entanto, a tarefa para alcançar esse objetivo nem sempre é fácil e, muito menos, imediata. Somente a exploração de diferentes interpreta- ções de fração – comparação parte-todo, medida, operador, quociente, razão e taxa – e, para cada uma, a interpretação e análise de diferentes modos de representação – ações, desenhos, palavras e símbolos – permite ao aluno consolidar a sua compreensão sobre o campo dos números racionais. De notar também que, num determinado modo de repre- sentação, podem existir subtilezas no significado de fração, dependendo, por exemplo, se os objetos usados pertencem a um universo discreto ou contínuo, ou se são considerados como objetos unitários ou compostos.

Ao identificar diferentes tipos de problemas no isomorfismo de medidas, Vergnaud (1983, 1988) defende que a representação esquemática dos problemas, anteriormente re- gistada, se torna importante para a sua resolução e para evidenciar o papel das estruturas multiplicativas no conceito de proporcionalidade. Nos casos exemplificados não há refe- rência ao tipo de números que estão envolvidos e as quantidades em cada um dos espaços de medida podem ser números inteiros ou não inteiros, representados na forma de fração ou de decimal.

As conexões entre diferentes conceitos e entre diferentes modos de representação é, como já foi referido, um fator positivo para o processo de aprendizagem. Abrantes et al. (1999) referem-se especificamente às conexões entre o conceito de razão e os diferentes modos de representação mencionados por Bruner (1966) – ativo, icónico e simbólico – e que denominam, respetivamente, por representações concretas, figurativas e simbólicas:

Conceitos como fração, razão, decimal e percentagem constituem ideias chave a serem trabalhadas em situações significativas para os alunos e que lhes per- mitam a passagem de umas representações para outras, das concretas para as figurativas e destas para as simbólicas. (Abrantes et al., 1999, p. 53)

Também, de acordo com Cramer e Post (1993), as características matemáticas de todas as situações de proporcionalidade, atrás referidas, permitem reforçar a importância das conexões matemáticas e das representações na resolução de problemas. Incentivar a re- presentação dos dados de um contexto que se pretende discutir se é ou não proporcional numa tabela, com o objetivo de identificar regularidades numéricas, traduzir as relações numéricas de comparação multiplicativa entre as duas quantidades em expressões algé- bricas e, por fim, traduzi-las em representações gráficas, permite avaliar criticamente os problemas e determinar se o contexto é de facto uma situação de proporcionalidade. As

diferentes representações salientam diferentes aspetos da situação em estudo e cada uma fomenta ideias e conexões com as outras. Assim, as representações são consideradas re- levantes para a interpretação dos problemas e para a escolha das estratégias de resolução. Os alunos usam representações para desenvolver e aplicar a sua compreensão sobre pro- porcionalidade quando, segundo NCTM (2000): (i) fazem ou interpretam desenhos de figuras ou modelos físicos de objetos à escala; (ii) fazem conexões entre a noção geomé- trica de semelhança e as razões numéricas; e (iii) usam histogramas de frequências rela- tivas de conjuntos de dados.

Abrahamson e Cigan (2003) propõem o ensino dos conceitos de razão e de proporção, no 5.º ano de escolaridade, baseado numa teia de conceitos em que as representações, sob a forma de tabela, vão surgindo como ferramentas auxiliares de interpretação e resolução de determinado tipo de problemas. Os alunos começam então por revisitar a operação multiplicação na respetiva tabela, interpretada como adição de parcelas iguais. A explo- ração de padrões nesta tabela permite-lhes abordar o conceito de taxa, considerado como uma única coluna da tabela. De seguida, discutem a noção de razão como duas colunas de taxa que estão ligadas, ou seja, representam e analisam uma tabela de razões. Por fim, identificam duas linhas na tabela de razões, o que lhes permite evidenciar uma tabela de proporções, também designada pelos autores como “quarteto de proporção” (p. 493). Esta proposta permite dar ênfase ao raciocínio multiplicativo num contexto numérico apropri- ado, mas onde apenas surgem os números inteiros.

Abrahamson (2006) defende que as representações matemáticas são composições con- ceptuais, isto é, “envolvem uma coordenação histórica de duas ou mais ideias matemáti- cas” (p. 464). Este autor nota que, sob o ponto de vista da aprendizagem, a composição de ideias pode estar oculta nas representações e não ser facilmente compreendida. Esta situação pode levar à utilização procedimental das representações matemáticas sem a de- vida compreensão de ideias que aí estão imbuídas. Para colmatar, ou pelo menos amenizar esta dificuldade, a explicação oral e as discussões entre os alunos e destes com o professor são um valioso auxiliar.

Van Galen et al. (2008) referem que, numa fase inicial, os modelos estão muito próximos de situações contextualizadas. À medida que a escolaridade avança, os modelos devem permitir que os alunos raciocinem fora de um contexto/situação concreta e, como tal,

(p. 18) possa ser desenvolvida. Exemplificam esta sua pretensão com a utilização da barra dupla ou da linha numérica dupla com frações, percentagens, decimais e proporções. Tendo em conta que o foco desta investigação é compreender o modo como os alunos do 6.º ano desenvolvem a proporcionalidade ao explorar tarefas de comparação multiplica- tiva, considero que as classificações relativas ao modo de representações, referidas ante- riormente, são demasiado globais e senti, por isso, necessidade de as tornar mais “finas”, pormenorizando-as, principalmente, no que diz respeito à que, por certo, vai ser domi- nante. Desta forma, por exemplo, o modo de representação simbólico tanto pode incluir a adição de parcelas iguais como a multiplicação, aspetos que revelam diferentes níveis de compreensão relativamente à evolução conceptual da comparação multiplicativa. Op- tei por adaptar as representações externas e simbólicas propostas por Greer (1992) para as situações multiplicativas (operações multiplicação e divisão), distinguindo: a adição de parcelas iguais, a tabela de razões ou a linha numérica dupla (em relações escalar e funcional) e o gráfico. Se as resoluções dos alunos evidenciarem mudanças no modo de representação simbólico, no sentido de a adição de parcelas iguais ir sendo substituída por tabelas de razões ou linhas numéricas duplas, isso permite-nos concluir que a apren- dizagem dos conceitos relacionados com a comparação multiplicativa se encontra num processo evolutivo de construção, de acordo com Behr et al. (1992).

2.2.3 Em síntese

No quadro 2 resumo a visão mencionada nesta secção acerca de representações na apren- dizagem matemática. Evidencio diferentes modos de representação, segundo perspetivas que se complementam. Refiro as representações como ferramenta para a resolução de tarefas de comparação multiplicativa e as suas relações com a compreensão dos conceitos de razão e proporção.

Quadro 2: Síntese (Representações na aprendizagem matemática) Co mu nica çã o Repre sent a ção

Modos Sistemas Sinais ou caracteres

• Ativo

o situações da vida real o modelos manipuláveis • Icónico o desenhos o diagramas • Simbólico o palavras faladas o símbolos escritos

(Bruner; Lesh et al.)

• Externos • Internos (Goldin) • Pictóricos • Icónicos • Simbólicos (Thomas et al.)

Ferramentas para a resolução de problemas e explicitação do raciocínio matemático. Compreensão dos conceitos de razão e de proporção.