Na turma de Vera foram exploradas cinco tarefas, em sete aulas de 90 min, como menci- onado na secção 3.3., seguindo a sua ordem de numeração, tal como já tinha acontecido nas aulas de Sofia. Uma vez que as tarefas são as mesmas de um ciclo da experiência para o outro, com exceção da tarefa 3, nesta secção descrevo apenas esta tarefa.
Tarefa 3: Cálculos e mais cálculos…16 Esta tarefa está dividida em duas partes distintas
desenvolvidas em contextos meramente numéricos. Na primeira, são apresentadas três coleções de multiplicações onde, em cada uma, os fatores são sempre os mesmos, mas um deles surge representado de diversas formas. O que interessa, por isso, é que os alunos utilizem as relações entre os números e a aplicação de propriedades da operação multi- plicação para construírem, segundo Threlfall (2002, 2009), a sua estratégia de resolução. Pensar a multiplicação como produzindo um produto e, simultaneamente, no produto em relação aos seus fatores, implica o raciocínio proporcional (Thompson & Saldanha, 2003).
Para cada coleção de igualdades numéricas, supõe-se que os alunos reconhecem que um número racional pode ter várias representações (sob a forma de fração, decimal e numeral misto). Identificam, por isso que, em cada caso, o resultado se mantém inalterado. Con- sidera-se também que as propriedades associativa e comutativa da multiplicação e distri- butiva da multiplicação em relação à adição são já do conhecimento dos alunos. Isso sig- nifica que têm consciência de as poder utilizar por forma a tornar os seus procedimentos
16 Enunciado completo em anexo (Anexo 3).
× 4
× 4
× 3
× 3
Compota Doce
Será proporcionalmente mais barato porque, perante a mesma quantidade, o preço é inferior (4,80 < 5,04).
de cálculo mais eficazes e menos dependentes de regras ou algoritmos (algoritmo da mul- tiplicação de números representados por frações ou algoritmo da multiplicação de inteiros estendido ao caso em que um dos números é representado sob a forma decimal). Pode, portanto, facilitar os cálculos, por exemplo:
(i) substituir o numeral misto 11
2 por 1 + 1 2;
(ii) considerar a decomposição decimal de 1,5 em 1 + 0,5 e saber que 0,5 = 1
2;
(iii) aplicar a propriedade comutativa da multiplicação e trocar a ordem dos fatores 3 e 1
2,
em 12 × 3 × 1
2.
(iv) recordar que multiplicar por 1
4 é o mesmo que dividir por 4 e que 4 = 2 × 2.
Na segunda parte da tarefa, surge um exemplo de relação proporcional entre os termos de uma multiplicação. Um esquema de dois arcos de sentidos opostos, um legendado com a operação multiplicação e o outro com a operação divisão, permite ilustrar a relação in- versa entre as duas operações. Ao lado, representam-se simbolicamente três igualdades, em que num dos membros surge uma multiplicação de dois fatores e no outro o seu re- sultado. Os alunos devem completar os restantes seis esquemas, identificar as relações proporcionais existentes entre os termos das várias multiplicações e concluir que dados dois números, é sempre possível compará-los multiplicativamente, isto é, escrever um à custa do outro através de uma multiplicação de dois fatores.
Para cada esquema e respetiva tradução numérica, parte-se do princípio que, por um lado, os alunos conhecem a relação inversa entre as operações multiplicação e divisão e, por outro, identificam a representação do inverso de um número inteiro (diferente de zero) como sendo uma fração cujo numerador é 1 e o denominador coincide com o número.
Por exemplo, sabem que 2 e 1
2 são números inversos, tal como, 6 e 1
6. A exploração con-
junta do exemplo inicial, em concreto, a leitura dos esquemas apresentados “seis vezes dois é igual a doze (da esquerda para a direita) e doze a dividir por dois é igual a seis (da direita para a esquerda)” e, de modo similar, “dois vezes seis é igual a doze (da esquerda para a direita) e doze a dividir por seis é igual a dois (da direita para a esquerda)” vai permitir-lhes comprovar que os números envolvidos alteram os seus papéis consoante a operação que está em jogo. Ou seja, o 2 e o 6 são fatores de 12 (6 × 2 = 12) tal como
sentido, respetivamente, às igualdades 6 = 1
2 × 12 e 2 = 1
6 × 12, que evidenciam as relações
proporcionais entre os termos da multiplicação 6 × 2 = 12.
Como tal, perante os esquemas em que os números envolvidos são inteiros, os alunos devem rapidamente identificar os termos em falta, representar as respetivas multiplica- ções e identificar as relações proporcionais existentes entre os seus termos.
Os esquemas em que surgem fatores não inteiros, escritos sob a forma decimal ou de fração, podem causar alguma perplexidade aos alunos, quando identificam o seu inverso como sendo 1
a, em que a é igual, por exemplo, a 1,5, ou seja, quando o denominador não
é um número inteiro. Esta situação deve, mais uma vez, ser utilizada para relacionar as operações multiplicação e divisão e estender este conceito e a sua representação a núme- ros não inteiros, representados sob a forma decimal ou de fração.
Relativamente às restantes tarefas, apenas a tarefa 5 (a última) sofreu alterações de um ciclo da experiência para o outro. A primeira versão desta tarefa incluía valores que obri- gavam a que a resposta sobre a opção de comprar “o mais barato” recaísse exatamente no produto em que estava marcado o menor preço (compota – 300 g custam 1,20 €; doce – 400 g custam 1,68). Sofia não levantou qualquer objeção a esta situação, algo invulgar em problemas deste tipo, mas Vera considerou mais apelativo que o comprar “o mais barato” tivesse como resposta o produto cujo preço marcado era o mais elevado e, como tal, os valores foram alterados para: compota – 300 g custam 1,80 €; doce – 400 g custam 1,96 €.
Capítulo 5
Estratégias de resolução, relações numéricas, propriedades
das operações e representações
Este capítulo está dividido em duas secções. Na primeira, descrevo e analiso as produções e as intervenções orais dos alunos nas aulas do primeiro ciclo da experiência de ensino, que decorreu no ano letivo 2015/16. Na segunda secção, tal como na primeira, descrevo e analiso as produções e as intervenções orais dos alunos nas aulas do segundo ciclo da experiência de ensino, que decorreu no ano letivo 2016/17.