Final da Demonstra¸c˜ ao da Proposi¸c˜ ao 2.6

2.3 Caso N˜ ao-Degenerado

2.3.3 Final da Demonstra¸c˜ ao da Proposi¸c˜ ao 2.6

Primeiramente, vamos lembrar alguns fatos. Seja z0 ∈ ˚D o ´unico furo negativo de ˜

u0 : D\{z0} → R×M obtido conforme Lema 2.14. Seja P0 = (x0, T0)∈ Pc(λ) o limite assint´otico

de ˜u0em z0. De modo análogo à constru¸cão feita na Subse¸cão: Análise de bubbling-off, é poss´ıvel

associar uma sequˆencia germinante ˜vn = (bn, vn) ao furo negativo z0. Mais precisamente, para

∈ R∗

+ suficientemente pequeno, conforme (2.44), podemos escolher sequˆencias

(i) zn n→+∞ −−−−−→ z0, conforme (2.45); (ii) δn n→+∞ −−−−−→ 0+_{, conforme (2.46);}

e definir uma sequˆencia de curvas ˜J-holomorfas ˜vn= (bn, vn) : BRn(0)→ R × M tal que

bn(z) = an(zn+ δnz)− an(zn+ 2δn), e vn(z) = un(zn+ δnz). (2.55)

Lembre que ˜un ´e a sequˆencia de discos de energia finita na fam´ılia de Bishop M escolhida em

(2.31)21_{. J´}_{a mencionamos que a sequˆencia ˜}_v

n ´e uma sequˆencia germinante. No Lema 2.17,

provamos que existe uma subsequˆencia ˜vnk, um conjunto finito Γ

0 _{⊂ C e uma esfera furada de}

energia finita e n˜ao-constante ˜

v = (b, v) : C\ Γ0→ R × M (2.56)

tal que ˜vnk → ˜v na topologia usual de C

∞ loc(C \ Γ

, R× M). Lembre que Γ0 é o conjunto dos pontos de bubbling-off e corresponde aos furos negativos de ˜v. No Lema 2.19, provamos que o limite assintótico de ˜v no (único) furo positivo em _{∞ coincide com a órbita fechada} P0 = (x0, T0)∈ Pc(λ). Pela Proposi¸cão C.6 no Apêndice C, temos que

C\Γ0v

∗_{dλ > 0.}

Nosso primeiro objetivo é verificar que ˜v = (b, v) : C\ Γ0 → R × M é, na verdade, um plano de energia finita. Isto permitirá provar que P0= (x0, T0)∈ Pc(λ) satisfaz as condi¸cões da

tese da Proposi¸cão 2.6. Comecemos provando o seguinte lema. Este resultado é uma importante ferramenta no cálculo dos ´ındices µCZ dos limites assintóticos nos furos negativos de ˜v.

Lema 2.26. Seja u = (a, u) : C˜ \ Γ → R × M uma esfera furada de energia finita, onde ∞ ´e o ´

unico furo positivo eΓ =_{z1,· · · , zN} ´e o conjunto de furos negativos. Seja P∞ = (x∞, T∞)∈

Pc_{(λ) o limite assint´}_{otico de} _{u em}_˜ _{∞ e, para todo j ∈ {1, · · · , N}, seja P}

j = (xj, Tj)∈ Pc(λ) o

limite assint´otico de u em z˜ j. Suponhamos que

C\Γ0

u∗dλ > 0, µCZ(P∞) = 2 e µCZ(Pj)≥ 2, para todo j ∈ {1, · · · , N}.

Ent˜ao µCZ(Pj) = 2, para todo j∈ {1, · · · , N}.

Demonstra¸c˜ao. Suponha inicialmente queR

C\Γu

∗_{dλ > 0. Denote por C}_{\ Γ a compactifica¸c˜ao}

de C\ Γ obtida por adicionar c´opias de S1 _{nos furos Γ}_{∪ {∞} e seja ¯u a extens˜ao cont´ınua de}

u sobre C\ Γ. Esta extensão existe pois λ é não-degenerada. Vamos escolher uma trivializa¸cão dλ-simplética conveniente do fibrado dλ-simplético ¯u∗ξ _{→ C \ Γ. Como as órbitas fechadas} Pj = (xj, Tj) ∈ Pc(λ), j ∈ {1, · · · , N}, são contráteis, existem discos cont´ınuos vj : D → M,

j _{∈ {1, · · · , N}, tais que v}j(e2πit) = xj(Tjt), para todo t ∈ R/Z ' S1. Sejam Ψj : vj∗ξ →

D× C, j ∈ {1, · · · , N}, trivializa¸c˜oes dλ-simpl´eticas. Lembre que Ψj, j ∈ {1, · · · , N}, induz

uma trivializa¸cão dλ-simplética para o fibrado dλ-simplético x∗_T

jξ → S

1_{, j} _{∈ {1, · · · , N}, onde}

xTj(t) = xj(Tjt), para todo t ∈ R/Z ' S

1_{. Por simplicidade, denote esta trivializa¸c˜ao dλ-}

simpl´etica por Ψj : x∗Tjξ → S

1 _{× C, j ∈ {1, · · · , N}. Vamos usar estas trivializa¸c˜oes para}

construir uma trivializa¸c˜ao dλ-simpl´etica de ¯u∗ξ → C \ Γ. Primeiro, considere η : D → M um disco cont´ınuo tal que

η(D) = ¯u(C\ Γ) ∪j∈{1,··· ,N }vj(D).

Este disco existe porque λ é não-degenerada. Repare também que η : D → M é um disco cont´ınuo satisfazendo η(e2πit_{) = x}

∞(T∞t). Seja ¯Ψ : η∗ξ → D×C uma trivializa¸c˜ao dλ-simpl´etica

de η∗ξ→ D. Por constru¸cão, para todo j ∈ {1, · · · , N}, ¯Ψ induz uma trivializa¸cão dλ-simplética de x∗_T

jξ → S

1_{, denotada por ¯}_Ψ

j, homotópica à trivializa¸cão dλ-simplética Ψj induzida pelo disco

vj. Em particular, o ´ındice de Conley-Zehnder da órbita fechada Pj medido em rela¸cão à ¯Ψj

coincide com o medido em rela¸cão à Ψj. Isto é consequência do fato de que µCZ depende

apenas da classe de homotopia de trivializa¸cões dλ-simpléticas de x∗_T_jξ → S1_{. Note também}

que a hip´otese c1

π2(M )(ξ) ≡ 0 implica que µCZ(P∞, ¯Ψ), medido em rela¸cão à trivializa¸cão

dλ-simpl´etica induzida por ¯Ψ, satisfaz µCZ(P∞, ¯Ψ) = 2.

Seja Z : D → η∗_{ξ uma se¸c˜}_{ao n˜}_{ao-nula definida como Z(p) = ¯}_Ψ−1_{(p, ∂}

x), para todo

p ∈ D, onde ¯Ψ : η∗ξ → D × C é a trivializa¸cão dλ-simplética constru´ıda acima. Sejam wind∞(˜u,∞) = wind∞(˜u,∞, Z) e wind∞(˜u, zj) = wind∞(˜u, zj, Z), para todo zj ∈ Γ, j ∈

{1, · · · , N} (veja defini¸c˜oes na Subse¸c˜ao 1.3.1). No Lema 1.72, verificamos que µCZ(P∞) = 2

implica wind∞(˜u,∞) ≤ 1, e µCZ(Pj) ≥ 2 implica wind∞(˜u, zj) ≥ 1, para todo j ∈ {1, · · · , N}.

Suponha, por contradi¸c˜ao, que existe j0 ∈ {1, . . . , N} tal que µCZ(Pj0) ≥ 3. O Lema 1.72

implica wind∞(˜u, zj0)≥ 2. Se windπ(˜u) ´e definido conforme (1.67), pelo Teorema 1.69, obtemos

0_{≤ wind}π(˜u) = wind∞(˜u) + N− 1 = wind∞(˜u,∞) − X j∈{1,··· ,N } wind∞(˜u, zj) + N− 1 ≤ 1 − (N − 1) − 2 + N − 1 = −1,

Esta contradi¸c˜ao mostra que µCZ(Pj) = 2, para todo j ∈ {1, · · · , N}.

Seja ˜v = (b, v) : C\ Γ0 → R × M a esfera furada de energia finita obtida acima. Pela Proposi¸c˜ao 1.57, visto queR

C\Γ0v

∗_{dλ > 0, existe uma esfera furada de energia finita ˜}_{w = (d, w) :}

C\ ¯Γ → R×M, ¯Γ ⊂ C finito, somewhere injective eR

C\Γ¯w

∗_{dλ > 0, e um polinˆ}_{omio p : C}_{→ C tal}

que p(Γ0) = ¯Γ, p(∞) = ∞, e tais que ˜v se fatora em ˜v = ˜w◦p. Lembre que escolhemos a estrutura complexa J ∈ J (λ) genérica. Como ˜w é somewhere injective e π· dw não é identicamente nulo, a genericidade de J _{∈ J (λ) implica (veja Subse¸cão 1.3.4) que}

Ind( ˜w) = µ+_{− µ}−_{− 1 + #Γ}0_{≥ 1,} (2.57)

onde µ+_{, µ}− _{denotam a soma dos ´ındices dos furos positivos e negativos, respectivamente, da}

esfera furada de energia finita ˜w : C\¯Γ → R×M. Este fato e o lema anterior implicam que Γ0₌_∅.

Vamos provar esta afirma¸cão. Já observamos que ˜v possui um único furo positivo cujo limite assintótico é a órbita fechada P0 = (x0, T0)∈ Pc(λ) que satisfaz µCZ(P0) = 2. Sabemos também

que Γ0 ₌ _{z

1,· · · , zN} ´e o conjunto dos furos negativos e, se Pj = (xj, Tj) ∈ Pc(λ) ´e o limite

assint´otico de ˜v em zj, ent˜ao µCZ(Pj) = 2, para todo j∈ {1, · · · , N}. Seja ¯P0 = (x0, ¯T0)∈ Pc(λ)

o limite assint´otico de ˜w em ∞, ¯Γ = {y1,· · · , y_N¯} o conjunto dos furos negativos de ˜w e

Pl= (xl, ¯Tl)∈ P(λ) o limite assint´otico de ˜w em yl, l∈ {1, · · · , ¯N}. Pelos Teoremas 1.38 e 1.39,

l_{∈ {1, · · · , ¯}N_{}, visto que µ}CZ(P0), µCZ(Pj) = 2, para todo j ∈ {1, · · · , N}. A genericidade de

J _{∈ J (λ) e (2.57) implicam que}

µ+_{≥ µ}−+ 2_{− #¯Γ ≥ #¯Γ + 2 − #¯Γ ≥ 2.}

Como ˜w possui um único furo positivo no ∞ cujo limite assintótico é a órbita fechada ¯P0 =

(x0, ¯T0), é imediato que µCZ( ¯P0) = µ+ ≥ 2. Se deg(p) ≥ 2, então o ´ındice µCZ(P0) da órbita

fechada P0 = (x0, T0) limite assint´otico no ´unico furo positivo em∞ de ˜v satisfaria µCZ(P0)≥ 4.

No entanto, sabemos que µCZ(P0) = 2. Esta contradi¸c˜ao mostra que deg(p) = 1 e, portanto, ˜v

´e tamb´em somewhere injective. Para evitar ambiguidades, denotamos por ˜µ+_{, ˜}_µ− _{a soma dos}

´ındices µCZ dos furos positivos e negativos de ˜v, respectivamente. Novamente a genericidade de

J _{∈ J (λ) e (2.57) implicam que} ˜

µ+≥ ˜µ−+ 2− #Γ0 ≥ 2#Γ0+ 2− #Γ0 ≥ 2 + #Γ0. Visto que µCZ(P0) = 2, conclu´ımos Γ0=∅. Isto prova o seguinte lema:

Lema 2.27. A esfera furada de energia finitav = (b, v) : C˜ \ Γ0 _{→ R × M satisfaz Γ}0 ₌_∅.

Como µCZ(P0) = 2, resta apenas provar que P0 satisfaz as condi¸c˜oes topol´ogicas da tese

da Proposi¸c˜ao 2.6. Primeiro, vamos provar o resultado a seguir.

Lema 2.28. O plano de energia finita˜v = (b, v) : C→ R × M é um mergulho. Além disso, v(C) é transversal ao campo de Reeb.

Demonstra¸cão: Recorde que o limite assintótico de ˜v em_{∞ é a órbita fechada P}0 = (x0, T0)∈

Pc_{(λ) satisfazendo µ}

CZ(P0) = 2. Considere a seguinte afirma¸c˜ao:

Afirma¸cão 2.29.v é uma imersão transversal ao campo de Reeb.

Demonstra¸cão. Seja C a compactifica¸cão de C obtida por adicionar uma cópia de S1 _em

∞ e denote por ¯v a extensão cont´ınua de v sobre C. Lembre que esta extensão existe pois λ é não-degenerada. Note que C difeo' D. Por abuso de nota¸cão, escrevemos ¯v : D → M. Seja Ψ : (x0)∗_T₀ξ → S1× C, S1 ' R/Z, uma trivializa¸cão dλ-simplética do fibrado dλ-simplético

(x0)∗T0ξ → S

1 _{induzida por uma trivializa¸c˜}_{ao dλ-simpl´etica de ¯}_v∗_ξ

→ D. Sejam AP0 o operador

assint´otico sobre P0 e fixe

βneg_{= max}_{{β ∈ Spec(A}

P0) : β < 0},

onde Spec(AP0) ´e o espectro de AP0. Se νneg : S1 → C ´e um autovetor correspondente ao

autovalor βneg_{, definimos o n´}_{umero de rota¸c˜}_{ao wind(β}neg_{) de ν}neg _{em rela¸c˜}_{ao `}_{a trivializa¸c˜}_ao

dλ-simplética Ψ (veja Subse¸cão 1.2.2) Pelo Lema 1.30, wind(βneg_{) é independente do autovetor}

νneg_{. Pelo Teorema 1.31, o ´ındice de Conley-Zehnder generalizado ´e µ}

CZ(P0) = 2wind(βneg) + p,

onde p ∈ {0, 1} ´e a paridade. Como µCZ(P0) = 2, temos que wind(βneg) = 1 e p = 0. No

Lema 1.71, provamos que wind∞(˜v,∞) 6 wind(βneg) e, portanto, wind∞(˜v,∞) 6 1. Visto que

windπ(˜v)≥ 0, o Teorema 1.69 nos diz que

ou seja, windπ(˜v) = 0. A defini¸c˜ao de windπ(˜v) implica π◦ dvz 6= 0, para todo z ∈ C. Portanto,

dim(π_{· dv}z(TzC)) = 2, para todo z ∈ C, j´a que ¯∂_J˜(˜v) = 0. Combinando estas observa¸c˜oes,

conclu´ımos que

RXλ(v(z))⊕ dvz(TzC) = Tv(z)M, para todo z∈ C

e fica provado que v ´e uma imers˜ao transversal ao campo de Reeb. Note que a transversalidade

com o campo de Reeb segue de π_{◦ dv}z 6= 0 para todo z ∈ C.

Afirma¸c˜ao 2.30. O plano de energia finita ˜v ´e um mergulho.

Demonstra¸cão. Nossa estratégia será provar que ˜v é imersão injetiva própria. A Proposi¸cão 5.4 em [42] implicará que ˜v é mergulho22_{. Come¸camos verificando que ˜}_{v é injetiva. Considere o}

conjuntoS(˜v) := {(z1, z2)∈ C × C \ ∆ : ˜v(z1) = ˜v(z2)} onde ∆ := {(z1, z2)∈ C × C : z1= z2}

é a diagonal de C× C. Suponha, por contradi¸cão, que S(˜v) 6= ∅. Se S(˜v) possui um ponto limite em C× C \ ∆, pela Proposi¸cão 1.57, existe um polinômio p : C → C satisfazendo deg(p) ≥ 2 e um plano de energia finita ˜w : C→ R × M somewhere injective fatorando ˜v em ˜v = ˜w_{◦ p. Como} deg(p)≥ 2 e d˜v = d ˜w◦ dp, existe z ∈ C tal que d˜v(z) não é imersão, contradizendo a afirma¸cão anterior. Disto segue que S(˜v) somente pode conter pontos isolados. Vamos verificar que isto não pode acontecer. Lembre que existem sequências_{zn} ⊂ C, rn→ 0+ e {cn} ⊂ R tais que

Un(z) := bn(zn+ rnz) + cn, vn(zn+ rnz) → ˜v na topologia usual de Cloc∞(C, R× M),

onde ˜vn= (bn, vn), n∈ N, é a sequência germinante definida em (2.55). Como as auto-interse¸cões

S(˜v) s˜ao isoladas e π ◦ dvz 6= 0, para todo z ∈ C, existe uma sequˆencia rj ∈ R∗+ com rj → +∞

e Brj(0) = {z ∈ C : |z| < rj} tal que, para todo j ∈ N, ˜v

B_rj(0) admite um n´umero finito de

auto-interse¸c˜oes contidas em Brj(0). Podemos supor tamb´em que ˜v

B_rj(0) ´e um mergulho perto

do bordo. Pela estabilidade e positividade de interse¸c˜oes de curvas ˜J-holomorfas (veja Subse¸c˜ao 1.3), para n suficientemente grande, conclu´ımos

Int ˜ Un B_rj(0) = Int ˜ v B_rj(0) > 0, para todo j∈ N

Note que isto é uma contradi¸cão ao fato de que as curvas ˜Un são mergulhos para todo n ∈ N.

Portanto, S(˜v

B_rj(0)) = ∅, para todo j ∈ N. Desta forma, ˜v

B_rj(0), para todo j ∈ N, ´e uma

imersão injetiva própria. Disto segue que ˜v é um mergulho. Lembre que L = (y, Tmin) ∈ P(λ) é a órbita fechada satisfazendo as condi¸cões da Pro-

posi¸cão 2.6 e P0= (x0, T0)∈ Pc(λ) é o limite assintótico de ˜v no único furo positivo em∞. Para

concluir a demonstra¸cão da Proposi¸cão 2.6, precisamos apenas verificar que as órbitas fechadas L = (y, Tmin), P0 = (x0, T0) são geometricamente distintas e não-enla¸cadas. Este é o conteúdo

do lema a seguir. Antes enunciá-lo, é importante observar que a sequência germinante definida em (2.55) foi obtida a partir de reparametriza¸cões de uma sequência discos de energia finita ˜

un = (an, un) na fam´ılia de Bishop M que, por defini¸c˜ao, satisfazem ˜un(D)∩ (R × y(R)) = ∅, 22_Proposi¸_c˜_{ao ([42], Proposi¸}_c˜_{ao 5.4):} _{Sejam M , N variedades diferenci´}_{aveis. Se M ´e compacta e}

para todo n_{∈ N. Isto implica que ˜v}n(D)∩ (R × y(R)) = ∅, para todo n ∈ N.

Lema 2.31. As ´orbitas fechadas de Reeb L = (y, Tmin) e P0 = (x0, T0) s˜ao geometricamente

distintas e n˜ao-enla¸cadas.

Demonstra¸cão: Considere o cilindro ˜J-holomorfo de energia finita sobre a órbita fechada L, isto é, seja F : C\ 0 → R × M definido por

ζ _{→ F (ζ) =} T log|ζ| 2π , y T arg ζ 2π ,

onde arg ζ = reiθ_{= θ e |ζ| é o módulo de ζ. Note que F é uma imersão. Defina o seguinte}

conjunto:

A =_{{(z, ζ) ∈ C × (C \ {0}) : ˜v(z) = F (ζ)} ,}

onde ˜v : C → R × M é o plano de energia finita tal como no Lema 2.28. Se provarmos que A =∅, conclu´ımos que v(C) ∩ y(R) = ∅. Suponha, por contradi¸cão, que v(C) ∩ y(R) 6= ∅. Seja (z∗, ζ∗) ∈ A e suponha, inicialmente, que (z∗_{, ζ}∗_{) n˜}_{ao é isolado, isto é, existe uma sequência}

(zn, ζn)∈ A tal que (zn, ζn)→ (z∗, ζ∗). Por defini¸c˜ao, ˜v(zn) = F (ζn), para todo n∈ N. Uma vez

que tanto ˜v quanto F s˜ao imers˜oes ˜J-holomorfas, segue imediatamente do Lema 2.4.323_{em [47]}

que existe um biholomorfismo ϕ : U → ϕ(U) satisfazendo F = ˜v ◦ ϕ. Note que isto contradiz o fato de ˜v ser transversal ao campo de Reeb. Portanto, se A6= ∅, ent˜ao A deve ser discreto. Seja (z∗, ζ∗)_{∈ A um ponto isolado. Sejam {z}n} ⊂ C, rn→ 0+ e {cn} ⊂ R sequˆencias tais que

Un(z) := bn(zn+ rnz) + cn, vn(zn+ rnz) → ˜v na topologia usual de Cloc∞(C, R× M),

onde ˜vn = (bn, vn), n∈ N, ´e a sequˆencia germinante definida em (2.55). Pela transversalidade

de v : C→ M em rela¸cão ao campo de Reeb, segue que ˜v e F se intersectam transversalmente em (z∗, ζ∗). Pela positividade das interse¸cões entre curvas ˜J-holomorfas, a interse¸cão (z∗, ζ∗) contribui positivamente para o ´ındice de interse¸cão Int(˜v, F ) de modo que Int(˜v, F ) ≥ 1. A estabilidade das interse¸cões entre curvas ˜J-holomorfas for¸ca que Int( ˜Un, F )≥ 1, isto é, existem

interse¸c˜oes positivas entre F e as ˜vn, para n suficientemente grande, visto que ˜Un ´e uma repa-

rametriza¸c˜ao de ˜vn. Mas, isto contradiz o fato de que vn(BRn(0))∩ y(R) = ∅, para todo ∈ N.

Disto segue que A tamb´em n˜ao pode ser discreto e, portanto, A =∅.

A seguir, vamos provar que L = (y, Tmin) e P0= (x0, T0) s˜ao geometricamente distintas.

No caso em que µCZ(Lp) ≤ 0, pelos Teoremas 1.38 e 1.39, sabemos que µCZ (Lp)k ≤ 0, para

todo k∈ N, onde (Lp₎k_{= (y, k}_{· pT}

min)∈ Pc(λ). Neste caso, pela defini¸c˜ao do ´ındice de Conley-

Zehnder, L e P0 s˜ao geometricamente distintas. Quando µCZ(Lp) = 1, como µCZ(P0) = 2, a

orbita fechada P0 poderia ser um recobrimento duplo de Lp, isto ´e, P0 = (Lp)2= (y, 2· pTmin).

O Teorema 1.77 e o Lema 2.28 garantem que v : C→ M \ L é um 2p-disco para a órbita fechada L. Como L é um p-nó trivial, pelo Lema 1.10, L não pode ser 2p-nó trivial. Esta contradi¸cão mostra que L e P0 não podem coincidir.

Como v(C)∩ y(R) 6= ∅ e L = (y, Tmin) e P0 = (x0, T0) s˜ao geometricamente distintas,

verificamos que L e P0 são não-enla¸cadas. Portanto, ¯P = P0 é a órbita desejada e isto conclui

a demonstra¸c˜ao do Lema 2.31 e da Proposi¸c˜ao 2.6.

No documento Sobre fluxos de Reeb tri-dimensionais: existência implicada de órbitas periódicas e uma caracterização dinâmica do toro sólido. (páginas 98-104)