COMPREENSÃO DO DESENVOLVIMENTO DO RACIOCÍNIO COMBINATÓRIO

Nessa seção discutimos com os professores a relação existente entre as diferentes estratégias de resolução do Problema 3(AM) e a compreensão do raciocínio combinatório pelos alunos.

Nesse momento da entrevista solicitamos aos professores para observar e comentar sobre os protocolos de resolução do Problema 3 (Arranjo Maior ordem de Grandeza) pelos alunos (B, C, D, E, F, G), como podemos visualizar na Figura 17 logo a seguir.

3. As semifinais da Copa do Mundo serão disputadas pelas seguintes seleções: Brasil, França,

Alemanha e Argentina. De quantas maneiras diferentes podemos ter os três primeiros colocados?

ALUNO B ALUNO C

ALUNO D

ALUNO E

ALUNO F ALUNO G

Para que um professor avalie esses protocolos é necessário a articulação de conhecimentos o que envolve à compreensão do significado envolvido; o conhecimento do ensino de Combinatória voltado para a avaliação das possíveis estratégias de resolução e da operacionalização de sua resolução (a escolha da estratégia e sua execução); o entendimento do processo de apreensão desse conteúdo e o conhecimento sobre as possíveis dificuldades dos alunos e das expectativas do professor em relação à sua aprendizagem (o que se espera que o aluno apresente).

A nossa escolha dos protocolos visava à possibilidade da discussão dos professores sobre os mesmos e sua inferência sobre a compreensão do problema pelos alunos. Como se vê todos os alunos escolhidos se encontravam em fase de construção do raciocínio combinatório, utilizando diferentes representações as quais conduzem a diferentes etapas de conscientização até alcançar a utilização consciente do conceito.

A estratégia de listagem é bastante utilizada para que os alunos percebam o que a situação pede e como acontecem as escolhas. No entanto poucos são os casos que essa listagem ocorre de maneira sistemática e organizada, que promova a percepção de padrões e de generalizações.

Nesse sentido escolhemos protocolos de alunos que evidenciassem as diferentes propostas dessa estratégia (os Alunos B, D, E, G). Apenas o Aluno D não esgota as possibilidades.

Dentre as estratégias de resolução de problemas combinatórios escolhidas, percebemos que aquelas que proporcionem a percepção da generalização, tal qual a apresentada pelo Aluno E, é um dos elementos que auxiliam alunos no desenvolvimento do raciocínio dedutivo, em especial, do raciocínio combinatório nos diferentes níveis de escolarização.

A fim de proporcionar a análise dessa seção organizamos no Quadro 14 recortes dos comentários desses professores, no que diz respeito ao aluno que melhor demonstra compreender o problema.

Quadro 14: Sinopse do parecer dos professores em relação a compreensão dos alunos

NÍ- ANÁLISE FRAGMENTOS DAS ENTREVISTAS

AN OS I NICIAIS DO E F . Justificaram a escolha a partir de elementos pontuais observados na organização das estratégias.

PAI1 Pela compreensão o Aluno B é o melhor. Porque ele fez legenda,

finalizou, ele colocou o 1º, 2º e 3º. Ele finalizou aqui o [aponta para o 24] De acordo com o comando dado na questão ele fez seu próprio comando para chegar o resultado.

PAI2: Os Alunos E e G organizam a estrutura do quantitativo de seleções e

formam as quatro colunas com as seleções inicialmente sem ser o pódio e a relação disso com outras seleções. Eu acho que fica mais fácil e de conclusão mais rápida da combinação, quando se disponibiliza em forma de coluna. AN OS F INAIS DO E F . As expectativas dos professores divergiram em relação ao seu nível de ensino. Observamos que os professores não identificaram a utilização inadequada do princípio multiplicativo

PAF1: Eu ensinaria como o Aluno G. Parece que o Aluno C e o Aluno F são

do Ensino Médio e conhecem bem o assunto, a fórmula. Também estão corretos. O Aluno E usou uma estratégia um pouco diferente, não está errado. Deve ter permutado depois a posição de alguém. O Aluno B e o Aluno D não faria dessa forma porque nunca tinha pensado assim, mas estão certos também. Agora, não vou dizer que é primária, porque ele usou bandeira. É tão igual ao Aluno G. Assim se nós fossemos pelo rigor matemático então o Aluno C e o Aluno F foi quem abstraiu mesmo. Porque eles pegaram e usaram a fórmula e conseguiram simplificar aquilo.

PAF2: Eu escolheria o do Aluno E, porque deixa evidente o quanto já sabe

o modo econômico de resolver, quando ele faz aqui a multiplicação, ele generaliza. Também deixa evidente que compreendeu o que significa essa disposição dos times para ocupar a 1ª, 2ª e 3ª colocação. Poderia fazer escrevendo, ele começa com o Brasil e percebe que tem 6 opções. Será que isso acontece com todos? Vamos testar com mais um país e testa com a França. Então realmente para cada time tem 6 opções. Então 4 vezes 6 =

24[...].Os alunos C e F estão certos, porém ficamos na dúvida se realmente

compreenderam ou se eles estão treinados. Aprenderam a lógica da coisa. E fosse fazer 4x3x2 que vai dá certo ou já entendeu realmente como os outros alunos E ou B. Então como já entendeu só faz a parte econômica

E NS INO M É DIO Elegeram para este nível o procedimen- to do Aluno C, primeiro pela formalização apresentada e por causa do objetivo que esperam para o ensino de Combina- tória no Ensino Médio.

PEM1: Os que melhor compreenderam o problema foram os alunos B,C, E

e G e o que compreendeu em parte foi o Aluno D que se prendeu a parte final do países, embora tenha observado que eram 4 países e o Aluno F que ficou preso somente a parte inicial do problema. E: Existe alguma ordem nessa compreensão? A título de compreensão seria o Aluno E, mas a título de estrutura elaborada na resolução poderia ser diferente. O Aluno F seria o mais longe, depois o Aluno D porque pegou a parte inicial, leu, deu uma interpretação e foi para parte final e ficou apenas na parte final; depois o Aluno B porque utilizou todas as possibilidades e a questão do princípio aditivo; posteriormente o Aluno G que também utilizou o princípio aditivo, estaria numa situação parecida ao aluno B; depois disso o Aluno E porque já observou no seu processo de exaustão uma generalização quando indicou o 4 vezes 6 aqui, foi ótimo ter indicado isso aqui; E por último o Aluno C que seria a estratégia que eu iria cobrar do aluno do Ensino Médio quando eu já tivesse trabalhando há algum tempo.

PEM2: Eu acho que o aluno C. E:E em relação ao procedimento? Também

é o aluno C E: Por quê? - Pela questão da formalização. O que eu elejo como objetivo para o Ensino Médio. O Aluno C organiza, primeiro, segundo e terceiro. Coloca as possibilidades de quantos podem ocupar o primeiro

lugar, o segundo lugar, então isso está bem claro... O Aluno F parece que

pensou somente no cumprimento da formalização que havia estudado. Tem esse um nele. Ora se são três lugares para quê esse um aqui. Parece que ele esta fazendo uma permutação com o número de 4

Enfatizamos ainda a utilização inadequada do princípio fundamental da contagem, ou princípio multiplicativo, apresentada pelo Aluno F. Nessa estratégia apesar do aluno representar a notação do princípio multiplicativo, não apresenta a relação com a estrutura do problema de arranjo. Pessoa (2009) identificou que a utilização de fórmulas só é escolhida pelos alunos do 3º ano do Ensino Médio e estes quando utilizam não mostram saber usá-las adequadamente. Pretendemos então verificar se os professores de formação Matemática identificam essa utilização equivocada.

Entendemos ainda, que a ausência na formação inicial de situações de ensino específico de Combinatória, proporciona dificuldades no desempenho dos professores que atuam nos anos iniciais do Ensino Fundamental na análise da estratégia do Aluno F.

Percebemos a partir do Quadro 14 que apenas professores PAF2 e PEM1 observaram a generalização apresentada pelo Aluno E. Além disso, apesar de PAI2 escolher o Aluno E como um dos alunos que melhor compreende o problema, não mencionou a percepção da regularidade. Os demais professores também não observaram nessa estratégia a generalização apresentada.

Vejamos no fragmento a seguir as considerações apresentadas sobre a estratégia do Aluno E pelo professor PAI1:

PAI1: O Aluno E não entendi como ele chegou essa conta. Esse aqui eu não sei

como ele chegou a esse número 24 jeitos [lê as possibilidades]....ele não está compreendendo não...Ele teve o conhecimento dele mais acho que esse conhecimento priorizou só o Brasil e França, ele direcionou o resultado. O aluno B fez todas as possibilidades de cada um e esse Aluno E não. Eu não compreendi a estratégia dele não ....

Esse fato parece decorrer da falta de alguns elementos relativos à compreensão do raciocínio combinatório por parte do professor, ou seja, detectamos certa ausência do que Ball et al(2008) indica como domínio referente ao conhecimento especializado do conteúdo. Nesse sentido, Grossman, Wilson e Shulman (2005) consideram que o conhecimento do conteúdo, ou a ausência dele ―pode afetar como os professores criticam os livros textos, como selecionam o material pra ensinar, como estruturam seus cursos e como conduzem a instrução‖ (p.13).

Decorre dessas considerações que o conhecimento de Combinatória ou falta dele por parte do professor pode comprometer a análise e ou avaliação de estratégias evidenciadas pelos alunos.

Além disso, consideramos que existe uma divergência na expectativa de compreensão dos alunos pelos professores dos anos iniciais. Enquanto PAI2 evidencia a estratégia do Aluno E como de melhor compreensão, PAI1 indica a falta de compreensão desse aluno.

Essa divergência também aconteceu em relação à estratégia do Aluno G, sobre a qual PAI1 comentou:

PAI1: O Aluno G será que ele fez como eu pensei com cada um. Ele não

demonstrou até o final ele não fez a legenda não deu as conclusões. Ele só colocou lá e não finalizou. Eu não entendi muito a estratégia dele não porque ele não chegou ao final. Talvez por tempo, ele usou uma estratégia muito longa enfim ele não chegou o resultado.

Nesse ponto, também há evidências da necessidade de conhecimentos de Combinatória para avaliar a questão. Pessoa (2009) acredita na importância do professor identificar ―o nível em que o aluno se encontra e entenda as relações Matemáticas que correspondem a cada uma das estratégias utilizadas‖ (p.219). Essa compreensão pode auxiliar na escolha de atividades direcionadas às dificuldades evidenciadas pelos alunos.

Em relação à estratégia evidenciada pelo Aluno F, apenas os professores do Ensino Médio observaram o mau uso do princípio multiplicativo. Os professores dos anos finais, mesmo apresentando a formação inicial em Matemática, nada mencionaram sobre o equívoco da estratégia do Aluno F.

Essa diferença parece denotar um saber da experiência de acordo com Tardif (2002), o que para Shulman (2005) é uma das possíveis fontes para a base de conhecimento do professor. Portanto, esse saber da experiência pode contribuir na consolidação do conhecimento de Combinatória de professores. Isso se torna evidente, no momento em que professores possuidores da experiência de ensinar Combinatória, observaram aspectos referentes à utilização correta do princípio multiplicativo.

Observamos ainda a perspectiva de formalização adotada pelos professores do Ensino Médio, quando os professores PEM1 e PEM2 adotaram a estratégia do Aluno C como melhor procedimento para esse nível de ensino (Quadro 14).

Em relação à compreensão evidenciada pelo Aluno C e F o professor PAF2, advertiu sobre a estratégia de utilização de fórmula. Ele questionou sobre a real aprendizagem desses alunos. Nesse sentido, sinalizamos a importância de vislumbrar a construção de um conceito indicada por Vergnaud (1991) que nos remete a ideia de processo, da ideia de conscientização. Ainda sobre essa temática o professor considerou:

PAF2: Assim como a gente professor, não vai fazer desenhando, você sabe que

poderia ter essa compreensão ou essa representação. Se a gente for resolver vamos utilizar o método de C ou de F. Se alguém chegar e analisar essa questão. Ah! Será que Cris está entendendo esse problema, mas acho que você não vai resolver desenhando as opções, nem pintar as bandeirinhas. Você vai economizar tempo, mas você compreende as questões. Do mesmo modo que a gente pode ter as situações contrárias. A gente pode ter uma pessoa que não compreenda, que já resolveu um monte de questões parecidas e que já sabe que geralmente pega a quantidade que está la descrita: se são 4 tipos então 4x3x2x1, se são 3 então 3x2x1. Ele pega a quantidade de opções que tem lá e percebe essa lógica e só faz aplicar.

Esse professor alertou para a prática de repetição de situações similares o que promove nos alunos a cópia de procedimentos em detrimento da compreensão. Contudo essa prática de mecanização não auxilia na compreensão dos alunos sobre os diferentes problemas combinatórios, pois prioriza o domínio do procedimento, assim como discutido nas pesquisas de Esteves (2001), Sturm (1999) e Sabo (2010).

Corroborando com a ideia apresentada pelo professor PAF2, o professor PAI2, também advertiu sobre a compreensão dos alunos quando na utilização da estratégia mais econômica como vemos no extrato a seguir:

PAI2: Com uma conta você poderia resolver, mas acho que essa não é a melhor

forma de se resolver. Pelo menos não inicialmente. Acho que é essa forma dos Alunos E e G porque fica mais fácil assim de checar a conclusão.

Portanto admitiu a necessidade de outras estratégias, além das que evidenciam procedimentos de cálculos, para construção desse conceito. E continuou alertando sobre as diferenças existentes entre o processo de construção de um conceito dos alunos:

PAI2: Tem alunos que até o fim da vida estão muito mais no concreto, muito

mais na visualização, na disponibilização para poder ter a certeza da sua resposta. Todo professor de Ensino Médio quer isso, ele quer uma coisa prática, uma coisa arrumadinha porque ai ele tem o raciocínio mais rápido, ai ele já

conseguiu, ai ele aprendeu e ai ele sabe Matemática, mas a coisa não é bem assim.

Observamos acima a presença de uma expectativa relativa a postura do professor de Matemática do Ensino Médio. Tal professor em que pese não ter ensino específico de Combinatória em sua formação inicial indicou está naquele domínio do conteúdo que Ball et al (2008) conhecimento do conteúdo e seu ensino.

Assim, como os professores dos anos iniciais, os professores dos anos finais do Ensino Fundamental também apresentaram algumas divergências sobre a estratégia que representa a melhor compreensão.

Em relação à escolha do professor PAF1 (Aluno G) observamos que este não considerou a compreensão do aluno e sim evidenciou como justificativa a utilização da estratégia para o ensino. Esse professor não comentou sobre a compreensão dos alunos e não observou a falta de esgotamento das possibilidades do Aluno D. Sobre a estratégia do Aluno G o professor PAF2 considerou:

PAF2: O Aluno G compreendeu. Ele não colocou a resposta aqui, mas ele

compreendeu. Ainda está com aquele procedimento assim como o Aluno B de expor pra poder perceber quantas opções vai ser... No Ensino Fundamental, a mais comum seria a do Aluno G, que é o mesmo procedimento do Aluno B.

Notamos que o professor PAF2 confirmou a indicação do professor PAF1 para o Aluno G e a identificou como estratégia mais evidente Ensino Fundamental. Contudo defendeu a percepção de generalização do Aluno E como a de compreensão mais apurada (Quadro 14).

PAF2: A estratégia do Aluno E é bem comum, principalmente quando a gente

está trabalhando com um número de elementos que não é tão grande. Você consegue fazer essa organização de você está escrevendo manualmente às possibilidades.

Assim, diante do exposto, apresentamos que não há consenso entre os professores entrevistados, sobre um aluno que apresenta melhor compreensão, principalmente se evidenciarmos o critério dos níveis de atuação. Acreditamos, portanto, que as diferenças se apóiam nas diversidades dos conhecimentos de Combinatória e das experiências de cada professor.

Em relação ao desenvolvimento do raciocínio combinatório, o professor PEM2 sintetizou uma sequência que evidencia a sua perspectiva do processo de construção da compreensão dos conceitos de Combinatória. A sequência proposta por ele iniciou com Aluno F e seguida pelos alunos D, B, G, E, C a qual justificou

pelos procedimentos utilizados, pelo objetivo do Ensino Médio e pela compreensão dos alunos no problema de arranjo. Essa conclusão parece evidenciar a presença de conhecimento de conteúdo, como também a compreensão sobre o conhecimento dos alunos e suas características. Essa percepção remete a classificação de Ball et al (2008) como o domínio do conhecimento do conteúdo e estudantes.

O professor PAI1 também apresentou considerações que indicam uma sequência de compreensão por parte dos alunos, de acordo com o extrato apresentado a seguir:

E: Se nós aumentássemos aqui o número de países?

PAI1:Ai seria mais difícil aqui para o Aluno B. porque talvez a partir disso aqui

ele não pudesse fazer todas. Ele teria que ter outras abstrações. O Aluno C já passou desse passo do Aluno B, já está compreendendo esse estágio e passou para outro. O Aluno D ele está na fase inicial precisa ser muito trabalhado ainda. Ele está mostrando que tem uma compreensão, mas só que ele ainda não chegou ao final da conclusão. O Aluno E teve o conhecimento dele mais acho que esse conhecimento priorizou só o Brasil e França, ele direcionou o resultado. E o aluno F ele fez direto fez a mesma coisa que o Aluno C, ele já tem um conhecimento mais concreto mesmo. E ao aluno G não entendi muito a estratégia dele não porque ele não chegou ao final. Talvez por tempo, ele usou uma estratégia muito longa enfim ele não chegou o resultado.

Então a ordem seria D, G, E, B, C ou F

A partir disso, observamos uma proposta de ordenação por PAl1. Nessa proposta o professor evidenciou a compreensão sobre a estratégia do Aluno D. Identificou ainda a necessidade de abstrações do Aluno B se aumentarmos o número de países. Mesmo assim não evidenciou a compreensão das estratégias dos Alunos E e G.

Segundo a compreensão do Problema 3 (AM), antes da apresentação dessas estratégias o professor PAI1 comentou a sua resolução, como verificamos a seguir:

Comentários do Problema 3: PAI1: São 3 maneiras. Brasil joga com França,

Brasil joga com Argentina, Brasil joga com Alemanha... peraí com cada um não é! Então 3, 6, 9, 12 maneiras....Esse é mais chatinho né. Essas questões têm que fazer uma relação, uma organização... Os dois primeiros colocados Brasil joga com França ai sai um, ou Brasil ou França; Brasil joga com Alemanha ai não sei se sair Brasil. O segundo lugar pode sair da França com Alemanha ou França com Argentina; .... Os alunos eles fazem isso, ele de início vai fazer pra cada um Brasil com França, Brasil com Argentina e Brasil com Alemanha; depois eles vão ver que nessa correspondência ele já casou o Brasil e França eles não podem casar como Brasil porque já casou lá, mas podem casar com a Alemanha e Argentina. Por outro lado a Argentina já não pode casar com o Brasil, já não pode casar com a França, mas ele pode casar com a Alemanha.

Esse professor tentou responder esse problema, mas o contexto da questão confundiu a sua solução, entretanto admitiu que seus alunos sejam capazes de resolvê-lo.

Os demais professores não propuseram sequência que considerassem uma ordenação de compreensão.

Em relação aos procedimentos evidenciados, os professores PAI1, PAF2, PEM2 ao analisarem a estratégia do Aluno G, observaram a ausência da finalização, nessa estratégia de listagem, o que podemos constatar no fragmento em que PEM2 indicou essa característica.

PEM2: O Aluno G não atribui resposta. Segundo ele aqui tem 12 jeitos não é?

Ah! Não, tem 24. O Aluno G parece muito com o E.

Nesse sentido, a ausência de finalização, parece ser uma preocupação dos professores que ensinam Matemática nos diferentes níveis.

Em relação às estratégias ou procedimentos privilegiados pelos professores nos diferentes níveis a partir das resoluções do problema de arranjo, identificamos que nos anos iniciais e finais do Ensino Fundamental os professores, em geral, procuraram incentivar as estratégias de listagem.

O professor PAI2 apesar disso, acreditou que a organização em forma de colunas facilitou a descoberta da solução. O professor PAF2 indicou que a estratégia de listagem na resolução em problemas de menor número de possibilidades pode promover a generalização.

Em contrapartida, os professores de Ensino Médio, priorizaram a utilização de estratégia, como a do Aluno C, de princípio multiplicativo, como podemos observar no comentário a seguir:

PEM1: Eu gostaria muito que ele começasse a fazer por aqui, por que não vai

perder tempo. A gente sabe o interessante é que ele pegue o que já amadureceu cognitivamente e consiga realmente aplicar nas questões que virão.

Os professores do Ensino Médio justificaram essa escolha pela formalização que, de acordo com os mesmos, é um dos objetivos para o ensino de Combinatória nesse nível. No entanto, esses professores em seu discurso valorizaram as diferentes estratégias, ao menos inicialmente. Esses resultados podem representar considerações sobre as estratégias privilegiadas pelos professores para o problema de arranjo. Observamos, ainda, que os professores fazem essas considerações a

partir dos protocolos apresentados, assim representam possibilidades e não a realidade.

5.3.3. Conhecimentos Pedagógicos de Combinatória e o Ensino nos Diferentes