Ensino de Combinatória e a Formação de Professores

A formação de professores que ensinam Matemática, anteriormente discutida, prescinde de investigações que demonstrem as diversas relações entre o conhecimento do conteúdo do professor e o conhecimento pedagógico do conteúdo, além do conhecimento sobre a construção de conceitos pelos alunos.

Nesse contexto, identificamos alguns estudos que tratam desses conhecimentos durante o Ensino Superior. Roa, Batanero, Godino, Cañizares (1997); e Rocha (2006) investigaram turmas de licenciandos em Matemática enquanto que Costa (2003), Pinheiro e Sá (2007), Sabo (2010) e Rocha e Ferraz (2010) pesquisaram sobre os professores que ensinam Matemática, relacionado as perspectivas para a formação de professores e o ensino de Combinatória.

Roa et al (1997) investigaram as estratégias de 29 estudantes de Licenciatura em Matemática do 5º ano, utilizadas para resolução de 13 problemas de Combinatória, alicerçados nos modelos combinatórios implícitos de Dubois(1984).

Os autores evidenciaram grandes dificuldades, até em alunos com uma sólida preparação Matemática, pois não conseguiram identificar o tipo de problema. Faltava-lhes a capacidade de enumeração sistematizada (fixar o elemento), bem como a capacidade de generalização ou na redução do problema dado para um problema de menos elementos, além de falhas de tipo aritmético.

Estes resultados confirmam a complexidade de alguns problemas combinatórios e as dificuldades persistentes em lidar com estas situações.

Rocha (2006), em sua dissertação, teve o objetivo de analisar a construção do conhecimento de Combinatória em duas turmas de licenciandos em Matemática, dividida em dois momentos: um dedicado à observação de uma turma de licenciandos durante uma prática tradicional de ensino de Combinatória e outro, relativo à utilização do Ciclo da Experiência de Kelly.

No primeiro momento observou-se que existe necessidade de práticas diferenciadas para aprendizagem de Combinatória; no segundo momento indicou uma possível forma de organizar as ações de práticas que focavam numa aula ministrada pelos alunos da turma, denominada Encontro com o Acontecimento. Nessa aula os alunos agiram como se professores fossem, o que ocasionou uma melhor aprendizagem evidenciada nos bons resultados no pós-teste.

A pesquisa evidenciou o papel do Princípio Fundamental da Contagem ou Princípio Multiplicativo como ―uma das bases para fundamentar dentro do ponto de vista pedagógico a classe de problemas de contagem abordada pela Análise Combinatória‖ (ROCHA, 2006, p.96).

Nessa investigação, Rocha (2006) apresenta as dificuldades na resolução de problemas dos licenciandos na aprendizagem da Análise Combinatória simples, apesar dos sujeitos acreditarem na importância desse ensino.

Costa (2003) em sua pesquisa investigou como os professores estão instrumentalizados para ensinar Combinatória no Ensino Fundamental, as concepções dos professores sobre a prática pedagógica e como uma formação continuada pode alterar ou não essas concepções.

Para isso analisou a Proposta Curricular do Estado de São Paulo para o Ensino de Matemática, os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Fundamental e alguns livros didáticos para verificar como os professores desse nível de ensino estão instrumentalizados. Nesse sentido, constatou que tanto os Parâmetros quanto as coleções analisadas enfatizam a contagem direta e o uso de representações para após utilizarem o princípio multiplicativo. Observou também que não há a preocupação em definir arranjo, permutação e combinação nesse nível de ensino.

Costa (2003) ainda propôs dois questionários para 37 professores que participaram de um momento de formação continuada. O primeiro para identificar os participantes da pesquisa e o segundo o qual constatou algumas dificuldades nos professores em relação ao ensino de Combinatória: a falta de um procedimento

sistemático que os auxiliem na listagem de possibilidades, a ausência de justificativa na solução apresentada, a não utilização da árvore de possibilidades ou a sua utilização de forma inadequada e, ainda, a dificuldade em reconhecer nos agrupamentos a presença da ordenação quando está é relevante ou não.

Essa pesquisa assinalou a necessidade de melhor preparo da formação Matemática e Didática dos professores que apresentam dificuldades em explicitar as suas práticas possuindo uma relação insatisfatória com as propriedades de Combinatória.

Pinheiro e Sá (2007) apresentaram uma pesquisa realizada com 20 professores de Ensino Médio de Belém do Pará, com o objetivo de determinar a prática pedagógica utilizada no trabalho de ensino de Combinatória no Ensino Médio. Foi utilizado um questionário fechado no qual se verificou a presença de questionamentos direcionados aos dados pessoais, à formação e atuação profissional e aos procedimentos metodológicos desenvolvidos durante as aulas ministradas pelos participantes dessa pesquisa.

Apesar de alguns dos docentes possuírem especialização na área de Matemática ou em Educação, os autores indicaram que a ferramenta principal para a elaboração das aulas foi o livro didático, utilizando em sua maioria a prática estruturada a partir de métodos formais para as aulas de Combinatória. Já os que apresentam menos tempo lecionando Combinatória (quatro professores), indicaram que partiam de uma situação-problema para, em seguida, formalizar os conceitos.

Embora alguns professores assinalarem a resolução de problemas ou a modelagem como possíveis práticas pedagógicas para o tratamento da Combinatória, Pinheiro e Sá (2007) observaram a forte incidência da apresentação de fórmulas e, a seguir, aplicações das mesmas.

Sabo (2010) em sua investigação se propõe a identificar os saberes do professor do Ensino Médio, em relação ao ensino e à aprendizagem de Análise Combinatória por meio de entrevistas semi-estruturadas.

A entrevista realizada com seis professores foi subdividida em quatro etapas: a primeira em relação à identificação do entrevistado; a segunda em relação às influências das experiências e da vida profissional e escolar do professor no ensino de combinatória; a terceira sobre os saberes docentes e a quarta sobre a prática do professor (planejamento, preparação de aula, livro didático, atitudes dos alunos e avaliação).

Para isso, utilizou-se como aporte teórico os Saberes Docentes, segundo a categorização de Tardif (2002), o processo de Formação e Desenvolvimento Profissional do docente, conforme autores como: Ponte (1998); Nacarato e Paiva (2006) e outros. Em relação ao objeto matemático Combinatória apresenta-se a partir da Teoria Antropológica do Didático (TAD), fundamentada em Chevallard (1999), aspectos que podem influenciar o Desenvolvimento do Raciocínio Combinatório, conforme Batanero et al. (1996).

Sabo (2010) verificou que alguns professores valorizam a memorização e a aplicabilidade de fórmulas. Além disso, a importância de formações continuadas e das trocas entre colegas de profissão como possíveis modificadores favorecendo a construção dos saberes profissionais.

Sabo (2010) apresentou algumas situações diferentes:

―alguns professores disseram valorizar o uso do Princípio Fundamental da Contagem em detrimento do emprego da fórmula, e outros valorizam o uso das fórmulas, mas não mostraram saber justificar e validar sua origem (SABO, 2010, p. 187).

Rocha e Ferraz (2010) analisaram a compreensão de professores de formação em Matemática e em Pedagogia possuem na resolução de problemas de combinatória. Para isso as autoras reaplicaram o teste de problemas combinatórios de Pessoa e Borba (2009) em 29 professores para avaliar o desempenho e as estratégias priorizadas na resolução desses problemas.

A análise realizada utilizou o programa SPSS para o qual foram eleitas como variáveis a formação inicial, os significados dos problemas de combinatória (arranjo, combinação, permutação e produto cartesiano) e a ordem de grandeza dos números envolvidos nesses problemas.

As autoras constataram que os professores de Matemática privilegiaram na resolução dos problemas o princípio multiplicativo, seguido pelo uso de fórmulas, enquanto que professores de Pedagogia utilizaram a listagem.

Também foi averiguado que quando a ordem de grandezas dos números envolvidos nos problemas é menor não existe diferença significativa entre as médias de acertos entre professores de Pedagogia ou Matemática. Entretanto torna-se significativa quando a ordem de grandeza aumenta.

Quanto à formação de professores, Borba, Rocha, Martins e Lima (2009)

Combinatória para que, ao invés de uma prática baseada exclusivamente em aplicação de fórmulas, seja vivenciado um ―ensino amparado em princípios da Combinatória que auxiliem os alunos na resolução de problemas desta natureza‖ (p.7).

Nesse contexto, ressaltamos que apesar de experiências de professores que evidenciam o caráter dinâmico e desafiador que o ensino de Combinatória promove, despertando nos alunos curiosidade e grande participação na sala de aula, ainda são poucas as pesquisas que tratam da formação de professores e o ensino de Combinatória, principalmente no que se refere ao Ensino Fundamental, anos iniciais e/ou finais.

Essas pesquisas apontaram dificuldades dos professores e de futuros professores na resolução desses problemas e na explicitação de práticas relativas ao ensino desse conteúdo e auxiliam nos debates relativos a formação de professores em relação ao ensino de Combinatória, principalmente na discussão e análise dos dados encontrados nessa investigação.

Observamos ainda a ausência de pesquisas que tratem de como esses problemas combinatórios são apresentados nos diferentes níveis de ensino, principalmente que analisem as dificuldades dos professores de diferentes formações no tratamento desses problemas e na avaliação de erros dos alunos, ou seja, quais elementos do ensino e aprendizagem de Combinatória são valorizados por esses professores.

Ainda assim, as pesquisas apresentadas versam sobre diferentes aspectos relativos ao ensino de Combinatória: recursos didáticos (livros didáticos, objetos de aprendizagem, jogos matemáticos), dificuldades de compreensão dos alunos e professores sobre problemas combinatórios e nos levam aos seguintes questionamentos: Até que ponto as dificuldades elencadas nessas pesquisas influenciam a avaliação de atividades dos alunos e as proposições de atividades para ensinar Combinatória? Quais são no âmbito do conhecimento do professor as ideias e destrezas importantes para possibilitar o desenvolvimento do raciocínio combinatório nos alunos? Essas indagações permeiam toda a pesquisa e é o que buscamos tratar nos capítulos que se seguem.

CAPÍTULO 4

MÉTODO

Nesse capítulo apresentamos o percurso metodológico que foi adotado. Em seguida, apresentamos os critérios de seleção dos participantes da pesquisa, posteriormente o instrumento de coleta de dados e a organização da análise.

Nessa investigação, o percurso metodológico foi se construindo na medida em que o diálogo com os dados coletados foram se delineando, de forma a atender as inquietações, em busca de apreender o conhecimento dos professores sobre Combinatória e seu ensino, que se constituiu no objeto dessa pesquisa.