Estratégias privilegiadas nos problemas de permutação

Destacamos os problemas de permutação por eles terem sido indicados na pesquisa de Pessoa e Borba (2009a) como o mais difícil para os alunos dos anos iniciais, o que não ocorre nos demais anos de escolaridade. Nesse momento da entrevista solicitamos aos professores para observar e comentar sobre os protocolos de resolução do Problema 8 (Pm) pelos alunos (M, N, O, P). Selecionamos estratégias de diferentes representações de alunos do Ensino Fundamental e Médio. Para o significado de permutação selecionamos prioritariamente estratégias de listagem. Nesse sentido a listagem por meio de desenho (Aluno M); a listagem sem esgotamento de possibilidades e sem a definição correta das possibilidades (Aluno N); a multiplicação inadequada (Aluno O) e por último a listagem por meio de

palavras com esgotamento de possibilidades (Aluno P). Para observar essas estratégias veja Figura 19.

8. De quantas formas diferentes poderei arrumar as fotos de meu irmão, meu pai e minha

mãe na estante, de modo que elas fiquem lado a lado?

ALUNO M ALUNO N

ALUNO O ALUNO P

Figura 19: Estratégias escolhidas de permutação para subsidiar as discussões com professores

Sobre as estratégias utilizadas para a resolução do Problema 8 (Pm) Pessoa (2009) ressalta que alunos dos anos iniciais evidenciaram as estratégias de listagem, desenho e multiplicação inadequada. Nos anos finais a estratégia mais frequentemente utilizada foi à multiplicação inadequada seguida de listagem. No Ensino Médio as estratégias comumente utilizadas foram a listagem e a multiplicação inadequada. Essas estratégias foram bastante utilizadas pelos alunos dos diferentes níveis de escolaridade.

Assim, pretendemos perceber se os professores identificavam a noção de possibilidade equivocada trazida no protocolo do Aluno N e, ainda, se tinham condições de propor diferentes estratégias além da evidenciada para o trabalho com esse tipo de problema. A seguir apresentamos as transcrições de fragmentos desse momento da entrevista.

Quadro 16: Sinopse de análise das estratégias privilegiadas pelos professores no significado de permutação

NÍVEL ANÁLISE FRAGMENTOS DAS ENTREVISTAS

A N O S I N IC IA IS Ambos escolheram a estratégia do Aluno M

PAI1: O aluno M conseguiu usar todas as possibilidades ele esta

organizado. O aluno P esta quase a mesma coisa que o Aluno M.

PAI2: O aluno N e o aluno P precisam de um trabalho de intervenção

do professor porque eles estão listando de forma que não facilita a conclusão completa da questão. O aluno M foi mais feliz nesse aspecto. A N O S F IN A IS D O E F . Ambos escolheram a estratégia do Aluno M

PAF1:. O aluno M eu não olhei não. Está todo engarranchado aqui.

Mas parece que quem acertou foi o aluno M. pelo que eu estou olhando rapidinho. Que ele fez as trocas todinhas aqui. Então são 18 mesmo e não 15 do Aluno P. É que a letrinha do Aluno P esta melhor organizada. Embora eu resolveria como o aluno M só com a inicial sem escrever o nome todo.

PAF2::. Para essa situação que trabalha com poucos elementos a

estratégias do Aluno M é uma estratégia, assim como a do Aluno P, que só abreviou são estratégias válidas. Dá pra se entender que aqui (aponta pra listagem) que é uma possibilidade, e aqui são duas possibilidades, que é o que falta pra o Aluno N.

E N S IN O M É D IO Ambos escolheram a estratégia do Aluno M

PEM1: Você observa que os alunos M, N e P responderam de forma

semelhante. A título de usar de alguma forma ou utilizando as palavras, ou a inicial ou a palavra meu, eles saíram ordenando sabendo que era as 3 fotos lado a lado. O aluno M colocou a resposta certa 6 possibilidades, o Aluno P também obteve a resposta 6.

PEM2:. Eu posso fazer por escrito. Parece que a gente sente essa

necessidade. (Faz o problema através de árvore de possibilidade) A melhor estratégia é do Aluno M; o Aluno P acerta mais assim ele não organizou. Quer dizer essa estratégia do aluno M é mais fácil de entender. O aluno P aqui acertou, mais fica até duvidando como foi que ele fez isso. Mas com certeza ele conseguiu. Pelo menos para mim é mais difícil de compreender isso aqui.

Como podemos observar, os professores evidenciaram como a melhor estratégia a do Aluno M. Uma listagem que se apresenta a partir de iniciais e utiliza sistematização, ou seja, uma estratégia inicial para solucionar o problema. O aluno M fixou inicialmente uma das fotos e distribuiu as fotos restantes (mãe e pai).

Alguns professores sentiram necessidade de outro tipo de estratégia como o professor PAI1 apresentou no extrato abaixo:

PAI1: Eu buscaria outras estratégias de listar os três nomes... eu colocaria la as

fotos dos três, e iria listando e alternando. Escrito ou então utilizando uma legenda, ou uma imagem o desenho da mãe, o desenho do pai e desenho do irmão para eles iniciarem, uma figura. Faria o pai, a mãe e o irmão; depois vem

o pai, o irmão e a mãe. O pai pode vir com alguém mais? – não! Então vamos

Fazendo assim eles vão compreender que só troca o lugar mais eles vão ficar na mesma estante, numa linha só, lado a lado.

Assim, podemos constatar o cuidado desse professor dos anos iniciais em proporcionar a utilização de recursos didáticos que representem para o aluno as diferentes possibilidades. Mesmo assim, evidenciou a estratégia de listagem e a tentativa de fazer com que os alunos cheguem ao esgotamento de possibilidades. Acreditamos que em todos os níveis de ensino a estratégia de listagem deve ser evidenciada e ainda, os recursos didáticos podem sim, auxiliar os alunos dos anos iniciais na sistematização dessa listagem. Contudo, devem ser pensados para não gerar equívocos, como por exemplo, na noção de possibilidades.

Nesse sentido, observamos a explicitação equivocada da noção de possibilidade apresentada no Quadro 16, pelo professor PAF2. Ele contou separadamente a organização das possibilidades propostas pelo Aluno M e pelo Aluno P. Apresentou assim o mesmo erro do Aluno N. Essa dificuldade de percepção sobre o significa possibilidades foi apresentada pelo professor PAF2 nesse quadro e supomos ser um ponto que merece atenção dos professores.

Os professores do Ensino Médio propõem diferentes estratégias das apresentadas para o Problema 8. O professor PEM1 ao resolver esse problema utilizou o princípio multiplicativo, como mostra a Figura 20:

Figura 20: Resolução do Problema 8 proposta por PEM1

O professor PEM2 que sente a necessidade de resolver o Problema 8, no momento da entrevista. Essa resolução é evidenciada na Figura 21.

Figura 21: Resolução do Problema 8 pelo professor PEM2

Sobre a Figura 21, para a solução do Problema 8 (Pm), o professor PEM2 escolheu uma estratégia que utiliza a árvore de possibilidades. Questionado o

professor sobre sua preferência em relação às estratégias, apresentou a seguinte justificativa:

PEM2: A minha. Por causa da minha organização.

Sobre as diferentes estratégias evidenciadas pelos professores podemos dizer que são pouco apresentadas pelos alunos. Pessoa (2009) indica que na resolução do Problema 8 (Pm) apenas 6% dos alunos do Ensino Médio utilizam o uso do princípio multiplicativo como estratégia e 3% empregam a árvore de possibilidades. Rocha e Ferraz (2010) identificam nesse problema que a estratégia mais evidenciada pelos professores de licenciatura em Matemática é o princípio multiplicativo e nenhum utilizou a árvore de possibilidades.

Assim, para além das resoluções dos protocolos dos alunos escolhidas, os professores do Ensino Médio apresentaram diferentes possibilidades de resolução, diferentes dos professores dos outros níveis de ensino que recomendam a estratégia de listagem como a mais indicada.

5.3.3.2. IDEIAS DE PRÁTICAS PARA A SUPERAÇÃO DE DIFICULDADES