Fonte: Arquivo da Pesquisadora - 2011.
Enfim, cada Equipe confeccionou os materiais didáticos sob nossa orientação e acompanhamento, para obtermos subsídios que contribuíssem para a organização de um ateliê ampliado, oferecido aos professores do Projeto Escola Aberta e que posteriormente poderia ser ampliado para os professores da rede de ensino de Teresina.
Ao longo das sessões, mostramos algumas sugestões de como se pode usar a História no ensino da Matemática, com base em materiais manipulativos, em que os educandos também participariam da confecção desses materiais e aprenderiam a manuseá-los e a explorar a Matemática emergente desses materiais.
Nesta perspectiva, discutimos com o grupo que o conhecimento não é algo natural que vem biologicamente determinando. Ao contrário do que em geral se pensa, na concepção cotidiana, o conhecimento humano é um produto histórico-social e cultural; portanto, todo indivíduo vem construindo a cada momento de sua vida, quer seja pela aprendizagem sistemática (aprendizagem intencional), quer seja pela aprendizagem informal, que ocorre no cotidiano do indivíduo (aprendizagem não intencional, espontânea), é produto histórico social e cultural.
No momento seguinte do ateliê, o professor Iran passou a questionar o grupo sobre a leitura do primeiro capítulo do livro Os números: a história de uma grande invenção, de Georges Ifrah, para mostrar que os números não nascem prontos e que houve um processo histórico para que e por que a Matemática não deve ser feita de qualquer maneira; ou seja, há sempre os fatores históricos que fizeram surgir tais conhecimentos.
Foi mostrado, por exemplo, que os números foram criados e utilizados para explicar que existem doze meses em um ano e que tem relação com os astros, bem como para contar e quantificar outras situações. Mostramos, ainda, que as sociedades humanas sempre buscaram as maneiras mais criativas de solucionar seus problemas relacionados à contagem e medição; ou seja, os números sempre estiveram presentes nas soluções dos problemas históricos e culturais.
Após a explanação e discussão sobre o primeiro capítulo do livro de Ifrah, o grupo retornou a leitura e reflexão sobre as ideias do livro, seguindo para nova discussão, agora focada na elaboração dos materiais manipulativos, para que os grupos pudessem manusear durante os ateliês, e nas ações formativas posteriores a serem realizada tanto no Programa Escola Aberta, como nas ações junto aos professores da rede pública.
Durante a última sessão do primeiro ateliê, realizado em julho de 2011, os grupos começaram a estruturar seus textos sobre o material que cada grupo estava confeccionando. Nesses textos, procuramos apresentar cada material, proporcionando meios de como o professor deve trabalhar com os educandos dos anos iniciais.
Sobre a montagem das atividades sobre ensino dos números, a serem trabalhadas com os educandos dos anos iniciais, a ideia do trabalho foi destacar a História da Matemática no ensino da Matemática nos referidos anos. Uma sugestão de um dos grupos foi utilizar o quadrado mágico nos anos iniciais para ensinar contagem e agrupamento. O desafio é deixar o quadro vazio para que o educando, com os números, agrupe de três em três, de modo que as somas dos números sempre resultem em 15. Portanto, existem várias maneiras de encontrá-lo tanto na ordem vertical quanto na horizontal e diagonal.
Na elaboração dos materiais lúdicos para ensinar a Matemática dos anos iniciais, as tarefas foram distribuídas entre a Equipe colaborativa da seguinte forma: um grupo ficou para produzir um texto sobre as Barras de Napier, explicando por que é chamado de Barras de Napier ou ossos de Napier, como também explicar o que é Gelosia e de como surgiu. O que se pode trabalhar em sala de aula dos anos iniciais para ensinar a Matemática, elaborando as atividades e objetivos de como trabalhar.
Destacando os primeiros procedimentos aritméticos, mostrando que tudo começou com a correspondência termo a termo (um a um), confere a possibilidade de comparar com facilidade duas coleções de seres ou objetos que sejam da mesma espécie ou não, fazendo isso sem recorrer à contagem abstrata. Contudo, basta usar a inteligência para realizar a comparação; as técnicas primitivas de “contabilidade” foram uma forma de estudar ou compreender o comportamento humano. O homem pré-histórico utilizava tudo o que estivesse
a seu dispor, chegando a usar os dedos das mãos e dos pés, bem como diferentes partes do corpo para contagem.
O grupo realizou as primeiras sessões do estudo dirigido, focado no segundo capítulo do mesmo livro de Georges Ifrah. Logo após a leitura e explanação sobre como o homem aprendeu a contar, como, quando e por que o homem se interessou pela contagem, fazendo comparação, aprendendo a discriminar a partir de determinada coisa, a pessoa começou a quantificar com as ideias do sistema de numeração decimal, na tentativa de comparar as partes do corpo humano, por exemplo.
Discutimos, ainda, que o ser humano começou a quantificar e a usar as relações numéricas a princípio, sendo capaz de conceber sob ângulos de abstração no momento em que tenha assimilado os números; essa noção de números recobre dois aspectos complementares: o cardinal, baseado no princípio da equiparação; e o ordinal que exige sucessivamente o processo de agrupamentos e de sucessão.
Ifrah (1998) explica que foi por meio das práticas manipulativas com os dez dedos que nós humanos adquirimos os elementos essenciais para a aprendizagem de contar, e que atualmente os alunos e as pessoas utilizam os dedos das mãos para fazer contagem quando não têm uma calculadora ou um celular em mãos.
Se conseguirmos contar, a ideia da ordem da quantidade (ordinal e cardinal) de quem vem primeiro e quem vem depois, estamos tratando de sequência natural de contagem, que vai depender da ordem em que a pessoa parte (no processo). A partir das explanações realizadas, lançamos uma questão reflexiva aos membros do grupo: ─ O que as atividades de hoje representaram para vocês com relação a sua formação? Qual a importância da atividade de hoje para a sua formação profissional? O que vocês aprenderam nas atividades de hoje? A partir desse momento, o grupo começou a responder às questões e a elaborar um pequeno relatório da primeira sessão dos ateliês.
As atividades foram retomadas no dia seguinte, com a explanação sobre a origem da base doze e suas implicações no processo de contagem, e do surgimento dos sistemas de numeração posicionais na Antiguidade. Em seguida, o professor Iran Mendes tirou algumas dúvidas acerca da base doze. Logo após a sua explanação dialogada do conteúdo, encerrou-se a sessão do ateliê, com a elaboração do relatório da Equipe colaborativa acerca do que fora aprendido durante as vinte horas de atividades trabalhadas.
Em agosto de 2011, retomamos as explanações dos conteúdos sobre a invenção da base de contagem, e a Equipe colaborativa ficou muito entusiasmada com a leitura do terceiro capítulo do livro de Ifrah (1998), e com a explicação e esclarecimentos das dúvidas existentes
sobre o que os membros do grupo haviam lido e que não tinham aprendido ou compreendido na pesquisa bibliográfica.
Durante os estudos e as discussões esclarecedoras ocorridas, percebemos que os alunos precisavam aprender a compor e decompor em quantidades, pois eles posteriormente precisariam ensinar aos seus alunos a adição através do agrupamento. Nessas sessões dos ateliês, ocorridas em agosto, passamos a compreender que os alunos precisavam aprender a divisão simples, até, usando uma calculadora manual, confeccionada pelos próprios alunos, com ajuda da professora, podendo confeccionar com materiais recicláveis.
Nesta sessão, a Equipe colaborativa se subdividiu em três grupos, sendo que cada grupo ficou responsável para confeccionar materiais didáticos e escrever sobre ele. As atividades foram distribuídas, sendo que um grupo ficou para pesquisar, compreender a história do ábaco, da Torre de Hanói, as Barras de Napier e Gelosia, e sua utilização na época do surgimento em cada sociedade; ou seja, em todos os povos, como deve utilizar esses materiais no ensino da Matemática nos anos iniciais.
Assim, cada grupo procurou entender a necessidade de aprender a divisão em partes iguais no montante dividido, à medida que ia diminuído, continuando a dividir em milésimos. Aprendemos que a divisão é uma operação de diminuição um por um ou então através do agrupamento. Aprendemos também que quantas vezes um grupo menor cabe dentro de um grupo maior, deixando ou não resto.
As atividades que foram realizadas pela Equipe colaborativa, sob a orientação dos professores responsáveis pelos ateliês, subsidiaram a elaboração de tarefas escolares envolvendo a sequência dos números, enfatizando outras metodologias de práticas culturais que envolveram os números. Além disso, realizamos sessões de vídeos para que os membros do grupo ampliassem suas informações sobre o desenvolvimento histórico das noções de números. Além do vídeo, fizemos um levantamento do que o grupo lembrava ou pesquisou na internet, a partir da interação com os vídeos sobre a simbologia dos números e números figurados.
Consequentemente, as atividades dos vídeos, foram envolvendo os números desde o um até dez, mostrando a simbologia que envolve os números nas práticas culturais. Já nos números figurados, aprendemos a utilizá-los como recurso pedagógico no contexto matemático para explorar sua história no processo de ensino.
A sessão do ateliê foi importante para preparar a Equipe colaborativa na escrita dos textos didáticos, envolvendo os materiais manipulativos para o ensino da Matemática como mediação didática e conceitual no desenvolvimento do processo de ensino e aprendizagem.
4.2.2 Comentários sobre o primeiro ateliê e sua continuidade posterior
O primeiro ateliê foi conduzido tanto por todo o grupo como pelo professor orientador e a pesquisadora, a partir de questionamentos, debates, esclarecimentos e conclusões. Contemplavam ainda a: 1) eram desenvolvidas atividades de elaboração dos materiais didáticos e atividades numa perspectiva lógico-histórica preparada pelos ministrantes do ateliê; 2) análise de atividades dos conteúdos de Matemática escolar, disponibilizados no livro didático usado nos anos iniciais e pesquisado pelo grupo; 3) análise de atividades desenvolvidas pelos professores em sala dos primeiros anos ensino da Matemática escolar, sendo reelaboradas pelos licenciados a partir das pesquisas e das leituras propostas nos encontros presenciais.
A maioria das atividades de ensino foi preparada pela pesquisadora e pelo professor orientador dos ateliês, que contemplou a vivência conceitual; ou seja, o desenvolvimento lógico-histórico, ou ainda, os momentos dialéticos de formação do pensamento algorítmico com fluência, variável, campo da história dos números e dos algoritmos.
Durante o encontro ministrado na UFPI, constatamos que tais atitudes estiveram presentes em cada um dos encontros. Percebemos, por exemplo, que os alunos passaram a reelaborar o próprio conceito de História da Matemática, como também a compreender por que as verdades são mutáveis, ainda que tais verdades sejam matemáticas. Ao mesmo tempo, começaram a fazer relações mais diretas entre a História da Matemática e a sala de aula, uma vez que começaram a concebê-la como mais um recurso que serve de mediador didático no ensino da Matemática no desenvolvimento da prática do professor em sala de aula.
Ressaltamos ainda que para alguns alunos da Equipe colaborativa, o que era atividade de ensino começava a se configurar na atividade de pesquisa. Na medida em que aprofundavam o conhecimento nos fundamentos teórico-metodológicos estudados e debatidos nos encontros, avançava no conhecimento matemático, constatando que os conteúdos trabalhados nas escolas dos anos iniciais do Ensino Fundamental eram abordados pelas atividades de ensino elaboradas durante o desenvolvimento do processo de ensino e aprendizagem dos ateliês. Ao mesmo tempo começavam a interessar-se em evidenciar suas dificuldades didáticas sobre a Matemática escolar.
Nessa perspectiva, entendemos que a História da Matemática realmente poderia ser usada como um recurso mediador da prática do professor no ensino da Matemática; ou seja, seria a metodologia a ser usada por quem ensina, a partir do momento em que o professor
compreende a sua própria construção do pensamento ao relacionar teoria e prática, ou seja, tem domínio do seu processo lógico-histórico matemático.
Para tanto, essa construção a qual nos referimos não é construída espontaneamente, uma vez que o ato de ensinar é intencional. Assim, para que esta construção seja utilizada na formação de professores, defendemos a ideia de que os professores, em formação inicial ou continuada, tenham a oportunidade de conhecer a História dos conteúdos na formação dos conceitos sobre o que norteia o processo de ensinar e de aprender; e, ao mesmo tempo, tenham a oportunidade de pensar em como transformar a informação histórica em atividades de ensino nos anos iniciais. Para tanto, sugerimos que no Curso de Pedagogia, ou ainda, nos cursos de Extensão lato sensu que promovam a formação continuada propiciem momentos de reflexão-ação-reflexão e vivências voltadas à elaboração de atividades de ensino tendo a história como mediadora.
Deste modo, a maioria das atividades de ensino elaborada pelos professores contemplou a vivência dos eixos conceituais; ou seja, o desenvolvimento histórico matemático, ou ainda, os momentos dialéticos de formação da construção do pensamento algorítmico. Ao tempo em que as pesquisas, atividades de estudos, materiais e atividades apresentadas pela Equipe colaborativa contemplaram os temas relacionados aos anos iniciais como a História dos números, os Números figurados, os algoritmos das quatro operações e os desafios matemáticos envolvendo números e operações básicas.
Vale a pena ressaltar que todos os materiais manipulativos confeccionados pela Equipe durante os ateliês contribuíram para a elaboração de orientações baseadas na História da Matemática, como um recurso mediador didático e conceitual no ensino da Matemática.
Após essas duas primeiras sessões, foram realizadas as ações de acompanhamento do processo de formação da Equipe colaborativa ao longo do período de experimentação do modelo formativo apoiado na História da Matemática. As sessões seguintes, realizadas entre agosto e novembro de 2011, caracterizaram-se como sessões de orientação com vistas a esclarecer os trabalhos dos membros do grupo e dar os encaminhamentos suficientes para que todos concluíssem a escrita dos textos didáticos e a produção dos materiais manipulativos, bem como experimentassem usá-los para verificar se funcionavam de acordo com nossas intenções didáticas e conceituais. Assim seria possível propor a realização de uma sessão do ateliê com os professores da escola que foi contemplada com o Programa Escola Aberta.
A partir da conclusão dessas sessões dos ateliês, tivemos, como produto gerado dos estudos do grupo, uma série de materiais manipulativos e sugestão de atividades a serem utilizadas na formação dos professores dos anos iniciais nas sessões posteriores dos ateliês
formativos, envolvendo a História da Matemática como um recurso didático e conceitual para os anos iniciais.
4.3 Os estudos desenvolvidos, os materiais e as atividades produzidas durante os ateliês de História e Pedagogia da Matemática de formação de professores
As propostas de atividades didáticas e materiais manipulativos, elaborados pelos grupos, durante os ateliês de História e Pedagogia da Matemática, realizados no período de julho a novembro de 2011, foram descritos na forma de blocos, apresentados a seguir.
4.3.1 Bloco 1: Explorando materiais concretos nas operações aritméticas
Este bloco de atividades envolve diretamente materiais e atividades voltadas ao ensino de números e contagem, bem como aspectos relacionados ao exercício das operações básicas. O material está dividido em setores, dentre os quais, alguns deles foram ajustados pelos responsáveis pela formação do grupo, devido ser necessário corrigir algumas pequenas falhas ou até mesmo acrescentar alguns aspectos não contemplados na primeira versão do material.
4.3.1.1 Explorando o ábaco e sua história
Inicialmente usaremos a História como recurso pedagógico que tem como principal finalidade promover um ensino-aprendizagem da Matemática que permita uma ressignificação do conhecimento matemático, produzido pela sociedade ao longo dos tempos. Com essa prática acreditamos ser possível imprimir maior motivação e criatividade cognitiva às atividades de sala de aula durante a ação docente, pois se espera que esse modo de encarar o ensino de Matemática possa se construir em um dos agentes provocadores de rupturas na pratica tradicional educativa vivenciada até hoje nas aulas de matemática.
Entendemos que, com a História da Matemática, temos a possibilidade de buscar outra forma de ver e entender essa disciplina, tornando-a mais contextualizada e integrada com as outras matérias. A história propicia mostrar que a Matemática tem um processo histórico; trata-se de uma construção humana, que é gerada pelas necessidades práticas construídas para atender a certas demandas da sociedade.
O principal objetivo é que a historia da Matemática contribua para que professores e licenciandos entendam e superem as fraturas epistemológicas surgidas no desenvolvimento da compreensão matemática; ou seja, trata-se de buscar na História os porquês matemáticos, de
modo a utilizá-los na superação dos obstáculos cognitivos, surgidos no desenvolvimento da Matemática escolar.
Nessa perspectiva, o professor é mediador dos dispositivos de cálculos, figurados no desenvolvimento do aluno no raciocínio lógico de cálculos, e na resolução de operações aritméticas no processo de ensino e aprendizagem da matemática escolar.
Assim, a utilização do ábaco em sala de aula deve ser de forma dinâmica, proporcionando ao aluno ampliar sua visão acerca da Matemática concreta no desenvolvimento de aprendizagem significativa.
Assinale-se que este trabalho visa mostrar ao professor a importância da construção do ábaco juntamente com seus alunos, em sala de aula, fazendo com que todos possam participar de todos os processos, desde a construção até a manipulação. Sendo assim mostrada para os educandos sua história e sua importância para os povos antigos, e como seria importante agora para o aprendizado do conteúdo ensinado em sala.
- O QUE É UM ÁBACO?
O ábaco é um antigo instrumento de cálculo, formado por uma moldura com bastões ou arame paralelos, dispostos no sentido vertical, correspondentes, cada um a uma posição digital (unidade, dezena, centenas...), e nos quais estão os elementos de contagem (fichas, bolas, contas) que podem fazer-se deslizar livremente. A palavra ábaco originou-se do Latim
abacus, e esta veio do grego abakos. Esta era um derivado da forma genitiva abax (lit. tábua de cálculos). Porque abax tinha também o sentido de tábua polvilhada com terra ou pó,
utilizada para fazer figuras geométricas; alguns linguistas especulam que tenha vindo de uma língua semítica o púnico abak, areia, ou o hebreu ābāq (pronunciado a-vak), areia).
Na sequência, elaboramos os objetivos do material produzido pela Equipe participativa.
- OBJETIVOS DO MATERIAL ELABORADO - Utilizar o ábaco para fixar conceitos matemáticos;
- Utilizar o ábaco como ferramenta para melhorar a agilidade mental e o raciocínio lógico dos estudantes;
- Compreender o uso do valor posicional dos algarismos no sistema de numeração decimal.
- A ORIGEM DO ÁBACO - Ifrah (1998)
O ábaco é de origem oriental e tem como referência as contagens realizadas por povos antigos. Sua origem estrutural de contar com bastões é obscura, mas na Índia, na Mesopotâmia e no Egito são vistos como prováveis pontos de origem. A China desempenhou um papel importante no desenvolvimento do ábaco. Embora atribuído frequentemente ao chinês, o ábaco pode ter sido inventado pelos babilônios em torno de 2400 a.C. O ábaco pode ser considerado como uma extensão do ato natural de se contar nos dedos. Algumas informações históricas admitem que os romanos, na Antiguidade, utilizavam o ábaco para calcular e posteriormente os chineses e japoneses o aperfeiçoaram.
Talvez seja daí que surgiram variedades de ábacos dentre os quais o mais popular utiliza uma combinação de dois números-base (2 e 5) para representar números decimais. As primeiras utilizações do ábaco remontam a um método de calcular, usando sulcos na areia e pequenas pedras. Posteriormente ocorreu a substituição da areia por uma tábua de argila e, em seguida, o uso das contas passou a ser orientado por uma haste que as trespassava. O modelo