Fonte: Arquivo pessoal Iran Abreu Mendes.
Agora que você já compreendeu como fazer e utilizar sua calculadora manual, sugerimos que façam somas e subtrações, e se desafie você próprio nas multiplicações e divisões com sua máquina de calcular. Sugerimos algumas atividades com o uso da calculadora manual, explorando os princípios do sistema de numeração decimal.
- ALGUMAS SUGESTÕES DE ATIVIDADES
1 Utilize os princípios do sistema de numeração decimal, já explorados nos ábacos para realizar as quatro operações.
2 Comece com casos simples como 45 + 33.
3 Depois vai ser necessário ampliar os agrupamentos como, por exemplo, se tiver 76 + 58, onde terá que utilizar a prática do “vai um” quando somar 6 + 8, assim como quando somar 7 + 5. Experimente! Você vai adorar brincar de realizar operações.
4.3.1.5 Representação dos números no tabuleiro chinês nas operações aritméticas na China antiga4
Na antiga China, para representar os números no tabuleiro de cálculo, empregavam-se palitos com um comprimento de 10cm e 1cm de largura e espessura aproximadamente. Por volta dos anos 150 de nossa era, foram amplamente conhecidos na China os métodos para efetuar, no tabuleiro de calcular, as quatro operações aritméticas.
Havia duas maneiras de representar as quantidades no tabuleiro chinês de operações aritméticas. Ambas estão reproduzidas na Figura 5 a seguir.
4 Esta atividade foi adaptada por Iran Abreu Mendes e Lúcia Helena Bezerra a partir do livro Aritmética Recreativa de Yakov Perelman (1975) para uso durante os ateliês.
O processo de escrita dos números no tabuleiro obedecia ao seguinte processo: a primeira quantidade (lendo da direita para a esquerda) era representada pelo primeiro método; a seguinte, pelo segundo; a terceira quantidade novamente se representava pelo primeiro método, e a quarta pelo segundo método, e assim sucessivamente.
Figura 5 - Dois métodos de formação de quantidades, na tabela de operações chinesas
Fonte: Perelman (1975).
Em outras palavras, todas as quantidades de um número que ocupavam lugares ímpares (lendo da direita para a esquerda) eram representadas pelo primeiro método; e aquelas que se encontravam nos lugares pares eram representadas pelo segundo método. Por exemplo, os números 78639, 4576 e 1287 eram representados no tabuleiro de calcular (Figura 6).
Fonte: Perelman (1975).
- ADIÇÃO NO TABULEIRO CHINÊS
Vejamos, então, a seguir, como eram realizadas as operações de adição e de multiplicação no tabuleiro de calcular.
Na adição, por exemplo, consideremos que queremos calcular a soma dos números 9876 + 5647. Primeiramente vamos representar as parcelas no tabuleiro de operações.
Figura 6 - Exemplo de construção de alguns números na tabela chinesa de operações (ou cálculos)
Figura 7 - Representação das parcelas no tabuleiro de operações
9 8 7 6
+
5 6 4 7
Fonte: Perelman (1975).
Inicialmente a adição se realizava com as ordens superiores, isto é, da esquerda. A seguir, destacamos quatro passos para as representações das parcelas no tabuleiro chinês de operações.
Primeiro Passo
Somemos os milhares 9 + 5 = 14. Representamos isto assim:
Figura 8 - Representação das parcelas no tabuleiro operações aritméticas
Fonte: Perelman (1975).
Sobre as parcelas, formamos uma segunda linha; e à esquerda, acima da quantidade 9, escrevemos 14 de tal forma, que a quantidade 4 esteja estritamente acima da quantidade 9, e parte restante da primeira parcela a transcrevemos sem modificações. Sobre a segunda parcela, repetimos todas as suas quantidades, exceto a quantidade 5 já utilizada.
Segundo passo
Somemos as centenas 8 + 6 = 14 e, posto que obtivemos na adição uma unidade de maior ordem, a agregamos à soma anteriormente obtida.
Assim, a terceira linha será (os dois primeiros se repetem intactos).
Figura 9 - Representação das parcelas no tabuleiro chinês
Fonte: Perelman (1975).
Na terceira linha à esquerda se escreve 154, e depois se repetem as duas últimas quantidades (76) da primeira parcela: à direita estão repetidas as duas últimas quantidades (47) da segunda parcela (suas quantidades restantes já tenham sido utilizadas).
Terceiro Passo
Somemos as dezenas 7 + 4 = 11, com o que o seguinte resultado é o número 1551 se escreve à esquerda, na quarta linha:
Figura 10 - Representação das parcelas no tabuleiro chinês as operações
Fonte: Perelman (1975).
Quarto Passo
Agora, falta somente somar as unidades 6 + 7 = 13 e a soma dos dois números dados se determina: é igual a 15523:
O número 15523 obtido está escrito na quinta linha da coluna esquerda, e o esquema da adição, finalmente, tem o aspecto representado na Figura 10 a seguir.
Figura 11 - Desenho representando a soma dos números 9876 + 5647, segundo o tabuleiro chinês de cálculo
- MULTIPLICAÇÃO NO TABULEIRO CHINÊS
No tabuleiro de operações da antiga China, a multiplicação se iniciava com as quantidades de ordem superior, passando gradualmente às quantidades de ordens menores. Além disso, já se usavam às tabelas de multiplicar. Suponhamos, a título de exemplo, que se trata de multiplicar 346 por 27. O processo da multiplicação observado na tabela de operações em nossas anotações tomava, aproximadamente, o seguinte aspecto:
Primeiro, multiplicamos 3 por 2 e obtemos 6, ou seja, a quantidade de ordem mais alta do produto (número de milhares). Depois multiplicamos 3 por 7 e 4 por 2, obtendo 21 e 8 centenas. Os escrevemos sob a quantidade 6, considerando as ordens, como está indicado. Logo, multiplicamos 4 por 7 e 6 por 2 (isto nos dá os números 28 e 12); e, finalmente, multiplicamos 7 por 6 para obter 42 unidades: somando as quantidades anteriores, obtemos 9342.
O tabuleiro de calcular e os métodos de operar com ele se conservaram na China até o século XIII. À época, iniciou-se o uso do zero, o que com ajuda dos palitos de calcular se representava na forma de quadrado. Então, já se podiam representar também as frações decimais no tabuleiro de calcular. Por exemplo, os números 106 368 e 6312 se representavam aproximadamente como são mostrados na Figura 12, a seguir.
Figura 12 - Exemplo de construções na tabela de operações chinesas. A combinação dos números 106 368 e 6312.
Atividade 1
1 Com base no que foi exposto até agora faça você seu tabuleiro chinês, confeccione seus bastões e experimente realizar as operações e representações dos números tal como sugerem as informações históricas.
2 Elabore alguns desafios que envolvam os procedimentos algorítmicos apresentados até agora envolvendo o tabuleiro chinês na representação dos números e operações aritméticas.
- AS OPERAÇÕES COM O MÉTODO CHINÊS, ADAPTADAS À REPRESENTAÇÃO NUMÉRICA ATUAL
A partir de uma publicação organizada por Estrada (2000), com base na escrita atual dos números, apresentamos a seguir uma forma de representação dos algoritmos chineses das
operações de adição, subtração e multiplicação da seguinte maneira:
Adição
Seja, por exemplo, a adição de 789 + 456. O quadro a seguir representa as duas parcelas pelo método do tabuleiro chinês da seguinte maneira:
Subtração
Seja a subtração dos números 1245 – 789. Seguindo o método do tabuleiro chinês teremos: 7 8 9 4 5 6 7 + 4 5 6 1 1 5 6 8 + 1 1 5 6 1 2 3 6 9 + 1 2 3 6 1 2 4 5
Multiplicação 4 5 6 1 2 3 5 6 4 9 2 1 2 3 6 1 2 4 5 — 7 8 9 1 2 4 5 — 7 5 4 5 5 4 5 — 8 4 6 5 4 6 5 — 9 4 5 6 4 8 1 2 5 1 0 1 5
5 5 3 5
1 2 3
O resultado final da multiplicação é apresentado na sequência.
5 6 0 8 8
1 2 3
- ALGUMAS SUGESTÕES AOS PROFESSORES SOB A FORMA DE ATIVIDADE
Experimente confeccionar seu tabuleiro com cartolina ou papelão, de modo a desafiar os educandos a colocarem nos tabuleiros, tanto as representações das operações quanto os bastões (palitos), sob a forma de algarismos, tais como apresentamos anteriormente. Você perceberá o quanto essas propostas práticas são estimulantes do pensamento e das habilidades operatórias nos educandos dos anos iniciais devido à ludicidade natural existente no material.
4.3.2 Bloco 2: Métodos históricos de multiplicação
Durante a vida escolar aprendemos diversos métodos de calcular, comumente iniciamos a contar com os dedos, depois o(a) professor(a) das séries iniciais nos ensinou a contar utilizando bolinhas e tracinhos; outrora fizemos usos de materiais concretos; e, com o passar do tempo, aprimoramos tais técnicas e desenvolvemos a nossa própria técnica de calcular.
6
1 2
Na Historia da Matemática percebemos que os seres humanos sempre tiveram necessidade de contar. Nos obscuros milênios da Pré-História, as pessoas usavam os dedos ou faziam incisões em ossos. Há cerca de 4.000 anos, civilizações primitivas desenvolveram elaborados sistemas de numeração para registrar desde transações comerciais até ciclos astronômicos.
Neste bloco de atividades, percorreremos as histórias da multiplicação, passando por varias épocas e regiões, para entender a diversidade de técnicas para um cálculo que parece tão simples como a multiplicação. Ainda neste bloco de atividades veremos: Método de Multiplicação Egípcio; Método de Multiplicação Russo; Método de Multiplicação Chinês com linhas; Método de Gelosia; Multiplicação com as Barras de Napier; Multiplicação com as Barras de Genaille-Lucas.
4.3.2.1 Método Egípcio de Multiplicação
Os egípcios da Antiguidade criaram um interessante processo usando duplicações sucessivas. Duplicar é dobrar, isto é, multiplicar por dois. Esse método está baseado em duas propriedades: na decomposição de um número natural em soma de potências de base dois (propriedade do sistema binário) e na propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição. Para enfatizar a importância de trabalhar com o método de multiplicação Egípcia, vejamos, a seguir, alguns objetivos da operacionalização.
- OBJETIVOS PARA A MULTIPLICAÇÃO NO MÉTODO EGÍPCIO - Aprender a técnica de multiplicação egípcia;
- Utilizar o dobro para obtenção produto de multiplicação; - Decompor números em potência de base dois.
- ASPECTOS HISTÓRICOS DO MÉTODO EGÍPCIO DE MULTIPLICAÇÃO Uma das fontes mais antigas da Matemática, o papiro de Rhind (ou Ahmés), datado de cerca de 1650 a.C. descreve, entre outras coisas, os métodos de multiplicação e divisão dos egípcios, assim como muitas aplicações da Matemática a problemas práticos. Com esse método, os antigos Egípcios transformavam uma multiplicação de números naturais em cálculos de dobros e em adições.
- PARA A CONFECÇÃO DO TABULEIRO PARA EXERCITAR O MÉTODO EGÍPCIO DE MULTIPLICAÇÃO
Os materiais necessários à confecção do tabuleiro para o Método de Multiplicação Egípcia são:
- 01 folha de papel cartão; - Régua 30 cm ou 50 cm;
- Pincel hidrocor ou caneta esferográfica.
- AGORA COMO CONFECCIONAR O TABULEIRO
Trace uma tabela de 2 colunas e 10 linhas (4cm de largura e 2cm de comprimento). PRONTO! Já podemos calcular usando o método egípcio
- MULTIPLICANDO COMO OS EGÍPCIOS 1 Escolhemos dois números a ser multiplicados;
2 Em seguida escrevemos duas colunas de números sendo que a primeira começa por 1 e a segunda por um dos fatores da multiplicação desejada. Nesse caso escolhemos o fator (A);
3 Vamos duplicando os números dessas duas colunas, até que a soma dos números da coluna começada pelo 1 dê um resultado maior ou igual ao fator (B) da multiplicação; 4 Escolhemos, na coluna começada pelo 1, os valores que somados dêem resultado igual ao fator (B);
5 Somamos os números da outra coluna, correspondentes aos valores que foram escolhidos no passo anterior.
No Quadro 4 a seguir: Exemplo: 12 x 15
Quadro 4 – Multiplicação egípcia no tabuleiro MULTIPLICADOR MULTIPLICANDO 1 15 2 30 4 60 8 120 16 240
Paremos, no 16, pois passou nosso objetivo que no exemplo é 12, para obter o resultado, temos que procurar os termos em que a soma dê 12, nesse caso 4 + 8 = 12, e para chegar ao produto final é só somar os termos correspondentes ao número 4 e 8 na segunda coluna: 60 (correspondente ao 4) e 120 (correspondente ao 8). Temos como produto final 60 + 120 = 180. PRONTO! Obtemos o produto dessa Multiplicação, agora vamos exercitar esse método.
4.3.2.2 Método de Multiplicação Russa
A multiplicação Russa é baseada na multiplicação de seus fatores, o primeiro é multiplicado por ½ e o segundo por 2. Em outras palavras, para conseguimos chegar o produto na multiplicação russa.
- ALGUNS DOS OBJETIVOS DO MÉTODO DE MULTIPLICAÇÃO RUSSA - Conhecer a historia da multiplicação russa;
- Aprender as técnicas da multiplicação russa;
- Compreender a multiplicação russa usando o dobro e a metade.
- HISTORIA DA MATEMÁTICA NO MÉTODO RUSSO DE MULTIPLICAÇÃO Os camponeses russos, segundo alguns matemáticos, utilizavam um processo curioso de multiplicação, podendo ser considerado uma variante do método de multiplicação egípcio.
- SUGESTÕES DE MATERIAIS PARA CONFECÇÃO DO TABULEIRO PARA O MÉTODO RUSSO DE MULTIPLICAÇÃO
- Papel cartão; - Caneta hidrocor; - Tesoura; Régua
- CONFECCIONANDO O TABULEIRO PARA O MÉTODO RUSSO DE MULTIPLICAÇÃO
Corte um retângulo com 50cm de comprimento e 30cm. Depois de o retângulo pronto, trace com o pincel hidrocor linha verticais e horizontais de 5cm de distância uma das outras, sendo 10 linhas e 6 colunas. Perto de cada base dos quadrados formados, faça um corte de 1cm na altura de 1cm da base e no centro (Figura 13).
Figura 13 – Quadrado das peça númericas no tabuleiro
Confeccionando as peças numéricas para o tabuleiro: para confeccionar as peças numéricas recorte um retângulo de 4 cm x 5cm, depois marque na base que possui 4cm na altura de 1cm, desenhe um quadrado menor de 1cm x 1cm centralizado e recorte, segue o modelo das figuras 14 e 15.
Figuras 14 - 15 Peças numéricas com retângulo
Fonte: Equipe participativa.
Faça 50 peças desse modelo, enumerando cada 5 peças com os algarismo 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.
- MULTIPLICANDO COMO OS CAMPONESES RUSSOS
Para que determine os valores a serem multiplicados como os camponeses russos, destacamos alguns exemplos a seguir:
Exemplo 1: quando o multiplicando é de base 2. Coloque o multiplicando ao lado esquerdo do tabuleiro e o multiplicador ao lado direito, vejo o exemplo da multiplicação de 32 x 5.
Quadro 5 – Com duas colunas na Multiplicação Russa Multiplicando X ½ Multiplicador X 2 32 5 16 10 8 20 4 40 2 80 1 160
Fonte: Arquivo da pesquisadora.
Quando o multiplicador é de base 2, então o resultado obtido pelo o número correspondente ao 1 da primeira coluna na segunda coluna é o produto desta multiplicação.
Exemplo 2: quando o multiplicador não é de base 2, e ele é um número par. Nesse exemplo multiplicaremos 36 x 5
Quadro 6 – Com duas colunas na multiplicação Multiplicando X ½ Multiplicador X 2 36 5 18 10 9 20 4 40 2 80 1 160
Fonte: Arquivo da pesquisadora.
Quando for para obter a metade de um número impar, considere apenas a parte inteira do número para ser utilizado na próxima linha. Para obter o produto desta multiplicação, some apenas os números correspondentes aos números impares da primeira coluna: 20 (correspondente aos 9) e 160 (correspondente ao 1) e some: 20 + 160 = 180 e obterá o produto final desta multiplicação.
Exemplo 3: quando o multiplicando não é de base 2 e é um número impar. Neste caso iremos multiplicar 37 x 5.
Quadro 7 – Com duas colunas na multiplicação Multiplicando X ½ Multiplicador X 2 37 5 18 10 9 20 4 40 2 80 1 160
Fonte: Arquivo da pesquisadora.
Para obter o produto some os números que correspondem aos números impares da primeira coluna na segunda coluna: 5 (corresponde ao 37), 20 (corresponde ao 9) e 160 (corresponde ao 1) e some: 5 + 20 + 160 = 185 e o produto final é 185.
4.3.2.3 Método Chinês de Multiplicação com linhas
Formulamos alguns objetivos, e destacamos a importância da contribuição de trabalhar o método chinês de multiplicação com linhas organizadas em cada ordem decimal como uma das variantes histórico da multiplicação, mostrando sua utilidade desde os séculos passados aos dias atuais. Que o método Chinês de multiplicação surgiu como uma das alternativas no processo de operacionalização da multiplicação. O professor deve formular objetivos de acordo com o desenvolvimento de sua sala.
- SUGESTÕES DE ALGUNS OBJETIVOS
- Identificar o método chinês como uma das variantes do material histórico de multiplicação.
- Conhecer a utilidade do método de multiplicação chinês nos séculos passados e sua utilização nos dias atuais.
- Praticar o método de multiplicação chinês como uma das alternativas de solucionar equações dos algarismos desde 1 até infinitos números.
- OPERANDO COM OS ALGORITMOS DAS LINHAS CHINESAS
Multiplicar 132 x 34 pelo método chinês das linhas. Veja a figura a seguir representando o processo multiplicativo operacionalizado pelo referido método, como também cada fator da multiplicação em uma direção. Conforme nos mostra a Figura 16, teremos as linhas organizadas segundo cada casa decimal correspondente aos números.
Em cada ordem estabelecida diagonalmente agrupamos os cruzamentos das linhas e contamos quantos cruzamentos temos, representando-os de modo a representar cada casa decimal originada pela multiplicação dos termos, como nas Figuras 17 e 18.
Figura 16 - Processo multiplicativo com linhasorganizadas
Fonte: Imagem Google.
Figura 17 - Processo multiplicativo com linhasorganizadas
Observe-se a ordem estabelecida diagonalmente agrupando os cruzamentos das linhas passando uma dezena desta ordem para a ordem seguinte, conforme a Figura 18.
Figura 18 - Processo multiplicativo com linhasorganizadas
Fonte: Imagem Google.
O resultado final e encontrado após a realização das últimas operações aritméticas realizadas, conforme nos mostra a Figura 19, a seguir.
Figura 19 - Produto das operações aritméticas
4.3.2.4 Método de multiplicação árabe – Gelosia
No início do Renascimento, o surgimento de várias técnicas e métodos de multiplicação, como o de Gelosia, levou a um aumento da facilidade e da rapidez com que se efetuavam os cálculos numéricos. Os matemáticos árabes já conheciam o valor posicional dos algarismos no sistema de numeração decimal, e, com base nesses princípios, desenvolveram um método de multiplicação, com auxílio de tábuas quadriculadas, e o levaram à Europa, o que ficou conhecido como Método de Gelosia.
Nesse trabalho, compartilhamos com os professores, e em seguida com os alunos, algumas variações técnicas de multiplicação histórica, utilizadas pelos povos antigos Hindus, as quais foram de grande importância para a construção de nossa sociedade contemporânea, podendo ser utilizadas a partir do 3º ano do Ensino Fundamental. Os matemáticos conheciam a multiplicação muitos tempo antes do surgimento do sinal de vezes. Mas nem sempre ela foi realizada como hoje em dia. Existem, ao logo dos séculos, muitos processos para multiplicar dois números. Um dos mais populares ficou conhecido como Gelosia podendo ser chamado de veneziana, por assemelhar-se a um tipo de janela de vidro recortado em linhas quadrada, bastante comum à época nas ruas de Veneza, cidade de Itália.
- FORMULAÇÕES DE ALGUNS OBJETIVOS DA MULTIPLICAÇÃO ÁRABE
- Reconhecer o método de multiplicação árabe como material facilitador na aprendizagem da multiplicação matemática nos anos iniciais.
- Realizar multiplicação com dois ou mais números usando as técnicas da multiplicação histórica.
- Resolver equações multiplicativas utilizando o método de Gelosia.
- SUGESTÃO DE MATERIAIS PARA CONFECÇÃO DA TABELA DE GELOSIA Para confeccionar a tabela de Gelosia são necessários os seguintes materiais:
- EVA; Papelão;
- Régua; Pincel hidrocor; - Tesoura; Cola.
- CONFECCIONANDO O TABULEIRO PARA MULTIPLICAÇÃO COM GELOSIA
Na confecção do tabuleiro para a multiplicação com Gelosia, devemos seguir alguns passos:
1 Vamos fazer a base com papelão e EVA;
2 Cortemos o EVA e o papelão formando um quadrado de 42 cm de lado; 3 E colamos o EVA no papelão;
4 Corte o EVA em um quadrado de 42 cm;
5 Traçar linhas de 7cm de distancia a partir da base;
6 Traçar colunas de 7cm de distancia a partir da base (Quadro 8).
Quadro 8 - Desenho do tabuleiro de multiplicação da Gelosia
Fonte: Arquivo da Equipe participativa.
Depois da divisão terão se formado 36 quadros; agora focalize nos quadros, e forme dentro desse quadro um quadrado de 5 cm de lado centralizado.
Quadro 9 - Quadrados dos centros cortados
Fonte: Arquivo da equipe participativa.
Recorte o quadrado do centro. Depois de todos os quadrados dos centros recortados, cole a estrutura restante com os quadrados abertos na base do tabuleiro Para a construção das peças, siga orientação abaixo:
Pegue todos os quadrados desprendidos da etapa anterior e divida na diagonal do vértice esquerdo inferior ao vértice direito superior.
Quadro 10: Divisão diagonal do quadrado
Fonte: Desenhado pela equipe participativa.
Como só temos 36 quadrados de 5 cm de lado, precisaremos de mais 14, então recorde mais 14 quadrados e siga a instrução anterior dividindo na sua diagonal.
- ENUMERANDO OS TRIÂNGULOS
Quando são cortados, os quadrados formam-se triângulos, então temos 50 quadrados divididos, isto é, 100 triângulos.
Enumere os triângulos frente e verso de 0 a 9, de forma que tenha de um lado 10 triângulos de cada algarismo, e não repita o mesmo algarismo da frente e do verso.
Enumere os triângulos nesses pares de algarismo: 0 e 1, 2 e 3, 4 e 5, 6 e 7, 8 e 9. Observe: Ao numerar os triângulos, forme quadrados e enumere a fim de evitar erros na colocação da posição dos números.
- MULTIPLICANDO COM MÉTODO GELOSIA
Para fazer a multiplicação usando o método da Gelosia, primeiramente determine os fatores a serem multiplicados:
1 Coloque os triângulos representantes ao numero a ser multiplicado, o multiplicador na linha superior e o multiplicando na ultima coluna da direita. Nesse caso multiplicaremos 123 x 45 (Veja a Figura 20 a seguir).
Figura 20 - Multiplicação usando o método gelósia
2 Multiplique cada algarismo da coluna pelo da linha; quando o resultado tiver duas casas decimais, coloque o algarismo referente à dezena na parte superior da diagonal e o referente das unidades na parte inferior.
3 Após preencher as diagonais com os resultados dos produtos, some os valores das diagonais correspondentes coluna a coluna, e o número obtido é o produto desta multiplicação 123 x 45 = 5535.
Observação: Quando o resultado das diagonais for uma dezena, transfira o número correspondente à dezena na próxima diagonal a ser calculada.
- SUGESTÕES DE ATIVIDADES DIDÁTICAS 1 Efetuar multiplicações utilizando o método de Gelosia.
2 Efetuar multiplicação de duas maneiras diferente: método de Gelosia e o método atual.
3 Confeccionar material para o aluno utilizar nas aulas ou na resolução das equações de casa.
4 Explanar para os alunos um pouco sobre a história do método Gelosia destacando sua relevância na sociedade antiga e atual.
4.3.2.5 Breve história acerca das Barras de Napier no uso da multiplicação
John Napier nasceu em 1550, e morreu dia 4 e abril de 1617. Era um matemático escocês, e foi o inventor dos logaritmos. Em 1614, publicou seu livro Mirifici logorithmorum
canonis descriptio (Uma Descrição do maravilhoso cânone dos Logaritmos), que conteve uma
descrição de logaritmos, um conjunto de tabelas e regras para o uso deles.
Napier apresentou outro método de simplificar cálculos no seu livro Rabdlogiae (RABDOLOGIA, 1617). Nele descreveu um método de multiplicação que usa barras com números marcados nelas. As Barras de Napier ou bastões de Napier ou ossos de Napier eram