A construção do IES passa pela estimação dos pesos associados a cada um dos indicadores que entram na sua composição. Estes pesos serão estimados tendo como fundamento a interface (ou a correlação) que existe entre os indicadores. Assim, os pesos serão aferidos de tal forma que possam captar as áreas de interseção entre esses indicadores. Para tanto recorreCse ao diagrama mostrado na FIG. 1. ImagineCse que apenas duas variáveis entrassem na composição do IES, e estas variáveis fossem representadas pelos conjuntos A e B. O conjunto A, por exemplo, representando o percentual da população de um dado município que está privada do acesso a água tratada. O conjunto B poderia representar o percentual da população do município que fosse privada de saneamento. A interseção entre A e B, seria o conjunto C. O conjunto C, definido desta forma, representaria o percentual de pessoas no município que não tinham acesso simultâneo aos serviços de água tratada e de saneamento. SobrepondoCse os conjuntos dos outros três indicadores utilizados para aferir exclusão social, haveria uma área comum de interseção entre os 5 indicadores. Os pesos que se busca estimar neste estudo serão definidos de tal forma que possam aferir o tamanho das áreas de interseção desse conjuntos formados pelos cinco (5) indicadores empregados para aferirem exclusão social em cada um dos municípios brasileiros. (Figura. 1A).
FIGURA 1A: Diagrama teórico para a estimação dos pesos associados a cada um dos indicadores do IES
O Índice de Exclusão Social (IES) é construído em duas etapas. No primeiro estágio empregaCse o método de análise fatorial para estimar os escores fatoriais que serão utilizados na construção do índice parcial de exclusão social (IPES). Este índice parcial, se torna útil para hierarquizar os municípios, mas não informa o percentual de excluídos existentes em cada um deles. Portanto tem características parecidas com o IDH e o IDR. A partir deste IPES é que geramCse os pesos, que têm as características discutidas no diagrama acima, e que serão empregados na definição do IES. No Anexo a este trabalho, o leitor interessado poderá encontrar uma breve discussão do método de análise fatorial, naquelas características que interessam na construção do IPES e, posteriormente, do IES nesta pesquisa. Veja procedimento metodológico em anexo.
O Índice de Exclusão Social (IES) é construído em duas etapas. Na primeira etapa empregaCse o método de análise fatorial para estimar os escores fatoriais que serão utilizados na construção do índice parcial de exclusão social (IPES). Este índice parcial, como o título sugere, se torna útil para fazer o ranking dos municípios, mas não informa o percentual de excluídos existentes em cada município. A partir deste IPES é que geramCse os pesos que serão empregados na definição do IES. Estes pesos são estimados por análise de regressão da forma que será apresentada em seguida. Inicialmente, apresentaCse uma breve discussão do método de análise fatorial, naquelas características que interessam na construção do IPES e, posteriormente, do IES.
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Em geral podeCse representar um modelo de análise fatorial da seguinte forma:
X = ααααf + εεεε ; (1)
na qual X = ( X1, X2, ... , Xp)T constituiCse num vetor transposto de variáveis aleatórias
observáveis; f = (f1, f2, ... , fr)T é um vetor transposto r < p de variáveis não observáveis ou
variáveis latentes chamadas de fatores; αααα é uma matriz (p x r) de coeficientes fixos chamados de cargas fatoriais; εεεε = (εεεε1, εεεε2, ... , εεεε3)T é um vetor transposto de termos aleatórios. Normalmente
Em geral a estrutura inicial das estimativas das cargas fatoriais não é definitiva. Para confirmar ou rejeitar esta estrutura inicial, o método de análise fatorial proporciona a possibilidade de fazerCse a rotação desta estrutura inicial. No caso especifico deste estudo, utilizaC se o método de rotação ortogonal dos fatores. Leitores interessados em maiores detalhes sobre este e outros método de rotação (inclusive procedimentos de rotação oblíqua) podem encontráClos nos trabalhos de DILLON ; GOLDSTEIN, 1984; JOHNSON ; WICHERN, 1988; e BASILEVSKY, 1994.
Para a construção do IPES estimamCse os escores associados aos fatores obtidos após a rotação ortogonal da estrutura fatorial inicial. Por definição, o escore fatorial irá situar cada observação no espaço dos fatores comuns. Assim para cada fator fi o iCésimo escore fatorial que
pode ser extraído é definido por Fi , e pode ser expresso pela seguinte equação:
Fi = B1Xi1 + B2Xi2 + ... + BpXIES ; i = 1, 2, ... , n; j = 1, 2, ... , p (2)
onde B1, B2, ... , Bp são coeficientes de regressão; Xi1, Xi2, ... , XIES são p variáveis observáveis.
A variável Fi não é observável, contudo podeCse estimáCla através das técnicas existentes
de análise fatorial, utilizandoCse da matriz X de variáveis observáveis. Agora podeCse reescrever a equação (2) de forma compacta utilizandoCse notação matricial. Esta redefinição assume a seguinte expressão:
F (n x q) = X(n x p).B(p x q) (3)
Nas equações (2) e (3), os escores fatoriais serão afetados tanto pela magnitude como pelas unidades em que as variáveis X são medidas. Para evitar este tipo de problema, substituiCse a variável X pela variável normalizada Z, em que:
Zij = [(Xi K xi)/σσσσxi] ;
na qual xi é a média de Xi , e σxi é o seu desvio padrão. Desta forma a equação (3) pode ser
F(n x q) = Z(n x p).ββββ(p x q) . (4)
Na equação (4) o vetor ββββ substitui B, porque as variáveis estão normalizadas em ambos os lados da equação.
PréCmultiplicando ambos os lados da equação (4) pelo valor (1/n)ZT, onde n é o número de observações, e ZT é a matriz transposta de Z, obtémCse:
(1/n)ZTF = (1/n)ZTZββββ. (5)
A matriz (1/n)ZTZ se constitui, na verdade, na matriz de correlação entre os termos da matriz X. DesignaCse esta matriz de R. A matriz (1/n)ZTF representa a correlação existente entre os escores fatoriais e os próprios fatores. Esta matriz será chamada de ΛΛΛΛ. Agora podeCse reC escrever a equação (5) da seguinte forma:
Λ ΛΛ
Λ = R.ββββ (6)
Se for possível assumir que R é uma matriz não singular, podeCse agora préCmultiplicar ambos os lados de (6) pela inversa de R (RK1). Neste caso obtémCse o seguinte resultado.
β β β
β = RK1.ΛΛΛΛ. (7)
Tendo estimado o vetor β podeCse substituíClo na equação (4) objetivando obter o escore fatorial associado a cada observação.
$ %
Para construir o Índice de Parcial de Exclusão Social (IPES) utilizaCse da propriedade de ortogonalidade associada aos escores fatoriais estimados. Deve ficar claro que a ortogonalidade associada à matriz de fatores não implica, necessariamente, na ortogonalidade dos escores fatoriais. Desta forma deveCse testar se os escores fatoriais são ortogonais. Isto é feito
observandoCse a matriz de variância e covariância entre estes escores. Esta matriz deve ser uma identidade para que os escores fatoriais sejam ortogonais. O índice parcial de exclusão social IPES é estimado pela seguinte equação:
IPESj = (Fi12 + Fi22 + ... + Fin2)1/2. (8)
Na equação acima, IPESj é o índice de parcial de exclusão social associado ao jCésimo
município.
EsperaCse que todos os coeficientes associados aos escores fatoriais relevantes sejam positivos. EsperaCse também que os escores associados aos estados tenham distribuição simétrica em torno da média zero. Assim, metade dos escores fatoriais terá sinais negativos e a outra metade terá sinais positivos. Os municípios que apresentarem os menores índices parciais de exclusão social aferidos pelo IPES terão escores fatoriais negativos. Para evitar que altos escores fatoriais negativos elevem a magnitude dos índices associados a estes municípios (lembrando que o índice é construído a partir da elevação ao quadrado dos escores fatoriais associados a cada município), procedeCse a seguinte transformação nos escores fatoriais objetivando trazer todos eles para o primeiro quadrante:
Fij = (F K Fmin)/(Fmax K Fmin); (9)
na qual Fmin e Fmax são os valores máximo e mínimo observados para os escores fatoriais
associados aos municípios. Com este procedimento todos os escores fatoriais estarão contidos no intervalo fechado entre zero e um. Na Figura 2A mostraCse geometricamente como se calcula o Índice Parcial de Pobreza. Por esta figura observaCse que associado ao município A estão os escores fatoriais F1a e F2a. A resultante associada a estes escores fatoriais ortogonais é dada pelo
vetor Ra, assim definido:
Ra = (F1a2 + F2a2).5 . (10)
O mesmo procedimento seria utilizado para o município B. A magnitude do IPES será exatamente o tamanho das resultantes Ra ou Rb.
Figura 2A : Construção do Índice Parcial de Exclusão Social (IPES) F 1 F 1 F 1 a F 1 a F 1 b F 1 b 0 0 R a R a R b R b F 2 a F 2 a F 2 bF 2 b F 2F 2
Os pesos que serão utilizados na construção dos índices de exclusão social (IES) associados a cada município são estimados a partir do seguinte modelo de regressão linear múltipla:
IPES
j= ∑β
iY
i+ ε
j (11)Na equação acima,
IPES
j está associado ao jCésimo município;β
i são os coeficientes de regressão que serão transformados em pesos;Y
i são as variáveis que entram na construção do índice de exclusão social;ε
j é o termo de disturbância aleatória, que por hipótese atende aos pressupostos do modelo linear clássico, de ser homocedástico e não autorregressivo. Os coeficientes são estimados pelo método dos mínimos quadrados ordinários. Maiores detalhes sobre estes procedimentos e da criação do IPES e IES ver Lemos, 1995 e Lemos, 1998.Na Tabela 1A apresentamCse a síntese dos resultados. Mas antes deve ser dito que o método de análise fatorial utilizado para estimar os fatores e os escores fatoriais, foi a
decomposição em componentes principais, com rotação ortogonal varimax. Por este procedimento reduziramCse as 5 variáveis iniciais em 2 fatores ortogonais. Os resultado obtidos com a estimação dos fatores e dos escores fatoriais estão apresentados na Tabela 3.
TABELA 1A: Resultados Obtidos com a Estimação dos Fatores, Escores Fatoriais e dos Pesos Associados a Cada um dos Indicadores que Definem o IES
FATORES Escores Fatoriais
VARIÁVEIS Fator 1 Fator 2 Fator 1 Fator 2 Pesos PRIVAGUA 7&A68 0,121 7&;B6 C0,329 0,1460
PRIVSANE 7&;CB 0,467 7&6DD 0,049 0,1471 PRIVLIXO 7&D8A 0,429 7&98: C0,047 0,1310 PRIVEDUC 0,269 7&A76 C0,212 7&:;C 0,3119 PRIVREND 0,271 7&A89 C0,216 7&:C: 0,2640 %Variância
Explicada pelos fatores
42,343 41,327
Fonte: Valores estimados a partir dos dados do Censo Demográfico de 2000.
Através das evidências apresentadas na Tabela 3, depreendeCse que os dois fatores em que se decompuseram as cinco variáveis iniciais, explicam conjuntamente 83,67% da variância total, desdobrada em 42,343% para o primeiro fator e 41,327% explicados pelo segundo fator. Pelos resultados mostrados na Tabela 3, também constataCse que os indicadores associados ao primeiro fator (apresentam os maiores coeficientes fatoriais) são: PRIVAGUA, PRIVSANE e PRIVLIXO. Ao segundo fator estão associados os indicadores PRIVEDUC e PRIVREND. A matriz de variânciaCcovariância entre os escores fatoriais é uma identidade, portanto estes escores fatoriais são ortogonais (ver anexo metodológico), e podeCse prosseguir com a estimação do dos pesos mostrados na Tabela 1A.
$ - - .
Antes de apresentar os resultados encontrados nesta etapa da pesquisa, acreditamos que valha a pena apresentar a relação estatística que existe entre estes dois indicadores sociais: um de mal estar social (IES) e o outro de bem estar social (IDH). Para tanto utilizaramCse as observações de todos os municípios brasileiros para buscar esta relação que deve ser negativa, obviamente. Inicialmente elaborouCse um gráfico num sistema de eixos cartesianos ortogonais que mostra esta relação. Isto está apresentado na Figura 3 a seguir.
Na figura 3A observaCse claramente a relação negativa que existe entre o IES e o IDH. Com base nesta informação buscouCse estimar a correlação que existe entre estes dois índices. Para tanto utilizaCse o coeficiente de correlação linear de Pearson. O valor estimado foi de C0,876. Em seguida estimaCse a equação de regressão tendo como variável dependente o IDH e como variável explicativa o IES. O modelo proposto foi o seguinte:
IDH = α + β IES + є.
Na equação acima α é o coeficiente linear; β se constitui no coeficiente angular. Estes coeficientes foram estimados pelo método dos mínimos quadrados ordinários (MQO), sob a hipótese de que o termo aleatório
є
que aparece na equação tenha distribuição normal com média zero, variância constante e não seja autoCregressivo. As estimativas obtidas para os coeficientes linear a angular apresentaram elevado nível de significância estatística (nível de significância nula), o que sugere o bom grau de ajustamento encontrado para o modelo que propusemos. Com efeito, estimouCse a seguinte equação:- 5 '
Nesta versão do trabalho achamos que poderíamos tentar buscar estimativas para os níveis de exclusão social experimentados nos paises menos desenvolvidos, tal como definidos pela ONU no Relatório de Desenvolvimento Humano de 2006. Optamos por colocar estas estimativas em Anexo, justamente porque a fizemos de forma indireta, haja vista que não dispúnhamos das informações que possibilitassem estimar os indicadores de privações em cada um dos paises. Para encontrar as estimavas do IES, baseouCse na Figura 3A que mostra a relação inversa entre o IES e o IDH e o elevado coeficiente de correlação estimado, a partir das observações para os municípios brasileiros. Assim, fazCse a hipótese que pode ser muito forte de que estas relações se equivalem também nos paises menos desenvolvidos. Se esta hipótese não for verdadeira, ao menos os resultados obtidos servirão como indicadores de prováveis tendências de exclusão social potencialmente encontradas naqueles países. Alem disso, o IES estimado para esses países menos desenvolvidos servirá para fazer a comparação com o índice de pobreza (Poverty Index) estimado pela ONU para esses países. Acreditamos que se for possível disponibilizar para os países menos desenvolvidos os percentuais das populações com acesso (ou privadas) dos serviços essenciais de água potável, saneamento e coleta de lixo, bem como do percentual da população que sobrevive com renda abaixo de um dólar americano por dia, poderemos estimar juntamente com o IDH desses países os respectivos IES. Fica a sugestão. Vejamos os resultados que conseguimos a partir das estimativas indiretas. Inicialmente construímos o seguinte modelo de regressão, em que colocamos o IES como variável dependente e o IDH como variável explicativa, portanto, numa versão invertida da apresentada acima. Em seguida dividimos a amostra de 5506 municípios brasileiros em duas subCamostras. A primeira constou de 200 observações dos municípios que apresentavam os maiores IES e que estavam associados a IDH menores do que 0,570. Esta equação apresentou o seguinte resultado:
IES = 91,326 – 33,468 IDH; para IDH < 0,570
Os coeficientes linear e angular desta equação apresentaram nível zero de significância estatística, portanto, significando um modelo com elevado nível de ajustamento. ObservaramCse a
amplitude de variação do IES nos municípios associados às 200 observações utilizadas para a geração do modelo acima e adotouCse idêntica amplitude nas observações dos IDH dos países menos desenvolvidos. Esta amplitude de variação está apresentada na Tabela 2A.
Para os demais países utilizouCse a seguinte equação para estimar o IES a partir do IDH:
IES = 183,849 – 197,872 IDH; para 0,570 ≤ IDH ≤ 0,919.
Na Tabela 2A apresentamCse as estimativas obtidas para os Índices de Exclusão Social (IES) para os paises menos desenvolvidos, com base no IDH desses paises divulgado no Relatório de Desenvolvimento Humano de 2006 (HDR, 2006).
Com base nas evidencias apresentadas na Tabela 2A constataCse que o Índice de Exclusão Social estimado para os 154 países menos desenvolvidos da ONU varia de 80,92% em Niger, o país de menor IDH dentre aqueles para os quais existem informações, até 2,00% que foi o percentual de socialmente excluídos estimados para Singapore, o Pais que apresenta o maior IDH dentre os menos desenvolvidos e, por conseqüência, o menor IES. InsisteCse na lembrança que havíamos feito anteriormente de que estes resultados apenas servem como prováveis tendências para os reais percentuais de socialmente excluídos nos países listados na tabela. Obviamente que as verdadeiras estimativas de IES para esses paises apenas seria possível se tivéssemos os dados de privações que são utilizados como os argumentos da equação do IES: (Privagua, Privsane, Privlixo, Priveduc e Privrend). Fica a sugestão para que as próximas edições do HDR tragam esses indicadores.
TABELA 2A: IDH e IES Estimado Indiretamente para os 154 Países Menos Desenvolvidos em 2004
PAIS IDH IES PAIS IDH IES PAIS IDH IES
Singaore 0,919 2,00 Saudi Aabia 0,777 30,10 São Tomé and Principe 0,607 63,74 Korea, Rep of 0,912 3,39 Ukraine 0,774 30,70 Camboia 0,583 68,49 Slovenia 0,910 3,79 Lebanon 0,774 30,70 Solomon Islands 0,582 68,69 portugal 0,904 4,97 Kazaikstan 0,774 30,70 Myamar 0,581 68,89 Cyprus 0,903 5,17 Armenia 0,768 31,88 Botswana 0,570 71,06 Czech.Rep 0,885 8,73 China 0,768 31,88 Cooros 0,556 72,72 Barbados 0,879 9,92 Peru 0,767 32,08 Lao People's Dem. Rep. 0,553 72,82 Malta 0,875 10,71 Ecuador 0,765 32,48 Paquistao 0,539 73,29 Bunei Danussaiam 0,871 11,50 Philipines 0,763 32,87 Bhutain 0,538 73,32 Kuwait 0,871 11,50 Grenada 0,762 33,07 Ghana 0,532 73,52 Hungary 0,869 11,90 Jordan 0,760 33,47 Bangladesh 0,530 73,59 Argentina 0,863 13,09 Tunisia 0,760 33,47 Nepal 0,527 73,69
Poland 0,862 13,28 St. Vinc and Grenadines 0,759 33,66 Papua New Guinea 0,523 73,82
Chile 0,859 13,88 Suriame 0,759 33,66 Congo 0,520 73,92
Bahrain 0,859 13,88 Fiji 0,758 33,86 Sudan 0,516 74,06
Estonia 0,858 14,07 Paraguai 0,757 34,06 Timor Leste 0,512 74,19 Lithuania 0,857 14,27 Turkey 0,757 34,06 Madagascar 0,509 74,29 Slovakia 0,856 14,47 Sri Lanka 0,755 34,46 Cameroon 0,506 74,39 Uruguay 0,851 15,46 Cominican Republic 0,751 35,25 Uganda 0,502 74,53 Croatia 0,846 16,45 Belize 0,751 35,25 Swaziland 0,500 74,59 Latvia 0,845 16,65 Iran, Islamic Rep. of 0,746 36,24 Togo 0,495 74,76 Qatar 0,844 16,85 Georgia 0,743 36,83 Djboti 0,494 74,79 Seychelles 0,842 17,24 Maldives 0,739 37,62 Lesotho 0,494 74,79 Costa Rica 0,841 17,44 Azerbaijan 0,736 38,22 Yemen 0,492 74,86
United Arab Emirates 0,839 17,83 Palestinian Territories 0,736 38,22 Zimbabwe 0,491 74,89
Cuba 0,826 20,41 El Salvador 0,728 39,80 Kenya 0,490 74,93
Saint Kitts and Nevis 0,825 20,60 Algeria 0,728 39,80 Mauritania 0,486 75,06
Bahamas 0,825 20,60 Guyana 0,725 40,39 Haiti 0,482 75,19 Mexico 0,821 21,40 Jamaica 0,724 40,59 Gambia 0,479 75,29 Bulgaria 0,816 22,39 Turkmenistan 0,724 40,59 Senegal 0,460 75,93 Tonga 0,815 22,58 Cape Verde 0,722 40,99 Eritrea 0,454 76,13 Oman 0,810 23,57 Syrian Arab Republic 0,716 42,17 Rwanda 0,450 76,27 Trinidad ad Tobago 0,809 23,77 Indonesia 0,711 43,16 Nigeria 0,448 76,33 Panamá 0,809 23,77 Vietnam 0,709 43,56 Guinea 0,445 76,43 Anigua and Barbuda 0,808 23,97 Kyrgistan 0,705 44,35 Angola 0,439 76,63 Romania 0,805 24,56 Figi 0,702 44,94 Tanzania 0,430 76,93 Malaysia 0,805 24,56 Nicaragua 0,698 45,73 Benin 0,428 77,00
Bonia and Herzegovenia 0,800 25,55 Lizbekistan 0,696 46,13 Côte d'Ivore 0,421 77,24
Mauritius 0,800 25,55 Mondovia, Rep. Of. 0,694 46,53 Zambia 0,407 77,70 Lybia 0,798 25,95 Bolivia 0,692 46,92 Malawi 0,400 77,94 Russian Fedeation 0,797 26,15 Mongolia 0,691 47,12 Congo 0,391 78,24 Macedonia 0,796 26,34 Honduras 0,683 48,70 Mozambique 0,390 78,27 Togo 0,795 26,54 Guatemala 0,673 50,68 Burundi 0,384 78,47 Belarus 0,794 26,74 Vauatu 0,670 51,27 Ethiopia 0,371 78,91 Dominica 0,793 26,94 Equtorian Guinea 0,653 54,64 Chadi 0,368 79,01 Colombia 0,790 27,53 South Africa 0,653 54,64 Central African Republic 0,353 79,51 Saint Lucia 0,790 27,53 Tajikistan 0,652 54,84 Guinea Bissau 0,349 79,65 Venezuela, RB 0,784 28,72 Marocco 0,640 57,21 Bukina Faso 0,342 79,88
Albania 0,784 28,72 Gabon 0,633 58,60 Mali 0,338 80,01
Thailand 0,784 28,72 Namibia 0,626 59,98 Serra Leoa 0,335 80,11 Samoa (Western) 0,778 29,90 India 0,611 62,95 Niger 0,311 80,92 Fontes: IBGE, 2002 e HDR, 2006.