Desenvolver o sentido de número

Sendo indiscutível a relevância do desenvolvimento do sentido de número, como está claramente expresso nas orientações incluídas em numerosos documentos de natureza curricular referidos nas secções anteriores, e reconhecendo a sua importância, interessa compreender como podem ser concretizadas essas orientações com os alunos, na sala de aula. Essa concretização inclui a necessidade de ter em consideração aspetos do papel do professor, do ambiente de aprendizagem e das tarefas de aprendizagem quando se pretende o desenvolvimento do sentido de número na sala de aula.

O papel do professor e o ambiente de aprendizagem

desenvolvimento, explicitando que este não pode ser compartimentado nem associado apenas à aprendizagem específica numa determinada unidade de ensino. No mesmo sentido de Berch são as referências de Greeno (1989, 1991) e de Reys (1994) ao desenvolvimento do sentido de número dos alunos, encarando-o numa perspetiva de mudança do ensino da Matemática e não apenas como mais um dos seus objetivos. Assim, é o próprio ensino que deve ser organizado de modo diferente, incluindo atividades ao longo do currículo que promovam o desenvolvimento do sentido de número de forma global.

Mais especificamente, e referindo-se ao processo de ensino, Reys (1994) concretiza:

Através do estabelecimento de uma atmosfera de sala de aula que encoraja a exploração, o pensamento e a discussão e através da seleção de problemas e atividades apropriadas, o professor pode promover o sentido de número em todas as experiências matemáticas. (p. 120)

Outros autores afirmam, também, que o ensino efetivo da Matemática deve colocar a ênfase no processo de aprendizagem, de modo a promover o raciocínio matemático dos alunos (Fraivillig, 2001, Yang, 2003a) e realçam o seu contributo no desenvolvimento do sentido de número. Yang (2003a) propõe mesmo um modelo (Figura 2.1) de ensino orientado para o processo de aprendizagem do sentido de número. Este modelo descreve o modo como o professor, na sua sala de aula, deve atuar e organizar as atividades de ensino. A análise da figura 2.1. revela que é essencial que o professor estimule o raciocínio e a resolução de problemas, que ouça os alunos e que coloque questões desafiadoras de modo a encontrarem, se necessário, outros caminhos. Revela, também, que não basta proporcionar momentos de trabalho em pequenos grupos. É, ainda, essencial prever discussões com toda a turma em que os alunos são encorajados e apoiados a apresentarem explicações e justificações, a debaterem ideias, a compararem as suas resoluções e a colocarem questões.

Num ambiente com estas características o professor tem o papel fundamental de colocar questões, de encorajar os alunos a formular explicações e encontrar respostas, de os ouvir, de os apoiar e de os desafiar a encontrar outros caminhos, se necessário.

Figura 2.1 – Modelo de ensino (Yang, 2003a)

Numa perspetiva de desenvolvimento do sentido de número, as discussões com toda a turma são um dos aspetos que Yang (2003a) destaca no modelo que apresenta. Considerando a pertinência de organizar o ensino deste modo, apresento cinco práticas- chave que, de acordo com Stein, Engle, Smith e Hughes (2008), auxiliam o professor a orientar as discussões, na sala de aula, com toda a turma. Os autores referem que as discussões orquestradas deste modo desenvolvem, por um lado, o raciocínio dos alunos e, por outro, constroem ideias matemáticas importantes. Segundo estes autores, é fundamental desenvolver este tipo de práticas, a que denominam de “segunda geração”, que organizam a discussão realizada com toda a turma após os alunos terem trabalhado com tarefas de elevado nível cognitivo. Tarefas deste tipo são aquelas que provocam mudança cognitiva (Smith, Hughes, Engle & Stein, 2009; Stein et al., 2008).

As cinco práticas referidas por Smith et al. (2009) e Stein et al. (2008) são: (1) a antecipação das respostas dos alunos a tarefas cognitivamente exigentes; (2) a

seleção de determinados alunos para apresentar as suas resoluções durante a fase de discussão e sumarização; (4) a sequenciação intencional das apresentações das respostas dos alunos e (5) a ajuda à turma no estabelecimento de conexões matemáticas entre as diferentes resoluções dos alunos e entre as resoluções dos alunos e as ideias-chave que fazem parte da agenda de ensino do professor.

A primeira das práticas, a antecipação das respostas dos alunos em tarefas cognitivamente exigentes, pressupõe a construção, pelo professor, de expetativas sobre o modo como os alunos interpretam a tarefa, a inventariação de estratégias que poderão ser usadas, corretas e incorretas, e a compreensão do modo como as interpretações e as estratégias utilizadas se relacionam com os conceitos matemáticos, as representações, os procedimentos e as práticas associadas à aprendizagem dos alunos. Antecipar as respostas dos alunos auxilia o professor a reconhecer e a compreender, perante resoluções concretas, diferentes aspetos aos quais é preciso dar atenção. Na fase de antecipação é importante colocar-se na posição dos seus alunos e prever resoluções com graus de sofisticação diferentes, possíveis más interpretações ou até resoluções incorretas (Stein et al., 2008).

A segunda prática do professor é a monitorização das respostas (entendidas como resolução) dos alunos às tarefas, durante a fase de exploração das mesmas. A sua finalidade é a identificação do potencial de aprendizagem matemática de determinadas estratégias ou representações usadas pelos alunos, tendo em vista a sua partilha com toda a turma na fase de discussão. Durante a monitorização, o professor deve dedicar especial atenção ao que os alunos dizem e fazem, de modo a reconhecer as ideias matemáticas subjacentes e a analisar a sua validade. Esta prática é facilitada pelo investimento feito previamente pelo professor na prática anterior, uma vez que, se fez um verdadeiro esforço de antecipação dos modos de resolução dos alunos, ser-lhe-á mais fácil reconhecê-los. Nesta fase é importante fazer perguntas aos alunos sobre o seu trabalho, de modo a avaliar o raciocínio matemático que estes usam, sobretudo no que diz respeito à compreensão dos conceitos relacionados com o objetivo da aula (Stein et al., 2008). Se o professor, compreender o modo como os alunos raciocinam relativamente a uma tarefa proposta, mais facilmente conseguirá colocar questões que, por um lado, os ajudem a

construir argumentos sólidos acerca do seu modo de pensar e, por outro, aumentem a sua compreensão sobre os aspetos matemáticos que estão em causa (Smith, Bill, & Hughes, 2008).

A terceira prática corresponde à seleção de determinados alunos ou grupos de alunos, a partir das suas resoluções, para as partilharem com o resto da turma. Esta seleção deve ser feita tendo em conta um aspeto particular, uma ideia, uma estratégia ou uma representação que o professor considere importante ser partilhada com os outros e que esteja relacionada com o que o professor considera importante realçar. Deste modo, o professor controla, até um certo ponto, o que os alunos apresentam e, consequentemente, o conteúdo matemático dessa apresentação.

A quarta prática corresponde à sequenciação intencional das respostas dos alunos. Esta deve ser organizada de acordo com determinadas decisões tomadas pelo professor. “Através da escolha propositada da ordem pela qual os alunos apresentam o seu trabalho os professores podem maximizar as hipóteses de atingir os objetivos previstos para a discussão” (Stein et al., 2008, p. 329). Contudo, a seleção pode obedecer a diferentes critérios: por exemplo, apresentar primeiro a estratégia usada pela maior parte dos alunos, e só depois as estratégias usadas apenas por alguns, ou iniciar a apresentação por uma estratégia bastante fácil e, progressivamente, apresentar estratégias mais complexas. Também pode ser um critério iniciar a apresentação por uma resolução incorreta mas utilizada por alguns alunos, no sentido de esclarecer os mal-entendidos e progredir para estratégias mais eficazes. No entanto, como é referido por Smith et al. (2009), qualquer que seja o critério escolhido, a sequenciação das resoluções depende do conhecimento que o professor tem dos seus alunos, das suas resoluções e das finalidades de ensino associadas à atividade desenvolvida.

Finalmente, a quinta prática, o estabelecimento de conexões entre as respostas dos alunos, permite ao professor ajudar os alunos a relacionar as suas resoluções com as de outros colegas, inter-relacionar as diferentes representações utilizadas e ainda estabelecer conexões entre as suas resoluções e as ideias matemáticas que constituem o foco de trabalho realizado (Smith et al., 2009). Nesta fase, os alunos podem também ser

duas estratégias aparentemente distintas ou ainda a estabelecer padrões matemáticos de vária ordem. É, ainda, nesta fase de discussão conjunta, que os alunos devem ter consciência das consequências do uso de determinadas estratégias, mais ou menos eficazes, na resolução de certos problemas.

As cinco práticas relatadas auxiliam o professor na organização do ensino em sala de aula, de modo a orientar discussões que partem das resoluções dos alunos, promovem a aprendizagem através das interações entre eles e proporcionam uma verdadeira compreensão sobre ideias matemáticas (Smith et al, 2008, 2009; Stein et al, 2008). Contudo, para que seja possível uma prática pedagógica eficaz, incluindo as descritas anteriormente, que fomente a aprendizagem dos alunos com compreensão, é necessário também estabelecer normas que suportem a cultura de sala de aula subjacente. Esta cultura de sala de aula deve ser construída dando especial relevo, a par das práticas matemáticas, ao estabelecimento de normas sociais e normas sociomatemáticas (Cobb, Stephan, McClain, & Gravemeijer, 2001).

Em qualquer turma existe, de modo mais ou menos explícito, um conjunto de normas sociais que regem as interações entre os alunos e o professor, a propósito da atividade desenvolvida na sala de aula. Também em qualquer aula de Matemática existem normas específicas associadas à atividade matemática dos alunos. Pensando numa perspetiva de desenvolvimento do sentido de número, as normas sociaisque devem ser construídas são as que valorizam a explicação, a justificação e a argumentação referente aos modos de pensar dos alunos, a tentativa de compreender as ideias dos outros e a discussão sobre alternativas a processos ou soluções. Estas normas sociais, de acordo com Yackel e Cobb (1996), estão subjacentes a uma cultura de sala de aula que promove o desenvolvimento da autonomia intelectual dos alunos. É de notar que estas normas sociais podem fazer parte da cultura de sala de aula de qualquer disciplina, não especificamente da aula de Matemática.

Associada à atividade matemática dos alunos, e considerando uma cultura de sala de aula baseada numa discussão de ideias matemáticas que privilegie o debate e a reflexão, é importante construir um conjunto de normas sociomatemáticas. Exemplos de normas sociomatemáticas são o que constitui uma explicação ou uma justificação

matematicamente aceitável, uma resolução ou uma solução matematicamente diferente ou ainda uma resolução matematicamente eficiente (Cobb et al., 2001; Yackel, 2001; Yackel & Cobb, 1996).

Um exemplo de uma prática de sala de aula baseada nas ideias de Smith et al. (2009) e de Stein et al. (2008) e que tem subjacente uma cultura de sala de aula regulada por um conjunto de normas sociais e sociomatemáticas como as enunciadas anteriormente, são os congressos matemáticos (Fosnot & Dolk, 2001a, 2001b). Nestes congressos, a aula de Matemática é perspetivada como uma comunidade matemática em que os alunos devem agir como matemáticos. Colocados perante tarefas desafiadoras são envolvidos na sua resolução, questionando, experimentando e construindo as suas próprias estratégias. Posteriormente, e de acordo com critérios estabelecidos pelo professor, alguns deles apresentam e justificam aos colegas as suas resoluções. O propósito de um congresso matemático não é que todos apresentem as suas ideias, mas centrar a discussão numa ideia-chave, numa estratégia ou na problematização de uma conceção errónea sobre uma determinada ideia matemática. Tal como acontece nas práticas de seleção e sequenciação intencional das resoluções dos alunos, referidas por Smith et al. (2009) e Stein et al. (2008), é o professor que decide como estruturar o congresso, como o organizar, quais as ideias que o norteiam e como vai garantir que todos se sintam desafiados (Fosnot & Dolk, 2001a, 2001b).

Há investigações associadas, explicitamente, ao desenvolvimento do sentido de número e realizadas com alunos de diferentes anos de escolaridade (Markovits & Sowder, 1994; Yang, 2001, 2003a; Yang, Hsu & Huang, 2004; Yang & Reys, 2001), que evidenciam que o ensino que promove o seu desenvolvimento é aquele que se foca na compreensão dos conceitos criando, para isso, um ambiente de sala de aula onde é encorajada a comunicação, a exploração, a discussão e o raciocínio, tal como foi referido anteriormente. Promover o sentido de número dos alunos num ambiente de ensino com as características enunciadas foi o proposto, por exemplo, por Markovits e Sowder (1994) num estudo realizado com alunos do 7.º ano de escolaridade. Nesse estudo o trabalho foi organizado na sala de aula de modo a promover a discussão das várias

justificação, ainda que de modo informal. No mesmo sentido foi desenvolvida uma experiência de ensino mais recente, com alunos do 6.º ano, onde foi dada especial ênfase ao ambiente de sala de aula e às atividades propostas aos alunos, com a finalidade de desenvolver o seu sentido de número (Yang et al., 2004). Realçando a importância, tanto do papel do professor como do ambiente de sala de aula, os autores caracterizam a cultura de sala de aula da turma onde foi realizada a experiência:

[…] na turma de sentido de número, os professores ajudam os alunos a desenvolver o sentido de número colocando questões diferentes das que surgem nos seus livros de texto, encorajando discussões, promovendo oportunidades de os alunos comunicarem e partilharem os seus raciocínios e as suas justificações com os seus colegas. (Yang et al., 2004, p. 427)

Há vários autores que destacam a importância do papel desempenhado pelo professor na organização do ensino numa perspetiva de desenvolvimento do sentido de número (Nickerson & Whitacre, 2010; Yang & Reys, 2001; Yang, Reys & Reys, 2008c). Em particular, sublinham que é fundamental que, ele próprio, tenha um bom sentido de número e uma compreensão sólida sobre o que é o sentido de número e como se desenvolve, para poder orientar as experiências dos seus alunos. Além disso, e tal como acontece a propósito de outras temáticas da Educação Matemática, é indispensável que os professores tenham um conhecimento da Matemática para o ensino que inclui, entre outros aspetos, um conhecimento profundo do conteúdo de ensino que vai influenciar fortemente o que é e como é ensinado (Ball, Hill, & Bass 2005; Yang & Reys, 2001; Yang et al., 2008c).

Se equacionar o ensino numa perspetiva de desenvolvimento do sentido de número é um objetivo transversal a todo o currículo de Matemática, é pertinente desenvolver também o sentido de número dos professores para que estes, na sala de aula, estejam atentos e encontrem oportunidades favoráveis ao seu desenvolvimento nos alunos. Dedicar atenção a este aspeto é, especialmente relevante em Portugal pois, como foi anteriormente mencionado, esta orientação é bastante recente em termos curriculares.

Tendo como preocupação o sentido de número de professores e futuros professores, são organizadas formações em alguns países, a nível da formação inicial e

contínua de professores com a finalidade de desenvolver o sentido de número dos seus intervenientes, uma vez que a investigação mostra que muitos deles têm “ausência” de sentido de número (Kaminski, 2002; Yang et al., 2008c; Whitacre & Nickerson, 2006). Em particular, Whitacre e Nickerson (2006) realizaram uma experiência de ensino com futuros professores do Ensino Básico cujo objetivo foi desenvolver o seu sentido de número, em particular, nos aspetos relacionados com o cálculo mental. No decurso dessa experiência foi dada especial ênfase ao uso de modelos para raciocinar, e os resultados da investigação apontam para um aumento significativo do sentido de número dos futuros professores envolvidos (Whitacre & Nickerson, 2006).

As tarefas de aprendizagem

Na secção anterior, foi realçado o papel do professor na construção de uma cultura de sala de aula, propícia ao desenvolvimento do sentido de número dos alunos. Reys (1994) reforça o envolvimento do professor em todo o processo destacando, para além da criação de um ambiente favorável de sala de aula e do uso de determinadas práticas de ensino, a importância da seleção das tarefas a propor aos alunos. De facto, o professor deve organizar o ensino na sala de aula em torno de tarefas matemáticas, a partir das quais pode orquestrar discussões promotoras de conhecimento matemático.

As tarefas matemáticas assumem especial relevância quando se pensa a aprendizagem dos alunos na aula de Matemática (NCTM, 1991; Stein, Remillard, & Smith, 2007; Walls, 2005). Com efeito, “as tarefas nas quais os alunos se envolvem determinam o que eles aprendem em Matemática e como o aprendem” (Stein et al., 2007, p. 346).

O entendimento de tarefa matemática é diversificado. Na aceção de Stein et al. (2007), uma tarefa matemática é entendida como “a atividade matemática na sala de aula cujo propósito é focar a atenção dos alunos numa ideia matemática particular” (p. 346). A ideia de tarefa surge associada à sua construção e seleção, de acordo com a intencionalidade visada. Alguns autores sugerem princípios para a sua seleção, uma vez que a tarefa “precisa de ser o veículo” pelo qual o professor explora a Matemática com os

(1988) considera as tarefas matemáticas como um “contexto” para a aprendizagem. Assim sendo, a seleção de tarefas que promovam o desenvolvimento do sentido de número dos alunos deve ser cuidadosamente pensada pelo professor.

Focando-se numa perspetiva de desenvolvimento do sentido de número, Reys (1994) afirma que as atividades que o aumentam, sendo centradas nos processos, têm características comuns. De acordo com a mesma autora, estas características são as seguintes: (i) encorajam os alunos a pensar sobre o que vão fazer e a partilhá-lo com os colegas; (ii) promovem a criatividade e a investigação e permitem o uso de estratégias diversificadas; (iii) auxiliam os alunos a decidir o tipo de cálculo (por estimação ou exato, cálculo mental, calculadora ou papel e lápis) apropriado a cada situação; (iv) ajudam os alunos a compreender as regularidades da Matemática e as relações entre esta e o mundo real e (v) contribuem para uma visão dinâmica e desafiante da Matemática através da descoberta de relações.

As características das atividades que promovem o sentido de número, identificadas por Reys (1994), vão ao encontro do que preconizam Nickerson e Whitacre (2010), uma vez que se relacionam com a construção de uma certa cultura de sala de aula baseada na inquirição. Mas, como referem estes autores, esta cultura de sala de aula não é um “pré-requisito” que deve existir antes de os alunos realizarem as atividades que desenvolvem o sentido de número. Pelo contrário, “são as atividades de ensino que são desenhadas para contribuir para o desenvolvimento dessas normas. As atividades e as normas são construídas interativamente” (Nickerson & Whitacre, 2010, p. 233).

Subjacente a esta perspetiva de desenvolvimento do sentido de número há, também, autores que enfatizam a importância da exploração de contextos adequados (Fraivillig, 2001; Reys, 1994). Outros (Fosnot & Dolk, 2001a; Yang, 2003b), ainda, suportados por investigação realizada, fundamentam que o desenvolvimento do sentido de número deve ser relacionado com situações do dia-a-dia. De facto, usando os números em contextos reais, estes ganham um significado para os alunos. Yang (2003b) descreve uma experiência de ensino, realizada numa turma do 5.º ano, onde, através de contextos realistas, os alunos desenvolveram aspetos do sentido de número. Em particular, através do estabelecimento de conexões entre os problemas propostos na aula e situações do dia-

a-dia, compreenderam o significado dos números “grandes” e do cálculo usando números de referência.

Na mesma linha, Fosnot e Dolk (2001a) referem-se também à importância de organizar atividades que, dada a sua especificidade contribuem para o aumento do sentido de número dos alunos. Em particular, no início da escolaridade, reportam-se a jogos, rotinas e investigações. Justificam o uso de jogos como um contexto especialmente propício à aprendizagem da Matemática, desde que seja minimizado o efeito da competição. Consideram, ademais, que as rotinas são especialmente importantes no início da escolaridade, para dar significado aos números. Finalmente as investigações devem ser construídas e adaptadas de modo a terem como ponto de partida situações realistas que façam sentido para os alunos.

Uma teoria local de ensino para o desenvolvimento do sentido de número

Alguns autores destacam a importância de construir teorias locais de ensino, justificando que estas são indispensáveis para planificar o ensino (Gravemeijer, 2004b; Nickerson & Whitacre, 2010). Assumindo esta perspetiva, Nickerson e Whitacre (2010) construíram uma teoria local de ensino que pode orientar a construção de tarefas de ensino que suportem o desenvolvimento do sentido de número na aula. Pela sua relevância, atualidade e relação com a investigação que desenvolvo, passo a apresentar o estudo que estes autores realizaram, em particular, nos aspetos relacionados com a teoria