Relação entre a multiplicação e a divisão

A explicitação da relação entre as operações multiplicação e divisão e o seu uso em situações de cálculo, aspetos compatíveis com a perspetiva geral de desenvolvimento do sentido de número, são referidos na maioria dos documentos de natureza curricular, quando se reportam à aprendizagem destas operações.

O NCTM refere, numa das suas normas relativas ao Número e Operações para os anos 3-5, a compreensão sobre os significados das operações e sobre o modo como se relacionam umas com as outras, apontando especificamente “identificar e usar as relações entre as operações, tais como a divisão como inversa da multiplicação, para resolver problemas” (NCTM, 2007, p. 148). Também nas metas a atingir no final do 3.º ano, definidas pelo currículo australiano, é detalhada a conexão entre a multiplicação e a divisão. A sua aplicação em termos dos factos básicos de divisão, relacionando-os com os da multiplicação é referida nas questões associadas ao cálculo sobre estas duas operações (ACARA, 2010). A mesma relação e a sua potenciação em situações de cálculo são, ainda, mencionadas no documento curricular inglês analisado (DfEE, 1999).

A importância do conhecimento da relação inversa entre a multiplicação e a divisão e a sua aplicação em situação de cálculo é mencionada, ainda, por Treffers e Buys (2008) num documento de natureza curricular que pretende concretizar uma trajetória de ensino e aprendizagem de modo a alcançar as metas estabelecidas (van den Heuvel-Panhuizen, 2008). Aqueles autores realçam o facto de, no início da sua aprendizagem, a divisão poder surgir informalmente, não apenas a partir de subtrações sucessivas mas, também, a partir de uma exploração geral da multiplicação em que surge como inversa desta operação. Além disso, sugerem uma abordagem da divisão através da sua relação com a multiplicação, potencializando o conhecimento que os alunos já têm sobre esta última e usando-a, também para verificar os resultados obtidos (Treffers & Buys, 2008).

No PMEB, um dos objetivos específicos do tema Números e Operações para o 3.º e 4.º ano é “Resolver problemas tirando partido da relação entre a multiplicação e a

utilização em situação de resolução de problemas. Foi, também, esta a posição por mim assumida no estudo que desenvolvi. Assim, na experiência de ensino que delineei, em conjunto com a professora da turma participante no estudo, assumi a importância desta relação, que foi realçada e explicitada na resolução de problemas de divisão.

Em síntese, este capítulo discute algumas perspetivas associadas à aprendizagem das operações aritméticas, focando, sobretudo a multiplicação e a divisão. Relacionados com as operações adição e subtração são analisados estudos empíricos que identificam e caraterizam as estratégias usadas pelos alunos tanto no caso de números-dígito como no que se refere a números multidígitos.

Sobre as operações multiplicação e divisão destacam-se investigações associadas a tipos semânticos ou modelos de situações e relativas a modelos intuitivos. Estas duas linhas de investigação estão interligadas, apesar de poderem ser identificadas diferenças entre elas. São discutidos, ainda, estudos empíricos associados à inventariação e caraterização das estratégias usadas pelos alunos. Identificam-se categorizações de estratégias mais específicas, associadas à multiplicação ou divisão e outras mais globais, relativas às quatro operações aritméticas. Da análise comparativa das várias categorizações apresentadas por vários investigadores, emergem aspetos comuns, apesar da diversidade, por vezes, das designações utilizadas.

Os diferentes estudos relativos ao cálculo mental, ao cálculo algorítmico e ao sentido de número usam termos e significados nem sempre coincidentes. Assim, é feita uma discussão baseada nas diferentes perspetivas e explicitado o seu entendimento neste estudo. São debatidas, ainda, as posições que diferentes investigadores assumem relativamente ao cálculo mental e ao cálculo algorítmico. Também os termos métodos, estratégias, algoritmos e procedimentos são utilizados na investigação e em documentos curriculares, umas vezes com significados distintos e, outras, como sendo sinónimos. No sentido da sua clarificação são confrontados entendimentos diferentes e é justificada a opção assumida neste estudo pelo termo procedimento.

A relação de interdependência entre cálculo mental e sentido de número sobressai das investigações analisadas. Alguns autores evidenciam a necessidade de ter um bom

sentido de número para ter um cálculo mental flexível, enquanto outros realçam que o desenvolvimento do cálculo mental promove, também, o desenvolvimento do sentido de número. As potencialidades do cálculo mental são incontestáveis e destacadas por numerosos investigadores, que justificam o papel preponderante que deve ter na sala de aula. Ainda assim, há um lugar, também, para o cálculo algorítmico considerando as suas características associadas à essência da própria Matemática.

A terminar, é feita uma discussão sobre a aprendizagem da multiplicação numa perspetiva de desenvolvimento do sentido de número baseada na análise comparativa de orientações curriculares de vários países. Aí é realçada a importância do desenvolvimento do sentido de número, em geral e, especificamente, associado à aprendizagem da multiplicação. Destacam-se aspetos como a aprendizagem da multiplicação com compreensão, o papel do cálculo mental e a relação que deve ser estabelecida entre esta operação e a divisão.

Capítulo 4

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Metodologia

Neste capítulo descrevo e justifico as opções metodológicas do estudo que realizei, o contexto e a escolha dos seus participantes, os métodos e o processo de recolha de dados e, finalmente, o processo de análise dos dados.

Na secção sobre as opções metodológicas estas são identificadas e fundamentadas, em articulação com os propósitos do estudo e as suas principais características. Nesse âmbito optei por realizar uma experiência de ensino numa sala de aula do 3.º ano, modalidade de investigação inserida na design research, que discuto e justifico.

Na secção relativa ao contexto e aos participantes no estudo justifico a seleção da professora e, consequentemente, da turma, explicitando os critérios da sua escolha e caracterizo, resumidamente, a escola do 1.º ciclo do Ensino Básico e o Agrupamento de escolas a que pertence. Efetuo, ainda, uma breve caracterização da turma que se constitui como unidade de análise desta investigação. O papel desempenhado pela professora, no decurso da investigação realizada, é descrito numa das secções deste capítulo.