Diagrama spin network

Acabamos de visualizar os diagramas bi e mensionais desenvolvidos e agora nos aramos com o desafio da gera

essidade/vantagem de um diagrama em 4D? Entendemos que é na quarta dimensão espacial que o processo semiósico se completa, pois a interpretação sígnica se realiza na geração de um novo signo a partir da relação signo-objeto-intepretante. O diagrama em 4D pareceu-nos a opção mais interessante para concretizar e explicitar essas relações intrínsecas ao processo e que não se esgotam na tríade signo-objeto-interpretante. A linearidade 3D não é suficiente para representar essas conexões mentais que movem a semiose e, conseqüentemente, toda a lógica peirceana advinda de sua fenomenologia.

A tarefa de investigação e experimentação em 4D partiu do tetraedro, enquanto unidade básica de nosso diagrama 3D. A figura geométrica correspondente ao tetraedro em 4D

é o hipertetraedro (cf. capítulo 2, item 2.1.2.). No entanto, não podemos deixar de considerar que, ao abordarmos o universo n-dimensional, adentramos um mundo micro-atômico, cuja escala é a de Pla

área = 10-66 cm2, volume = 10-99 cm3 e tempo = 10-4

des

ia de tempo imb

anter a lógica dos diagramas 2D

ono com as diagonais demarcadas pode repr

nck: comprimento = 10–33 cm,

4

segundos. Conforme disposto no terceiro capítulo, o espaço-tempo tomado numa escala tão pequena quanto a de Planck exige uma representação geométrica específica. Optamos, então, como alternativa viável para o

envolvimento do diagrama em 4D, pelas estratégias geométricas surgidas com a teoria da gravidade quântica (loop quantum gravity): os diagramas spin network e spin foam (cf. capítulo 3, item 3.4.). Desta feita, contemplaríamos as especificidades da hipergeometria e incluiríamos o tempo de forma estrutural na representação diagramática. Pela teoria quântica, o tempo não é contínuo, é fragmentado e essa característica vai ao encontro das ponderações de Peirce sobre o tempo. Como veremos mais adiante, Peirce considera a continuidade, a descontinuidade e a ausênc

ricadamente.

A inclusão explícita do tempo no diagrama é um desafio que não havia sido solucionado nas instâncias 2D e 3D dos diagramas anteriormente desenvolvidos. Em nossa dissertação de mestrado, apresentamos uma animação do diagrama 3D (cf. CD-ROM que acompanha a tese) para melhor explorar as conexões dele advindas e para encadear a replicação das unidades formais básicas. Entretanto, não se pode confundir esse resultado do diagrama em movimento com a inclusão do tempo como um vetor da estrutura. A solução proposta para esse desafio se concretiza no diagrama spin foam,

decorrente do diagrama spin network. Vamos a eles.

A teoria da gravidade quântica descarta a representação por meio de poliedros 3D e assume o diagrama spin network como modo de viabilizar a complexa representação hiperdimensional.

A lógica do spin network considera um volume tridimensional como sendo equivalente a um ponto (ou nó) e a área de cada face do volume equivale a uma linha normal à própria face. Temos, ainda, que a conexão de vários volumes distintos gera uma rede spin network. Interessados em m

e 3D aperfeiçoados, partimos da configuração do hipertetraedro para, inicialmente, construir o spin network e, conseqüentemente, o spin foam.

Do hipertetraedro temos acesso apenas às suas projeções nas dimensões anteriores. Assim sendo, um hipertetraedro representado em 3D é composto de cinco tetraedros, dez faces, 10 arestas e cinco vértices.

Trata-se de uma figura pertencente ao mundo das idéias, cuja construção se dá por analogia, partindo-se de um tetraedro. Enquanto um quadrilátero com suas diagonais pode ser visto como um tetraedro perspectivado, um pentág

esentar um modelo de hipertetraedro (cf. figura 125).

Figura 125: Se conectarmos os quatro vértices de um tetraedro visto em perspectiva (1) a um quinto vértice (2)

teremos um hipertetraedro visto em perspectiva (3). Fonte: http://www.mathematische- basteleien.de/hypertetrahedron.htm.

hipertetraedro têm a mesma dimensão.

Na seqüência, apresentamos um hipertetraedro com seus cinco tetraedros componentes e seus respectivos spin networks (cf

es diferentes, as dez faces componentes do hipertetraedro. Essas faces se conectam entre si, de modo a configurar o tetraedro em 4D.

Os spin networks de cada tetraedro produzido separadamente apresentam-nos quais são as faces ali envolvidas e, assim, podemos interligar os cinco diagramas spin

network entre si pelas faces corretas

correspondentes à realidade multidimensional do hipertetraedro.

A composição dos cinco diagramas spin

network configura a seguinte rede (cf. figura

127):

Embora seja impossível a representação em 3D, na “realidade” hiperespacial todas as arestas do

igura 126: Cinco tetraedros que compõem um hipertetraedro vis seguidos por seus respe

F tos em perspectiva com o destaque das linhas normais às suas faces, ctivos di

. figura 126).

A figura 126 explicita, por meio de dez cor

agramas spin network.

Figura 127: Rede spin network formada pelos diagramas de cinco tetraedros componentes de um hipertetraedro.

Antes de prosseguirmos, faz-se necessário rememorarmos e identificarmos o significado de cada elemento do diagrama spin network. Se o volume de cada tetraedro é representado por um ponto (vértice) e, cada face, por uma aresta no spin network, cada um dos cinco vértices resultantes equivale a um núcleo da unidade

básica 3D do diagrama aperfeiçoado e cada aresta corresponde a uma face do núcleo. Se cada face é composta de três arestas que representam tudo que é primeiro, segundo e terceiro na filosofia peirceana, temos a manutenção das relações do diagrama 3D, com o acréscimo na representação iterativa da lógica fractal, pois cada linha do diagrama spin network proposto traz dentro de si as três instâncias fenomênicas de Peirce (um dentro do outro, dentro do outro...).

A recursividade da teoria peirceana agora integra, estrutural e indissociavelmente, o diagrama. Não advém exclusivamente da

network gerada passa a constituir-se como uma

unid

conexão de um núcleo com outro. A rede spin

ade que pode, então, ser replicada e interconectada. Para uma representação mais precisa da conexão de uma rede à outra pela posição equivalente das arestas e vértices, apresentamos a rede spin network com as dez respectivas faces preenchidas por cores distintas. Dessa maneira, podemos identificar a ligação de faces equivalentes (cf. figuras 128 a 136).

de rede spin network com as faces coloridas para melhor

Figura 129: Perspectiva de uma unidade de rede spin network ligada a uma segunda unidade e, na seqüência, as

duas ligadas a uma terceira unidade.

Figura 130: Perspectiva de quatro unidades de rede spin network interligadas apenas por meio de uma face e, na seqüência, a movimentação da face superior de uma das

unidades em direção à complementação da conexão.

Figura 131: Perspectiva da conexão completa de uma das unidades de rede spin network e, na seqüência, a movimentação da face superior de mais uma das unidades

em direção à complementação da conexão. Figura 128: Perspectiva interna e externa de uma unidade

Figura 132: Perspectiva da conexão completa de duas das unidades de rede spin network e, na seqüência, a movimentação da face superior da unidade restante em

direção à complementação da conexão.

Figura 135: Continuação da junção dos pares de faces equivalentes.

Figura 133: Perspectiva da conexão completa de quatro unidades de rede spin network e, na seqüência, o início da

junção dos pares de faces equivalentes.

Figura 134: Continuação da junção dos pares de faces equivalentes.

Figura 136: Junção completa das quatro unidades de rede spin network, equivalente ao retorno à figura inicial de uma

unidade.

O resultado da conexão de quatro unidades de rede spin network é uma metamorfose replicável infinitamente (cf. figura 137). O hipertetraedro representado em 3D apresenta seis faces externas e quatro faces internas (cf. figura 128). Ao conectarmos cada uma das faces (não demonstramos as conexões das faces internas no diagrama, pois as figuras se

Figura 137: Seqüência (storyboard) do processo de conexão de unidades de rede spin network.

superpõem exatamente) a uma outra face correspondente, geramos uma figura com 12 faces externas (cf. figura 133). Essas 12 faces são redobradas de maneira a conectar os seis pares de faces equivalentes resultantes (cf. figuras 133 a 135). A redobra desses pares de faces culmina no retorno a uma unidade de seis faces externas (cf. figura 136), como a unidade que deu início ao processo. O retorno à unidade da rede spin network, iniciadora do processo, é apenas aparente, pois o resultado da transformação guarda dentro de si as estruturas precedentes. Assim, a cada nova replicação, o processo cresce internamente, mesmo que externamente pareça inalterado. A fractalidade

em seu interior aumenta. Trata-se do uno que traz em si a multiplicidade. Apresentamos, junto a esta tese, um CD-ROM com animações da configuração da unidade de rede spin network e suas conjugações, para melhor visualização do processo de transformação.

Este resultado apresenta-se como inesperado diante de nossa expectativa de geração de uma rede expansiva no espaço, como aquela decorrente da conexão de infinitas unidades básicas do diagrama 3D (cf. figura 113). Tão surpreendente quanto, foi reconhecer o diagrama construído como um sistema dinâmico caótico: um espaço de estados com tempo interno caracterizado pela “transformação

de padeiro” (Prigogine, 1996: 101-11; Prigogine e Stengers, 1984: 186-96 e 1992: 100-24). Antes de prosseguirmos com a descrição da “transformação de padeiro”, vamos nos ater aos conceitos implicados: sistema, sistema dinâmico e sistema dinâmico caótico. Retomemos a noção de sistema, abordada no capítulo 4:

Sistema consiste de um conjunto de

elementos que formam uma estrutura, a qual possui uma funcionalidade. (...) Os

elementos do sistema são considerados

seus estados (ou situações) e a evolução do sistema pode ser identificada pelas mudanças desses estados. Um sistema

suas variáveis de estado dependente do tempo. Consideremos as particularidades de um sist

determinístico é aquele no qual os estados

, que pode ser particularmente o inicial, é possível

ica, mas que têm, muitas vezes, um comportamento que não

dinâ traje lei, inst inic e m caó esp seja reite

representação do espaço das fases de um sistema. A operação matemática da “tra aná apli de sup hoje o a transformação

de um ponto em outro no interior do espaço de fases de um sistema. A aplicação ou como sendo as partes, os componentes, os

atores ou os agentes que realizam atividades. Os elementos possuem características, propriedades, atributos, predicados e qualidades, que podem ser expressos por parâmetros variáveis ou constantes. O sistema também desenvolve atividades (funções, processos, ações, etc.), assume estados e possui características (propriedades, etc.) próprias (D´Ottaviano e Bresciani Filho, 2004).

Um sistema pode ser identificado pelos

dinâmico apresenta ao menos uma de

ema dinâmico caótico:

O sistema dinâmico caótico é visto comumente como sendo um sistema com um comportamento aleatório, mas efetivamente tem um comportamento dominantemente conduzido por regras determinísticas, mesmo quando ocorre aleatoriedade. (...) O sistema

se desenvolvem a partir dos estados anteriores, de acordo com uma determinada lei preestabelecida. Ou seja, conhecendo-se o estado do sistema em qualquer estágio (ou instante) anterior

determinar o estado do sistema em um estágio (ou instante) posterior, que pode ser particularmente o final. (...) E é esse comportamento que caracteriza o que muitas vezes se denomina determinismo caótico. Desse modo, o caos determinístico se refere a sistemas com processos que são de natureza determiníst

se pode prever ou predizer (D´Ottaviano e Bresciani Filho, 2004).

O sistema dinâmico caótico, por ser mico, tem sua condição inicial conhecida e a tória de seus elementos regida por alguma mas por ser caótico, o sistema apresenta abilidade: sensibilidade nas ou às condições iais, apesar da presença da lei. Para ilustrar odelizar o conceito de sistema dinâmico tico, Prigogine e Stengers escolheram ecialmente a “transformação do padeiro”, ou

, o estiramento e a redobra indefinidamente rada de uma superfície, como a

nsformação do padeiro” é uma espécie de logo formal do trabalho que um padeiro ca a uma massa de pão: movimento sem fim estiramento, de dobra e de redobra de uma erfície abstrata. A transformação de padeiro,

transformação de padeiro define um sistema caótico reversível. O espaço de fases desse modelo tem duas dimensões: é um quadrado de lado igual à unidade. A transformação consiste em achatar o quadrado em retângulo, sendo este, na seqüência, dobrado para reconstituir o quadrado (cf. figura 138). A coordenada horizontal (x) é a coordenada dilatante, pois a dilatação do quadrado em retângulo realiza-se em sua direção. A coordenada vertical (y) é, por oposição, contratante: na direção desta coordenada, os pontos se aproximam quando do achatamento do quadrado em retângulo (Prigogine, 1996: 101; Prigogine e Stengers, 1984: 101 e 1992: 187). A transformação de padeiro pode também ser invertida (cf. figura 139). O quadrado é, então, não mais achatado em retângulo, mas alongado verticalmente. Por essa transformação inversa, faz-se voltar ao ponto inicial cada ponto do quadrado transformado inicialmente. A transformação é, portanto, reversível.

Figura 138: Transformação de padeiro.

Figura 139: Transformação de padeiro invertida.

A aplicação de padeiro compartilha ainda uma propriedade importante dos sistemas dinâmicos, a propriedade de recorrência (e o diagrama spin network também).

Quando as coordenadas (x,y) de um ponto são números racionais, após certo tempo, os pontos terão um comportamento cíclico

repetindo indefinidamente a mesma seqüência de transformações. A dinâmica da transformação de padeiro é, em suma, reversível, recorrente e caótica (Prigogine, 1996: 104-6). Investiguemos agora a questão específica do tempo envolvida na transformação de padeiro e, portanto, coextensiva ao diagrama

spin network. Prigogine e Stengers (1984: 190-

6) vão se dizer convencidos de que o exemplo do padeiro permite descobrir um tempo interno ao sistema e que esse tempo interno também existe para uma gama generalizada de sistemas. Distinguem, por conseguinte, dois conceitos de tempo: o tempo trajetória e o tem

trajetória, o

a aplicação sucessiva das transformações de padeiro. Assim sendo, a idad

corr

po interno:

Encontramos-nos agora em face de dois conceitos de tempo: o tempo

que vemos nos relógios, exterior ao nosso organismo e a tudo o que é natural, e que nos serve para medir e comunicar; e o tempo interno, o que, no caso do padeiro, se mede pelo grau de fragmentação das partições e que, no caso dos organismos vivos, poderia, sem dúvida, aproximar-se do que se toma sob o conceito de “idade biológica”. Claro que estes dois tempos não podem, sem contradição, ser independentes; e não o são mesmo. No caso do padeiro, por exemplo, podemos repetir a transformação em cada segundo (Prigogine e Stengers, 1984: 196).

No modelo de padeiro, o operador “tempo” ou “idade” (T) é introduzido pelas partições decorrentes d

e é determinada pelas partições às quais espondem as distribuições (cf. figura 140 e

141 dist idad dist dife (<T Ste

). Entretanto, nem toda função de ribuição corresponde a uma partição de

e bem determinada. Quando temos ribuições oriundas de partes de idades rentes, temos somente uma idade média >) (cf. figura 142) (Prigogine e ngers,1984: 195):

ura 140: Função de distribuição construída a partir de uma partição de idade 1.

Fig

uma partição de idade 2.

metade da soma de uma partição de idade 1 e de uma

Da associação do modelo de padeiro ao

diagrama spin ne

Figura 141: Função de distribuição construída a partir de

s

Figura 142: Função de distribuição construída a partir de partição de idade 2.

twork aqui proposto,

depreendemos que no diagrama, embora o tempo não se apresente concretamente como um vetor, ele se faz presente indiretamente, como tempo interno ao sistema. A complexidade do sistema-diagrama cresce internamente na medida em que o tempo decorre (por entre as partições das dobras e redobras das transformações sofridas) e a semiose ocorre. A complexidade, enquanto parâmetro sistêmico evolutivo, pode ser caracterizada a partir do conceito de relação. Resgatemos esse

c

conjuntos A e B, temos o produto cartesiano P = A x B definido assim P = { < x, y > / x ∈ A & y ∈ B }. P é construído pelos arranjos entre elementos de A e B, mas pode haver alguma regra, lei ou restrição que guie a eleção desses p

selecionar um s elação) que se

dará ⊂

interno funciona como sinônimo de semiose. Abordemos, então, o tempo em Peirce.