Pontifícia Universidade
Católica de São Paulo
Programa de Estudos
Pós-graduados em
Comunicação e Semiótica
Renira
Rampazzo
Gambarato
Pontifícia Universidade
Católica de São Paulo
Programa de Estudos Pós-graduados em Comunicação e Semiótica
Renira
Rampazzo
Gambarato
Tese apresentada à Banca Examinadora da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, como exigência parcial para obtenção do título de Doutor em Comunicação e Semiótica, sob orientação da Profa. Dra. Maria Lucia Santaella
Agradeço sinceramente B Deutschland E dna C o nti Prof a. D
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o mais eficiente propagandista de seus ideais, a mais clara demonstração de seus princípios, o mais alto padrão do ensino superior que seu espírito abraça.
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Resumo
Esta pesquisa dá continuidade à nossa
dissertação de mestrado (Gambarato, 2002a),
cujo desenvolvimento culminou na elaboração
de diagramas bi e tridimensionais,
representativos da lógica recursiva das
categorias fenomenológicas de Charles Sanders
Peirce (1839-1914). A partir daquele trabalho,
propomos as seguintes indagações: é possível
aprimorar os diagramas bi e tridimensionais
desenvolvidos anteriormente? É pertinente nos
concentrarmos na exploração das possibilidades
de expansão dos diagramas, tanto formal
quanto teoricamente, além das três dimensões
do espaço? Quais são os ganhos, para a
representação da filosofia de Peirce,
decorrentes do desenvolvimento de um
diagrama quadridimensional?
A hipótese é que, no desenvolvimento de
formas conceituais que vão além da
tridimensionalidade, podemos investigar as
possibilidades de concretização de formas
anteriormente não previstas ou não exploradas,
o que representa um ganho formal-estético para
o design e uma aproximação da essência do
pensamento peirceano.
O percurso de investigação considerou a
abordagem de conceitos físico-matemáticos
indispensáveis para esclarecer qual é o terreno,
sobre o qual a construção dos diagramas
multidimensionais se edifica: o hiperespaço. O
hiperespaço pode ser demonstrado
matematicamente no âmbito da geometria
euclidiana. Dentre as geometrias
não-euclidianas, discutimos, principalmente, a
geometria fractal, empregada na resolução do
aperfeiçoamento dos diagramas representativos
da lógica recursiva de Peirce. Perpassamos a
discussão de conceitos fundamentais, tais como
diagrama, sistema e informação. Apresentamos
a exemplificação de diagramas cujo design das
informações se caracteriza pela eficiência
comunicacional e pela riqueza visual. Neste
contexto, abordamos o conceito e o exemplo do
design gerativo - morfogenético - ainda pouco
divulgado e explorado no Brasil, mas já em
destaque na Europa, nos EUA e no Japão. Por
fim, os objetivos desta tese concretizam-se nos
aprimoramentos dos diagramas 2D e 3D e na
apresentação do diagrama 4D.
No desdobramento do desenvolvimento
formal quadridimensional, alcançamos, ainda,
uma representação diagramática em 5D (quatro
dimensões de espaço + tempo). Os diagramas
apresentados nesta tese, por meio do design de
suas informações, buscam dar densidade a, ao
mesmo tempo que se propõem a viabilizar a
compreensão da complexidade da lógica
Abstract
This research is based on our master's degree dissertation which development culminated in the elaboration of two and three-dimensional diagrams, representative of the recursive logic of Charles Sanders Peirce´s (1839-1914) phenomenological categories. Starting from that research we propose the following inquiries: is it possible to improve the two and three-dimensional diagrams previously developed? Is it pertinent concentrate ourselves in the exploration of the possibilities of expansion of the diagrams, such formal as theoretically, besides the three dimensions of space? Which are the gains for the representation of Peirce´s philosophy resulting from the development of a four-dimensional diagram?
The hypothesis is that developing conceptual forms besides the tridimensionality, we investigate the possibilities to generate forms not previously explored, what would represent a formal-esthetic gain for the design and an approach of the real essence of the Peircean thought.
The investigation course considered the approach of indispensable physical-mathematical concepts to explain which is the land, under which the construction of the multidimensional diagrams is built: the hyperspace. The hyperspace can be mathematically demonstrated in the extent of the euclidean geometry. Among the non-euclidean geometries, we discusse mainly the fractal geometry, directly used in the solution of the improvement of the representative diagrams of Peirce´s recursive logic. We also discusse fundamental concepts, such as diagram, system
and information. We presente exemplifications of diagrams which information design is characterized by the communicational efficiency and visual wealth. In this context, we present also the concept and the example of generative design - morphogenetic – not much published and explored in Brazil but already in prominence in Europe, in the USA and in Japan. The goals of this thesis are finally materialized in the improvement of the 2D and 3D diagrams and in the presentation of the 4D diagram.
Sumário
Apresentação
PARTE 1 - Geometria do(s) espaço(s)
Capítulo 1. Hiper+espaço Kaluza+Klein Super+gravidade Super+cordas Quatro+n Capítulo 2. Geometrias Geometria (não)+euclidiana Topologia Hiper+geometria Método de visualização de objetos multidimensionais Geometria fractal Ordem no caos Capítulo 3. Perspectivas Antiga+idade Re+nascimento 0D + 1D + 2D + 3D + 4D Em tempo
PARTE 2 - Design da informação
Capítulo 4. Aventuras de diagrama no país dos signos Aventuras do diagrama no país dos ícones Através dos sistemas e o que o diagrama encontrou lá Conectividade
Integralidade Complexidade
Maravilhas de diagramas Capítulo 5. Design in formação Design faz diferença
Generative Design, Generative Art, Designing Ideas, Metadesign
Ad continuum
PARTE 3 - Morfologias da linguagem
Capítulo 6. Peirce in forma Modelos triádicos do signo Diagramas bi e tridimensionais da lógica recursiva de Peirce: antecedentes Diagramas bi e tridimensionais da lógica recursiva de Peirce: aprimoramentos Diagrama quadridimensional da lógica recursiva de Peirce: implementações Diagrama spin network
Diagrama spin foam
FAQ (Frequently Asked Questions)
Bibliografia Musicografia do processo Anexo Diagrama no espaço curvo: (pre)visões
Apresentação
Esta pesquisa dá continuidade à nossa dissertação de mestrado (Gambarato, 2002a), cujo desenvolvimento culminou na elaboração de diagramas bi e tridimensionais, representativos da lógica recursiva das categorias fenomenológicas de Charles Sanders Peirce (1839-1914).
Propõe as seguintes indagações: é possível aprimorar os diagramas bi e tridimensionais desenvolvidos anteriormente? Mais do que isso, é pertinente nos concentrarmos na exploração das possibilidades de expansão dos diagramas, tanto formal quanto teoricamente, para além das três dimensões do espaço? Quais são os ganhos, para a representação da filosofia de Peirce, decorrentes do desenvolvimento de um diagrama quadridimensional?
A hipótese proposta considera que, no desenvolvimento de formas conceituais para além da tridimensionalidade, pode haver a investigação das possibilidades de concretização de formas antes não previstas ou não exploradas, o que representa um ganho formal-estético para o design e uma aproximação da real essência do pensamento peirceano. A justificativa para prosseguirmos no desenvolvimento de uma mais completa e abrangente representação diagramática da filosofia de Peirce, se dá pelas contribuições para o design e para a semiótica, dela decorrentes. Por meio do design podemos implementar a riqueza potencial desse tipo de representação visual esquemática, por se tratar de um diagrama que traz aos nossos olhos a possibilidade de observar as relações nele contidas. Assim, as abstrações da teoria peirceana se concretizam no diagrama, o que
contribui para sua compreensão. Ao mesmo tempo que buscamos o desenvolvimento de formas multidimensionais, procuramos tanto favorecer o entendimento teórico quanto o desenvolvimento formal criativo no âmbito do design.
O horizonte desta pesquisa se abre para disciplinas várias, principalmente para a semiótica peirceana, o design, a física e a matemática. Os diálogos entre elas são pautados pelos objetivos específicos da pesquisa e pela acessibilidade possível de uma designer aos domínios físico-matemáticos exatos. O rigor científico também é preservado por aquilo que Peirce denominou ética da terminologia, um compromisso com a clareza do discurso científico. Trata-se, portanto, de uma pesquisa semiótica inserida no âmbito do design, cuja abrangência não pressupõe o levantamento de novas questões físicas ou matemáticas, mas a investigação dos diálogos possíveis entre a semiótica e outras áreas significativas para o design.
Visando às indagações preliminares e à realização do desafio de desenvolver formas a partir da pressuposição da quarta dimensão do espaço, organizamos a tese em três partes distintas - embora inter-relacionadas - que são: 1) geometria do(s) espaço(s); 2) design da informação e 3) morfologias da linguagem. Os três capítulos da primeira parte se dedicam à abordagem de conceitos físico-matemáticos indispensáveis para esclarecer qual é o terreno sobre o qual a construção dos diagramas multidimensionais se edifica.
empiricamente os cálculos que demonstram a existência do espaço multidimensional, os cientistas parecem não mais considerar, de maneira cética, essa possibilidade. O que podemos depreender para a pertinência desta pesquisa é que, no decorrer do tempo, nossa noção de espaço se expande, com a ampliação de possibilidades criativas. O hiperespaço pode ser demonstrado matematicamente pela hipergeometria, tema do capítulo seguinte.
No segundo capítulo, partimos de Euclides (330-260 a.C.) para compreendermos os caminhos percorridos pelos geômetras para culminar na geometria característica da multidimensionalidade, a geometria não-euclidiana. Foram as novas geometrias que permitiram às ciências uma série de avanços, dentre os quais a elaboração da teoria da relatividade de Albert Einstein (1879-1955), pela constatação de que a curvatura do espaço está diretamente relacionada à quantidade de energia e matéria nele contida. A física permitiu provar que essas teorias, decorrentes da geometria não-euclidiana, tinham realmente aplicações práticas. Apresentamos, também, métodos de visualização de objetos multidimensionais, já que não se consegue visualizar diretamente o espaço além das três dimensões. Pode-se, no entanto, visualizar suas projeções em dimensões anteriores. Dentre as geometrias não-euclidianas, examinadas ainda nesse capítulo, discutimos a geometria fractal, empregada na resolução do aprimoramento dos diagramas representativos da lógica recursiva de Peirce. Alguma coisa é recursiva, iterativa, quando é definida em termos dela própria. É algo que está dentro de si, está dentro de si e assim sucessivamente, infinitamente. Todo o pensamento peirceano estrutura-se na
recursividade, cuja base de orientação é triádica. A geometria fractal também é recursiva: um fractal é um objeto que não perde a definição formal na medida em que é ampliado, mantém sua estrutura idêntica à original.
O terceiro capítulo encerra a primeira parte desta tese, com a abordagem de questões referentes à perspectiva. Perspectiva é a arte de representar os objetos com modificações aparentes, neles produzidas pela distância e pela posição. Representar num plano a sensação de três dimensões espaciais, é o seu desafio. É preciso, entretanto, distinguir esse sistema de expressão visual do espaço na Antigüidade e no Renascimento, que são os períodos mais marcantes da evolução do sistema perspéctico. Para os antigos, tratava-se de uma representação do mundo pelo cálculo dos ângulos visuais e, para os renascentistas, a perspectiva era um sistema de redução da proporção dos objetos pela distância. Utilizamo-nos, no decorrer do capítulo, da exemplificação das artes para problematizarmos quatro dimensões de espaço - o ambiente genético desta pesquisa - e entendermos como nossa sensibilidade foi se moldando para a compreensão da tetradimensionalidade espacial. Encerrando o capítulo, introduzimos a problemática do tempo, do ponto de vista da física quântica, nossa opção teórica para representar o tempo nos diagramas.
conceito de informação sob o viés semiótico, sistêmico, da teoria da informação e do design. Dedicado às premissas do design da informação, esse capítulo ainda apresenta o conceito e o exemplo do design gerativo - morfogenético - pouco divulgado e explorado no Brasil, mas em destaque na Europa, nos EUA e no Japão, como pudemos constatar durante estágio de 14 meses de pesquisa realizado na Alemanha, entre 2003 e 2004. Pela abordagem gerativa não temos a priori um produto real (como uma imagem, um objeto, um modelo, uma música), mas uma idéia-produto. Trata-se da representação de uma “espécie” pronta a gerar uma incontável seqüência de eventos individuais diferentes entre si, mas provenientes de uma mesma idéia (código) identificável.
A terceira e última parte desta tese, correspondente ao sexto capítulo, considera, inicialmente, os variados modelos triádicos do signo já existentes, ou seja, modelos representativos da estrutura tricotômica peirceana, que fundamentam nossas investigações acerca do desenvolvimento de formas diagramáticas representativas da lógica recursiva da filosofia de Peirce. Temos, então, os diagramas 2D e 3D que antecederam esta tese, seguidos pelo aprimoramento (por meio da geometria fractal), ainda em 2D e 3D, desses mesmos diagramas, e pela apresentação do diagrama 4D, questão desta tese. No desdobramento do desenvolvimento formal quadridimensional, alcançamos uma representação diagramática em 5D (quatro dimensões de espaço + tempo). Optamos, como alternativa viável para o desenvolvimento desses diagramas hiperdimensionais, pelas estratégias geométricas surgidas com a teoria da gravidade quântica (loop quantum gravity): os
diagramas spin network (4D) e spin foam (5D). Nessa teoria, o espaço é definido pela geometria de um spin network e o tempo é definido pela seqüência de mudanças distintas de posição, que rearranjam o diagrama spin network em diagrama spin foam. No último capítulo, encontramos respostas para algumas questões suscitadas pelos diagramas desta tese, a fim de esclarecer os aspectos que motivaram o seu desenvolvimento. Por fim, como apontamento futuro para novas pesquisas temos, anexo, a proposição da representação dos diagramas no espaço curvo. Por entre as morfologias da linguagem do design, da matemática, da física, da semiótica... esta tese caracteriza-se, ela mesma, como design in
Geometria
do(s)
Capítulo 1. Hiper+espaço
Espaço multidimensional, eis a questão. Se “a nova geografia é uma geografia do virtual” (Critical Art Ensemble, 2001: 11), elegemos a teoria do hiperespaço como o terreno propício para o desenvolvimento de investigações n-dimensionais. A teoria do hiperespaço, enquanto um corpo bem definido de equações matemáticas, descreve a existência de dimensões além das três de espaço (comprimento/largura/altura) e do tempo. O prefixo hiper-, de origem grega, significa “acima, além” ou, mais especificamente, no âmbito da matemática, “estendido, generalizado”.
Para a teoria do hiperespaço, a matéria consiste em micro-cordas vibráteis, “sendo a própria matéria conseqüência de dobras minúsculas do espaço” (Souza e Silva, 2002). A matéria pode ser vista como vibrações que se encrespam através do tecido do espaço-tempo.
Apesar da teoria não ter sido experimentalmente comprovada (ainda não pode ser convenientemente medida em laboratório), cientistas como John Gribbin (1999), Michio Kaku (2000), Stephen Hawking (1988, 2001), Steven Weinberg (2005), Abhay Ashtekar (2005), estão absolutamente convencidos de que o universo é n-dimensional, pois a teoria quadridimensional (três dimensões de espaço + uma de tempo) não é suficiente para descrever adequadamente todas as forças que comandam o universo.
Nos meios científicos, a teoria do hiperespaço é conhecida como teoria
Kaluza-Klein e supergravidade. Sua formulação mais avançada, porém, é chamada de teoria das supercordas, a qual
chega a prever o número preciso de dimensões: dez. As três dimensões habituais de espaço (comprimento, largura e profundidade) e uma de tempo são agora acrescidas de seis outras dimensões espaciais (Kaku, 2000: 08, grifos nossos). Assim, consideraremos o percurso de Kaluza-Klein à teoria das supercordas para melhor descrever a teoria do hiperespaço e justificar sua pertinência para as investigações morfológicas pretendidas por essa pesquisa.
1.1. Kaluza+Klein
Em 1919, Albert Einstein (1879-1955) recebeu um artigo do matemático Theodor Kaluza Meyer (1885-1954), da Universidade de Königsberg, Alemanha, propondo a união da teoria da gravidade de Einstein com a teoria da luz de James Clerk Maxwell (1831-1879). A solução proposta era a introdução da quinta dimensão, isto é, a quarta dimensão de espaço, além do tempo. Kaluza propôs uma genuína teoria de campo a partir do pressuposto de que a luz é uma perturbação decorrente do encrespamento dessa dimensão adicional. Mostrou, através de equações pentadimensionais, que a teoria quadridimensional de Einstein estava nelas contida e que a parte adicional era, precisamente, a teoria da luz de Maxwell. A luz emergia, então, como “o empenamento da geometria do espaço com maior número de dimensões” (Kaku, 2000: 121).
propunha-se um uso deliberado dela: a unificação das leis da física. Kaluza deixava claro que o universo quadridimensional de Einstein não era suficiente para acomodar tanto a força eletromagnética quanto a gravitacional.
Em 1926, o matemático sueco Oskar Klein (1894-1977) introduziu vários aperfeiçoamentos na teoria. Calculou que a quarta dimensão de espaço deveria ter 10-33 centímetros (o chamado comprimento de Planck1), ou seja, é extremamente pequena para ser detectada por qualquer experimento terrestre. A teoria Kaluza-Klein, no entanto, não foi capaz de determinar o valor exato de “n” para o inevitável espaço n-dimensional. Uma versão mais avançada dessa teoria foi denominada teoria da supergravidade.
1.2. Super+gravidade
Após ter sido relegada ao esquecimento durante décadas, a teoria Kaluza-Klein foi resgatada no final da década de 1970, frente às tentativas frustradas dos físicos de unificar as quatro forças da natureza: gravitacional, eletromagnética (eletricidade, magnetismo, luz) e as forças nucleares forte (fornecedora da energia produzida nas estrelas) e fraca (força de desintegração radioativa, que provoca aquecimento).
Após a década de 1930, a idéia de Kaluza-Klein caiu em desfavor, e por muitos anos permaneceu adormecida. Recentemente, porém, quando os físicos buscavam qualquer saída possível para a unificação da gravidade com outras forças, ela saltou de
novo para a proeminência. Hoje, em contraste com a década de 1920, os físicos se vêem desafiados a fazer mais do que unificar a gravidade com o eletromagnetismo apenas – eles querem unificar a gravidade também com as interações forte e fraca. Isso requer ainda mais dimensões, além da quinta (Pagels apud Kaku, 2000: 159).
1
O comprimento de Planck é 100 bilhões de bilhões de vezes menor que o próton, pequeno demais, portanto, para ser investigado pelo maior acelerador de partículas existente até o momento.
Em 1976, os físicos Daniel Freedman, Sérgio Ferrara e Peter van Nieuwenhuizen, da Universidade Estadual de Nova York, formularam o que seria um avanço da teoria Kaluza-Klein: a teoria da supergravidade.
Com o objetivo de unificação de todas as partículas, a supergravidade se funda na super-simetria: associação de cada partícula a um companheiro super-simétrico, por exemplo, a um fóton (partícula de luz), o fotino; a um elétron, o selétron. Para os físicos, as partículas se dividem de acordo com seu momento angular intrínseco, ou spin (rotação das partículas em torno delas mesmas, como se fossem pequenos planetas). “A supersimetria requer que, para cada partícula dotada de spin inteiro - 0, 1, 2 (...) -, exista uma partícula de mesma massa, mas com spin que seja metade de um número inteiro (1/2, 3/2, 5/2 etc.), e vice-versa” (Duff, 2005: 12).
formular a teoria em 11 dimensões. A gravidade convencional não impõe limites para o número de dimensões do espaço-tempo; em princípio, suas equações funcionam em qualquer número de dimensões. A supergravidade, por sua vez, delimita 11 dimensões condicionantes. No entanto, inconsistências matemáticas levaram ao declínio da teoria da supergravidade e, em busca de um formalismo mais rigoroso, a teoria das supercordas surge como competente alternativa.
1.3. Super+cordas
A teoria das supercordas nasceu acidentalmente em 1968, em Genebra, Suíça, quando os físicos Gabriel Veneziano e Mahiko Suzuki pesquisavam funções matemáticas. Em 1970, Yoichiro Nambu e Tetsuo Goto descobriram que as cordas vibráteis estavam por trás das propriedades do modelo matemático Veneziano-Suzuki. Assim, a teoria das supercordas provém da interação da teoria de cordas com a supersimetria (a essência da supergravidade). A teoria das cordas foi concebida no final da década de 1960 com o intuito de descrever as interações das forças fortes. Seus objetos fundamentais são cordas (objetos com extensão unidimensional, têm apenas comprimento e deslocam-se em relação ao espaço-tempo) e não partículas.
Na teoria das cordas, os objetos básicos não são partículas, que ocupam um ponto individual no espaço, mas cordas unidimensionais. Essas cordas podem ter extremidades ou se fechar em anéis. Assim como as cordas de um violino, as cordas na teoria das cordas mantêm certos padrões
vibratórios ressonantes, ou freqüências ressonantes, cujos comprimentos de onda se encaixam precisamente entre as duas extremidades. Mas enquanto as diferentes freqüências ressonantes das cordas de um violino dão origem a diferentes notas musicais, as diferentes oscilações de uma corda dão origem a diferentes massas e cargas de força, que são interpretadas como partículas fundamentais. Grosso modo, quanto menor o comprimento de onda da oscilação da corda, maior a massa da partícula (Hawking, 2001: 52).
Na teoria das cordas fechadas, pelo gráviton (partícula de interação da gravidade) obtém-se a relatividade geral (considerando o limite em que o comprimento da corda tende a zero, ela volta a ser um objeto pontual). O problema é que essa teoria apresenta uma inconsistência física: prevê uma partícula que se move com velocidade superior à da luz, o que é proibido pela relatividade restrita. A solução para esse impasse é justamente a teoria das supercordas, que conta com a inclusão da supersimetria para remover essa partícula indesejável, o que viabiliza a essência unificadora da teoria das cordas.
restrições daí advindas que permitem que a formulação das supercordas precise o número de dimensões: dez (Greco, 2002; Abdalla e Casali, 2003).
Até meados da década de 1990 parecia haver cinco diferentes teorias das supercordas sem conexões entre si: Tipo I SO(32) (supercordas abertas), Tipo IIA e Tipo IIB (supercordas fechadas), corda Heterótica-SO(32) e Heterótica-E8 x E8 (combinação de
cordas abertas e fechadas). Atualmente, entretanto, propõe-se que essas cinco teorias sejam, de fato, cinco limites ou ramificações possíveis de uma teoria só, denominada teoria-M.
Em 1995, porém, as cordas foram subordinadas à Teoria-M. Nas palavras do guru dessa teoria, Edward Witten, do Instituto de Estudos Avançados em Princeton, “M designa magia, mistério ou membrana, conforme o gosto”. Novos indícios a favor dessa concepção aparecem o tempo todo e representam o avanço mais empolgante desde que as cordas entraram em cena (Duff, 2005: 12).
A teoria-M considera como objetos as p-branas, existentes em diversas dimensões. “P-branas são objetos estendidos em p dimensões. Os casos especiais são as cordas, que são p=1, e as membranas, que são p=2, mas valores maiores de p são possíveis em espaço-tempos com 10 ou 11 dimensões” (Hawking, 2001: 54).
Sejam dez, 11 ou mais dimensões que configurem nosso espaço-tempo, por que não conseguimos ver nada além do universo quadridimensional de Einstein?
1.4. Quatro+n
Não podemos visualizar espaços n-dimensionais com n>3. Nossos cérebros evoluíram para manipular ocorrências em três dimensões. Mas, sobretudo, após a teoria Kaluza-Klein especificar o tamanho das dimensões adicionais como sendo 100 bilhões de bilhões de vezes menor que o próton, fica claro que não podemos ver essas dimensões adicionais porque elas se “enroscaram numa bola tão minúscula que não podem mais ser detectadas” (Kaku, 2000: 35). A energia necessária para investigar a décima dimensão é um quadrilhão de vezes maior que toda a energia possível de ser produzida pelo maior acelerador de partículas da Terra. As equações calculam a energia necessária para se chegar às demais dimensões (a temperatura necessária seria de 1000 trilhões de trilhões de graus), mas não temos e, talvez nunca venhamos a ter, como produzir essa energia.
violentamente, até se reduzir a um tamanho quase infinitesimal. (...) Essa teoria prevê que nosso universo ainda tem um gêmeo anão, um universo companheiro que foi enroscado numa bolinha de seis dimensões, pequena demais para ser observada. Esse universo de seis dimensões, longe de ser um apêndice inútil de nosso mundo, pode finalmente vir a ser nossa salvação (Kaku, 2000: 46-7).
As dimensões adjacentes podem fornecer as respostas que a ciência busca e podem vir a ser a rota de fuga em caso de colapso do universo... mas essa é uma outra questão que não cabe para o momento.
Quanto ao número exato de dimensões extras existentes, permanece a imprecisão advinda das diferentes teorias que nascem, crescem, reproduzem-se e morrem com o propósito maior de unificação de todas as leis da natureza, a teoria de tudo! A teoria final (Weinberg, 2005).
Já se sabe que nem cordas, nem membranas são objetos fundamentais, mas que são só diferentes limites da teoria final. É provável, portanto, que a teoria final não tenha uma dimensão fixa, e que a dimensão só seja determinada quando se estuda a teoria em algum limite. Apesar de arrojadas, essas novas idéias estão revelando uma nova maneira de encarar a teoria de supercordas. Essa situação é parecida com a época do átomo de Bohr, quando existiam muitas regras úteis para explicar o comportamento dos elétrons no átomo. Essas regras só foram completamente elucidadas com o advento da mecânica
quântica. O mesmo deve acontecer quando formularmos a teoria final (Rivelles, 2000). Não temos a pretensão de apresentar uma solução para essa questão do número de hiperdimensões espaciais, uma vez que a própria física ainda não o fez. Todos os avanços proporcionados pela teoria das supercordas e pela teoria-M empolgam os físicos, mas não encerram, ou ainda, estão longe de encerrar as investigações que culminariam na teoria final unificadora. Apesar da inviabilidade técnica de comprovar empiricamente os cálculos que demonstram a existência do espaço multidimensional, os cientistas parecem não mais considerar, de maneira cética, essa possibilidade. Para o que nos interessa, é no decorrer do tempo que nossa noção de espaço se expande, ampliando nossas possibilidades criativas. Não é o número exato de dimensões que importa para este trabalho, mas a constatação da alta possibilidade da existência da enésima dimensão como dilatação de nossa visão de mundo, de ciência e de estética.
Capítulo 2. Geometrias
A geometria é o campo da matemática dedicado às propriedades de elementos que são invariantes sob determinado grupo de transformações. Enquanto ciência, a geometria se subdivide conforme os diferentes tipos de elementos que investiga, mediante distintas configurações espaciais: linhas, superfícies, volumes, sólidos. Questões geométricas estão, indissociavelmente, relacionadas ao espaço e a suas dimensões. As formas mentais e científicas de representação do espaço estão em processo de transformação, como se pode constatar pelas diferenças do espaço plano de Euclides, do espaço tridimensional cartesiano, da geometria curvilínea de Gauss, da geometria n-dimensional de Riemann, por exemplo.
Para o que nos interessa neste momento, consideraremos a geometria euclidiana como a base dessa ciência; e não-euclidiana, como o terreno sobre o qual, pouco a pouco, o espaço n-dimensional (foco da pesquisa) foi edificado.
2.1. Geometria (não)+euclidiana
Euclides viveu em Alexandria por volta de 300 a.C. e seu trabalho mais célebre foi “Os Elementos”, apresentado em 13 volumes. Sua geometria considera cinco sólidos regulares de espaço, chamados sólidos platônicos. Os sólidos platônicos são convexos, cujas arestas formam polígonos planos regulares congruentes. Apenas três tipos de polígonos regulares (todos os seus segmentos têm o mesmo tamanho e os ângulos internos entre os segmentos têm o mesmo valor) podem formar esses sólidos: o triângulo, o quadrado e o pentágono. Assim sendo, os sólidos platônicos
são: tetraedro (quatro faces triangulares, cf. figura 01), cubo (seis faces quadradas, cf. figura 02), octaedro (oito faces triangulares, cf. figura 03), dodecaedro (12 faces pentagonais, cf. figura 04) e icosaedro (20 faces triangulares, cf. figura 05).
Figura 01: Tetraedro perspectivado e planificado. Fonte: http://mathworld.wolfram.com/Tetrahedron.html.
Figura 02: Cubo perspectivado e planificado. Fonte: http://mathworld.wolfram.com/Cube.html.
Figura 03: Octaedro perspectivado e planificado.
Fonte: http://mathworld.wolfram.com/Octahedron.html.
Figura 04: Dodecaedro perspectivado, visto do topo e
planificado.
Figura 05: Icosaedro perspectivado e planificado.
Fonte: http://mathworld.wolfram.com/Icosahedron.html.
É no volume XIII, de Euclides, que encontramos a construção dos cinco sólidos regulares, todos eles inscritos em uma esfera.
Ninguém sabe quem foi o primeiro a notar que o número de polígonos regulares, como triângulos, quadrados, pentágonos, hexaedros e assim por diante, continua ao infinito; mas a descoberta realmente fascinante é que o número de sólidos regulares é finito. Esse fato fascinou Platão (427-348 a.C.), que relacionou os sólidos regulares com as estruturas do mundo e os elementos do espaço físico. Em seu diálogo
Timeu, nós encontramos a mais antiga
descrição dos cinco sólidos regulares, embora eles já fossem conhecidos pelos pitagóricos (Emmer, 1993: 215).
Platão desenvolveu as seguintes associações entre os elementos da natureza e os sólidos regulares: tetraedro → fogo; cubo → terra; octaedro → ar; dodecaedro → cosmos e icosaedro → água. Esses sólidos são um dos cernes da geometria euclidiana.
O volume I trata das definições e conceitos
usados como a base de sua geometria e que foram considerados, por séculos, indiscutíveis. Em Emmer (2004: 23), encontramos algumas definições relevantes:
Definição 1 = um ponto é o que não tem partes.
Definição 2 = uma linha (curva) é comprimento sem largura.
Definição 3 = as extremidades de um segmento de linha são pontos.
Definição 4 = uma linha reta é aquela formada por igual respeitando os pontos finais.
Definição 5 = um plano tem somente comprimento e largura.
Definição 6 = as extremidades de um segmento de plano são linhas.
Definição 7 = um plano é aquele formado por igual respeitando essas linhas.
Johann Karl Friedrich Gauss (1777-1855), em negar o paralelismo de Euclides, culminou nas ousadas propostas do jovem húngaro Janos Bolyai (1802 - 1860) e do jovem russo Nicolai Ivanovich Lobachevski (1792 - 1856). Este último publica em 1829 sua versão da geometria não-euclidiana à qual chama, primeiramente, de geometria imaginária e depois de pangeometria. Atualmente, a geometria de Lobachevski e Bolyai é chamada de geometria hiperbólica, que considera a soma dos ângulos internos de um triângulo menor que 180o. Esse foi o primeiro exemplo de que o quinto postulado de Euclides não era mais válido. Ainda no século XIX, adicionaram-se às colaborações os trabalhos de Georg Friedrich Bernhard Riemann, orientados por Gauss na Universidade de Göttingen, Alemanha. A geometria não-euclidiana de Riemann passou a ser denominada geometria
elíptica ou esférica, que considera a soma dos
ângulos internos de um triângulo maior que 180o. O postulado do paralelismo de Euclides foi substituído pelos seguintes axiomas:
• Por um ponto exterior a uma reta, podemos traçar uma infinidade de paralelas a esta reta (geometria de Lobachevski);
• Por um ponto exterior a uma reta não podemos traçar nenhuma paralela a esta reta (geometria de Riemann).
A geometria não-euclidiana permaneceu por muitos anos relegada a um aspecto marginal da geometria, um tipo de curiosidade, até ser incorporada como parte integrante dos conceitos gerais de G. F. B. Riemann (1826-1866). Em 1854, Riemann apresentou, diante da faculdade na Universidade de Göttingen, sua famosa
dissertação intitulada Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen
[Sobre as hipóteses que residem nos fundamentos da geometria], não publicada até 1867. Em sua apresentação, Riemann defendeu uma visão global da geometria como o estudo de uma variedade de qualquer número de dimensões em qualquer tipo de espaço (Emmer, 2004: 09-10). Ao substituir o axioma das paralelas, tornou-se possível construir duas geometrias - as propostas por Lobachevski e Riemann - diferentes da geometria euclidiana, igualmente coerentes e que não conduziam a nenhuma contradição. Apesar de serem dificilmente concebíveis, ambas foram reconhecidas como alternativas legítimas e contribuíram para o processo de transformação de nossa noção de espaço, corroborando a noção de que constatando: o universo é curvo e múltiplo.
O fato de que nosso universo (...) é curvo numa dimensão invisível além de nossa
compreensão espacial foi experimentalmente comprovado por vários
experimentos rigorosos. Esses experimentos, realizados com a trajetória de feixes de luz, mostram que a luz das estrelas é curvada ao se mover através do universo (Kaku, 2000: 37).
curvatura ou do empenamento do espaço multidimensional. A geometria euclidiana é viável dentro dos limites das superfícies planas, entretanto, no mundo das superfícies curvas é mesmo incorreta. Para Riemann, no mundo natural (montanhas, oceanos, nuvens etc) não encontramos as figuras geométricas planas, idealizadas, de Euclides. Daí a importância de sua nova geometria, que desenvolveu questões matemáticas decorrentes da descoberta da curvatura do espaço, em que objetos curvos se vergam e se torcem diversamente.
Riemann foi o primeiro a estabelecer os fundamentos geométricos para o espaço multidimensional e a demonstrar que as dimensões extras eram perfeitamente coerentes. Foram justamente as novas geometrias que permitiram às ciências uma série de avanços, dentre os quais a elaboração da teoria da relatividade de Einstein, pela constatação de que a curvatura do espaço está diretamente relacionada à quantidade de energia e matéria contida naquele espaço. A física permitiu provar que essas teorias, decorrentes da geometria não-euclidiana, tinham realmente aplicações práticas.
2.1.1. Topologia
Uma das características intrigantes da teoria das supercordas é o nível a que a matemática é guindada. Nenhuma outra teoria conhecida na ciência usa uma matemática tão poderosa num nível tão fundamental. Em retrospecto, isso só podia ser assim, porque toda teoria unificada deve absorver a geometria riemanniana da teoria de Einstein (...). Essa nova matemática, que é responsável pela incorporação dessas
duas teorias, é a topologia (Kaku, 2000: 350).
Situada dentre as geometrias não-euclidianas, a topologia (topos, lugar + logos, estudo) investiga as propriedades de figuras geométricas que permanecem invariantes em face de transformações topológicas. Augustus Ferdinand Möbius (1790-1868), aluno de Gauss, definiu, de modo preciso, a transformação topológicacomo a transformação de uma figura em outra, de tal maneira que dois pontos quaisquer que se encontrem juntos na figura original permaneçam juntos na figura transformada (Pinto, 2004: 03).
A topologia não aborda a correspondência entre forma (linguagem geométrica) e linguagem algébrica. A ligação entre forma e álgebra é característica da geometria analítica, também denominada cartesiana. “Interessa à Topologia menos a forma, que estaria vinculada à Topografia e mais as relações existentes entre os pontos dessa forma” (Sperling, 2003: 40). Assim, a topologia não se restringe às formas complexas, deformadas ou contorcidas, relaciona-se mais à organização espacial mantida entre elas (Munkres, 2000).
A topologia, originalmente denominada
analysis situs, por Jules Henri Poincaré
considerará a localização das representações, bem como sua geometria. O primeiro texto publicado no qual aparece a referência ao termo topologia intitula-se Vorstudien zur Topologie
(Estudos preliminares para a topologia) e foi publicado em 1847 por Johann Benedict Listing (1808-1882), também aluno de Gauss. Atualmente, a topologia é uma das mais extensas partes da matemática e conta com diversas ramificações, como: topologia de conjuntos, topologia algébrica, diferencial, combinatória, geométrica, entre outras (Hildebrand, 2001: 158-62). Do ponto de vista desta pesquisa, nos restringiremos a versar sobre os seguintes conceitos abordados pela topologia: superfície, hipersuperfície e quarta dimensão.
Uma superfície é uma entidade geométrica
bidimensional que possui largura e comprimento, sem espessura. O conceito de superfície, apresentado nos trabalhos iniciais de Listing e Möbius, pressupõe que considerados dois pontos quaisquer A e Bnuma superfície é sempre possível traçar um caminho (uma curva) entre eles. Ao caminho de menor comprimento possível entre A e B dá-se o nome de segmento geodésico. No plano euclidiano, por exemplo, os segmentos geodésicos são segmentos de reta. Temos três transformações que não afetam a topologia de uma superfície:
1. Esticar ou alargar a superfície ou parte dela;
2. Encolher a superfície ou parte dela; 3. Entortar a superfície ou parte dela.
Möbius e Listing foram fortemente impulsionados pela descoberta conjunta de que existem superfícies de um só “lado”. Descobriram, então, a mais conhecida dentre as superfícies topológicas: a fita de Möbius.
Obtém-se um modelo da fita de Möbius torcendo a 180o uma tira e unindo suas extremidades.
Figura 06: Construção da Fita de Möbius. Fonte: http://www.prof2000.pt/users/j.pinto/vitae/textos/ 04_
Topologia_JPinto.pdf.
A superfície foi deformada, sem cortes ou rasgos; a rotação é que foi responsável pelas mudanças. Quando comparamos a fita de Möbius com uma fita regular, cilíndrica, concluímos que a fita normal é orientável e a fita de Möbius é um objeto não-orientável. A orientabilidade é uma propriedade topológica genuína das superfícies. Superfícies não-orientáveis são aquelas que não apresentam a dicotomia exterior/interior, fora/dentro, e caracterizam-se pela configuração de um terceiro, um objeto contínuo. De fato, ao cortamos a fita de Möbius ao meio ao longo do seu centro, ela permanece com um lado só. Apesar de, matematicamente, a fita de Möbius ter sido descoberta no século XIX, foram encontrados exemplos da utilização de superfícies como essa na decoração dos cavalos da guarda de czares russos no século XVII e ainda em vários mosaicos romanos do século III (Emmer, 2004: 66-9). Isso nos leva a considerar que a fita de Möbius é um tipo de arquétipo redescoberto. Essa fita, extensivamente utilizada como referencial nas artes plásticas, motiva questionamentos acerca das mais variadas dicotomias que engessam a consciência humana:
Pensamento a mil por hora, tormento a todo momento. Por que é que eu penso agora sem o meu consentimento? Se tudo que comemora tem o seu impedimento, se tudo aquilo que chora cresce com o seu fermento; pensamento, dê o fora, saia do meu pensamento. Pensamento, vá embora, desapareça no vento. E não jogarei sementes em cima do seu cimento (Antunes, 1990: s/n).
Há sempre um duplo movimento no poema sem título de Arnaldo Antunes: o paradoxo inicial (entre o que vem de fora e pensa que vem de dentro) nos parece traduzir, numa estreita relação, a fita de Möbius em palavras. Transforma-na num objeto estético, máquina de semioses.
Prosseguindo, temos que uma
hipersuperfície é todo objeto de dimensão n
num espaço de dimensão n+1. Relaciona-se mais com a interação entre o objeto e seu ambiente, e menos com as características intrínsecas do próprio objeto. Assim, qualquer superfície (uma entidade bidimensional), num ambiente tridimensional, é uma hipersuperfície; ou ainda, uma linha num plano também se caracteriza como uma hipersuperfície. Não há, portanto, a partir da topologia, uma relação direta entre hipersuperfície e hiperespaço, como poderíamos supor e como propõem Stephen Perrela (1998) e Marcus Novak (1998).
Novak se utiliza da concepção de Perrela que considera uma hipersuperfície como uma
superfície no hiperespaço (espaço de n dimensões, tal que n≥4). Gabriella Giannachi também se remete a Novak e a Perrela ao considerar que uma “hipersuperfície está onde o real e o virtual se encontram” (2004: 95).
O conceito de hipersuperfície, oriundo da topologia, apesar de ser bastante simples, acabou sendo lido de maneira equivocada, sendo extensamente utilizado como referência direta ao hiperespaço, gerando imprecisões, como pudemos ver acima. O prefixo hiper-, aqui, denota que o objeto referido possui um grau de liberdade dentro do ambiente, necessariamente maior em dimensões que o objeto, e não que se trata de uma superfície no hiperespaço (Perrela, 1998: 07-15; Novak, 1998: 85-93, Sperling, 2003: 81-5 e Giannachi, 2004: 95-122).
A quarta dimensão na geometria é um
espaço que pode ser representado como mais um eixo (comumente, w) adicionado aos três eixos cartesianos x, y, z. O quarto eixo estaria relacionado aos outros três por um ângulo de 90o. Em topologia, a quarta dimensão é utilizada para a resolução de auto-interseções e de singularidades de superfícies (Sperling, 2003: 134). Para sua visualização, recorremos, necessariamente, às dimensões inferiores. Se podemos representar a planificação de um cubo (3D) em uma folha de papel (2D), podemos então, analogamente, representar o hipercubo (cubo em 4D) num ambiente tridimensional, ou inferior.
matematicamente pela hipergeometria. Considera-se a expansão das três dimensões do espaço como característica da hipergeometria. Assim, um objeto eqüidistante do centro em n>3 dimensões seria uma hiperesfera e, similarmente, podemos ter um hipercubo, um hipertetraedro e assim por diante.
2.1.2. Hiper+geometria
Uma geometria com dimensões múltiplas pode ser a fonte última de unidade no universo (Kaku, 2000: 34).
O matemático suíço Ludwig Schläfli (1814-1895) foi o primeiro a determinar, em 1852, que os cinco sólidos platônicos correspondiam a seis sólidos regulares em quatro dimensões e três, em cinco ou mais dimensões (Pessoa Jr., 2004). Os seis hipersólidos identificados são: hipertetraedro (dez faces triangulares, cf. figura 07), hipercubo (24 faces quadradas, cf. figura 08), hiperoctaedro (32 faces triangulares, cf. figura 09), hiperdodecaedro (720 faces pentagonais, cf. figura 10), hipericosaedro (1200 faces triangulares, cf. figura 11) e hiperdiamante (94 faces triangulares, cf. figura 12), sendo este último o único sólido que não tem análogo tridimensional. Em cinco ou mais dimensões teríamos: hiper-n-tetraedro, hiper-n-cubo e hiper-n-octaedro.
Figura 07: Hipertetraedro perspectivado. Fonte: http://mathworld.wolfram.com/Pentatope.html.
Figura 08: Hipercubo perspectivado. Fonte: http://mathworld.wolfram.com/Tesseract.html.
Figura 09: Hiperoctaedro perspectivado. Fonte: http://mathworld.wolfram.com/16-Cell.html.
Figura 10: Hiperdodecaedro perspectivado e visto do topo. Fonte: http://mathworld.wolfram.com/120-Cell.html.
Figura 11: Hipericosaedro perspectivado e visto do topo. Fonte: http://mathworld.wolfram.com/600-Cell.html.
Em 1923, o matemático britânico Harold Scott MacDonald Coxeter (1907-2003) iniciou seu trabalho com geometria para além das três dimensões e, em 1948, escreveu que apenas uma ou duas pessoas teriam tido a habilidade de visualizar hipersólidos assim como todos nós conseguimos visualizar sólidos. Dentre os hipersólidos, indubitavelmente o hipercubo é o mais explorado. Ainda que nossos cérebros não possam visualizar um cubo n-dimensional, a fórmula matemática do hipercubo é bastante simples: sendo o comprimento de uma diagonal de um cubo a2 + b2+ c2 = d2 (a, b e c correspondem aos lados do cubo), a adição de mais termos a essa equação (teorema de Pitágoras) não a altera e generaliza a diagonal z de um hipercubo n-dimensional como a2 + b2+ c2 +d2 + ... = z2.
As possíveis projeções do hipercubo em 3D começaram em 1967 com Michael Noll, cujas conclusões apontavam para a representação tridimensional, a partir do objeto quadridimensional em rotação no espaço, para minimizar as distorções projetadas. Em 1978, os matemáticos Thomas Banchoff e Charles Strauss criaram o primeiro filme animado do hipercubo e, em 1987, criaram a primeira representação de uma hiperesfera (Banchoff e Max, 1981: 191-209; Banchoff, 1990; Emmer, 2004: 38-51, cf. Figura 13).
Figura 13: Vista em corte de uma hiperesfera, a partir de Thomas Banchoff.
Fonte: http://www.fortunecity.com/emachines/e11/86/ tourist4c.html.
A hiperesfera é definida como o lugar geométrico dos pontos (x, y, z, w) que satisfazem a relação x2 + y2 + z2 + w2 = r2, onde r = raio da circunferência . A fórmula da hiperesfera é 2π2r3. O π extra na fórmula da superfície da hiperesfera (esfera = 4πr2) representa a rotação em uma dimensão adicional.
Figura 14: Possível representação de hiperesfera. Fonte: http://www.hypersphere.com/hs/abouths.html.
deformados em espaço matemático 4D” (Oosterhuis, 2003: 48). Nossa consciência, entretanto, encontra-se aprisionada em três dimensões, razão pela qual só podemos perceber uma seção tridimensional de nós mesmos (Fragoso, 2002).
2.1.3. Métodos de visualização de objetos
multidimensionais
A manipulação e a visualização de objetos n-dimensionais são possíveis mediante a projeção de sua sombra em telas planas e bidimensionais de computador, o que nos remete ao mito platônico da caverna, segundo o qual somos habitantes de uma caverna, condenados a ver somente as sombras da vida do lado de fora e tomá-las como verdadeiras. Platão imaginou (no Livro VII d’A República, um diálogo escrito entre 380-370 a.C.) a humanidade presa, imobilizada, atada, desde a infância, no fundo de uma caverna, a correntes que obrigavam todos sempre a olharem a parede em frente. Supondo que existissem prisioneiros a carregar sobre suas cabeças estatuetas de homens, de animais, vasos e outros utensílios por detrás do muro onde os demais estavam encadeados, sob escassa iluminação vinda do subterrâneo, concluiu que os habitantes daquele triste lugar só poderiam enxergar as sombras daqueles objetos, que surgiam e se desfaziam diante deles. Assim sendo, acreditavam que as imagens fantasmagóricas que apareciam aos seus olhos - as quais Platão chama de ídolos - eram verdadeiras, pois tomavam o espectro pela realidade. A existência dos prisioneiros era, então, inteiramente dominada pela ignorância. Se, por acaso, alguém resolvesse libertar um
daqueles pobres enclausurados e o levasse para longe da caverna, num primeiro momento, ele nada enxergaria, ofuscado pela extrema luminosidade do sol do lado de fora da caverna. Mas, depois de aclimatado, ele iria desvendar aos poucos as manchas, as imagens, e, finalmente, uma infinidade outra de objetos maravilhosos que o cercavam (Brun, 1994: 132-3). Essa crítica de Platão à condição humana se aplica perfeitamente às nossas limitações diante do universo multidimensional, restando-nos apenas a possibilidade de visualização de objetos n-dimensionais em dimensões inferiores por meio da projeção de suas desdobras,
sombras2 e seções transversais - ou seja,
pelos métodos de Hinton. Podemos conceber o que nunca poderíamos perceber.
Em Oxford, Hinton iniciou seus esforços para visualizar a quarta dimensão espacial. Sabia que não era possível visualizá-la em sua inteireza, mas refletiu que seria possível visualizar o desdobre de um objeto quadridimensional. “O múltiplo é não só o que tem muitas partes, mas o que é dobrado de muitas maneiras” (Deleuze, 2000: 14). Passou anos aperfeiçoando cubos especiais para a visualização de hipercubos. Desenvolveu, então,
o tesseract (cf. figura 15), também conhecido
como cubos de Hinton:
Um hipercubo em quatro dimensões não pode ser visualizado. Mas podemos desdobrar um hipercubo em seus componentes inferiores, que são cubos tridimensionais comuns. Esses cubos, por sua vez, podem ser arranjados numa cruz tridimensional – um tesseract, ou hipercubo. É impossível para nós visualizar como esses
2
cubos devem ser dobrados para formar um hipercubo. No entanto, uma pessoa de um mundo com mais dimensões pode “erguer” cada cubo de nosso universo e em seguida dobrar o cubo e formar um hiper cubo. (Nossos olhos tridimensionais, testemunhando esse evento espetacular, veriam apenas os outros cubos desaparecerem, deixando um único cubo no nosso universo) (Kaku, 2000: 89).
Figura 15: Tesseract (ou tessela, em português) =
hipercubo desdobrado.
Fonte:http://www.wordiq.com/definition/Tesseract.
Tanto numa acepção literal quanto metafórica, a desdobra não é o contrário da dobra, mas segue a dobra até outra dobra, é condição de sua manifestação. Trata-se de tender-distender, contrair-dilatar, comprimir-explodir, envolver-desenvolver, involuir-evoluir. “Quando a dobra deixa de ser representada para tornar-se ‘método’, operação, ato, a desdobra vem a ser o resultado do ato que se expressa precisamente dessa maneira” (Deleuze, 2000: 68). A dobra ideal para Deleuze (2000: 58) é a Zwiefalt (dobra entre dois, entredodra), conceito que Martin Heidegger (1889-1976) invoca para marcar que a diferença desdobra-se e redobra-se coextensivamente, desvelando a essência. A Zwiefalt articula,
costura. Dobrar, desdobrar e redobrar: o multimétodo de visualização n-dimensional por natureza (Smoot e Davidson, 2000 e Silva, 2003).
A dobra como paradigma projetivo parte, para a geração de tridimensionalidade, de outras bases, nem de um processo aditivo ou subtrativo, nem de uma matéria-prima geométrica tridimensional. O objeto arquitetônico é resultado da manipulação de uma entidade bidimensional, a superfície, a qual não se submete a operações extrínsecas de adição ou retirada de elementos, mas a operações intrínsecas de dobraduras, onde ficam implícitas a extensão ou retração de suas dimensões, designadas em Topologia por homeomorfismos, operações que não alteram topologia. (...) A dobra permite à superfície a possibilidade de gerar um objeto tridimensional em que a caracterização básica é a continuidade material (Sperling, 2003: 44).
As idéias de Hinton foram publicadas inicialmente em 1884 e, a partir de então, ele continuou, durante anos, desenvolvendo métodos de visualização do espaço multidimensional. Buscava um espaço de dimensão menor e que ainda representasse a informação contida em dimensões mais elevadas.
hipercubos e examinar suas sombras, Hinton tinha consciência de uma terceira maneira de conceituar a quarta dimensão:
por seções transversais (Kaku, 2000:
89-90, grifos nossos).
A sombra de um hipercubo projetada em 3D assemelha-se a um cubo dentro de outro cubo. Se o hipercubo for rotacionado em 4D, o cubo executará movimentos que parecerão impossíveis aos nossos cérebros tridimensionais.
Seguindo o raciocínio de Hinton, as seções transversais bidimensionais da terceira dimensão representariam o objeto quadridimensional que iria aparecer, ficar maior, menor, mudar de forma, de cor e desaparecer repentinamente. É como se visualizássemos apenas as “fatias” cortadas do objeto. Os cortes não geram rupturas de continuidade; repartem o contínuo de modo que não haja lacunas. Esses três métodos de Hinton (sombras, desdobramentos e seções transversais) permanecem sendo os principais meios para conceituação de objetos multidimensionais.
2.1.4. Geometria fractal
A mente é uma espécie de fractal... Não há propriamente qualquer simplicidade nela em nenhum momento, nem identidade no diferente, apenas um fluxo e um movimento perpétuos, uma variação constante, na qual várias percepções sucessivamente aparecem: passam, re-passam, esvaecem e se misturam numa infinita variedade de DNAs e recombinações (Critical Art
Ensemble, 2001: 80).
Prosseguindo dentre as principais configurações da geometria não-euclidiana, concluiremos pela abordagem da geometria fractal. A geometria fractal se apresenta como a mais adaptada ao estudo das formas naturais e suas evoluções, capaz de descrevê-las num sentido esteticamente valioso, “fractal como a linguagem própria da geometria” (Emmer, 2004: 11).
A descrição matemática de fenômenos naturais pela geometria fractal representa a possibilidade de lidar com dimensões fracionárias ou irracionais, em oposição às três dimensões da geometria euclidiana. Na geometria euclidiana, um ponto tem dimensão zero, uma linha tem dimensão um (comprimento), uma superfície tem dimensão dois (comprimento e largura) e um volume tem dimensão três (comprimento, largura e altura). De acordo com a geometria fractal, "pode-se dizer que certas curvas planas muito irregulares têm 'dimensão fractal' entre um e dois, e que certas superfícies muito rugosas e onduladas têm 'dimensão fractal' entre dois e três" (Mandelbrot, 1984: 06). Constitui, por exemplo, mais que uma linha e menos que uma superfície: uma interdimensão, conforme define Deleuze (2000: 34-35). Os fractais têm dimensões diferentes e próprias de cada imagem (Peitgen e Saupe, 1988 e Braun, 1996).
permitem construir com facilidade e “fidelidade” desconcertantes formas que até então desafiavam os olhos e a mão do desenhista (Prigogine e Stengers, 1992: 78). O início do estudo da teoria geométrica da medida iniciou-se com o matemático alemão Felix Hausdorff (1868-1942) em 1919, seguido pelo russo Abram Samoilovitch Besicovitch (1891-1970). O ponto de bifurcação no estudo de dimensão surge quando o matemático polonês Benoit Mandelbrot (1924-...) passa a fazer uso de conjuntos com dimensão fracionária para modelar fenômenos científicos.
Mandelbrot descobriu (ou sistematizou) a geometria fractal na década de 1970. Consultou um dicionário de latim e encontrou o adjetivo
fractus, do verbo frangere, que significa
quebrado, fracionado. Cunhou, então, o termo fractal. Definiu um fractal como um conjunto com
dimensão de Hausdorff estritamente maior que
sua dimensão topológica. Seu trabalho foi influenciado, sobretudo, pelos estudos de estruturas com características semelhantes dos matemáticos George Cantor (1845-1918) - conjunto de Cantor; Helge von Koch (1870-1924) - curva de Koch; Waclaw Sierpinski (1882-1969) - triângulo de Sierpinski e Giuseppe Peano (1858-1932) - curva de Peano. A dimensão fractal - ou dimensão de Hausdorff - de um objeto mede seu grau de complexidade, ou seja, sua irregularidade, estrutura e comportamento, quer se trate de uma figura ou de um fenômeno físico, biológico ou social.
Os mais úteis fractais envolvem probabilidades (chances), e suas irregularidades e regularidades são estatísticas. Alguns conjuntos fractais são curvas ou superfícies, outros são pontos desconectados e outros,
ainda, possuem formas tão únicas que não apresentam termos de definição, seja nas ciências ou nas artes (Schuster, 1984: 46-50).
Para a construção de um fractal, temos que uma linha pode ser dividida em n partes iguais (n=n1), logo, o tamanho de cada fragmento da reta é 1/n; um quadrado pode ser dividido em n2 partes iguais; um cubo pode ser dividido em n3 partes iguais e um hipercubo divide-se em nn partes iguais. Nestes casos, a dimensão é igual ao valor do expoente de n. Isto acabará por levar a:
N = (L/n)-d∴
N = comprimento do segmento na iteração p da construção do fractal, em que p é um número natural qualquer
L = comprimento de uma linha
n = número de partes em que a linha é dividida na iteração p da construção do fractal
d = dimensão de Hausdorff
Aplicando o logaritmo a ambos os membros, obtém-se a fórmula da dimensão de Hausdorff:
d = log(L/n) log N
Figura 16: Imagem fractal “Conjunto de Mandelbrot”. Fonte: http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm43/fractais.htm.
Figura 17: Imagem fractal “Jóia de filigrana ktaza 189”. Fonte: http://freepages.arts.rootsweb.com/~soler1/
ktaza189.jpg.
Figura 18: Imagem fractal “Penas Tiera 3942”. Fonte: http://freepages.arts.rootsweb.com/~soler1/
Tiera3942.jpg.
Figura 19: Imagem fractal “Pratos de ouro Tiera 1825”. Fonte: http://freepages.arts.rootsweb.com/~soler1/
Tiera1825.jpg.
Um fractal é um objeto que não perde a definição formal na medida em que é ampliado, mantém sua estrutura idêntica à original. Existem duas categorias de fractais: os fractais geométricos - que repetem continuamente um padrão idêntico - e os fractais aleatórios - resultado de funções iterativas complexas.
As principais propriedades que caracterizam os fractais são a auto-similaridade e a complexidade infinita. A auto-similaridade é a simetria através das escalas. Cada pequena porção do fractal poder ser vista como uma réplica de todo o fractal numa escala menor. Tem-se a auto-similaridade exata e a estatística. A exata apresenta uma repetição precisa dos padrões em diferentes ampliações.
Um exemplo notório de auto-similaridade é o “Triângulo de Sierpinski” (cf. figura 20), descoberto em 1917 pelo matemático polonês Waclaw Sierpinski (Braun, 1996: 104-15). Sua construção básica começa com um triângulo equilátero sobre o qual aplicam-se sistemas repetitivos de operações.
Tomam-se os pontos médios dos três lados, que junto com os vértices do triângulo original formam quatro triângulos congruentes, dos quais retira-se o central. Tem-se, então, três triângulos congruentes, cujos lados medem metade do lado do triângulo original.
Repete-se o processo tanto quanto desejado, gerando outros 3, 9, 27, 81, 243... triângulos. Uma pequena porção do triângulo é idêntica à do triângulo todo. A dimensão fractal do Triângulo de Sierpinski é aproximadamente 1,58:
Figura 20: Triângulo de Sierpinski, exemplo de auto-similaridade exata.
Fonte http://victoriamx.com/fractales/webdocs/Fractais-Semin8.doc.
Em construção análoga, destacamos o “Tetraedro de Sierpinski” (cf. figura 21), uma generalização no espaço do seu Triângulo, cuja dimensão fractal é 2:
d = log 2 = 2 log 2
Figura 21: Tetraedro de Sierpinski, exemplo de auto-similaridade exata.
Fonte http://victoriamx.com/fractales/webdocs/Fractais-Semin8.doc.
Na auto-similaridade estatística (cf. figura 22), os padrões não se repetem com exatidão, são as qualidades estatísticas dos padrões que se repetem. A maioria dos padrões existentes na natureza obedece a esse tipo de auto-similaridade, como numa árvore (Taylor, 2003: 86).
Figura 22: Árvore real, exemplo de auto-similaridade estatística.
Fonte:http://materialscience.uoregon.edu/taylor/art/ splash.html.
A propriedade denominada complexidade infinita relaciona-se ao fato de o processo gerador dos fractais ser recursivo, tendo um número infinito de interações. Outra característica importante dos fractais é sua dimensão. Como anteriormente descrito, a dimensão fractal é uma quantidade fracionária, que representa o grau de ocupação do fractal no espaço. As formas estranhas e caóticas dos fractais descrevem alguns fenômenos naturais, como os sismos, o desenvolvimento das árvores, a estrutura da sua casca, a forma de algumas raízes (como a do gengibre), a linha de costa marítima, as nuvens, entre outros. Entretanto, o caos está na ocupação do espaço e não na forma em si.
O termo caos, originário do étimo grego
cháos, significa origem. Pelos romanos, no
desordem e, sim, à sensibilidade às condições iniciais, ou melhor, à “dependência hipersensível das condições iniciais” (Ruelle, 1993: 58). Isso significa que uma pequena mudança no estado do sistema produz uma mudança ulterior, que cresce exponencialmente com o tempo. Portanto, a uma pequena causa decorre um grande efeito. A teoria do caos, batizada pelo matemático Jim Yorke na década de 1970, é conceituada como um campo avançado da matemática e se dedica às análises de sistemas dinâmicos não-lineares, cujo comportamento é fundamentalmente aleatório e imprevisível. O caos busca o padrão no interior do aleatório; a ordem, na desordem; procura um padrão de desordem em sistemas complexos (Schüler, 2000). “Nos fenômenos caóticos, a ordem determinista cria, portanto, a desordem do acaso” (Ruelle, 1993: 93). Em entrevista a Pessis-Pasternak, quanto à teoria do caos, o físico teórico Jean-Marc Lévy-Leblond é enfático:
Sob esse belo nome [teoria do caos], há uma teoria física, nova por seu objeto, mas tradicional por seu método: uma modelagem matemática, no final das contas, convencional, de certos fenômenos naturais. Trata-se ao mesmo tempo de fenômenos até aqui considerados como demasiado complicados, como a turbulência dos fluidos, e que começam a se esclarecer, e outros que se julgavam simples, como sistemas mecânicos bem pequenos – de três corpos, por exemplo -, e que revelam complexidades insuspeitadas. Em todo caso, uma desordem aparente faz vislumbrar agora uma estrutura subjacente suscetível de uma descrição formalizada –
uma espécie de “ordem”, sim, se se quiser... Mas é preciso compreender que essas palavras – ordem, desordem, caos – revestem-se como sempre acontece em ciência, de um sentido ao mesmo tempo muito mais preciso e bem mais pobre do que na língua corrente em que são empregadas. Para resumir, a teorização do “caos” confunde as fronteiras entre o acaso e a necessidade ou, dito de outro modo, rompe a identificação da causalidade e da previsibilidade (Pessis-Pasternak, 1992: 166-7).
A matemática do caos utiliza-se dos estudos qualitativos para investigar, por meio de modelos matemáticos, uma classe de fenômenos naturais que surgem no universo. O conceito de ordem envolve simetria no modelo ou uma invariância de padrão na ação de um conjunto de transformações. A parte deste padrão torna-se suficiente para a edificação do todo. A suposta desordem, similarmente, contém uma simetria estabelecida pela probabilidade de um dado componente estar ou não localizado numa posição particular. O processo aleatório pode ser caracterizado pelo fato de todas as possíveis transições ou movimentos serem igualmente prováveis (Haken, 1981 e 1982; Gleick, 1990; Hayles, 1990 e 1991).
algoritmos. A natureza obedece a regras algorítmicas, ou seja, pode ser analisada e traduzida pela linguagem fractal (Hildebrand, 2001: 139-47 e Vieira e Lopes, 2003).
2.1.5. Ordem no caos
O físico Richard Taylor descobriu que as peculiares obras do artista americano Jackson Pollock (1912-1956) seguem o modelo geométrico fractal (cf. figuras 23 a 26). Configuram-se padrões em que cada detalhe reproduz o todo. Começou a investigação escaneando uma das pinturas e, em seguida, cobriu a imagem com uma malha de quadrados idênticos (gerados pelo computador) de tamanhos que variavam de um centímetro a 4,8 metros. Analisando os quadrados preenchidos pelo padrão pintado e os quadrados vazios, calculou as qualidades estatísticas do padrão. O resultado foi o de que um mesmo padrão se repetia em diversos tamanhos, alguns até mil vezes maior que outros. Ao analisar as obras
em computador, Taylor conseguiu medir as dimensões fractais presentes no trabalho de Pollock e percebeu que a dimensão fractal aumenta à medida que o artista refina sua técnica. Esse valor aumentou durante a década em que se dedicou às pinturas com respingos, indo de 1,12 em 1945, para 1,7 em 1952 e chegando a 1,9, como se o pintor estivesse, inconscientemente, à procura de fractais cada vez mais complexos (Taylor, 2003: 89).
Figura 23: Catedral, Jackson Pollock, 1947 (Museu de arte de Dallas – Dallas, EUA).
Fonte: http://www.beatmuseum.org/pollock/cathedral.html.
Figura 25: Um: Número 31, Jackson Pollock, 1950 (Museu de arte moderma - New York, EUA). Fonte:http://www.moma.org/collection/depts/paint_sculpt/blowups/paint_sculpt_019.html.
Figura 26: Pólos azuis: Número 2, Jackson Pollock, 1952 (Galeria nacional da Austrália – Camberra, Austrália). Fonte:http://materialscience.uoregon.edu/taylor/art/jack.html.
As pinturas de Pollock podem resultar da percepção da essência dos cenários naturais, uma vez que o próprio pintor afirmava sua preocupação com os ritmos da natureza (Hildebrand, 2001: 44-5 e Emmerling, 2003).
A beleza dos quadros de Pollock talvez
esteja justamente na semelhança com a natureza.
Capítulo 3. Perspectivas
Perspectiva (do latim perspicere, “ver com clareza”) é a arte de representar os objetos com as modificações aparentes, neles produzidas pela distância e posição. Representar num plano a sensação de três dimensões espaciais é o desafio da perspectiva. O espaço, antes absoluto, passa a ser perspectivado ao olho:
De um espaço absoluto passou-se a um espaço relativizado ao olho por intermédio da linguagem; de uma linguagem assim tornada absoluta passou-se a uma linguagem relativizada ao olho pelo tempo, que igualmente relativiza o olho, desnaturalizando o espaço. No reino do
tempo, espaço-olho-e-linguagem descobrem-se conexos, e mais uma vez
indecidíveis (Campos, 1990: 20).
É preciso, entretanto, distinguir esse sistema de expressão visual do espaço na Antigüidade e no Renascimento, os períodos mais marcantes da evolução do sistema perspéctico. Para os antigos tratava-se de uma representação do mundo pelo cálculo dos ângulos visuais e, para os renascentistas, a perspectiva era um sistema de redução da proporção dos objetos pela distância. Vejamos pormenorizadamente.
3.1. Antiga+idade
A Antigüidade clássica era contrária à perspectiva linear plana, pois considerava a configuração do campo visual como esférica. Para óticos, teóricos de arte e filósofos da Antiguidade “o reto é visto como curvo e o curvo como reto” (Panofsky, 1985: 15).
Os antigos partiam do pressuposto de que as dimensões visuais não são determinadas pela distância existente entre os objetos e o olho, e sim pela medida do ângulo visual. Esse era o princípio fundamental do procedimento perspectivo antigo. A arte antiga privilegiava a representação dos objetos em detrimento do espaço.
Panofsky acredita que os romanos clássicos possuíam, realmente, procedimentos geométricos perspectivos. Salienta que o arquiteto Marco Vitruvio (século I a.C.) apresenta a definição de scenographia como método de representação perspectiva de uma imagem tridimensional sobre o plano. Embora não haja um ponto de fuga único nas pinturas antigas (como na perspectiva plana introduzida no Renascimento), há a utilização de diversos pontos de convergência dos prolongamentos das linhas de profundidade, o chamado eixo de fuga. As ortogonais convergem, mas nunca a um horizonte unitário ou a um centro contínuo.
Scenographia é 1) o método do pintor que, desejando reproduzir graficamente edifícios, o faz não segundo medidas reais, mas sim por medidas aparentes; 2) o método do arquiteto que não deve aplicar as proporções definidas como belas, do ponto de vista matemático, e sim perseguir a forma satisfatória sob o ponto de vista subjetivo e 3) o método do escultor que realiza obras de grande volume. A scenographia
instrui o escultor acerca da impressão ótica futura de sua obra, a fim de que a impressão não seja meramente simétrica (Panofsky, 1985: 75).
