Tem três ou mais algarismos.
Um de seus algarismos é igual à soma de todos os demais. Por exemplo:
2013 é enrolado, pois 3 = 2 + 0 + 1; 220 é enrolado, pois 2 = 0 + 2;
789 não é enrolado, pois nenhum de seus algarismos é a soma dos demais; 22 não é enrolado, pois é um número de dois algarismos (observe que 022 é igual a 22, ou seja, não é enrolado).
a) Qual é o maior número enrolado formado por algarismos diferentes de zero? b) Quantos números enrolados de três algarismos existem?
02) Esmeralda escreveu no quadro negro a sequência de todos os números inteiros de 1 a 2011. Em seguida, apagou todos os números pares da lista.
a) Quantos números restaram?
b) Dos números restantes, quantos foram escritos apenas com algarismos 0 e 1?
03) Esmeralda escolhe um número inteiro positivo qualquer e realiza a seguinte operação com ele: cada um de seus algarismos é trocado pelo seu sucessor, com exceção do 9, que é trocado por 0. Em seguida, os eventuais zeros que aparecem à esquerda são eliminados. Por exemplo, ao se realizar a operação no número 990003953 obtém-se 1114064 (note que os dois zeros à esquerda gerados pelos dois primeiros algarismos 9 foram eliminados).
A operação é repetida até que se obtenha 0. Por exemplo, começando com 889, obtemos a sequência de números 889, 990, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0
a) Apresente a sequência de números quando o primeiro número é 2008.
b) Mostre que, independente do número inicial, após uma quantidade finita de operações Esmeralda obtém 0.
04) Dizemos que um número inteiro positivo é chapa quando ele é formado apenas por algarismos não nulos e a soma dos quadrados de todos os seus algarismos é também um quadrado perfeito. Por exemplo:
- o número 2115522 é chapa, pois 2 2 2 2 2 2 2 2
2 1 1 5 5 2 2 8 e todos os seus algarismos são não nulos (diferentes de zero);
- o número 403 não é chapa, pois, apesar de 2 2 2 2
4 0 3 5 , um dos algarismos de 403 é nulo (igual a zero); - o número 12 não é chapa, pois 2 2
1 2 5 e 5 não é um quadrado perfeito. a) Qual é o maior inteiro positivo com dois algarismos que é chapa?
b) Existe um inteiro positivo com 2011 algarismos que é chapa? Justifique sua resposta.
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LISTA 6
_____/_____/_____Data Entrega:Semana 2
05) A sequência 121, 1221, 12221, ... contém todos os números da forma 122 21
2 dígitos n
. A quantidade de dígitos 2 indica a posição do número na sequência. Por exemplo, o número 122222221 é o sétimo termo da sequência.
a) Dentre os 2009 primeiros termos da sequência, quantos são divisíveis por 3? b) Qual é o menor número múltiplo de 1001 da sequência?
06) Considere a sequência 1, 23, 456, 78910, 1112131415, ..., construída com os algarismos que obtemos ao escrever os inteiros a partir do um. O primeiro termo é o primeiro inteiro positivo, o segundo termo tem os algarismos dos dois inteiros seguintes, o terceiro termo tem os algarismos dos três inteiros seguintes, e assim por diante.
a) Qual é o algarismo das unidades do décimo termo desta sequência? Não se esqueça de justificar a sua resposta. b) Qual é o termo desta sequência em que aparece pela primeira vez, nessa ordem, a sequência de algarismos 2013? Por exemplo, a sequência 121 aparece pela primeira vez no quinto termo, 1112131415.
07) Desejamos preencher tabuleiros 3 × 3 com 9 inteiros positivos distintos sendo que números a e b que têm um lado em comum devem ser tais que a é divisível por b ou b é divisível por a.
Vejamos uma configuração que satisfaz as condições do problema. Observe que o maior número que aparece no tabuleiro é o 25.
a) Apresente uma maneira de preencher um tabuleiro de modo que o maior número que aparece é o 22. b) Qual é o menor inteiro positivo que pode ser o maior número que aparece no tabuleiro?
08) Cristina mostrou uma pilha de cartões numerados de 1 a 25 e pediu para sua amiga Doroti escolher seis desses cartões. Cristina anotou os números e devolveu os cartões à pilha. Em seguida, pediu para Doroti fazer mais uma escolha de seis cartões e anotou novamente os números.
a) Na primeira escolha de Doroti, a diferença entre os números de dois cartões quaisquer era um múltiplo de quatro e somente um dos seis números não era primo. Quais eram os seis números?
b) Na segunda vez, Doroti escolheu seis cartões de forma tal que para cada par desses cartões, um dos dois números era divisível pelo outro, exceto para um dos pares, em que nenhum dos dois números era divisível pelo outro. Qual era o maior desses números?
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108
Semana 3
09) Quando duas amebas vermelhas se juntam, elas se transformam em uma única ameba azul; quando uma ameba vermelha se junta com uma ameba azul, as duas se transformam em três amebas vermelhas e quando duas amebas azuis se juntam, elas se transformam em quatro amebas vermelhas. Fernando observa um tubo de ensaio que contém inicialmente 19 amebas azuis e 95 amebas vermelhas.
a) Ele observa que todas as amebas se juntam em pares, originando as amebas de geração seguinte. Esta geração tem no máximo quantas amebas?
b) A partir da situação inicial, se em algum instante houver 100 amebas, quantas serão as azuis?
10) Em um tabuleiro quadriculado de 10 linhas e 500 colunas, começando pela casa inferior esquerda e seguindo o modelo que está na figura, Joaquim pintou de preto 2011 casas.
Em seguida, Augusta pintou de azul as casas sem pintar que tinham duas ou mais casas vizinhas de cor preta. Quantas casas Augusta pintou?
11) Distribua os números 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8 um em cada casa de um tabuleiro 4 × 4 de modo que a soma dos números localizados em cada uma das quatro linhas, das quatro colunas e das duas diagonais seja um número primo. Boa Atividade! Professor (a): TARI Disciplina: LÓGICA Visto do professor: Aluno: Série: 8° ANO Data de Recebimento:
Semana 4
12) Em um certo jogo usam-se fichas de cores que têm valores diferentes. Duas fichas brancas equivalem a três fichas amarelas, uma ficha amarela equivale a cinco fichas vermelhas, três fichas vermelhas equivalem a oito fichas pretas, e uma ficha preta vale 15 pontos.
a) Quantos pontos vale cada ficha?
b) Encontre todas as maneiras possíveis de acumular 560 pontos usando, cada vez, não mais que cinco fichas de cada cor.
13) Três jogadores estão jogando ping-pong e o que não está jogando uma determinada partida joga com o vencedor na próxima partida. No final do dia, o primeiro jogador tinha jogado 10 partidas e o segundo, 21. Quantas partidas jogou o terceiro jogador?
14) Vinte e cinco elefantes estão enfileirados na arena de um circo e cada um deles pesa um número inteiro de quilogramas. Se você somar o peso de qualquer um deles (exceto o da extrema direita) com metade do peso do vizinho à direita, o resultado será 6 toneladas. Encontre o peso dos elefantes.
Obs.: O contexto do exercício é meramente ilustrativo, repudiamos qualquer forma de maus tratos aos animais.
15) Qual número é maior: 1234567 × 1234569 ou 12345682? 16) São dadas duas frações:
Em cada uma delas, o número no denominador tem um algarismo igual a zero a mais do que o número no numerador. Se o numerador na fração à esquerda tem 1984 algarismos iguais a zero e o numerador na fração à direita tem 1985 algarismos iguais a zero, qual das frações é maior?
17) Qual número é maior:
18) Qual número é maior: 100100 ou 5050 × 15050? 19) Qual número é maior: (1,01)1000 ou 1000? 20) Quantos algarismos tem o número 21000?
21) Encontre o maior entre os números 5100, 691, 790, 885.
Boa Atividade! Professor (a): TARI Disciplina: LÓGICA Visto do professor: Aluno: Série: 8° ANO Data de Recebimento: