DOMINGUES, H H Fundamentos de Aritmética São Paulo: Atual, 1991

O livro é resultado do curso de Teoria dos Números, ministrado na Unesp, campus de São José do Rio Preto, na graduação em matemática. O objetivo do autor é apresentar uma obra para estudantes e professores de matemática, inclusive os do ensino médio. Por esse motivo, manifesta que há uma preocupação com o aspecto didático, buscando justificar algoritmos utilizados pelos alunos na escola, desde cedo, mas de forma mecânica. Segundo o autor, não há exigência de pré-requisitos para a leitura do texto, pois procurou torná-lo auto- suficiente.

Apresenta o capítulo I como uma introdução histórica à aritmética, por considerar que há ligações quase orgânicas entre as origens da matemática e da aritmética. Segundo o autor, a Teoria dos Números é abordada nos capítulos II e III, num nível básico e elementar. Nos capítulos IV e V, são tratados os números racionais, chegando ao conjunto dos números reais, no capítulo V. Os conteúdos abordados nesses capítulos são:

Capítulo I: Números, sistemas de numeração: introdução histórica.

Capítulo II: Os números naturais: introdução; operações – relação de ordem; indução; divisibilidade em N; sistemas de numeração posicional - base; máximo divisor comum; mínimo múltiplo comum; números primos; a função sigma e números perfeitos; os ternos pitagóricos; a seqüência de Fibonacci.

Apêndice I – Axiomas de Peano.

Capítulo III: Os números inteiros: números negativos; os inteiros; operações e relação de ordem em Z; indução; valor absoluto; aritmética em Z; equações diofantinas lineares; congruências; congruências lineares; sistemas de congruências; a função de Euler; restos quadráticos – Teorema de Wilson; raízes primitivas.

Apêndice II – Construção lógico-formal do conjunto dos números inteiros. Apêndice III – Aritmética módulo m.

Capítulo IV: Os números racionais: introdução; a divisão em Z; números racionais: construção, operação, relação de ordem; valor absoluto; a função maior inteiro (sobre Q); números racionais decimais.

Capítulo V: Os números reais: medidas de um segmento; cortes em Q; os números reais; a representação geométrica de R; seqüência de números reais; séries infinitas de números reais; representação decimal de um número real; a teoria da representação decimal em Q.

No capítulo I, conforme proposto, o autor faz uma abordagem histórica sobre a evolução da contagem e o conceito de número natural; sobre sistemas de numeração utilizados por algumas civilizações; sobre os números figurados, situando-os no contexto da escola pitagórica. Ainda que não seja um capítulo específico de Teoria dos Números, pensando na formação do professor de matemática para a escola básica, consideramos que é interessante, porque dá oportunidades ao licenciando de rever conteúdos já estudados, possibilitando ampliar a compreensão sobre esse tema que está presente naquele nível de ensino. Pode, ainda, desenvolver a curiosidade sobre o estudo da Teoria dos Números e também desenvolver habilidades de generalizar, de argumentar, de demonstrar algebricamente um resultado. O objetivo didático que o autor apresenta pode ser observado neste capítulo, embora não haja a necessidade de que se constitua em um estudo a parte, podendo ser inserido em outros momentos, como parte do conhecimento pedagógico do conteúdo.

No capítulo II, são abordados os números naturais. Conforme afirma o autor, não é feita uma construção lógica de N, o que pode ser encontrada no Apêndice I, onde se introduz a axiomática de Peano. Como embasamento teórico para a aritmética dos naturais, considera as propriedades da adição e da multiplicação em N. Define a relação de ordem em N e demonstra algumas propriedades relacionadas com essa relação. Introduz, em seguida, a indução, sem qualquer referência ao que ela representa, limitando-se à abordagem formal. Ao utilizar o princípio da indução como ferramenta para fazer demonstrações, parece supor que o aluno já tenha familiaridade com esse instrumento. Propõe uma série de exercícios em que o estudante terá que usar o princípio da indução, sem qualquer comentário sobre a sua utilização. Ainda no item sobre indução, trata a definição por recorrência, definindo, por esse processo, a adição e a multiplicação de m (m ≥ 2) números naturais, usando a notação de somatório e de produtório. Usando o método de recorrência, define também a potência n-

ésima de a, sendo a e n, números naturais e a ≠ 0.

A abordagem da indução e do método de recorrência não é coerente com o objetivo didático proposto, pois o tratamento dado ao assunto supõe que se trata de algo conhecido dos alunos e não explora a oportunidade de desenvolver outras habilidades, por exemplo, através de tarefas favorecidas por esse assunto, como as do tipo exploração ou investigação. Como também não aborda outros conceitos que podem ser definidos por recursão, dos quais os alunos têm algum conhecimento da escola básica e os quais os futuros professores deverão ensinar, como é o caso das progressões aritméticas e geométricas, a noção de fatorial, o binômio de Newton. A ênfase parece cair, neste item, na notação de somatório e de

Neste capítulo, também é abordada a divisibilidade em N, iniciando com a definição de divisor e com algumas propriedades da relação x | y em N. Em seguida, discute-se o algoritmo da divisão, utilizando várias representações, formal, geométrica, numérica, algorítmica. Retoma a questão dos sistemas de numeração posicionais e da base, sem, contudo, referir-se ao estudado no capítulo I. Explora a mudança de uma base para outra e a adição e a multiplicação em qualquer base, como análogas à base 10. Os critérios de divisibilidade são apresentados como algo bem conhecido pelos estudantes, mas o autor se preocupa em justificá-los, usando a representação de um número natural na base 10. Os exercícios propostos, sobre divisibilidade, não se limitam a demonstrações.

O máximo divisor comum, mínimo múltiplo comum e números primos são os próximos assuntos tratados no capítulo II. Também a abordagem não é estritamente formal, sendo que o autor faz várias “pontes” entre o conhecimento “antigo” e o “novo”, o mesmo ocorrendo com os exercícios propostos. Trata, ainda, os números perfeitos, números de Mersenne, ternos pitagóricos e seqüência de Fibonacci e as propriedades aritméticas dos números que a compõem.

Em relação á organização matemática deste capítulo, ou seja, a praxeologia adotada, considerando os gêneros de tarefas, há uma maior diversificação em relação às obras anteriores, embora a abordagem da teoria e das tecnologias ainda seja formalista e tradicional, iniciando pelas definições e pelos teoremas, seguindo-se os exemplos e as tarefas. De 114 tarefas propostas, 38 (33%) são do gênero provar; 20 (18%) são do gênero mostrar, em apenas 2 (2%) usa o comando demonstrar; 44 (38%) são do tipo calcular, escrever, determinar, resolver; apenas 6 (9%) são do gênero verificar a veracidade, estabelecer condições, generalizar e justificar. O autor resolve várias tarefas, sendo que, para outras, apresenta sugestões, geralmente para aquelas que poderiam trazer maiores dificuldades para os alunos, ou melhor, para aquelas cujas técnicas / tecnologias disponíveis não seriam suficientes.

No capítulo III, são abordados os números inteiros, de modo análogo ao que foi feito com os naturais, estendendo os conceitos para esse novo campo e tratando as ampliações possíveis que essa extensão permite. Neste capítulo, também são abordadas as equações diofantinas lineares com duas e com três incógnitas, propondo exercícios, usando diferentes representações, inclusive várias situações-problema cujas resoluções dependem de uma equação diofantina. Ainda no capítulo III, o autor trata o estudo de congruências lineares,

incluindo sistemas de congruências e o teorema chinês do resto43, a função de Euler, restos quadráticos e o teorema de Wilson.

A abordagem desses assuntos é formal, tradicional. Entretanto, o autor se utiliza de exemplos numéricos, de dados históricos, de exemplos ligados a assuntos que os alunos podem já ter estudado na escola básica, como os critérios de divisibilidade e a prova dos noves para as operações fundamentais com números naturais, justificadas a partir da representação na base dez ou usando congruência. Com relação às tarefas deste capítulo, excetuando-se as referentes ao estudo de congruências, de 93 propostas, 49 (53%) são do gênero provar; 22 (24%) do gênero mostrar; em apenas uma é solicitado demonstrar; 21 (22%) são do gênero calcular, escrever, determinar, resolver. Deste modo, percebemos que também não estão presentes tarefas do tipo exploração ou investigação.

Quanto à forma de distribuição dos assuntos, os capítulos são longos. Por exemplo, o segundo é praticamente um curso de teoria elementar dos números. Outro aspecto que mereceria ser mais bem estudado é a separação do estudo dos naturais e dos inteiros, o que poderia exigir um curso mais longo, mas que, por outro lado, poderia trazer alguma vantagem que o autor não explicita.

Podemos concluir que, nos capítulos analisados dessa obra, conforme relatado anteriormente, embora a abordagem seja formalista e tradicional, há uma preocupação com a transposição didática dos temas abordados e a explicitação de objetivos de ensino, manifestadas pelo autor no prefácio e que podem ser observadas na apresentação da maioria dos temas. Podemos identificar, inclusive, vários elementos de aproximação com o saber escolar, embora não sejam exploradas todas as possibilidades, como apontamos, por exemplo, em relação ao estudo da indução matemática. Desta forma, podemos dizer, também, que há elementos que podem ser identificados como pertencentes à categoria de conhecimento pedagógico do conteúdo, conforme descrito por Shulman, como notas históricas, exemplos, analogias e varias representações para os objetos matemáticos tratados.

5.2.4 HEFEZ, A. Elementos de aritmética. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de