NIVEN, I.; ZUCKERMAN, H S.; MONTGOMERY, H L An introduction to

Theory of Numbers. 5th ed. New York: John Wiley, 1991.

A primeira edição da obra é de 1960. É citada por autores nacionais como Sidki (1975), Monteiro (1971) e Hefez (1993), e também na bibliografia de uma das universidades pesquisadas. Segundo os autores, é destinado a um primeiro curso de Teoria dos Números na graduação, sendo os capítulos iniciais, contendo tópicos para um curso elementar, considerados menos pretensiosos; e os tópicos não elementares, considerados mais desafiadores, exigindo, como pré-requisito, um domínio de um curso padrão de álgebra linear e de cálculo avançado. Os autores sugerem para um curso elementar os seguintes tópicos: TÓPICOS PARA UM CURSO ELEMENTAR

1.Divisibilidade: introdução, divisibilidade, primos, o teorema binomial.

2. Congruências: congruências, soluções de congruências, o teorema chinês do resto; técnicas de cálculo numérico; chave-pública de Criptografia; potências de primos; raízes primitivas;

4. Algumas funções da teoria dos números: função maior inteiro; funções aritméticas; a fórmula da inversão de Möbius.

5. Algumas equações diofantinas: a equação ax+by=c; triângulos pitagóricos;

6. Frações de Farey e números irracionais: seqüências de Farey; aproximações racionais. Para cursos mais avançados, propõem:

TÓPICOS NÃO ELEMENTARES

2.Congruências: congruências de grau dois, módulo primo; teoria dos números do ponto de vista algébrico; grupos, anéis e corpo.

3. Reciprocidade quadrática e formas quadráticas.

5. Algumas equações diofantinas: equações lineares simultâneas; formas quadráticas ternárias; curvas elípticas. 6. Frações de Farey e números irracionais: os números irracionais; a geometria dos números.

7. Frações contínuas simples

8. Primos e teoria dos números multiplicativa 9. Números algébricos

10. A função partição

Os autores concebem a Teoria dos Números como um assunto amplo com forte ligação com outros campos da matemática, especialmente com a álgebra abstrata, como também com a álgebra linear, combinatória, análise, geometria e mesmo topologia. Na introdução do capítulo sobre Divisibilidade a definem como o estudo das propriedades dos números inteiros, mas lembram que as provas não são sempre dadas dentro destes domínios e se baseiam em diferentes idéias e métodos. Destacam dois princípios que consideram básicos, um deles é o conhecido como Princípio da Boa Ordem, e o outro é o Principio da Indução Matemática, conseqüência lógica do primeiro.

Apontam, ainda, alguns aspectos importantes para o trabalho com a Teoria dos Números no ensino. Um deles diz respeito à importância das observações empíricas como fontes para resultados em Teoria dos Números. Afirmam eles:

De qualquer modo, observações empíricas são importantes na descoberta de resultados gerais e para testar conjecturas. Elas também são úteis na compreensão de teoremas. Ao estudar um livro sobre teoria dos números, vocês são bem aconselhados a construir exemplos numéricos, especialmente se um conceito ou um teorema não é inicialmente bem compreendido.* (NIVEN, 1991, p. 3)

Outro aspecto diz respeito à Teoria dos Números como uma diversão popular, especialmente na sua forma elementar, incluindo as curiosidades numéricas, quebra-cabeças e enigmas. Embora esta parte não seja objetivo desse livro, os autores acreditam que o estudo da teoria pode ser útil para explicar a matemática recreativa.

Afirmam que o objetivo deles, nesse livro, é apresentar uma visão equilibrada da área, lembrando que, embora se possam provar teoremas avançados, usando técnicas elementares, preferem, algumas vezes, buscando otimizar o valor instrucional do texto, provas mais longas que possam oferecer mais insights do que provas menores e conhecidas, que podem falhar no convencimento do espírito dentro da pesquisa corrente, sendo, assim, menos valiosas para um iniciante que queira ter uma percepção da área.

Os autores iniciam com o estudo da divisibilidade no primeiro capítulo, considerando- a como o conceito fundamental da Teoria dos Números, aquilo que a distingue de outros domínios da matemática. Abordam, de forma sucinta, o algoritmo da divisão euclidiana, o máximo divisor comum, o teorema da fatoração única e números binomiais, tratando as definições e os teoremas que são fundamentais de uma forma bastante simples. Os autores inserem, ainda, elementos que podem ser considerados como pedagógicos do conteúdo, como observações e comentários que enriquecem o texto. Além disso, utilizam exemplos que

poderíamos considerar genéricos,39 como na apresentação do algoritmo da divisão euclidiana e do máximo divisor comum, em que ilustram com um caso particular para depois generalizar e provar o procedimento. Há um grande número de exercícios, com referencial de respostas e sugestões para os mais trabalhosos.

No capítulo 2, tratam de modo abrangente o estudo de congruências, considerando que a congruência é nada mais que uma afirmação sobre divisibilidade. Entretanto, vêem-na como mais que uma notação conveniente, pois torna mais fácil descobrir provas e sugere problemas que nos conduzem a novos e interessantes tópicos. Nesse capítulo, tratam os teoremas de Fermat, Euler e Wilson e o Teorema do Resto Chinês, indicados como tópicos elementares, isto é, que exigem conhecimentos matemáticos de calouros. Outros tópicos do capítulo são classificados como não recomendados para iniciantes, como congruência de grau dois e Teoria dos Números de um ponto de vista algébrico.

Embora a obra seja indicada para um primeiro curso de Teoria dos Números na graduação, os próprios autores orientam quanto ao que consideram elementar, auxiliando o professor na seleção dos conteúdos e na definição da profundidade com que quer tratar o curso e cada assunto.

Quanto à abordagem, ela é axiomática, atenuada pelos elementos citados acima, podendo ser enquadrada dentro de uma tendência formalista clássica40, em que há a preocupação com a sistematização lógica do conhecimento a partir de elementos primitivos e postulados, e depois de definições e teoremas.

5.1.5 LeVEQUE, W. J. Elementary Theory of Numbers. Canada: General Publishing