HEFEZ, A Elementos de aritmética Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de

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O livro é fruto de notas de aula de um curso semestral de Aritmética, ministrado pelo autor em 2003, no âmbito do Projeto de Melhoria de Ensino da Matemática no Estado do Rio

de Janeiro, organizado pela Sociedade Brasileira de Matemática e patrocinado pela FAPERJ.

Destina-se a um primeiro curso de Aritmética na graduação em matemática como também à formação continuada de professores do ensino fundamental e médio. O autor afirma acreditar que, embora os temas tratados no livro não sejam abordados da mesma forma na escola básica, constituem parte da bagagem mínima de todo professor de matemática. É interessante observar na destinação da obra que, ao mesmo tempo em que ela é indicada para um primeiro curso de Aritmética, é também indicada para a formação continuada de professores, o que leva a inferir que o autor pensa que os professores em exercício ou não tiveram em seus currículos esses conteúdos ou os tiveram de forma inadequada ao exercício da docência.

O objetivo manifestado pelo autor é o de estudar as propriedades dos números

naturais, junto com suas operações de adição e de multiplicação, enfatizando as questões relacionadas com a divisibilidade.

Hefez concebe a Aritmética como sendo a parte elementar da Teoria dos Números. Assim, trata no livro os seguintes assuntos:

1. Os números naturais: adição e multiplicação; subtração; axioma de indução.

2. Aplicações da indução: definição por recorrência; binômio de Newton; propriedade da boa ordem; aplicações lúdicas.

3. Divisão nos naturais: divisibilidade; divisão euclidiana; a aritmética na Magna Grécia. 4. Representação dos números naturais: sistemas de numeração; jogo de Nim.

5. Algoritmo de Euclides: máximo divisor comum; propriedades do mdc; mínimo múltiplo comum.

6. Aplicações do máximo divisor comum: equações diofantinas lineares; expressões binômias; números de Fibonacci.

7. Números primos: teorema fundamental da Aritmética; sobre a distribuição dos números primos; pequeno teorema de Fermat; o renascimento da Aritmética.

8. Números especiais: primos de Fermat e de Mersenne; números perfeitos; decomposição do fatorial em fatores primos; Euler, um gigante da matemática.

9. Congruências: aritmética dos restos; aplicações; congruências e números binomiais; Gauss, um príncipe da matemática.

10. Os teoremas de Euler e Wilson: teorema de Euler; teorema de Wilson.

11. Resolução de congruências: resolução de congruências lineares; teorema chinês dos restos; congruências quadráticas; lei da reciprocidade quadrática.

O autor sugere que, por limitação de tempo, os assuntos – jogo de Nim; expressões binômias; números de Fibonacci; números perfeitos; decomposição do fatorial em fatores primos; congruências e números binomiais, congruências quadráticas; lei da reciprocidade quadrática – possam ser omitidos, o que não comprometeria a compreensão do todo.

No início do capítulo 1, sobre os números naturais, o autor afirma que a abordagem será axiomática, considerando as operações de adição e de multiplicação como bem definidas, e as suas propriedades básicas, como axiomas. Neste capítulo trata, ainda, da indução matemática, introduzindo-a de forma axiomática, destacando como uma propriedade que só os naturais possuem, apresentando-a através de uma analogia com uma situação não matemática e alguns exemplos.

No capítulo 2, denominado de aplicações da indução, trabalha a definição por recorrência, abordando vários assuntos que são do conhecimento do aluno desde a escola básica, como: somatório; fatorial; potenciação e suas propriedades básicas e o binômio de Newton. As progressões aritméticas e geométricas que também poderiam estar dentre eles foram colocadas como exercícios no tópico sobre indução, para que o estudante prove a fórmula do termo geral e a da soma de n termos. No final do capítulo, traz algumas situações a que chamou de lúdicas, incluindo a Torre de Hanói e a Seqüência de Fibonacci. Na organização da atividade matemática destes dois primeiros capítulos, quanto ao tipo de tarefas, de 21 tarefas propostas 16 (76%) são do tipo mostrar, o autor não usou provar ou demonstrar; 2(10%) são tarefas do tipo calcular; 3 (14%) do tipo conjecturar e generalizar. Embora a organização praxeológica seja axiomática, há uma maior proximidade com a matemática escolar, apresentando, de uma outra forma, tecnologias e teorias de assuntos já estudados pelos estudantes na escola básica, permitindo-lhes, assim, ampliar o que já foi construído ou, ainda, associar o conhecimento “novo” ao “antigo”. Além disso, há elementos que apontam para a presença do conhecimento pedagógico do conteúdo, como exemplos diversos, analogias, aplicações extra-matemáticas, inclusive atividades lúdicas.

Nos capítulos 3, 4, 5 e 6, o autor trata a questão da divisibilidade, com uma abordagem formalista clássica. Quanto ao tipo de tarefas, são propostas 90, das quais 52 (58%) são do gênero mostrar; 29 (32%) dos gêneros calcular, resolver ou determinar; 7 (8%) de conjecturar ou discutir; 1 (1%) de gênero generalizar, e 1 (1%), justificar. Ainda que a maioria das tarefas seja do gênero mostrar, nota-se uma variedade maior em relação à maioria das obras analisadas, aparecendo, inclusive, tarefas que conduzem ao desenvolvimento de outras habilidades como discutir, generalizar e conjecturar, ou seja, tarefas que poderão ser tratadas

metodológicos, como notas de rodapé, esclarecendo algum aspecto do que está sendo apresentado, ou indicando fontes para ampliar o estudo; informações históricas sobre os assuntos tratados; exercícios suplementares; alguns exemplos interessantes e mesmo lúdicos, como o Jogo de Nim, para ilustrar o uso do algoritmo da divisão. Podemos afirmar que há a presença de elementos do conhecimento pedagógico do conteúdo, também, nestes capítulos.

No capítulo 4, em que trata a representação dos números naturais, associa o conhecimento “anterior” com o “novo”, partindo do que o aluno já sabe, o que não ocorre em outros capítulos, como no que aborda o máximo divisor comum, o mínimo múltiplo comum e o capítulo sobre números primos.

As equações diofantinas lineares aparecem como aplicações do m.d.c. no capítulo 6, com foco na resolução da equação, ficando a sua utilização na resolução de problemas, inclusive extra-matemáticos, como exercícios, o que constitui marcas de uma abordagem tradicional.

Os números primos, considerados pelo autor como um dos conceitos mais importantes de toda a matemática, a distribuição dos primos e o pequeno teorema de Fermat são apresentados no capítulo 7, e números primos especiais, no capítulo 8. A apresentação e a discussão de números especiais, como o de Fermat e o de Mersenne, é interessante, pois pode conduzir a atividades de exploração ou de investigação, assim como a apresentação de problemas que ainda estão em aberto.

Quanto ao tipo de tarefas, nestes capítulos há a predominância de tarefas do gênero mostrar, de 47 tarefas, 34 (72%) são deste gênero e 4 (8,5%) do gênero provar; 4 (8,5%) do gênero calcular, determinar, e apenas 1 de cada um dos tipos conjecturar, generalizar e verificar a veracidade. Os demais capítulos tratam da congruência e dos teoremas de Euler, Wilson e o teorema chinês do resto.

Assim, o livro de Hefez tem como um dos objetivos a formação do professor, inicial ou continuada, representando já um avanço, no sentido da transposição didática dos temas tratados, buscando em alguns pontos aproximá-los do saber escolar. Traz para o texto temas que o futuro professor, no caso da formação inicial, já estudou na escola básica, os quais deverá ensinar, fundamentando-os, possibilitando-lhes uma visão mais ampliada deles. Há elementos que podem ser identificados com o conhecimento pedagógico do conteúdo, como: exemplos, atividades lúdicas, analogias, problemas interessantes, informações históricas, embora a abordagem seja formalista. A questão das técnicas e das tecnologias necessárias para realizar as tarefas do tipo mostrar ou provar (muito raramente, o autor usa demonstrar),

apresentada anteriormente, permanece, pois podemos perceber também nessa obra, a naturalização dessas técnicas e tecnologias.

O autor indica o que considera essencial para um curso semestral, embora, saibamos que, dependendo de outros fatores, tais como: conhecimento prévio dos alunos sobre os temas; tempo disponível para estudo; familiaridade com o método axiomático; carga horária; semestre em que está alocado o curso, o que foi proposto e da forma como o foi é inviável, neste tempo. Como o livro trata apenas dos números naturais, também pode ser colocada, neste caso, a questão de abordar separadamente os naturais para depois estender para os inteiros. Em que momento essa extensão seria feita, no caso da adoção desta obra, para um curso inicial de Teoria dos Números?